[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206

Transkript

1 ..7 Soustavy lineárních nerovnic Předpoklady: 06 Pedagogická poznámka: První příklad je opakování, pokud se u někoho objeví problémy, je třeba je řešit před hodinou Př. : Urči předpis funkce f. Odhadni předpis funkce f. y y f f - x - x f f a) a) f : Funkce prochází body: [ 0, ] b = y = ax +, [ ;0] dosadíme do předpisu. a ( ) 0 = + a = a = f : y = x + f : Funkce protíná osu y mezi 0 a, přibližně v polovině b. Funkce je klesající, je strmější než přímka y = x a. f : y x + f : Funkce prochází body: [ 0, ] b = y = ax +, [ ;0 ] dosadíme do předpisu. a = f : y = x + f : Funkce protíná osu y poměrně blízko nad číslem b, 5. Funkce je klesající, je méně strmá než přímka y a. 5 y x + = x f : Nerovnice = podmínka, kterou musí splňovat čísla dosazovaná za neznámou. Soustava nerovnic neznámá musí vyhovovat více nerovnicím (více podmínkám). Budeme řešit jednotlivé nerovnice zvlášť a do konečného řešení vybereme čísla, která splňují všechny podmínky (tedy průnik řešení obou nerovnic).

2 Př. : Vyřeš soustavu nerovnic x + 0 x + 0. x + 0 x x = ( ; x + 0 x x = ; = = ( ; ; = Obrázek může být názornější zobrazíme čísla na ose: = - Př. : Vyřeš soustavu nerovnic x + 0 π x + 0 x + 0 x x = π x + 0 π x x π Zobrazíme čísla na ose: - =, Poznámka: Podstatně hezčí je předchozí příklad v situaci, kdy studenti nemají kalkulačku. Musejí pak sami odhadnout, které z čísel je menší, aby je mohli správně umístit na číselnou osu. V této souvislosti je zajímavé, že místo usměrněného tvaru je výhodnější tvar neusměrněný. Oba zlomky pak mají stejný čitatel a porovnáním jmenovatelů zjistíme, který je větší. Některé ze studentů splete i záporné znaménko. Př. : Vyřeš soustavu nerovnic x 7 0 x + > 0.

3 x 7 0 x 7 7 x x + > 0 x > x > Zobrazíme čísla na ose: = 7, 7 Př. 5: Vyřeš bez použití obrázků následující soustavy nerovnic: a) x > x x < x c) x x a) x > x = c) x x = ; x x x < x = ; ( ) Př. 6: Vyřeš soustavu nerovnic: x x > x <. Tentokrát se obrázek bude hodit. - = ; ( ) Pedagogická poznámka: Myslel jsem, že většina studentů sáhne po obrázku, ale téměř všichni příklad vyřešili zpaměti. Př. 7: Vyřeš soustavu nerovnic. a) x x x < + ( ) x + x + > x a) x x < x + Zápis představuje tři nerovnice: x x,

4 x < x +, x < x + (tuto nerovnici řešit nemusíme, její platnost vyplývá z platnosti předchozích. x x / + x < x + / + x x x / + x < x + / x / : 0 < x / : x = 0; ( ) =, x + x + > x Zápis představuje tři nerovnice: ( x ) + x +, x + > x, ( x ) ( x ) < = ( ) 0 x 0; + > x (tuto nerovnici řešit nemusíme, její platnost vyplývá z platnosti předchozích. + x + x + x + / + x x + / x 0x, protože, > 0, nerovnice nemá řešení = = x + > x Druhou rovnici nemá smysl řešit, protože první nerovnice nemá řešení a soustava tak řešení mít také nebude. Př. 8: Je dána soustava dvou nerovnic ax + b > 0 a cx + d 0. Doplň místo parametrů (písmen) libovolná čísla tak, aby řešením soustavy byla množina: a) ( ; ) ; c) ; ; ; a) ( ; ) d) ( ) ) Pokud má být řešením interval ( ; ) musí řešení nerovnic na obrázku vypadat například takto: Řešení nerovnice ax + b > 0 (ostrá nerovnost) je zakresleno zeleně, řešení nerovnice cx + d 0 je zakresleno modře x > ax + b = x > 0 (v úvahu připadá i jakékoliv jiné dosazení, které vede po úpravách k nerovnici x >, například x 6 > 0 ), x (například) cx + d = x 0 (v úvahu připadá i jakékoliv jiné dosazení, které vede po úpravách k nerovnici x k, kde k je libovolné číslo menší nebo rovno

5 , například 0,5x + 0, nebo dosazení, které vede na řešení = R, například 0x + 0 ). ; Pokud má být řešením interval ; musí řešení nerovnic na obrázku vypadat například takto: Řešení nerovnice ax + b > 0 (ostrá nerovnost) je zakresleno zeleně, řešení nerovnice cx + d 0 je zakresleno modře x cx + d = x 0 (v úvahu připadá i jakékoliv jiné dosazení, které vede po úpravách k nerovnici x, například x 0 ), x < (například) ax + b = x + > 0 (v úvahu připadá i jakékoliv jiné dosazení, které vede po úpravách k nerovnici x < k, kde k >, například x > 0, nebo 8 dosazení, které vede k řešení = R například 0x + 5 > 0 ). c) ; Pokud má být řešením interval ; musí řešení nerovnic na obrázku vypadat takto: Řešení nerovnice ax + b > 0 (ostrá nerovnost) je zakresleno zeleně, řešení nerovnice cx + d 0 je zakresleno modře x cx + d = x + 0 (v úvahu připadá i jakékoliv jiné dosazení, které vede po úpravách k nerovnici x, například 6x + 0 ), x < ax + b = x + > 0 (v úvahu připadá i jakékoliv jiné dosazení, které vede po úpravách k nerovnici x <, například x + > 0 ), d) ( ) ) ; ; Tato množina nemůže být nikdy řešení soustavy lineárních nerovnic. Zakreslíme části zadané množiny tak, jako by byly řešením jedno z nerovnic. 5

6 - aždý z intervalu je řešením jedné z nerovnic, ale řešením této soustavy je prázdná množina. Př. 9: Najdi všechny možnosti, jak může vypadat řešení soustavy dvou lineárních nerovnic s ostrou nerovností. U každé možnosti uveď příklad. Typ řešení Příklad = x >, x < 0 = ; a x <, x < ( ) = ( a; x >, x < = ( a; ) x >, x > 5 = R 0x <, 0x > Pedagogická poznámka: Následující příklad je určen pouze nejlepším žákům, rozhodně ho neukazuji většině třídy. Př. 0: Vyřeš soustavu nerovnic s parametrem x + a < x +, a x < a + x. x + a < x + / a a x < a + x / + x x < x + a / x a < a + x / a x < a = ( ; a) a < x / : a a < x = ; a a = ; a musí však platit, že < a (aby měl zápis intervalu smysl) dopočítáme, co tato podmínka znamená pro a: a < a / a < 6 a / + a a < 6 a Pokud je a < 6 je řešením soustavy interval ; a nemá. Př. : Petáková: strana 8/cvičení 8 a) c). Pokud je a 6, soustava řešení Shrnutí: Při řešení soustavy nerovnic hledáme hodnoty neznámé, které musí splnit najednou více podmínek (více nerovnic). 6