( ) Grafy mocninných funkcí. Předpoklady: 2414, 2701, 2702

Transkript

1 74 Graf mocninných funkcí Předpoklad: 44, 70, 70 Pedagogická poznámka: Hodina se skládá ze dvou částí V první nakreslíme opakováním základní metod graf několika odvozenin z mocninných funkcí V druhé části hodin ukazuji studentům další z metod kreslení některých funkcí Ideální b blo hodinu rozdělit na dvě části, ale stíháme to i takto Kreslení grafů převracecí metodou není z hlediska výuk příliš důležité, ale sled příkladů použitých v této hodině umožňuje velmi účinně odhalit jednu z nejčastějších chb, které studenti v matematice dělají otrocké napodobování předchozích výsledků bez pochopení logické podstat Na kreslení grafů převracecí metodou je třeba alespoň 0 minut Kdž víme, jak vpadají graf základních mocninných funkcí, můžeme metodou kreslení grafu obecné funkce kreslit i graf funkcí z nich odvozených Př : Nakresli graf funkce = x Jde o odvozeninu z funkce ( ) x f x = = Stejný postup jako vžd předtím Zvolíme x Nakreslíme funkci = f ( x) = x Nakreslíme funkci ( ) = x, přepíšeme pomocí x f ( x) = f x = x = f x = x Nakreslíme funkci ( ) = = Pedagogická poznámka: Příklad b neměl činit studentům problém, pokud činí je třeba rozlišit, jestli si jenom nepamatují, jak se graf obecně kreslí (častější případ) nebo

2 jestli nejsou schopni se dostatečně rchle orientovat v tom, že se základní funkce v každém příkladu mění Př : Nakresli graf funkce ( x ) 4 Jde o odvozeninu z funkce 4 ( ) ( ) = x + = f x + Stejný postup jako vžd předtím Zvolíme x Vpočteme x + = = x, přepíšeme pomocí x f ( x) Nakreslíme funkci = ( x + ) 4 = f ( x + ) Nakreslíme funkci = ( x + ) 4 = f ( x + ) Nakreslíme funkci ( x ) 4 f ( x ) = + = + = = Př : Nakresli graf funkce = + ( x ) Jde o odvozeninu z funkce x = + = f x + ( x ) ( ) Stejný postup jako vžd předtím Zvolíme x Vpočteme x Nakreslíme funkci = = f ( x ) x Nakreslíme funkci = = x =, přepíšeme pomocí f ( x) ( ) = + = f x + ( x ) ( )

3 Nakreslíme funkci = + = f x + ( x ) ( ) Je to pořád dokola, takže to není moc zajímavé Jediným problémem je určení správné základní funkce a přepsání předpisu pomocí f ( x ) Př 4: Nakresli graf funkce x x x = + Problém: Neznámá x je v předpisu vícekrát musíme upravit výraz, ab se vsktovala pouze jednou, ale to u funkcí, kde s všší než druhou mocninou nejde vžd necháme graf nakreslit počítač

4 I z obrázku je vidět, že nejde o normálně deformovaný graf funkce = x v tomto případě b se nám úprava na tvar s jediným výsktem neznámé asi nepovedla V některých případech můžeme přibližně nakreslit graf pomocí jiných metod, například pomocí Žílov převracecí metod Pedagogická poznámka: Následující příklad samozřejmě kreslím a vsvětluji na tabuli Snažím se však, ab co největší část kreslili studenti pokud možno samostatně Př 5: Nakresli graf funkce = x Pro splnění úloh vužij graf funkce = x Graf hledané funkce nakreslit neumíme, ale nakreslit graf funkce = x je snadné Hodnot požadované funkce = x získáme snadno z hodnot funkce = x jako jejich převrácenou hodnotu Nakreslíme graf funkce = x Procházíme hodnot funkce = x a hledáme k ním převrácená čísla Z nich získáme bod nového grafu V pro x = a x = má funkce = x hodnotu 0 K nule nelze nalézt převrácenou hodnotu pro x = a x = nemá graf funkce =, žádnou hodnotu (stejně jako x funkce = pro x = 0 ) x 4

5 Nejsnáze se hledá převrácená hodnota k, je to opět Na grafu najdeme x, pro která má funkce = x hodnotu Tto bod se po převrácení nepohnou Studujme bod napravo od pravého bodu s = Hodnot modré funkce = x jsou čím dál víc vpravo tím větší Převrácené hodnot, které z nich tvoříme, tak budou čím dál menší Studujme bod nalevo od pravého bodu s = směrem k bodu Hodnot modré funkce = x jsou čím dál víc vlevo tím menší Převrácené hodnot, které z nich tvoříme, tak budou čím dál větší Protože hodnot funkce = x se postupně blíží k nule, budou se hodnot funkce = blížit k nekonečnu x 5

6 Podobným způsobem můžeme nakreslit požadovaný graf kolem bodu s hodnotou v levé části grafu (navíc z předpisu je zřejmé, že hledaná funkce je sudá) Nní prozkoumáme graf pro x ( ;) V bodě x = 0 má funkce zůstane na místě = x hodnotu = Toto číslo se převrácením nezmění, bod Kdž se hodnot x zvětšují a blíží se zleva k, hodnot funkce = x, jsou záporná čísla s čím dál menší absolutní hodnotou Po převrácení z nich vzniknou záporná čísla s čím dál větší absolutní hodnotou 6

7 Podobně můžeme postupovat pro hodnot x zmenšující se postupně od 0 k Hodnot funkce = x, jsou čím více vlevo záporná čísla s čím dál menší absolutní hodnotou Po převrácení z nich vzniknou záporná čísla s čím dál větší absolutní hodnotou Tím je graf funkce = x hotový Naše řešení si ověříme pomocí počítače, který nakreslí funkce = a = x x 7

8 Př 6: Nakresli graf funkce = x + Graf funkce = nakreslíme podobně jako v předchozím příkladě pomocí grafu funkce x + = x + převracením hodnot Nakreslíme graf funkce = x Funkce = x + nemá nikde nulovou hodnotu funkce = x + všechna x je definována pro 8

9 Jedinou hodnotou x, pro kterou funkce = x + dosahuje hodnot jediným bodem grafu, který zůstává na místě, je bod [ 0; ] =, je x = Pro x ( 0; ) jsou hodnot funkce = x + čím dál větší čísla, hodnot funkce = musí být čím víc vpravo tím menší čísla graf se postupně blíží k ose x x Pro x ( ;0) jsou hodnot funkce = x + čím dál větší čísla, hodnot funkce = x + musí být čím víc vlevo tím menší čísla graf se postupně blíží k ose x (to samé ukazuje i fakt, že funkce = je sudá) x

10 Tím je graf funkce = x + hotový Počítačový obrázek vpadá takto: = + a = x + x Pedagogická poznámka: Předchozí příklad je velmi zajímavý tím, že rozdělí třídu (dík zásadní odlišnosti výsledku od předchozího příkladu) na dvě skupin Část studentů sleduje pravidlo o vrábění převrácených hodnot a graf zdárně 0; Studentům nakreslí Častou chbou je pouze ostrá špička grafu v bodě [ ] vsvětlím, proč se špička u výsledku neobjeví, ale jinak to příliš neřešíme, protože metoda neumožňuje tak přesné kreslení, takže chbu neudělali Druhá část studentů příklad nakreslí úplně špatně, v naprosté většině případů buď jako kopii výsledku z příkladu 5 posunutou o dvě výše (tak ab se opět potkával 0

11 graf výchozí a převrácené funkce) nebo graf funkce = x + Podle mých zkušeností tato chba hodně vpovídá o způsobu, jakým tito studenti uvažují (dosud jsme probírali vžd pouze jeden druh grafů, které jsme různě upravovali, ale základ zůstával stejný V případu 5 jsme probrali další takový tp a následující příklad budou procvičovat další variování tohoto vzoru) K takovému postupu není žádný logický důvod, kromě zkušenosti zatím to tak, vždck blo Právě kvůli ní je však hluboce přirozený!!! Snažím se těmto studentům vsvětlit, že odkaz na minulou zkušenost je určitě dobrý, ale pokud jde proti logice, musí se ho alespoň v matematice vzdát Obecně jde o to, že většina studentů, kteří nakreslí příklad špatně, více než na logické důvod spoléhá na otrocké napodobování Snažím se jim vsvětlit, že jde o zásadní chbu v přístupu, která způsobuje daleko více problémů než to, kdž se třeba nenaučí tvar grafů mocninných funkcí Př 7: Nakresli graf funkce = ( x ) Graf funkce = funkce ( x ) nakreslíme podobně jako v předchozích příkladech pomocí grafu ( x ) =, převracením hodnot Obtížnější než v předchozích příkladech bude konstrukce výchozího grafu ( x ) Konstrukce grafu ( x ) Zvolíme x Vpočteme x = = Nakreslíme funkci = ( x ) = f ( x ) Nakreslíme funkci ( x ) f ( x ) = = Konstrukce grafu funkce = ( x )

12 Procházíme hodnot funkce ( x ) získáme bod nového grafu Nejdříve najdeme bod, kde má funkce ( x ) = a hledáme k nim převrácená čísla Z nich převrácenou hodnotu v těchto bodech nemá graf funkce (svislé červené čárkované čár) V graf najdeme bod, ve kterých se hodnota funkce = hodnotu 0 K nule nelze nalézt = = ( x ) žádnou hodnotu ( x ) rovná nebo (vodorovné červené čárkované čár) Čísla a se rovnají svým převráceným hodnotám Nalezené bod se po převrácení nepohnou Studujme bod napravo od pravého bodu s = Hodnot modré funkce ( x ) = jsou čím dál víc vpravo tím větší Převrácené hodnot, které z nich tvoříme, tak budou čím dál menší Hodnot funkce ( x ) funkce = ( x ) = se postupně blíží k nekonečnu, převrácené hodnot se budou blížit nule Hodnot modré funkce = x pro x nalevo od pravého bodu s = směrem k pravé svislé červené čáře jsou čím dál víc vlevo tím menší Převrácené hodnot, které z nich tvoříme, tak budou čím dál větší Protože hodnot funkce ( x ) k nule, budou se hodnot funkce = ( x ) Podobně vřešíme situaci na levé straně grafu blížit k nekonečnu = se postupně blíží

13 Vtvoříme prostřední část grafu, mezi svislými červenými čarami Nejmenší hodnotu má funkce pro x =, kde je = Převrácená hodnota k je 0,5 Takto jsme získali bod grafu =, tento bod vznikl převrácením nejmenší hodnot x ( ) v této části, bude ted v této části nejvšší hodnotou Kdž se hodnot x zvětšují a blíží se zleva k červené čáře, hodnot funkce ( x ) = jsou záporná čísla s čím dál menší absolutní hodnotou Po převrácení z nich vzniknou záporná čísla s čím dál větší absolutní hodnotou Podobně můžeme postupovat pro hodnot x zmenšující se postupně od k levé červené svislé čáře Hodnot funkce ( x ) = jsou čím více vlevo záporná čísla s čím dál menší absolutní hodnotou Po převrácení z nich vzniknou záporná čísla s čím dál větší absolutní hodnotou

14 Počítačový obrázek vpadá takto: ( x ) = a = ( x ) Př 8: Petáková: strana 57/cvičení d) strana 57/cvičení f4, f 6 strana 57/cvičení g, g 4 strana 57/cvičení 5 m strana 57/cvičení 7 s Shrnutí: I některé graf odvozené z grafů základních mocninných funkcí můžeme kreslit metodou napodobení výpočtu U dalších můžeme požít převracení hodnot 4