2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)"

Transkript

1 Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje více než 2 % nekvalitních výrobků. Řešení 1 Rozsah výběrového souboru je n = Náhodná veličina X slouží ke sledování, je-li výrobek kvalitní či nekvalitní. Daný soubor má tedy alternativní rozdělení s parametrem p = 0,026 neboli Alt(0,026). Víme, že alternativní rozdělení je zvláštním případem binomického rozdělení. V tomto konkrétním případě jde tedy o rozdělení Bi(1000; 0,026). Podle zadání úlohy máme rozhodnout, zda lze s pravděpodobností 0,99 tvrdit, že zásilka obsahuje více než 2 % nekvalitních výrobků. Jde o úlohu, ve které budeme testovat statistickou hypotézu. Podle teorie testu o parametru p binomického rozdělení asymptotického formulujeme nulovou a alternativní hypotézu takto: H 0 : p = 0,02, H 1 : p > 0,02 Podle Moivrovy-Laplaceovy věty pro velké n platí X~N(1000 0,026; ,026 (1 0,026)) = N(26; 25,324) Lze tedy konstatovat, že při platnosti H 0 je náhodná veličina X ,020 X 20 X 20 U = = = ,020 (1 0,020) 16,6 4, ~N(0,1) Podle teorie na hladině α = 0,01 zamítáme hypotézu H 0 : p = 0,02 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1 : p > 0,02, pokud U Φ 1 (1 α 2 ) Dosadíme do obou stran nerovnice (za X v U odsadíme jeho střední hodnotu) a dostaneme , Φ 1 (1 0,01 2 ) 6 4, Φ 1 (1 0,005) 1, Φ 1 (0,995) V tabulce kvantilů normovaného normálního rozdělení vyhledáme příslušnou hodnotu. Dostaneme 1, ,645 Je zřejmé, že tato nerovnice neplatí. Zjištěná hodnota testovacího kritéria je v oboru přijetí nulové hypotézy. Není tedy prokázána platnost alternativní hypotézy. Není tedy možné na dané hladině významnosti tvrdit, že v zásilce je více než 2 % nekvalitních výrobků. d b 1

2 Příklad 2 Speciální cvičení na paměťové počítání bylo testováno na 11 žácích. V následující tabulce jsou uvedeny časy v sekundách, za které vyřešili kontrolní úlohy před cvičením a po cvičení. Můžeme tvrdit, že tato cvičení zlepšují schopnost žáků při řešení úloh na hladině α = 0,05? Před cvičením 87, 61, 98, 90, 93, 74, 83, 72, 81, 75, 83 Po cvičení 50, 45, 79, 90, 88, 65, 52, 79, 84, 61, 52 Řešení 2 Stejnou úlohu jsme už řešili v MV2 11 příklad 2 metodou znaménkového testu. Tentokrát využijeme Wilcoxonův test. Nejprve vypočítáme rozdíly (před minus po) 37, 16, 19, 0, 5, 9, 29, 7, 3, 14, 31 Jednotlivým členům tohoto seznamu přiřadíme pořadí jejich absolutních hodnot. Dostaneme 11, 7, 8, 1, 3, 5, 9, 4, 2, 6, 10 Testujeme nulovou hypotézu (cvičení nemá vliv na schopnost řešení úloh) proti alternativní hypotéze (cvičení má vliv na schopnost řešení úloh). H 0 : x = 0, H 1 : x 0 Vypočteme součet pořadí kladných hodnot rozdílů a součet pořadí záporných hodnot rozdílů. S + = = 60 S = = 6 Podle teorie platí, že pokud min(s +, S ) < w n (α), pak můžeme zamítnout na hladině významnosti α nulovou hypotézu. Přitom kritickou hodnotu pravé strany nerovnice nalezneme v tabulce kritických hodnot párového Wilcoxonova testu. Zkusíme do podmínky testu dosadit. Dostaneme min(60, 6) < w 11 (0,05) Neboli 6 < 10 Protože poslední nerovnice je pravdivá, zamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05. Poznámka Všimněme si, že na hladině významnosti 0,01 bychom nulovou hypotézu nemohli zamítnout, protože w 11 (0,05) = 5. Stanovení hladiny významnosti tedy má zásadní vliv na výsledek úlohy. Poznámka Vrátíme-li se k řešení téže úlohy v MV2 11 Příklad 2, vidíme, že jsme dostali rozdílné výsledky obou testů. Znaménkový test nemá dostatek informací pro zamítnutí nulové hypotézy, protože využívá pouze počtu záporných hodnot, zatímco u Wilcoxonova testu využijeme navíc znalosti toho, že záporné hodnoty jsou poměrně malé. Říkáme, že Wilcoxonův test je silnější než znaménkový test. d b 2

3 Příklad 3 V průběhu deseti za sebou jdoucích dnů si pacient měřil 10 krát tep. Můžeme na základě těchto měření prohlásit, že medián naměřených hodnot je roven 75 tepům? Hodnoty jednotlivých měření byly 76, 76, 74, 77, 79, 81, 83, 67, 65, 90 Řešení 3a Úlohu budeme řešit pomocí jednovýběrového Wilcoxonova testu asymptotického na hladině významnosti 0,05. Chceme testovat hypotézu H 0 : x = 75 proti alternativní hypotéze H 1 : x 75. Pokud by medián hodnoty tepů byl 75, pak vypočteme následující hodnoty Y i = X i 75, kde X i jsou výsledky jednotlivých měření, takto seřazeny podle velikosti jejich absolutní hodnoty. 1, 1, 1, 2, 4, 6, 8, 8, 10, 15 Vypočteme součet pořadí kladných hodnot z tohoto seznamu. Dostaneme S = = 35 Vypočteme statistiku, která má za platnosti hypotézy H 0 : x = 75 asymptoticky normované normální rozdělení. Takovou statistikou je (ihned dosadíme) n (n + 1) 10 (10 + 1) S U = 4 = 4 = 4 = 4 n (n + 1) (2n + 1) 10 (10 + 1) ( ) ,5 = 96,25 = 7,5 9, = 0, Na hladině α zamítáme hypotézu H 0 : x = 75 a přikloníme se k alternativní hypotéze H 1 : x 75, pokud U Φ 1 (1 0,05 2 ) Hodnotu z pravé strany nalezneme v tabulce kvantilů normovaného normálního rozdělení N(0, 1). Dostaneme 0, = 0, ,960 Je zřejmé, že poslední nerovnost neplatí. Nemůžeme tedy zamítnout nulovou hypotézu. Řešení 3b Úlohu budeme řešit pomocí jednovýběrového Wilcoxonova testu asymptotického na hladině významnosti 0,05. Chceme testovat hypotézu H 0 : x = 75 proti alternativní hypotéze H 1 : x 75. Pokud by medián hodnoty tepů byl 75, pak vypočteme následující hodnoty Y i = X i 75, kde X i jsou výsledky jednotlivých měření, takto seřazeny podle velikosti jejich absolutní hodnoty. 1, 1, 1, 2, 4, 6, 8, 8, 10, 15 Vypočteme dále součet pořadí kladných hodnot a součet pořadí záporných hodnot z tohoto seznamu. S + = 35, S = 20 Podle teorie platí, že pokud min(s +, S ) < w n (α), pak můžeme zamítnout na hladině významnosti α nulovou hypotézu. Přitom kritickou hodnotu pravé strany nerovnice nalezneme v tabulce kritických hodnot párového Wilcoxonova testu. Zkusíme do podmínky testu dosadit. Dostaneme min(35, 20) < w 10 (0,05) Neboli 20 < 8 Protože poslední nerovnice je nepravdivá, nemůžeme na dané hladině nulovou hypotézu zamítnout. d b 3

4 Příklad 4 Označme p pravděpodobnost, že při hodu danou hrací kostkou padne šestka. Testujme nulovou hypotézu (šestka padne v jedné šestině případů) proti alternativní hypotéze (šestka nepadne v jedné šestině případů) H 0 : p = 1 6, H 1: p 1 6 Testování provedeme na hladině 0,05 základě pokusu, v němž ze sto dvaceti hodů padla šestka: a) dvacet devětkrát, b) dvacet osmkrát, c) devětkrát. Řešení 4 Označme X zaznamenaný počet šestek v sérii 120 hodů. Veličina X má rozdělení Bi(p, 120). Předpokládáme, že hypotéza H 0 je správná, neboli že p = 1. Uvědomme si, že jde o oboustranný 6 případ, neboli hladinu významnosti α = 0,05 musíme brát na obou stranách poloviční. Potom nalezneme pravděpodobnosti v bezprostředním okolí poloviční hladiny významnosti (řešíme oboustranný případ). To může být trochu pracnější. Nakonec ale nalezneme P(X 11) = 0,014, P(X 12) = 0,027 P(X 28) = 0,037, P(X 29) = 0,022 To znamená, že kritické hodnoty rozdělení Bi(1 6, 120), jimiž se veličina X řídí za předpokladu, že nulová hypotéza je správná jsou k 1 = k 1 ( α 2 ) = k 1 ( 0,05 2 ) = k 1(0,025) = 11, k 2 = k 2 ( α 2 ) = k 2 ( 0,05 2 ) = k 2(0,025) = 29 Rozhodnutí o tom, zda hypotézu zamítneme či nikoliv závisí na empiricky zaznamenaném počtu šestek v sérii. Konkrétně pro jednotlivé zadané případy: a) Šestka hozená ve 29 případech ze 120 je kritickou hodnotou zkoumaného rozdělení těsně za hladinou významnosti. Proto se v tomto případě nulová hypotéza zamítá na hladině významnosti α = 0,05. b) Šestka hozená ve 28 případech ze 120 leží v intervalu kritických hodnot. Proto se v tomto případě nulová hypotéza nezamítá α = 0,05. c) Šestka hozená v 9 případech ze 120 leží mimo interval kritických hodnot. Proto se v tomto případě nulová hypotéza zamítá α = 0,05. Poznámka Formulace hypotéza se zamítá na hladině významnosti α znamená, že skutečná hladina významnosti testu, tedy pravděpodobnost, s níž může dojít k zamítnutí správné hypotézy, je menší než α. Hladinu významnosti nemůžeme volit extrémně malou, protože jinak by příslušný test měl jen velmi malou sílu. Na druhou stranu případné zamítnutí nulové hypotézy má mnohem větší váhu, jestliže víme, že pravděpodobnost zamítnutí správné hypotézy je dokonce menší než 0,01 či 0,001. Z těchto důvodů může být zajímavé vědět, zda se nulová hypotéza bude zamítat i na hladině významnosti α = 0,01. V tomto případě jsou kritickými hodnotami 9 a 32. Tudíž v případě a) se nulová hypotéza nezamítá (přestože byla zamítnuta na hladině významnosti 0,05). V případě b) se nulová hypotéza nezamítá a v případě c) se zamítá. Pro hladinu významnosti 0,001 jsou kritickými hodnotami 7 a 35. d b 4

5 Příklad 5 Označme p pravděpodobnost, že při hodu danou hrací kostkou padne šestka. Existuje podezření, že tato kostka je záměrně vyrobena tak, aby šestka padala častěji než ostatní hodnoty. Testujme hypotézu, že tomu tak není, a to na základě pokusu, v němž ze sto dvaceti hodů padla šestka dvacet osmkrát. Řešení 5 Budeme testovat nulovou hypotézu (šestka padne právě v jedné šestině pokusů) proti jednostranné alternativě (šestka padne častěji než v jedné šestině pokusů). H 0 : p = 1 6, H 1: p > 1 6 Zvolíme hladinu významnosti α = 0,05. Hypotézu zamítneme tehdy, když zaznamenaný počet šestek X je příliš veliký (větší než kritická hodnota). Malý počet šestek nyní důvodem k zamítnutí hypotézy není. Kritická hodnota k 2 pro test naší hypotézy je nejmenší nezáporné celé číslo takové, že P (X k 2 p = 1 6 ) < 0,05 Po troše práce zjistíme, že k 2 = 28 Nulová hypotéza se tedy proti alternativní hypotéze zamítá na hladině významnosti 0,05. Poznámka Všimněme si, že v této jednostranné variantě byla nulová hypotéza zamítnuta, přestože v oboustranné variantě téže úlohy (vit předchozí příklad) by zamítnuta nebyla. Vidíme, že zúžením oboustranné alternativy na jednostrannou se zvýšila síla testu. d b 5

6 Příklad 6 Pěstujeme hrách s bílými a fialovými květy. Podle druhého Mendelova zákona je pravděpodobnost p, že rostlina vykvete fialově, rovna 3 4. Testujme platnost tohoto zákona na základě pokusu, v němž ze čtyřiceti náhodně vybraných rostlin jich fialově vykvetlo třicet pět. Řešení 6 Testujeme nulovou hypotézu (fialově vykvetou tři čtvrtiny rostlin) proti alternativní hypotéze (fialově pokvete jiné množství než tři čtvrtiny rostlin). H 0 : p = 3 4, H 1: p 3 4 Dle zadání je zřejmé, že náhodná veličina X, se kterou budeme pracovat, má za předpokladu platnosti nulové hypotézy rozdělení Bi(3 4, 120). Zvolíme hladinu významnosti α = 0,05. Jasně vidíme, že jde o oboustranná případ. Budeme tedy hledat kritické hodnoty k 1, k 2 pro test naší hypotézy jako největší (pro k 1 ) a nejmenší (pro k 2 ) nezáporná celá čísla taková, že P (X k 1 p = 3 4 ) < α 2, P (X k 2 p = 3 4 ) > 1 α 2 Kritické hodnoty budeme hledat pomocí výpočtu pravděpodobností dle daného rozdělení s jejich následným sčítáním. Přitom využijeme vzorec P(X = i) = ( n i ) pi (1 p) n i Výpočet můžeme velmi snadno realizovat třeba pomocí tabulky v MS Excel. n i p n_i p i (1-p) (n-i) P(x=i) P(x<=i) , ,27181E-25 8,27181E-25 8,27181E , ,75 3,30872E-24 9,92617E-23 1,00089E , ,5625 1,32349E-23 5,80681E-21 5,9069E , , ,29396E-23 2,20659E-19 2,26566E , , ,11758E-22 6,12328E-18 6,34984E , , ,47033E-22 1,32263E-16 1,38613E , , ,38813E-21 2,3146E-15 2,45321E , , ,35525E-20 3,3727E-14 3,61802E , , ,42101E-20 4,17372E-13 4,53552E ,75 2,73E+08 0, ,1684E-19 4,45197E-12 4,90552E ,75 8,48E+08 0, ,67362E-19 4,14033E-11 4,63088E ,75 2,31E+09 0, ,46945E-18 3,38754E-10 3,85063E ,75 5,59E+09 0, ,38778E-17 2,45597E-09 2,84103E ,75 1,2E+10 0, ,55112E-17 1,58693E-08 1,87104E ,75 2,32E+10 0, ,22045E-16 9,18154E-08 1,10526E ,75 4,02E+10 0, ,88178E-16 4,7744E-07 5,87966E ,75 6,29E+10 0, ,55271E-15 2,238E-06 2,82597E ,75 8,87E+10 0, ,42109E-14 9,47859E-06 1,23046E ,75 1,13E+11 0, ,68434E-14 3,63346E-05 4,86392E ,75 1,31E+11 0, ,27374E-13 0, , ,75 1,38E+11 0, ,09495E-13 0, , ,75 1,31E+11 0, ,63798E-12 0, , ,75 1,13E+11 0, ,45519E-11 0, , d b 6

7 n i p n_i p i (1-p) (n-i) P(x=i) P(x<=i) ,75 8,87E+10 0, ,82077E-11 0, , ,75 6,29E+10 0, ,32831E-10 0, , ,75 4,02E+10 0, ,31323E-10 0, , ,75 2,32E+10 0, ,72529E-09 0, , ,75 1,2E+10 0, ,49012E-08 0, , ,75 5,59E+09 0, ,96046E-08 0, , ,75 2,31E+09 0, ,38419E-07 0, , ,75 8,48E+08 0, ,53674E-07 0, , ,75 2,73E+08 0, ,8147E-06 0, , , ,0001 1,52588E-05 0, , , ,53E-05 6,10352E-05 0, , , ,65E-05 0, , , , ,24E-05 0, , , , ,18E-05 0, , , , ,38E-05 0, , , , ,79E-05 0,0625 0, , , ,34E-05 0,25 0, , ,75 1 1,01E ,00566E-05 1 Řádky s kritickými hodnotami jsou podbarveny oranžově. Nalezli jsme tedy kritické hodnoty k 1 = 23, k 2 = 35 Fialově vykvetlo 35 rostlin. To je právě kritická hodnota ležící již mimo stanovenou hladinu významnosti. Hypotéza se na hladině významnosti α = 0,05 proto zamítá. d b 7

8 Příklad 7 Realizace náhodného výběru byla roztříděna následovně: Třída n i Třída n i 1 1,0 1, ,5 3, ,5 2, ,0 3, ,0 2, ,5 4,0 18 Ověřte, zda realizace pochází z rozdělení s hustotou f(x) = 2 (x 1) pro x 1, 4 9 Riziko přípustného omylu je maximálně 5%. Řešení 7 Budeme na hladině významnosti α = 0,05 testovat hypotézu H 0 X~f(x) proti hypotéze H X f(x) Použijeme χ 2 -test dobré shody. Sestavíme tabulku Třída n j p j np j (n j np j ) 2 np j 1 1,0-1,5 1 0, , , ,5-2,0 4 0, , , ,0-2,5 5 0, , , ,5-3,0 6 0, , , ,0-3,5 6 0, ,6 6 3,5-4,0 18 0, , , Součet x , První sloupec je pro identifikaci jednotlivých tříd. Druhý sloupec uvádí hozené hodnoty v příslušné třídě. Třetí sloupec je pro zadání četnosti výskytu výsledku v realizaci náhodného pokusu. Čtvrtý sloupec je teoretická četnost dle testovaného rozdělení (v tomto případě je třeba je vypočítat). Pátý sloupec je součinem teoretické četnosti s celkovým počtem realizovaných pokusů. Poslední šestý sloupec je hodnotou Pearsonovy statistiky pro příslušnou třídu. Poslední řádek je určen pro součty (kontrolní a výsledné). Hodnoty ve čtvrtém sloupci jsme vypočítali integrací hustoty takto (d j je dolní hranice j-té třídy): d j +0,5 p j = 2 d 2 j +0,5 (x 1) dx = 9 9 [x2 2 x] = 29 [((d j + 0,5) 2 (d 2 j + 0,5)) ( d j 2 2 d j)] d d j j = 2 9 [d j 2 + d j + 0,25 d 2 j 0,5 d j d j] = 2 9 [d j + 0,25 1 ] = d j 0, Dosazením dolních hranic do posledního výrazu jsme vypočítali potřebné pravděpodobnosti. Hodnota vpravo dole je realizací t testové statistiky 6 T = (n j np j ) 2 Konkrétně v našem případě máme j=1 d b 8 np j t = 4,937662

9 Kritický obor W pro Pearsonův test dobré shody na hladině významnosti α = 0,05 je W = {t; t > χ 2 (k m 1; 1 α)} Zde k = 6 je počet tříd, m = 0 je počet neznámých parametrů. Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách. W = {t; t > χ 2 (6 0 1; 1 0,05)} = {t; t > χ 2 (5; 0,95)} = {t; t > 11,07} Protože t W, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu H 0 X~f(x). Realizace pochází z rozdělení s uvedenou hustotou. Riziko omylu je 5%. d b 9

10 Příklad 8 Realizace náhodného výběru byla roztříděna následovně: Třída n i Třída n i 1 0,0 0, ,5 0, ,1 0, ,6 0, ,2 0, ,7 0, ,3 0, ,8 0, ,4 0, ,9 1,0 95 Ověřte na hladině významnosti 0,05, zda realizace pochází z rozdělení s hustotou f(x) = ax 2 pro x 0, 1 Řešení 8 Budeme na hladině významnosti α = 0,05 testovat hypotézu H 0 X~f(x) proti hypotéze H X f(x) Použijeme χ 2 -test dobré shody. Sestavíme tabulku Třída n j p j np j (n j np j ) 2 np j 1 0,0 0,1 0 0,001 0,2 0,2 2 0,1 0,2 0 0,007 1,4 1,4 3 0,2 0,3 0 0,019 3,8 3,8 4 0,3 0,4 1 0,037 7,4 5, ,4 0,5 1 0,061 12,2 10, ,5 0,6 2 0,091 18,2 14, ,6 0,7 6 0,127 25,4 14, ,7 0,8 35 0,169 33,8 0, ,8 0,9 60 0,217 43,4 6, ,9 1,0 95 0,271 54,2 30,71292 Součet x ,55903 První sloupec je pro identifikaci jednotlivých tříd. Druhý sloupec uvádí hozené hodnoty v příslušné třídě. Třetí sloupec je pro zadání četnosti výskytu výsledku v realizaci náhodného pokusu. Čtvrtý sloupec je teoretická četnost dle testovaného rozdělení (v tomto případě je třeba je vypočítat). Pátý sloupec je součinem teoretické četnosti s celkovým počtem realizovaných pokusů. Poslední šestý sloupec je hodnotou Pearsonovy statistiky pro příslušnou třídu. Poslední řádek je určen pro součty (kontrolní a výsledné). Abychom mohli vypočítat teoretické hodnoty pravděpodobnosti do čtvrtého sloupce, musíme nejprve určit hodnotu konstanty a v předpisu hustoty. Musí platit: 1 1 = ax 2 dx = [a x3 1 3 ] = a [ x3 1 3 ] = a [ ] = a [ ] = a [1 3 0] = a 1 3 = a Odtud a = 3 Nyní víme, že daná hustota má tvar f(x) = 3x 2 pro x 0, 1 Hodnoty ve čtvrtém sloupci jsme vypočítali integrací hustoty takto (d j je dolní hranice j-té třídy): d b 10

11 d j +0,1 x 3 p j = 3x 2 dx = [3 3 ] d d j j d j +0,1 = 0,3d j 2 + 0,03d j + 0,001 = [x 3 d ] j +0,1 dj = 3 dj + 0,3d 2 3 j + 0,03d j + 0,0,01 d j Dosazením dolních hranic do posledního výrazu jsme vypočítali potřebné pravděpodobnosti. Hodnota vpravo dole je realizací t testové statistiky 6 T = (n j np j ) 2 j=1 Konkrétně v našem případě máme t = 87,55903 Kritický obor W pro Pearsonův test dobré shody na hladině významnosti α = 0,05 je W = {t; t > χ 2 (k m 1; 1 α)} Zde k = 10 je počet tříd, m = 0 je počet neznámých parametrů. Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách. W = {t; t > χ 2 (10 0 1; 1 0,05)} = {t; t > χ 2 (9; 0,95)} = {t; t > 16,92} Protože t W, zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu H 0 X~f(x). Realizace nepochází z rozdělení s uvedenou hustotou. Riziko omylu je 5%. np j d b 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování

Více

Náhodné veličiny, náhodné chyby

Náhodné veličiny, náhodné chyby Náhodné veličiny, náhodné chyby Máme náhodnou veličinu X, jejíž vlastnosti zkoumáme. Pokud známe její rozložení (např. z nějaké dřívější studie) nebo alespoň předpokládáme znalost rozložení, můžeme ji

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

NEPARAMETRICKÉ TESTY

NEPARAMETRICKÉ TESTY NEPARAMETRICKÉ TESTY Neparametrický jednovýběrový Jeden výběr jehož medián srovnáváme s nějakou hodnotou Wilcoxonův jednovýběrový test 1) Máme data z družice Hipparcos pro deklinaci (obdoba zeměpisné šířky)

Více

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK

Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele

analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat Epidemiologické ukazatele Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. 1 Záznam epidemiologických dat Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Proč neparametrické testy? Pokud provádíte formální analýzu či testování hypotéz (zejména provádíte-li

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality

Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality Opakování Opakování: Testy o střední hodnotě normálního rozdělení 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 dvouvýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxonův test párový Wilcoxonův test dvouvýběrový Wilcoxonův

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,

Více

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E

Epidemiologické ukazatele. lních dat. analýza kategoriáln. Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Záznam epidemiologických dat. a I E Testování statistických hypotéz z a analýza kategoriáln lních dat Prof. RNDr. Jana Zvárová, DrSc. Epidemiologické ukazatele Rizikový faktor Populace Přítomen Nepřítomen Celkem Nemocní a b a+b Kontroly

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Testy založené na χ 2 rozdělení V přehledu významných rozdělení jsme si uvedli, že Poissonovým rozdělením se modeluje počet událostí, které nastanou

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Neparametrické metody v systému STATISTICA

Neparametrické metody v systému STATISTICA MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Bakalářská práce Neparametrické metody v systému STATISTICA DAGMAR LAJDOVÁ VEDOUCÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE RNDr. MARIE BUDÍKOVÁ, Dr. Brno 2009 Čestné prohlášení Čestně

Více

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Přednáška X. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Testování hypotéz o podílech Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka Testy nezávislosti, Fisherůvexaktní test, McNemarůvtest Testy dobré shody

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M4 ZÁKLADY TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?

TEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka? TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat

Více

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?

NÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN? NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU

Více

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů)

Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení. ( ) (p počet odhadovaných parametrů) VYBRANÉ TESTY NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ TESTY DOBRÉ SHODY Název testu Předpoklady testu Testová statistika Nulové rozdělení test dobré shody Očekávané četnosti, alespoň 80% očekávaných četností >5 ( ) (p

Více

CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 25 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test)

Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Jarqueův a Beryho test normality (Jarque-Bera Test, JB test) Autoři: Carlos M. Jarque and Anil K. Bera Předpoklady: - Výběrová data mohou obsahovat chybějící pozorování (chybějící hodnoty) vhodné zejména

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

7.1. Podstata testu statistické hypotézy

7.1. Podstata testu statistické hypotézy 7. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 7.1. Podstata testu statistické hypotézy Statistická hypotéza určitý předpoklad o parametrech nebo tvaru rozdělení zkoumaného st. znaku. Testování hypotéz proces ověřování

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu I I.I Jednofaktorová analýza rozptylu Úvod Jednofaktorová analýza rozptylu (ANOVA) se využívá při porovnání několika středních hodnot. Často se využívá ve vědeckých a lékařských experimentech, při kterých

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 12 Testování hypotéz Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu

Více

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty

Sever Jih Západ Plechovka Točené Sever Jih Západ Součty Plechovka Točené Součty Neparametrické testy (motto: Hypotézy jsou lešením, které se staví před budovu a pak se strhává, je-li budova postavena. Jsou nutné pro vědeckou práci, avšak skutečný vědec nepokládá hypotézy za předmětnou

Více

Vzorová prezentace do předmětu Statistika

Vzorová prezentace do předmětu Statistika Vzorová prezentace do předmětu Statistika Popis situace: U 3 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných: SEX - muž, žena PUVOD Skandinávie, Středomoří, 3 západní Evropa IQ hodnota

Více