v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S
|
|
- Luděk Doležal
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj. o funkci f(x) = sin 2x. Víme, ¾e funkce f1(x) = sin x je shora i zdola omezená a její funkèní hodnoty jsou z intervalu h 1; 1i. Tedy funkce f2(x) = 4 sin 2x nabývá funkèních hodnot z intervalu h 4; 4i. Máme-li je¹tì ke ka¾dé hodnotì z tohoto intervalu pøièíst èíslo 5, získáme interval pro funkèní hodnoty funkce f(x) 2 h1; 9i. Stejnou úvahu nyní proveïme pro funkci g(x) = 3 jx 1 4 j+2 na levé stranì na¹í rovnice. Pro x = 1 4 nabývá funkce svého minima (nejmen¹í mo¾né hodnoty), a to g( 1 4 ) = 9. Bude-li x 6= 1 4, bude g(x) > 9. Mají-li se levá i pravá strana rovnice sobì rovnat, musí nabývat stejné funkèní hodnoty, a to 9. To nastává v jedniném bodì denièního oboru x = 4 1. Tedy na¹e rovnice má jediný koøen v oboru reálných èísel, a to x = 1 4. RS-IV-5-2 Pro konstrukci hledaného trojúhelníku je dobré uvìdomit si následující vìci: souèet vnitøních úhlù trojúhelníku je úhel pøímý úhly pøi základnì rovnoramenného trojúhelníku jsou shodné, tzn. = shodné jsou i velikosti vý¹ek na daná ramena pata vý¹ky na základnu le¾í ve støedu základny, tato vý¹ka je zároveò osou strany, resp. úhlu Rozbor ze známé velikosti úhlu pøi vrcholu C si dopoèteme velikosti zbývajících úhlù, které jsou shodné mù¾eme narýsovat trojúhelník P QC (podle vìty uu), který je podobný hledanému trojúhelníku ABC, trojúhelníkù splòujících tuto vlastnost je v¹ak mnoho, my zvolíme libovolný z nich, av¹ak takový, který bude mít rozumné rozmìry 1
2 v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S pøi konstrukci vycházíme z podobnosti trojúhelníkù, jusj = jp Rj, bod D le¾í od bodu C ve vzdálenosti s (tj. souèet vý¹ek, viz zadání) A 2 P CqjjP U, B 2 CQ \ rjjqu obr. 1 Pozn.: V úvodu je mo¾no sestrojit trojúhelník P QC tak, aby jeho vý¹ka na základnu byla dlouhá s, proto pak ji¾ nemusíme sestrojovat bod D, dal¹í postup v¹ak musíme absolvovat Popis konstrukce 1. 4P QC podle uu 2. p, vý¹ka na stranu CQ, R, pata vý¹ky p 3. S, støed strany P Q 2
3 4. U; U 2! CS; jusj = jp Rj 5. D; D 2! CS; jcdj = s 6. 4P QU 7. q; qjjp U; D 2 q 8. r; rjjqu; D 2 r 9. A; A 2 q \ CP 10. B; B 2 r \ CQ 11. 4ABC Diskuse Úloha má, pøi daném úhlu pøi vrcholu C, jednoznaèné øe¹ení, a¾ na zámìnu bodù A, B. RS-IV-5-3 Tupoúhlý trojúhelník je takový, který má u jednoho vrcholu úhel vìt¹í ne¾ pravý úhel. Daný ètverec rozdìlíme úhlopøíèkou a poté nad ka¾dou stranou ètverce sestrojíme Thaletovu kru¾nici. Sestrojíme-li nad jednou stranou trojúhelník, nesmí jeho tøetí vrchol le¾et na Thaletovì kru¾nici (to by byl pravoúhlý), bude-li le¾et vnì kru¾nice, bude ostroúhlý. Musí tedy le¾et uvnitø. obr. 2 3
4 V polorovinì dané úhlopøíèkou ètverce vzniknou tedy v¾dy alespoò 3 trojúhelníky, tj. minimální poèet tupoúhlých trojúhelníkù, na které lze rozdìlit ètverec, je 6, viz obrázek 2. RS-IV-5-4 Oznaème obì dvouciferná èísla jako AB a CD, kde písmena A, B, C, D oznaèují cifry, které potøebujeme dopoèítat, tedy A; B; C; D 2 f0; 1; : : : ; 9g; A; C 6= 0. Ze zadání víme, ¾e AB CD = 2176 a BA DC = Levá cifra urèuje poèet desítek a pravá poèet jednotek. Pøepí¹eme tedy èísla do tvaru AB = 10 A + B, CD = 10 C + D, BA = 10 B + A, DC = 10 D + C. Tato èísla dosadíme do rovností ze zadání. Tedy AB CD = 2176 = 100 A C + 10 (A D + B C) + B D (1) BA DC = 1978 = 100 B D + 10 (B C + A D) + A C (2) Ze vztahu (1) vyplývá, ¾e souèin A C 21 a souèin B D má na místì jednotek cifru 6. Z druhého vztahu plyne, ¾e souèin B D 19 a souèin A C má na místì jednotek cifru 8. Odeètením rovnosti (2) od rovnosti (1) dostaneme rovnost = 198 = 99 A C 99B D: Tuto rovnost dále upravíme a získáme vztah 2 + B D = A C, tj. souèin A C je o 2 vìt¹í ne¾ souèin B D. Z tìchto pìti podmínek plyne, ¾e souèin A C je roven buï 8 (a souèin B D je o 2 men¹í, tedy 6) nebo 18 (B D = 16). Nyní si s trochou práce mù¾eme dosadit v¹echny varianty a zjistit tak výsledné cifry (tedy i hledaná èísla). Samozøejmì mù¾eme vymyslet dal¹í omezující podmínky jako napøíklad tu, ¾e v¹echny cifry A, B, C, D jsou vìt¹í ne¾ 1. Tato podmínka vychází z toho, ¾e kdyby jedno èíslo mìlo na místì desítek 1, tak i kdyby ostatní cifry byly 9, nikdy nedostaneme èíslo vìt¹í ne¾ 1978 (19 99 = 1881 < 1978). Je-li A C = 18, pak mù¾ou nastat tyto varianty: 1. A = 2; C = 9 (a) B = 2; D = 8 (b) B = 9; D = 2 2. A = 3; C = 6 (a) B = 4; D = 4 4
5 3. A = 6; C = 3 (a) B = 4; D = 4 4. A = 9; C = 2 (a) B = 2; D = 8 (b) B = 9; D = 2 Je ov¹em vidìt, ¾e varianta 1 je obdobou varianty 4 a varianta 2 je obdobou varianty 3. Varianty nejsou shodné, nicménì výsledná dvojice èísel AB a CD je stejná. Tabulka s jednotlivými propoèty A B C D AB CD BA DC Zvýraznìný øádek oznaèuje na¹e hledaná èísla. Hledaná èísla tedy jsou 34 a 64. RS-IV-5-5 Zadání úlohy sice vybízí k tomu, abychom urèili polohu bodu X tak, aby souèet vzdáleností od ramen trojúhelníku byl minimální, v dal¹ím textu je ale nápovìda, ¾e souèet je konstantní. Pøeformulujeme tedy úlohu na následující: Doka¾te, ¾e souèet vzdáleností libovolného bodu základny rovnoramenného trojúhelníku od jeho ramen je konstantní. Postupù øe¹ení je jistì mnoho. Zkusme vyu¾ít osové soumìrnosti, tj. shodného zobrazení, tj. zobrazení, které zachovává délky úseèek a velikosti úhlù (tedy také kolmost). Zobrazíme-li trojúhelník KLM v osové soumìrnosti podle osy KL, snadno nahlédneme (viz obr. 3), ¾e pro libovolný bod X jeho základny je jxqj = jxq 0 j, proto jxqj + jxp j = jp Q 0 j. Proto¾e je KMjjM 0 L a také P XjjRY pro libovolné body X, Y základny, je pro libovolné dva body základny také jp Q 0 j = jrs 0 j. Tím je tvrzení dokázáno. 5
6 obr. 3 6
Matematika II Funkce více promìnných
Matematika II Funkce více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Euklidovský n-rozmìrný prostor Def. Euklidovským
VíceHALAS liga online. 18. a 21. kvìtna Booklet. HALAS liga HALAS. sudokualogika.cz SUDOKUCUP.COM
8. a. kvìtna Booklet 8. a. kvìtna sudoku kolo seznam úloh a obodování èas na øešení: minut A. Klasické sudoku x... body A. Klasické sudoku x... body A. Klasické sudoku 9x9...7 bodù B. Diagonální sudoku
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceMatematika I Ètvercové matice - determinanty
Matematika I Ètvercové matice - determinanty RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace
VíceÚlohy domácího kola kategorie C
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie 1. Najděte všechna trojmístná čísla n taková, že poslední trojčíslí čísla n 2 je shodné s číslem n. Student může při řešení úlohy postupovat
VíceK OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy
Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
Více3.2.3 Podobnost trojúhelníků I
.. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 01 Shodné útvary je možné je přemístěním ztotožnit, lidově řečeno jsou stejné Co splňují útvary, které jsou podobné? Mají stejný tvar, ale různou velikost. Kdybychom
VíceCVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
VíceMatematika II Aplikace derivací
Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce.
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceMatematika II Extrémy funkcí více promìnných
Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def.
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.
Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník
VíceZajímavé matematické úlohy
Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória
Více3.2.3 Podobnost trojúhelníků I
.. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 01 Shodné útvary je možné je přemístěním ztotožnit, lidově řečeno jsou stejné Co splňují útvary, které jsou podobné? Mají stejný tvar, ale různou velikost. Kdybychom
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceDRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA
DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna
VíceŘešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.
Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceVýukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205
Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
Víces dosud sestrojenými přímkami a kružnicemi. Abychom obrázky nezaplnili
Dělení úsečky ŠÁRKA GRGLITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha V tomto článku se budeme zabývat sadou geometrických úloh, které jsou tematicky podobné. Liší se jen hodnotou jednoho
Více( ) Příklady na středovou souměrnost. Předpoklady: , bod A ; 2cm. Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;3cm)
3.5.5 Příklady na středovou souměrnost Předpoklady: 3504 Př. : Je dána kružnice k ( S ;3cm), bod ; cm S = a přímka p; p = 4cm, která nemá s kružnicí k žádný společný bod. Najdi všechny úsečky KL; K k,
VíceTurnaj HALAS ligy v logických úlohách Brno
ŠRešitel Šas ody celkem Turnaj HLS ligy v logických úlohách rno Èas øešení ) Iso tykadla ) Iso tykadla ) Iso tykadla SUOKUUP.OM ) omina ) omina ) omina ) Pyramida 8) Pyramida ) Pyramida ) asy as ) asy
VíceŘešení 5. série kategorie Student
Řešení 5 série kategorie Student Řešení S-I-5-1 Aby byl daný trojúhelník (ozn trojúhelník A) pravoúhlý, musí podle rozšířené Pythagorovy věty (pravidelné 9-úhelníky jsou podobné obrazce) platit, že obsah
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
Více16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013
16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání
VíceMistrovství akademiku CR Š v sudoku 3. kolo
ŠRešitel Body celkem ŠCas Mistrovství akademiku CR Š v sudoku. kolo Èas øešení SUDOKUCUP.COM -) Klasika x ) Vìtší x ) Klasika x ) Klasika x ) Zrcadlo ) Šipky ) Renban 0) Dvojitá diagonála ) Dvojice ) Mathdoku
VíceCVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
VíceFunkce 1) Zakreslete body K, L a M do souřadného systému Oxy, jsou-li dány jejich souřadnice: K[-3;0]; L[0;-2]; M[4;3].
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Vícep ACD = 90, AC = 7,5 cm, CD = 12,5 cm
Úloha Je dán pravoúhlý trojúhelník ACD s pravým úhlem při vrcholu C, AC = 7,5 cm, CD =,5 cm. Na přímce CD určete bod B tak, aby AB = BD Řešení: Úlohu vyřešíme nejprve geometrickou konstrukcí. a) Z rozboru
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Astaloš Dušan. frontální, fixační. samostatná práce, skupinová práce
METODICKÝ LIST DA34 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník I. obecný trojúhelník Astaloš Dušan Matematika šestý frontální,
VícePrùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body
Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +)
VíceKonstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,
Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje
VícePLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ
PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
VíceM - Příprava na čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
VíceOpakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce
Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceZajímavé matematické úlohy
Zajímavé matematické úlohy Pokračujeme v uveřejňování dalších nových úloh tradiční rubriky Zajímavé matematické úlohy. V tomto čísle uvádíme zadání další dvojice úloh. Jejich řešení můžete zaslat nejpozději
Vícec sin Příklad 2 : v trojúhelníku ABC platí : a = 11,6 dm, c = 9 dm, α = 65 0 30. Vypočtěte stranu b a zbývající úhly.
9. Úvod do středoškolského studia - rozšiřující učivo 9.. Další znalosti o trojúhelníku 9... Sinova věta a = sin b = sin c sin Příklad : V trojúhelníku BC platí : c = 0 cm, α = 45 0, β = 05 0. Vypočtěte
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceMgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku
Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA
VíceMatematika I Posloupnosti
Matematika I Posloupnosti RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Posloupnost Def. Nekoneènou posloupností reálných èísel
VíceMATEMATIKA. Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci
MATEMATIKA Úloha o čtverci a přímkách ŠÁRKA GERGELITSOVÁ TOMÁŠ HOLAN Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Problémy a úlohy, v nichž podrobujeme geometrický objekt nějaké transformaci (například podobnosti)
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceCVIČNÝ TEST 6. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 6 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Každý z n žáků jedné třídy z gymnázia v Přelouči se
VíceMatematika II Limita a spojitost funkce, derivace
Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Prstencové a kruhové okolí bodu
VíceInternetová matematická olympiáda listopadu 2008
Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o
Více4.3.2 Koeficient podobnosti
4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné
VíceCVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic
Více1.9.5 Středově souměrné útvary
1.9.5 Středově souměrné útvary Předpoklady: 010904 Př. 1: V obdélníkových rámech jsou nakresleny tři obrázky. Každý je sestaven z jedné přímky a jednoho obdélníku. Jeden z obrázků je středově souměrný.
VíceTrojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011
MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován
VíceGoniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VíceMatematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:
9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceMatematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1
1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
Více3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky)
3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky) Předpoklady: 030304 Př. 1: Je dána úsečka, = 5,5cm. Narýsuj osu úsečky. Jakou vlastnost mají body ležící na této přímce? Pro všechny body na ose úsečky,
Víceg) když umocníme na druhou třetinu rozdílu dvou čísel x, y a zvětšíme toto číslo o jejich součin, tak dostaneme výraz?
Téma : Výrazy, poměr (úprava výrazů, podmínky řešitelnosti, algebraické vzorce, hodnota výrazů, poměr, měřítko na mapě) Příklady Zápis výrazů ) Zapište jako výraz: a) součet trojnásobku libovolného čísla
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceAntonín Kamarýt Opakujeme si MATEMATIKU 3 doplnìné vydání Pøíprava k pøijímacím zkouškám na støední školy Pøíruèka má za úkol pomoci ètenáøùm pøipravit se k pøijímacím zkouškám na støední školu Pøíruèka
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
VíceCVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceTeorie Pøíèné vlny se ¹íøí v napjaté strunì pøibli¾nì rychlostí. v =
24. roèník, úloha V. E... strunatci (8 bodù; prùmìr 4,80; øe¹ilo 5 studentù) Vytvoøte si zaøízení, na kterém bude moci být upevnìna struna (èi gumièka) s promìnlivou délkou tak, ¾e bude napínána stále
Vícev z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.
Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =
VíceMáme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.
8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
Více5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce
5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceMatematika II Urèitý integrál
Matematika II Urèitý integrál RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Motivace Je dána funkce f(x) = 2 + x2 x 4. Urèete co
Více