( ) ( ) Logaritmické nerovnice II. Předpoklady: 2924

Transkript

1 5 Logaritmické nerovnice II Předpoklad: Pedagogická poznámka: Většina studentů spočítá pouze první tři příklad, nejlepší se dostanou až k pátému Pedagogická poznámka: U následujících dvou příkladů je opět nutné s některými student probrat, proč v jednom příkladu při návratu ze substituce děláme sjednocení a v jiném na stejném místě hledáme průnik Př : Vřeš nerovnici x 7 x x Podmínk: x > 0 Neznámá se vsktuje pouze ve výrazu x Substituce: = x kvadratická nerovnice najdeme nulové bod 8 0 b ± b ac 8 ± 8 8 ± 6, = = = a = = = = 6 6 Hledáme části grafu nad osou ; ; Návrat k původní proměnné: = x = x pomocí nerovnic: x ; ; = x nebo = x Získali jsme dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť Protože stačí, ab nalezená hodnota x splňovala jednu z podmínek, získáme celkové řešení jako sjednocení x x x odaritmujeme, základ je x odaritmujeme, základ je větší než zachováváme nerovnost x Nerovnosti vhovuje interval( ; musíme splňovat podmínku x > 0, ale větší než zachováváme nerovnost x Nerovnosti vhovuje interval ;, který splňuje podmínku x > 0 = ;

2 = ( 0; = = 0; ; Př : Vřeš nerovnici Podmínk: x > 0 x > x 6 < 0 Substituce: = ( x = 6 0 ( ( + = 0 x 6 < 0 Nulové bod grafu: =, = - Hledáme části grafu pod osou x: ( ; Návrat k původní proměnné: x = ; ( x = pomocí nerovnic: ( x ( ( x > a zároveň ; x < Získali jsme dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť, a protože musí platit obě najednou, ( x < x > ( x > x > 6 základ aritmu je menší než jedna nerovnost se při odaritmování obrací x < 6 x < 8 = - podmínka x > ( ;8 ( x < ( x < základ aritmu je 6 menší než jedna nerovnost se při odaritmování obrací x > 6 x > + = 6 6

3 Hledáme průnik množin ;8 = ; 6 = a = ; 6 = = ;8 6 Pedagogická poznámka: Největším problémem předchozího příkladu je samotné vřešení kvadratické nerovnice Protože v rovnici chbí lineární člen, většina studentů ji neřeší jako kvadratickou, ale upraví ji do tvaru < 6 a poté ji odmocní Př : Vřeš nerovnici x Podmínk: x > 0 Problém: Absolutní hodnota i aritmus problém si rozdělíme, nejdříve absolutní hodnota, pak aritmus substituce Substituce: = x Odstranění absolutní hodnot dělením R na interval d číslo uvnitř absolutní hodnot mění znaménko (a ted i způsob, jakým k němu absolutní hodnota přistupuje = 0 = interval ( ; 0 => = ( = + Řešíme nerovnici: + Nerovnosti vhovuje interval ;, ale počítáme pouze s čísl v intervalu ( ; = ; Návrat k původní proměnné: x = ; ; 0 => = Řešíme rovnici: = = ; = x pomocí nerovnic: Nerovnosti vhovuje interval ( ;, ale počítáme pouze s čísl v intervalu ; = ; x ; x a zároveň x Získali jsme dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť, ale protože musí platit obě najednou, x x x 0 x 0 Základ aritmu je větší než jedna Základ aritmu je větší než jedna nerovnost se při odaritmování zachovává nerovnost se při odaritmování zachovává x 0, x 000 = 0,; = ( ;000

4 Hledáme průnik množin = 0,; a = ( ;000 = = 0,;000 Př : Vřeš nerovnici ( x ( x + > 0 0, Podmínk: x + > 0 x >, x > 0 x < Problém: zdánlivě neřešitelný příklad: Mezi aritm je součin nemůžeme je spojit dohromad aždý aritmus má jiný základ Uvnitř aritmů je sčítání a tak je nemůžeme rozdělit Nápad: Na pravé straně je nula nezáleží na hodnotách jednotlivých aritmů, pouze na jejich znaménkách (podobně jako u nerovnice v součinovém tvaru zjistíme si, jak se mění znaménka aritmů v součinu, a podle toho se rozhodneme x + > 0 x > 0 0 x + > odaritmujeme, základ ( x 0 je větší než nerovnost zachováváme základ je menší než nerovnost obracíme x + > x < x > x > Nakreslíme si znaménka aritmů nad číselnou osu: - x 0, - x + 0, > 0, odaritmujeme, 0, 0, Součin dvou čísel je kladný, pokud jsou obě čísla kladná nebo obě čísla záporná ; ;, musíme uplatnit podmínk: x >, x < zdánlivě jsou kořen = ( ; ( ; Př 5: Vřeš soustavu nerovnic x Podmínk: x > 0 Substituce: = x Odstranění absolutní hodnot dělením R na interval 0 interval ( ;0 0 => = Řešíme soustavu nerovnic: = ; 0; 0 => = Řešíme soustavu nerovnic: = ; ; ; = = Návrat k původní proměnné (každý z intervalů spočteme zvlášť:

5 x = ; = x pomocí nerovnic: x ; x a zároveň x Získali jsme dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť, ale protože musí platit obě najednou, x x x 0 Základ aritmu je větší než jedna nerovnost se při odaritmování zachovává x 0,00 = 0, 00; Hledáme průnik množin = 0, 00; a ( = = 0, 00;0, x = ; x 0 Základ aritmu je větší než jedna nerovnost se při odaritmování zachovává x 0, = ( ;0, = ;0, = x pomocí nerovnic: x ; x a zároveň x Získali jsme dvě nerovnice, každou vřešíme zvlášť, ale protože musí platit obě najednou, x x x 0 x 0 Základ aritmu je větší než jedna Základ aritmu je větší než jedna nerovnost se při odaritmování zachovává nerovnost se při odaritmování zachovává x 0 x 000 = 0; = ( ;000 Hledáme průnik množin = 0; a = ( ;000 = = 0;000 Celkový výsledek získáme jako sjednocení z obou intervalů: = = 0, 00;0, 0;000 Př 6: Petáková: strana 8/cvičení d strana 8/cvičení d strana 8/cvičení b strana 8/cvičení 5 c strana 8/cvičení 8 d strana /cvičení 0 c Shrnutí: 5