2.6.5 Další použití lineárních lomených funkcí

Transkript

1 .6.5 Další použití lineárních lomených funkcí Předpoklady: 60, 603 U předchozích funkcí jsme měli vždy s funkcemi rovnice existují lineární lomené rovnice a nerovnice? Jak by vypadaly? Například takto: = nebo. x x To už známe, umíme je řešit, jen jsme jim neříkali lineární lomené. Pedagogická poznámka: První čtyři příklady nechám studenty počítat bez společné kontroly, aby si nevšimli, jak důležité je dělat podmínku. Při řešení třetího příkladu většina studentů zapomene na podmínku a získá řešení, které se jim nepodaří v grafickém řešení najít. Řešení vzniklého rozporu nechávám nejdříve na nich, mnozí na svoji chybu přijdou. Při kontrole příkladu je třeba upozornit na prázdné kolečko pro x = i na fakt, že funkce, která vypadala jako lineární lomená se ve skutečnosti projevila jako konstantní (i když z omezeným definičním oborem). Př. : Vyřeš rovnici =. x = x / = x x = K = { } ( x ) podmínka: x 0 x Proč podmínka? Nesmíme dělit nulou Teď zkusíme použít grafy: Př. : Vyřeš graficky rovnici =. x Hledám průsečíky grafů funkcí y = x a y =.

2 - - Z grafů je vidět, že podmínku píšeme proto, že funkce na levé straně nemá pro x =, žádnou hodnotu a tudíž nemůžeme porovnávat hodnotu levé funkce s hodnotou pravé funkce. Pedagogická poznámka: Někteří studenti nakreslí graf funkce nulové hodnoty. y = x a hledají jeho Př. 3: Vyřeš rovnici x =. x x = x / ( x ) podmínka: x 0 x x = x x = K = - hodnotu pro x zakazuje podmínka Jak je to možné, že vyšla zakázaná hodnota? x = je řešením rovnice x = x rovnici x =, můžeme na rovnici x = x pouze, když x 0 x. x Podmínka je důležitá! Př. : Vyřeš graficky rovnici x =. x x Hledám průsečíky grafů funkcí y = a y =. x x x Předpis první funkce musíme upravit y = = = x x x

3 - - Oba grafy se neprotínají, rovnice nemá řešení. Př. 5: Vyřeš nerovnici. x x podmínka: x - potřebuju násobit výrazem ( x ), který může měnit znaménko musím řešení rozdělit na dva intervaly x > 0 x > x ; ( x = nezahrnuji, je vyloučené podmínkou) ) ( ) x (násobím záporným výrazem - otočení znaménka) x K = ;) ( ) x ( ; ) x x K = ; ) ( ) ) K = K K = ; ; Př. 6: Vyřeš graficky nerovnici. x Zjišťuji, kdy je graf funkce y = x pod grafem funkce y =. 3

4 - - ( ;) ; ) K = Př. 7: Nakresli graf funkce y = +. x Zdánlivě úplně neznámý typ funkce. Zkusíme výraz upravit: y = + x 0 x x x + x + y = + = + = + = + = + = + + = + x x x x x x x x To nakreslit dokážeme. Platí: y = + = f ( x ) + x Zvolím x Vypočtu x Nakreslím funkci y = f ( x ) = x Nakreslím funkci y = f ( x ) + = + x y - x

5 Pozor: Kvůli původnímu předpisu platí x 0 naše funkce nemůže mít hodnotu pro x = 0. Funkce y = + a funkce y = x + nejsou to samé, mají různé definiční obory. x Pedagogická poznámka: Většina studentů přijde na nutnost úpravy předpisu, ale zapomenout vyloučit x = 0 z definičního oboru. Nakreslím na tabuli graf funkce y = x + a řeknu studentům, že to není správný výsledek (ale že také není úplně špatný). Př. 8: Zjisti, jak ovlivňuje hodnota parametru a graf funkce x + a y =. x + x + a x + + a x + + a a Upravíme si předpis funkce: y = = = + = + x + x + x + x + x + Parametr a vystupuje v předpisu funkce v čitateli ovlivňuje jak moc je funkce přimáčknutá k asymptotám Pro a = získáme funkci y = + = x + Několik grafů pro několik hodnot parametru a: y a=3 a=0 a= - x a=0,5 Než definitivně skončíme musíme si poradit s jedním nedodělkem. Tato hodina je poslední o lineárně lomených funkcích, ale zatím jsme ještě nesestavili obecnou definici lineární lomené funkce. Něco jako definice kvadratické funkce (kvadratická funkce je každá funkce, kterou je možné zapsat ve tvaru y = ax + bx + c, kde a 0 ). ax + b Návrh: y = cx + d. Není třeba přidat nějaké podmínky? c 0 - aby x nezmizelo ze jmenovatele x Ještě jeden problém, zlomek se nesmí zkrátit jako u funkce y = čitatel a x jmenovatel nesmí být možné zkrátit. 5

6 b a x + ax + b a b d y = = x + x + cx + d d a c c x + c b d Násobíme ac za předpokladu, že je různé od nuly! a c bc da Jaký bude definiční obor? d Vše, pokud ve jmenovateli není nula cx + d 0 x. c d Lineární lomená funkce je každá funkce na množině R c ax + b y = cx + d, kde c 0 a bc da. zadaná ve tvaru Pedagogická poznámka: Jedním z cílů hodiny je vyzkoušet (a studentům to říkám), jaký mají postřeh na zajímavé věci. Jde hlavně o to jestli si všimnou v příkladu zmenšení definičního oboru (použito znovu v příkladu 6) a vykrácení zlomku (použito při sestavování definice lineárně lomené funkce). Aby na sestavování definice zbylo dost času je nutné skončit s počítáním příkladů nejpozději 5 minut před koncem hodiny (spíše však dříve). Př. 9: Petáková: strana 58/cvičení b) c) strana 58/cvičení 3 strana 58/cvičení 5 c) d) Shrnutí: Graf lineární lomené funkce můžeme využít při řešení některých rovnic nebo nerovnic. 6