4.3.3 Goniometrické nerovnice I

Transkript

1 4 Goniometrické nerovnice I Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné Po vyřešení prvních čtyř příkladů nechávám studentům svobodu volby Při řešení nerovnic, které obsahují tg nebo cotg používáme grafy funkcí V této hodině se projeví, jak jsou na tom studenti opravdu s představami o zachycení goniometrických funkcí v jednotkové kružnici Pokud se objeví tyto problémy, je třeba nejdříve odstranit je a pak se teprve zabývat nerovnicemi Goniometrické funkce (zejména sinus a cosinu) mají něco společného s kvadratickou funkcí nejsou prosté řešení goniometrický nerovnic probíhá podobně jako řešení kvadratických nerovnic ve dvou krocích: vyřešíme rovnici kořeny získané v předchozím kroku využijeme k nakreslení obrázku nebo vynesení do grafu, podle kterého rozhodneme o řešení nerovnice Př : sin x Umíme vyřešit rovnici s pomocí obrázku sin x = Nakreslíme jednotkovou kružnici a vyřešíme nerovnost - S x x Řešení rovnice x =, x = π - Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která sin x mají y-ovou souřadnici větší (nebo rovnou) jsou výše (nebo stejně vysoko) než čísla vyhovující rovnici sin x =

2 - S x x Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ; π - Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval K = + k π; π + k π + k π; π + k π Př : y = cos x cos x Kromě jednotkové kružnice využij i graf funkce Umíme vyřešit rovnici cos x = x x - S Řešení rovnice x = π, x = π - Na jednotkové kružnici hledáme čísla, pro která cos x mají x-ovou souřadnici menší (nebo rovnou) jsou více vlevo (nebo stejně vlevo) jako čísla vyhovující rovnici cos x =

3 x x - S Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π ; π - Kontrola pomocí grafu funkce Do grafu vyznačíme hodnotu y = cos x y = : x x - Na ose x hledáme čísla, pro která rovny) cos x hodnoty funkce jsou menší (nebo jsou jsou níže (nebo stejně nízko) jako body přímky Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu π π ; Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval K = π + k π; π + k π y = π + k π; π + k π Pedagogická poznámka: U slabších studentů povoluji, aby ve všech následujících příkladech používali metodu, která je pro ně jednodušší

4 Př : sin x > Při řešení využij obrázek jednotkové kružnice - S x x Základní řešení rovnice 4 5 x = π, x = π sin x = - Hledáme čísla, pro která sin x > mají y-ovou souřadnici větší než jednotkové kružnici výše než čísla vyhovující rovnici sin x = leží na - S x x - Vybarvená čísla nemůžeme zapsat intervaly: 5 4 π ; π (v intervalu píšeme vždy nejdříve menší číslo) 4 5 π ; π (ten obsahuje mimo krajní body čísla, která nejsou řešením nerovnice) použijeme pro jeden z krajních bodů číslo, které není v intervalu 0;π ) dvě možnosti: 5 π π = π získáme interval 4 π ; π, 4

5 π + π = π získáme interval π ; π Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o π Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval 4 K = π + k π; π + k π 4 π + k π; π + k π Př 4: cos x Při řešení využij graf funkce y = cos x π 7 ovnice cos x = má v intervalu 0;π dvě řešení: x =, x = π Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu 0,5-0,5 - Řešení v intervalu 0;π ) bychom museli zapsat pomocí dvou intervalů Zápis se značně zjednoduší, když vybereme čísla mimo interval 0;π ) : π 7 0; π;π π π řešení pomocí intervalu kolem 0 ;, 7 9 řešení pomocí intervalu kolem π π ; π Oba předchozí intervaly jsou navzájem posunuté o π π π Hodnoty se opakují s periodou π řešením je každý interval + k π; + k π π π K = + k π ; + k π 5

6 Př 5: tg x > π π ovnice tg x = má v intervalu ; jediné řešení: π x = Nakreslíme graf funkce y = tg x a zobrazíme do něj hodnotu - π π π π Řešení v intervalu ; můžeme zapsat jako ;, hodnoty funkce tg y = x se π π opakují s periodou π K = + k π; + k π Př 6: cotg x ovnice cotg x = má v intervalu ( 0;π ) jediné řešení: Nakreslíme graf funkce a zobrazíme do něj hodnotu x = π 4 6

7 Řešení v intervalu ( 0;π ) můžeme zapsat jako opakují s periodou π 0; π, hodnoty funkce y = cotg x se 4 K = 0 + k π; π + k π 4 Př 7: Petáková: strana 55/cvičení 6 a) b) Shrnutí: Při řešení goniometrických nerovnic využíváme grafy goniometrických funkcí (nebo znázornění pomocí jednotkové kružnice) a řešení odpovídajících goniometrických rovnic 7