2.7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí

Transkript

1 .7.3 Použití grafů základních mocninných funkcí Předpoklady: 70, 70 Pedagogická poznámka: Jedním z nejdůležitějších cílů hodiny je, aby si studenti kreslili obrázky, které jim při řešení příkladů doopravdy pomohou. Pokud takový jejich obrázek není, přesvědčuji je, aby se snažili si opravdu ulehčit situaci a ne jen zaplňovat papír v sešitu. Př. : Pomocí grafu vyřeš nerovnici Nakreslíme schématický obrázek situace y 973 =, y 006 = Funkce Funkce y y 973 = má tvar převráceného S, je méně obdélníková (má menší mocnitel). 006 = má tvar U, je více obdélníková (má větší mocnitel). Z obrázku je vidět, že řešením je interval K = 0;. Pedagogická poznámka: Část studentů začne místo zadaného příkladu řešit nerovnici Jde o hezkou ukázku toho, jak málo čtou studenti zadání a jak velkou mají tendenci opakovat poslední zadání. Př. : Pomocí grafu vyřeš nerovnici Nakreslíme schématický obrázek situace y 33 =, y 334 =.

2 Řešíme nerovnici K = ( ;0) ( 0;. hledáme v grafu místa, kdy je modrá čára nad červenou Pedagogická poznámka: Častou chybou je zahrnutí nuly do množiny řešení. Snažím se to neprozrazovat, jenom opakuji, že interval ( ; není řešením. Poznámka: Řešení předchozího příkladu není možné zapsat jedním intervalem K = ( ;, protože pro nulu není možné spočítat hodnotu výrazu 33 větší než a tudíž tato hodnota nemůže být Pedagogická poznámka: Většinu eponentů v této hodině tvoří různé letopočty. Můžete přezkoušet studenty z dějepisu. Například předchozí dva: 33 Milánský edikt císaře Konstantina, 334 př. nl. počátek tažení Aleandra Velikého proti Perské říši. To že si studenti na tyto dvě události nevzpomenou není tak tragické jako to, že si ani přibližně nepamatují, co se v té době dělo a nebo navrhují naprosto nesmyslné události.

3 Př. 3: n Na následujícím obrázku jsou grafy funkcí y =, y =, y = a y =. Urči, kterou barvou je zobrazena která funkce. Jaké hodnoty může dosahovat číslo n? Červený a černý graf funkce s lichou mocninou, červená je více hranatá. 3 y = - černá barva 9 y = - červená barva Modrý a zelený graf funkce se sudou mocninou, pouze jedna z nich je hranatější než 9 červená funkce y =. y y 4 = - zelená barva n = - modrá barva n je sudé číslo, platí 3 n 9 n { 4;6;8} < <. Př. 4: Urči všechna přirozená čísla n taková, aby řešením nerovnice n 4 byl interval (0;. Nakreslíme si schematický graf funkce y =. Do obrázku dokreslíme graf funkce y =. 4 n Protože je řešením nerovnice má být pouze interval n 4 (0;, musí být červená čára nad modrou pouze v intervalu (0;. 3

4 Z obrázku je vidět, že: n musí být liché (aby byl červený graf v levé polovině obrázku pod osou ), n musí být větší než 4 (aby byl červený graf v pravé polovině obrázku pravoúhlejší než graf modrý), n 5;7;9;;.... { } Př. 5: Pomocí grafů mocninných funkcí rozhodni, které z čísel je větší: 973 0,5 a 990 0,5. - 0,5 - Grafy požadovaných funkcí jsou schematicky nakresleny stejnými barvami jako jejich předpisy: y =, y =. Z obrázku je vidět, že Řešení úvahou: ,5 > 0, ,5 = 0,5 0,5... 0,5. Abychom získali 990 0,5 musíme číslo 973krát několikrát vynásobit 0,5 (a tím i zmenšit) platí: ,5 > 0, ,5 ještě Př. 6: Rozhodni pomocí grafu i úvahou, které z čísel 973 a 989 je větší. Grafy potřebných funkcí jsou schematicky nakresleny stejnými barvami jako jejich předpisy: y =, y =. 4

5 Z obrázku je vidět, že pro = je hodnota modré funkce větší <. 973 Úvaha: =.... Abychom získali , musíme číslo ještě několikrát 973krát vynásobit (a tím i zvětšit) platí: <. Př. 7: Rozhodni pomocí grafu i úvahou, které z čísel ( 0,) 973 a ( 0,) 989 je větší. Grafy požadovaných funkcí jsou schematicky nakresleny stejnými barvami jako jejich předpisy: y =, y =. - -0, Z obrázku je vidět, že ( 0,) ( 0,) <. Úvaha: Obě porovnávaná čísla jsou liché mocniny záporného čísla obě budou záporná. ( 0,) 973 = ( 0,) ( 0, )... ( 0,). Abychom získali ( 0,)989, musíme číslo vlevo ještě 973krát několikrát vynásobit ( 0,) ( 0,) < ( 0,). (a tím i zmenšit jeho absolutní hodnotu) platí: Pedagogická poznámka: Je zajímavé, že jen velmi málo studentů si všimne a využije pro řešení příkladu 7 stejný obrázek jako pro příklad 6. 5

6 Př. 8: Rozhodni pomocí grafu i úvahou, které z čísel 3 a 3 3 je větší. Obě porovnávaná čísla můžeme zobrazit pomocí funkce y = Z obrázku je vidět, že funkce >, musí platit 3 Úvaha: Platí < 3 = 3 y 3 = = je v intervalu 3 ( ) 3 3 a 3 < 3 3 = ; klesající. Protože platí. Přirozená mocnina z většího kladného čísla je větší Pedagogická poznámka: Někteří studenti mají problém s grafickým řešením předchozího příkladu, protože si neuvědomují, že jedna funkce jim pro jeho vyřešení stačí a pořád hledají druhý graf. Př. 9: Rozhodni pomocí grafu i úvahou, které z čísel ( π ) 40 a π 40 je větší. Obě porovnávaná čísla můžeme zobrazit pomocí funkce y = 40. 6

7 Z obrázku je vidět, že funkce ( π ) π < y 40, musí platit ( π ) Úvaha: Čísla ( π ) 40 a π 40 = = je v intervalu 40 ( ;0) π <. rostoucí. Protože platí jsou sudé mocniny obě čísla jsou kladná. Číslo ( π ) 40 je záporná mocnina s větším základem bude menší ( π ) 40 π < Př. 0: Libovolným způsobem rozhodni, které z čísel je větší: ( ) 334 a ( ) Nakreslíme schematické grafy funkcí: 334 y = = a 334 y = = Z obrázku je vidět, že pro Platí: ( ) ( ) >. dosahuje větší hodnoty funkce 334 y = =

8 Dodatek: Příklad je možné vyřešit i bez grafů funkce, když si uvědomíme, že číslo ( ) 57 získáme z čísla ( ) 334, mnohonásobným dělením číslem, které je větší než jedna. Po každém dělení číslem větším než nula se hodnota zmenší a tedy ( ) ( ) >. Př. : Libovolným způsobem rozhodni, které z čísel je větší: ( 3) a ( 3) Číslo ( 3) je záporné (lichá mocnina záporného čísla), číslo ( 3) je kladné (sudá mocnina záporného čísla). První číslo je menší než nula, druhé je větší než nula, platí tedy ( 3) ( 3) <. Př. : Petáková: strana 57/cvičení 8 a) b) c) d) f) h) Shrnutí: Grafy mocninných funkcí můžeme využít při řešení nerovnic nebo porovnávání mocnin. 8