Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová"

Transkript

1 Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová

2 Obsah 1 Kuželosečk Kružnice Tečnakekružnici lipsa Rovniceelips Tečnakelipse Konstrukceelips Parabola Rovniceparabol Tečnakparabole Konstrukceparabol Hperbola Rovnicehperbol Tečnakhperbole Konstrukcehperbol

3 1 Kuželosečk Jak název napovídá, kuželosečk dostaneme, sekneme-li kuželovou plochu nějakou rovinou. Kuželová plocha je rotační a sečná rovina neprochází ani osou kuželové ploch(to bchom dostali pouze dvě různoběžk) ani jejím vrcholem(to b výsledkem bl jediný bod právě tento vrchol). To, jaká kuželosečka vznikne, závisí na vzájemné poloze sečné rovin a os kuželové ploch. Je-li rovina kolmá k ose, vznikne kružnice. Budeme-li zmenšovat úhel ψ mezi rovinou a osou, kružnice přejde v elipsu. Dalším stáčením sečné rovin(zmenšováním úhlu ψ) se elipsaprotahujeavokamžiku,kd ψnabdehodnot ϕ,tj.rovinajerovnoběžnásnějakou površkou kuželové ploch, je sečnou křivkou parabola. Jestliže ψ < ϕ, protne rovina obě části kuželové ploch a výsledkem bude hperbola. V dalším tetu probereme jednotlivé kuželosečk podrobněji. 1.1 Kružnice Kružnici jsme získali jako průsečnici rotační kuželové plocharovinkolmékoseploch.(tejnětakjsmemohli seknout jakoukoli jinou rotační plochu rovinou kolmou k její ose.) Umístíme-li kružnici o poloměru r do soustav souřadnic tak,žestředležívpočátku,budemítrovnici: = r 2. Kružnicesestředemvbodě [m,n]márovnici: ϕ ( m) 2 +( n) 2 = r 2. Obecná rovnice kružnice je: obr a+b+c=0, kde a 2 +b 2 4c >0. Zdejestřed [ a ] 2 ; b a 2 +b 2 4c apoloměr r= Tečna ke kružnici Mámekružnicisestředem [m;n]apoloměremranakružnicibod T[ 0 ; 0 ].Rovnice tečnkekružnicivedenábodem Tmátvar: ( 0 m)( m)+( 0 n)( n)=r 2. Bstrý čtenář si všimne, že rovnice tečn je podobná rovnici kružnice, pouze jedno ve výrazu ( m)( m)rovnicekružniceblonahrazeno 0 aobdobnějedno v( n)( n)se zaměniloza 0. 3

4 Příklad 1 Kružnicejedanárovnicí: =8.Nalezněterovnicetěchtečendanékružnice, kteréjsourovnoběžnéspřímkou p: 2+3=0. Řešení Nejprve určíme bod dotku hledaných tečen. Jsou to průsečík kružnice s přímkou q, která prochází středem kružnice a je kolmá k přímce p. třed kružnice má souřadnice[4/2; 2/2] = [2; 1],takžepřímkaqmárovnici: 3( 2) 2(+1)=0. Průsečík přímk a kružnice najdeme vřešením soustav rovnic: 3 2 = 8, upravenárovnicepřímk q = 8. Z první rovnice vjádříme a dosadíme do druhé rovnice. Po úpravě vjde: 2 4=0, ztoho 1 =0, 2 =4. Boddotkujsouted T 1 [0; 4], T 2 [4;2].Amůžemepsátrovnicetečen: t 1 : 2( 0)+3(+4)=0, t 1 : =0, t 2 : =0. t 2 : 2( 4)+3( 2)=0,cožupravenodá 1.2 lipsa lipsajedalšízkuželoseček.jetozároveň válcosečka, tj. průsečnice rotační válcové ploch a rovin, která není ani kolmákoseplochanisnírovnoběžná. ψ Geometrická definice říká, že elipsa je množina bodů X vrovině,kterémajíoddvoudanýchbodů, (ohnisek) konstantní součet vzdáleností, X + X =k. ϕ Z definice elips plne, že je to křivka smetrická podle dvouossmetrie.jednaosaprocházíohnisk,,říkáse jí hlavníosa,druhájekníkolmáaprocházístředemúsečk ;nazývásevedlejšíosa. Bod A, Bnaobrázku3senazývají hlavnívrchol elips, bod C, D jsou vedlejší vrchol elips, je její obr.2 střed. Vzdálenost hlavního vrcholu od středu elips se nazývá hlavní poloosa, značí se písmenkem a, vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elips je vedlejší poloosa, značí se b a vzdálenost ohniska od středu elips je ecentricita neboli výstřednost, značí se e. pojnice libovolného bodu M elips s ohnisk se nazývají průvodiče bodu M. 4

5 D a b M A e B obr.3 C Z obrázku je patrné, že konstanta k v definici elips je rovna dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a,neboť k= A + A =( A )+ A + =2 A =2a.Takže bod elips splňují: X + X =2a, kde a > e. (1) Toznamená,že D = D =aazpravoúhléhotrojúhelníka Ddostávámevztahmezi a, b, e: e 2 +b 2 = a 2. (2) Rovnice elips Odvodíme nní rovnici elips pro případ, kd elipsa je umístěna do soustav souřadnic tak, že střed elips splývá s počátkem a os elips jsou v osách soustav souřadnic. Předpokládáme,žehlavnípoloosajea,vedlejšípoloosajebaecentricitaje e= a 2 b 2.Ohniska majísouřadnice [ e,0], [e,0]aobecnýbodelipsje M[,].Dosadímedorovnice(1): (+e) ( e) =2a. A máme rovnici elips s hlavní poloosou a a ecentricitou e. Rovnici ještě převedeme na jednodušší tvar. Povýšíme na druhou a upravíme: (+e) ( e) =2a e 2. Dalším umocněním se zbavíme odmocnin a sečteme, co se sečíst dá. Získáme rovnici: 2 (a 2 e 2 )+a 2 2 = a 2 (a 2 e 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(2)acelourovnicivdělímesoučinem a 2 b 2.Výsledkemje rovniceelipssestředemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2+ 2 b2=1, kde a b >0. 5

6 tejnárovnice,kdeale b a >0,jerovněžrovniceelips(avšaktentokrátpostavené nahlavičku ). Hlavnípoloosajenní b,vedlejšíje aaohniskovávzdálenostje e= b 2 a 2.Ohniskaležínaose.Pokud a=b,je e=0,ohniskasplnousestředemadostaneme kružnici. Je-li elipsa umístěna v soustavě souřadnic tak, že os elips jsou rovnoběžné s osami soustav souřadnic, ale nemusí s nimi splývat(tj. střed nemusí být totožný s počátkem), je rovnice elips: obr.4 tzv. středový tvar rovnice elips, [m; n] je střed elips. ( m) 2 ( n)2 a 2 + b 2 =1, (3) n n obr. 5a) m obr. 5b) m Pro a b >0ležíohniskanavodorovnéose(obr.5a)amajísouřadnice [m a 2 b 2 ;n], [m+ a 2 b 2 ;n]. Jestližeplatíopačnánerovnost b a >0,ohniskaležínasvisléose(obr.5b), [m;n a 2 b 2 ], [m;n+ a 2 b 2 ]. Na závěr uvedeme obecnou rovnici elips: A 2 +B 2 +C+D+=0. Ab rovnice představovala vůbec nějakou křivku, musí být splněno: aoelipsupůjdevpřípadě,že A B >0. C 2 4A + D2 >0 4B 6

7 Příklad 1 lipsa je dána rovnicí: =0. Nalezněte středový tvar rovnice elips, určete souřadnice ohnisek, načrtněte obrázek. Řešení Zvýrazů2 2 4, vtkneme2a3adoplnímenačtverec: 2( 1) 2 +3(+2) 2 =2+12 2, dále vdělíme pravou stranou obr.6 ( 1) (+2)2 4 =1. Získali jsme rovnici elips ve středovém tvaru. Z ní můžeme včíst souřadnice středu [1; 2]avelikostpoloos: a= 6, b=2.potom e= 6 4= 2,takžeohniskamajísouřadnice [1 2; 2], [1+ 2; 2] Tečna k elipse Geometrick je tečna k elipse osou vnějšího úhlu průvodičů bodu dotku, viz obr. 7. Říkáme, že tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Analtick podobně jako u kružnice stačí ve středové rovnici(3) elips nahradit jedno,resp. písmenkem 0,resp. 0,kde[ 0, 0 ]jsousouřadnicebodudotku,arovnicetečn jetu: ( 0 m)( m) a 2 + ( 0 n)( n) b 2 =1. (4) T Q t obr.7 7

8 Odvozenírovnicebdalotrochupráce.Vjdesezpodmínk,žetečnakelipsemá s elipsou jediný společný bod(matematick příslušná kvadratická rovnice má jediné řešení, tj. diskriminant je roven nule) a dále bod dotku musí ležet na elipse, tj. jeho souřadnice 0, 0 musísplňovatrovnicielips. Příklad 2 Jedánaelipsa: =6apřímka t: = /2+q.Určetehodnotuqtak,ab přímka t bla tečnou zadané elips, a nalezněte souřadnice bodu dotku. Řešení Hodnotuq určímezpodmínk,žetečnamáselipsouspolečnýjedinýbod.hledámeted průsečík přímk t a elips a požadujeme, ab příslušná úloha měla pouze jedno řešení. Jinými slov řešíme soustavu: =6 Z druhé rovnice dosadíme do první: = /2+q 2 +2( 2 /4 q+q 2 )+4 2+4q=6 aupravíme 3 2 +( 4q+4)+4q 2 +8q 12=0. (1) T 1 t 1 Dostali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou (souřadnici bodu dotku) s parametrem q. Hodnota parametru musí být taková, ab získaná kvadratická rovnice pro tutohodnotuqmělajedinéřešení.toznamená, že diskriminant rovnice musí být roven nule: obr.8 T 2 t 2 D=16q 2 32q+16 48q 2 96q+144=0. Rovnici postupně upravíme: 32q 2 128q+160 = 0/:( 32) q 2 +4q 5 = 0. Hledanáq jsou: q 1 =1, q 2 = 5.Danáelipsamáteddvěvzájemněrovnoběžnétečn orovnici = /2+q.Prvníje t 1 : = /2+1,druhá t 2 : = /2 5.-ové souřadnice bodů dotku získáme vřešením rovnice(1) pro vpočtené hodnot parametru q, -ové dopočteme z příslušných rovnic tečen: q=1: =0 =0, = 0/2+1=1. q= 5: =0 = 4, =4/2 5= 3. Boddotkujsou T 1 [0;1], T 2 [ 4; 3]. 8

9 1.2.3 Konstrukce elips Povíme si, jak sestrojit elipsu, známe-li velikosti poloos a, b. Jeden způsob je tzv. proužková konstrukce. Proužková, protože při ní můžeme použít vhodně upravený proužek papíru, ale stejně dobře poslouží třeba pravítko. Na proužku papíru délk a si vznačíme délku b podle obrázku. Nní pohbujeme proužkem a vezvolenésoustavěsouřadnictak,žebod Y seposouvápoose, b bod Xpooseabod Mopisujeelipsu. Y X M Jiná konstrukce bere na pomoc oskulační kružnice. To jsou kružnice,kterémajívdanémboděkřivkskřivkouspolečnoutečnuavblízkémokolíbodu jsou stejnězakřivené,takževokolízmíněnéhobodukřivkaaoskulačníkružnicepraktick splývají.(geometři to definují přesněji, ale m si vstačíme s tímto vmezením.) Budeme používat pouze oskulační kružnice ve vrcholech elips. Jak získáme jejich střed M apoloměr,jevidětzobrázku10.trojúhelník BD doplníme na obdélník BDP. X estrojímeúhlopříčku DBazbodu P na níkolmici.taprotnehlavníosuvbodě O 1, Y středuoskulačníkružnicevbodě Bavedlejšíosuvbodě O 2,středuoskulačníkružnice v bodě D. Poloměr těchto oskulačních kružnicjsou 1= O 1 B, 2= O 2 D. obr.9 V místech, kde oskulační kružnice již elipsu špatně aproimují(odchlují se od ní), můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice. Na úsečce AB si zvolíme pomocný bod X, čili AX + XB = 2a a sestrojíme kružnicové oblouk k 1 (, r 1 = AX ), k 2 (, r 2 = XB ).Průsečíkkružnicjsoubodelips-taktodostaneme dvabodelipsadalšídvazískámezáměnouohnisekcobstředůkružnic(naobr.10jsou kvůli přehlednosti konstrukce sestrojené pouze první dva bod). D P A X O 1 B C obr. 10 O 2 9

10 1.3 Parabola ϕ Další v pořadí kuželoseček je parabola. Jak již blo zmíněno, je to průsečnice kuželové ploch a rovin, která je rovnoběžná právě s jednou površkou(přímkou kuželové ploch), tj. ψ=ϕ.narozdílodkružniceaelipsjeparabolaotevřená křivka. ϕ Geometrická definice: Parabola je množina bodů v rovině, jejichž vzdálenost od pevné přímk d je stejná jako vzdálenostodpevnéhobodu,kterýnapřímceneleží Xd = X. Přímce dseříkářídícípřímka,bod jeohnisko. Parabola má jednu osu smetrie(přímka o na obrázku 12),kteráprocházíohniskemajekolmákřídícípřímce.Vpolovině vzdálenosti mezi ohniskem a řídící přímkou leží vrcholparabol V.pojnice Ma MQ,kde Qjepatakolmice obr. 11 zbodu nařídícípřímku dabod Mobecnýbodparabol, jsouprůvodičebodu M.Vzdálenost d seobvkleznačí písmenem p a nazývá se parametr parabol(v některých učebnicích půlparametr). Q d M V o obr Rovnice parabol Umístíme parabolu do soustav souřadnic tak, že osa parabol splývá s osou, vrchol je v počátku a ohnisko leží napravo od řídící přímk. Vzdálenost ohniska od řídící přímk označíme p,toznamená,žesouřadniceohniskajsou [p/2;0],arovniceřídícípřímk dje: = p/2.proobecnýbod M[,]tedplatí. Md = M, 10

11 +p/2 = ( p/2) / 2, 2 p 2 p 2 +p+ 4 = 2 p+ 4 +2, 2 =2p. (1) Rovnice(1)jerovnicíparabolsvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnapravood vrcholu(obr. 13a).(Říkáme, že parabola je otevřená směrem doprava.) Pokud na pravé straně rovnice(1) změníme znaménko, 2 = 2p. (2) získámerovniciproparabolusvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnalevoodvrcholu (obr. 13b)- parabola je otevřená doleva. V V obr. 13a) obr. 13b) Leží-li osa parabol v ose, vrchol opět v počátku, dostaneme další dvě možnosti; parabola otočená nahoru(obr. 14a)) a parabola otočená dolu(obr. 14b)). Příslušné rovnice jsou: 2 =2p 2 = 2p V V obr. 14a) obr. 14b) Jestliže jevrcholparabolvbodě V[m;n]aosarovnoběžnásosou,jeparabola popsána rovnicí(3)(obr. 15- odpovídá znaménku plus v rovnici(3)), v případě os rovnoběžné s osou rovnicí(4). Rovnice se nazývají vrcholové rovnice parabol. ( n) 2 = ±2p( m) (3) ( m) 2 = ±2p( n) (4) 11

12 ( n) 2 =2p( m) V n o m obr.15 Parabola může být zadána rovněž obecnou rovnicí: kdebuď A=0, B 0, C 0,nebo B=0, A 0, D 0. A 2 +B 2 +C+D+=0, (5) Příklad 1 Parabolajedánarovnicí =0.Určetesouřadnicevrcholu,souřadniceohniska, rovnici os parabol a rovnici řídící přímk, načrtněte obrázek. Řešení Protoževrovnicijekvadratickýčlenvproměnné,budeosaparabolrovnoběžnásosou. Abchom zjistili souřadnice vrcholu, převedeme rovnici na vrcholový tvar(bude odpovídat rovnici(3)). Dvojčlen doplnímenačtverec aprovedeme další potřebné úprav: 3 ( ) +5 2=0, o ( ) = 5+2, ( ) 4 3 = 5+2, ( obr ) 2 = Z pravé stran poslední rovnice vtkneme 5 a poté rovnici vdělíme 3. Výsledkem je rovnice zadané parabol ve vrcholovém tvaru: ( + 2 ) 2 = 5 ( 2 ),

13 Zposlednírovnice včteme,žeparabolajeotevřenádoleva(znaménkominuszarovnítkem), hodnotaparametruje p= 5 [ ] 2 6 (srovnejsrovnicí(3))asouřadnicevrcholujsou V 3 ; 2.Nní 3 můžeme určit [ souřadnice ohniska. Protože ohnisko leží nalevo od vrcholu, je [m p/2; n], 1 včísleno 4 3] ; 2.Řídícípřímkamárovnici = m+p/2, tj. = arovniceos parabolje = Tečna k parabole tejně jako u elips tečna k parabole půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Průvodiče jsouzdejednakkolmicezbodu T nařídícípřímku(vobr.17jetospojnice QT),jednak spojnice T. Analtické vjádření tečn dostaneme podobně jako u kružnice a elips. Rovnici parabol ve vrcholovém tvaru: t ( n) 2 =2p( m), d T nejprve přepíšeme na tvar Q ( n)( n)=p( m)+p( m). (6) Nníjedno napravéstraněrovnice(6)ajedno na levéstraněnahradímepříslušnousouřadnicí 0 resp. 0 bodu dotku. Získáme tak rovnici tečn: ( 0 n)( n)=p( 0 m)+p( m) (7) obr.17 Analogick se dostanou rovnice tečen pro další tři tp parabol. Parabola o rovnici: ( n) 2 = 2p( m), mávbodě T[ 0 ; 0 ]tečnuvjádřenourovnicí: ( 0 n)( n)= p( 0 m) p( m). (8) Předešlé se týkalo parabol s osami rovnoběžnými s osou. Parabol s osami rovnoběžnýmisosou jsoupopsánrovnicí: a jejich tečn mají analtické vjádření: ( m) 2 = ±2p( n) ( 0 m)( m)=±p( 0 n)±p( n), (9) přičemž znaménku plus v rovnici parabol odpovídá znaménko plus v rovnici její tečn a totéž pro znaménko minus. 13

14 Příklad 2 Parabolajedánarovnicí2(+1)=( 2) 2.Určeterovnicevšechpřímek,kteréprochází bodem M[5/2; 2]amajísparabolouprávějedenspolečnýbod. Řešení Načrtneme-li si obrázek(obr. 18), je zřejmé, že M je vnější bod parabol(vrchol parabol je V[2; 1],osajerovnoběžnásosou aparabolajeotevřenánahoru). To znamená, že hledané přímk budou tři, dvě tečn a jedna přímka rovnoběžná s osou parabol. Rovnici té m poslední přímk(označíme ji m) můžeme napsat ihned; m: = 5 2. t 1 t 2 T 2 [ ] 5 Průsečíkpřímk maparaboljebod M 2 ; 7,jeho 8 -ovou souřadnici jsme vpočítali z rovnice parabol. Rovnice tečen mají tvar(viz rce(9) kap ): obr.18 T 1 M ( 0 +1)+(+1)=( 0 2)( 2), (1) kde[ 0 ; 0 ]je(zatímneznámý)boddotku.prourčení jeho souřadnic potřebujeme dvě rovnice. Jedna z nich je daná podmínkou, že bod dotku leží na parabole: 2( 0 +1)=( 0 2) 2. A druhou dostaneme z požadavku, ab tečna procházela bodem M[5/2; 2], tj. ( 0 +1)+(( 2)+1)=( 0 2)( 5 2 2), cožupravenodá: 0= Řešíme ted soustavu rovnic: 0 = , (2) 2( 0 +1)=( 0 2) 2 (3) Z rovnice(2) dosadíme do rovnice(3): 2( )=( 0 2) 2, 0 = , =0 { 01 =1 a z rce(2) 01 = 1/2 02 =4 02 =1. Získalijsmeboddotku T 1 [1; 1/2], T 2 [4;1].Rovniceodpovídajícíchtečendostanemedosazenímsouřadnicbodůdotkudorovnice(1).Vjde t 1 : = +1/2, t 2 : =

15 1.3.3 Konstrukce parabol Předpokládáme, že je zadáno ohnisko parabol a řídící přímka. estrojíme osu parabol (procházíohniskemajekolmákřídícípřímce)avznačíme d vrchol parabol(leží na ose a půlí vzdálenost V O mezi ohniskem a řídící přímkou). Oskulační kružnice vevrcholumástřed(označímeho O)naose,poloměr r=2 O =pasamozřejměprocházívrcholem. Tam, kde se oskulační kružnice již výrazně odchluje od parabol, můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice(bod parabol musí mít od řídící přímk stejnou vzdálenost jako od ohniska). Zvolíme si ted nějakou vzdálenost v a sestrojímerovnoběžkuqsřídícípřímkouvevzdálenostivod řídícípřímk.abbodmležícínapřímceqblzároveň bodemparabol,musísplňovat M =v.toznamená, obr.19 žejeprůsečíkempřímkqakružnicek(;r= v).takto získáme vžd dvojici bodů parabol souměrných podle její os. 1.4 Hperbola Poslední z kuželoseček hperbolu dostaneme, jak již blo psáno, protneme-li kuželovou plochurovinou,kterásvírásosouplochúhelmenší,nežje úhelmeziosouapovrškamikuželovéploch(0 ψ < ϕ). Hperbola stejně jako parabola není uzavřená křivka, ale na rozdíl od parabol má hperbola dvě vzájemně oddělené části větve. Geometrická definice: Hperbola je množina ϕ bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností(braný v absolutní hodnotě). Tj. obecný bod X hperbol splňuje: X X =k, (1) ψ kde0<k<.tejnějakoelipsamáhperboladvěos smetrie; hlavní osa prochází ohnisk, vedlejší osa je osou úsečk,průsečíkosjestředhperbol.bodhperbol ležící na hlavní ose jsou vrchol hperbol, na obrázku obr jsoutobod A, B.Vzdálenostvrcholuhperbolodjejího středu je hlavní poloosa, budeme ji značit a, vzdálenost ohniska od středu je ecentricita, neboli výstřednost hperbol, označíme ji e. Na vedlejší ose neleží žádný bod hperbol, protože rozdíl vzdáleností libovolného bodu vedlejší os od ohnisekjevždnula.nicméněsezavádívedlejšípoloosa b,prokterouplatí: b 2 = e 2 a 2. Naobrázku21jetovzdálenost C nebo D. Novinkouvrodiněkuželosečekjsouasmptothperbol a 1, a 2.Jsoutopřímk, 15

16 které procházejí středem hperbol a v případě, že os hperbol jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, mají směrnici ±b/a. hperbolou nemají žádný společný bod. Přímk, které rovněž procházejí středem a mají směrnici z intervalu( b/a; b/a), protínají hperbolu ve dvou bodech. a 1 b A e a D B M C a 2 obr. 21 Konstanta k v rovnici (1) je rovna, stejně jako u elips, dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a.jetovidětzobrázku: k= A A = B A = AB =2a.To znamená, že bod hperbol vhovují rovnici: X X =2a, kde a < e. (2) aparametr a, b, esplňují: e 2 = a 2 +b 2. (3) Rovnice hperbol Zvolíme soustavu souřadnic tak, ab střed hperbol ležel v počátku a os v osách soustavsouřadnic.pakohniskamajísouřadnice [ e;0], [e;0]abodhperbol M[;] musí splňovat rovnici: (+e) ( e) =2a, kterou dále upravíme do zapamatovatelného tvaru. Nejprve obě stran rovnice umocníme na druhou a osamostatníme zblou odmocninu: (+e) ( e) =2a e 2. 16

17 Znovu umocníme, abchom se odmocnin zbavili a posčítáme: 2 (e 2 a 2 ) a 2 2 = a 2 (e 2 a 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(3)avdělímesoučinem a 2 b 2.Získámerovnicihperbolse středemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2 2 b2=1. (4) Pokudbohniskaleželanaose,tj.[0; e], [0;e],dostalibchomprohperboluobdobnou rovnici, jen b se na pravé straně změnilo znaménko: agrafbmohlvpadattřebajakonaobr a 2 2 b2= 1 (5) a 1 M D b A e a B C a 2 obr. 22 Vrcholhperboljsounníbod C, D,hlavnípoloosaje b= C avedlejšípoloosaje a= A.Vztah e 2 = a 2 + b 2 platíitadarovniceasmptotjsouprohperbolu(4)i(5) stejné. a 1 : = b a, a 2: = b a. Odsune-li se střed hperbol do bodu [m; n], bude mít rovnice hperbol(pro hlavní osu rovnoběžnousosou -obr.23a)tvar: ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 =1, (6) 17

18 nebo(prohlavníosurovnoběžnousosou obr.23b): ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 = 1. (7) n n obr. 23a) m obr. 23b m Rovniceasmptotjsounní: n=± b a ( m). Konečně obecná rovnice hperbol je: A 2 +B 2 +C+D+=0, (8) kdekoeficient A, Bjsouobanenulovéamajírůznáznaménka: A B <0. Příklad 1 Hperbolajedanárovnicí: =0.Určetesouřadnicejejíchohnisek a rovnice asmptot a načrtněte obrázek. Řešení Nejprve zadanou rovnici převedeme na středový tvar(6) nebo(7). Příslušné dvojčlen doplníme na čtverec, 9(+2) 2 4( 3) 2 = 9, / 9 obr (+2) 2 ( 3)2 = Z poslední rovnice včteme souřadnice středu: [ 2; 3] avelikostipoloos a=1, b=3/2.ztohozískámerovnice asmptot: = ±3(+2)/2+3.centricituvpočteme ze vztahu(3): e= = 2. ouřadniceohnisekjsouted: [ 2;3 13/2], [ 2;3+ 13/2]. 18

19 1.4.2 Tečna k hperbole I u hperbol tečna půlí vnější úhel průvodičů(spojnic bodu dotku s ohnisk) s tím, že vnějškem hperbol se rozumí ta část rovin ohraničená hperbolou, která obsahuje střed hperbol.rovnicitečnvbodědotku T[ 0 ; 0 ]dostaneme,obdobnějakouostatníchkuželoseček,zrovnicehperbolzáměnoujednoho za 0 ajednoho za 0.Prohperbolu popsanou rovnicí(6) resp.(7) je rovnice tečn: ( m)( 0 m) a 2 ( n)( 0 n) b 2 = ±1. (9) a 1 Q T A B t a 2 obr. 25 Bod Qnaobr.25jesouměrněsdruženýsohniskem podletečn,ležínapřímce T a jeho vzdálenost od ohniska je 2a. Podobné vlastnosti měl bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečn u elips. Příklad 2 Hperbola je dána rovnicí: ( 2) 2 (+2)2 = 1, (1) 4 9 Naleznětetečnhperbol,kteréjsourovnoběžnéspřímkou:3 4 14=0. Řešení Výpočet si značně zjednodušíme, budeme-li úlohu řešit v soustavě souřadnic posunuté do bodu [2; 2],tj.provedemesubstituci: = 2, = +2.Pakrovnicehperbolpřejde na tvar: = 1. (2) 9 a rovnice přímk na: 3 4 =0. 19

20 (Transformace přímk ovšem nebla třeba, protože pro řešení úloh potřebujeme pouze směrnicipřímk k=3/4atase,jakvidno,posunutímsoustavsouřadnicnemění.) Nní určíme souřadnice bodů dotku. Tečna k hperbole (2)vbodědotku T[ 0 ; 0 ]márovnici: T 1 t = 1, (3) 2 Ztoho = 9 0 ( ) , 2 t 2 takžesměrnicetečnjek= zadanépřímk k= 3 4 = atasemusírovnatsměrnici T 2 0=3 0. (4) obr. 26 Získalijsmejednurovniciproneznámé 0, 0.Druhourovnici dostaneme z podmínk, že bod dotku leží na hperbole, tzn. že jeho souřadnice musí splňovat rovnici(2) = 1. (5) Zrovnice(4)dosadímedo(5)aurčíme 0 = ± 2 3 a 0 =3 0 = ± 6 3.Získalijsme souřadnice [ bodů dotku ] v[ posunuté soustavě souřadnic. V původní soustavě jsou bod dotku 2 6 T ; 2, T ; 6 ] 2 a tečn mají rovnice: t 1 : = , t 2 : = Konstrukce hperbol Nakreslíme hperbolu, pro niž známe velikosti poloos a, b, kde a je hlavní poloosa a b vedlejší. Začneme tzv. charakteristickým obdélníkem se stranami 2a, 2b. Jeho úhlopříčk určují asmptot hperbol, středními příčkami procházejí os hperbol a střed obdélníka je středem hperbol. Ve vrcholech hperbol A, B sestrojíme oskulační kružnice. Jejich střed jsou průsečík hlavní os a kolmice k asmptotě vedené vrcholem charakteristického obdélníka.naobr.27je O 1 průsečíkhlavníosapřímk,kterájekolmákasmptotě a 1 aprocházíbodem M.Poloměroskulačníkružniceje O 1 A. Další bod hperbol získáme na základě definice. Na polopřímce AB zvolíme pomocný bod X tak,ab AX > A.Nnípoložíme X = AX, X = BX,potomrozdíl X X = AB =2aatedbod Xjebodemhperbol.Dostanemejejjakoprůsečík kružnic k 1 (; r 1 = AX ); k 2 (; r 2 = BX ).Díksmetriihperboltaktozískámebod dva,zaměníme-liohniskacobstředkružnic k 1, k 2,dostanemedalšídvabod. 20

21 a 1 a 2 M k 2 k 1 O 1 A B O 2 X X obr. 27 Malá poznámka nakonec Všechn kuželosečk(s výjimkou kružnice, pokud nechceme pracovat s nekonečnem) lze scho- vatpodjednu definici: d kuželosečka je množina bodů v rovině, které mají d ε >1 1 ε=1 konstantní poměr ε vzdáleností od pevného bodu X (ohniska) a od pevnépřímk d (zvané řídící direkční), která neprochází ohniskem. ε <1 Najdeme rovnici společnou pro všechn kuželosečk s tím, že tentokrát použijeme polární souřadnice r, ϕ. Polární osa budekolmá k řídící přímce ϕ o dajejípočátekumístímedoohniska.vzdálenost ohniskaodřídícípřímkoznačíme d 0, X[r,ϕ]jelibovolnýbod.Jehovzdálenostodohniskaje X =r aodřídícípřímkje d 1 = d 0 +rcosϕ.podledefinice r je: ε= d 0 +rcosϕ aztoho obr. 28 ε <1elipsu(ε=0kružnici). r= Atojeprodnešekvšechnomiléděti,dobrounoc. p 1 εcosϕ, kde p=εd 0, což je hledaná rovnice pro všechn kuželosečk. Pro ε > 1 dostaneme hperbolu, ε = 1 dá parabolu a 21

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid)

Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) Sedlová plocha (hyperbolický paraboloid) v kosoúhlém promítání do nárysny Řešené úlohy Příklad: osoúhlém promítání do nárysny ν (ω =, q = /2) sestrojte vrchol V, osu o a tečnou rovinu τ v bodě T hyperbolického

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele

Zdeněk Halas. Aplikace matem. pro učitele Obyčejné diferenciální rovnice Nejzákladnější aplikace křivky Zdeněk Halas KDM MFF UK, 2011 Aplikace matem. pro učitele Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Obyčejné diferenciální rovnice Aplikace matem. pro

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině

6.2.1 Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině 6.. Zobraení komplexních čísel v Gaussově rovině Předpoklad: 605 Pedagogická ponámka: Stihnout obsah hodin je poměrně náročné. Při dostatku času je lepší dojít poue k příkladu 7 a btek hodin spojit s úvodem

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191. Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJÍRENSKÁ a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Kolín IV, Heverova 191 Obor 23-41-M/01 STROJÍRENSTVÍ 1. ročník TECHNICKÉ KRESLENÍ ÚVOD A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

7.5.13 Rovnice paraboly

7.5.13 Rovnice paraboly 7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny. 75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek

MATEMATIKA PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ Parametrický popis křivek MATEMATIKA ŘÍKLADY NA RCVIČENÍ arametrický ois křivek 1 Jedánakřivka k(t)=[t t+ ; t 3 3t], t R. Nakresletečástkřivk kro t 3 ;3.Naišterovnicetečenkřivkvbodech k( 1), k(1) a k(). Dosazením několika hodnot

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

11. Geometrická optika

11. Geometrická optika Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická

Více

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat.

s touto válcovou plochou. Tento případ nebudeme dále uvažovat. Šroubové plochy Šroubová plocha Φ(k) vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý, resp. pravotočivý je i plocha Φ levotočivá, resp. pravotočivá.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: OSOVÁ SOUMĚRNOST Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: EVOKACE Metoda: volné psaní Každý žák obdrží obrázek zámku Červená Lhota. Obrázek je také možné promítnout na interaktivní

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová Křivky Copyright c 2006 Helena Říhová Cassiniovy křivky, lemniskáta Křivky nesou jméno francouzského matematika a astronoma Jeana Dominiquea Cassiniho (1625 1712) a jsou definovány jako množina bodů X

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Vybrané kapitoly z Mongeova promítání

Vybrané kapitoly z Mongeova promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 2. ročník prezenční studium Obor: Učitelství matematiky Učitelství českého jazyka Vybrané kapitoly z Mongeova promítání

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více