Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová"

Transkript

1 Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová

2 Obsah 1 Kuželosečk Kružnice Tečnakekružnici lipsa Rovniceelips Tečnakelipse Konstrukceelips Parabola Rovniceparabol Tečnakparabole Konstrukceparabol Hperbola Rovnicehperbol Tečnakhperbole Konstrukcehperbol

3 1 Kuželosečk Jak název napovídá, kuželosečk dostaneme, sekneme-li kuželovou plochu nějakou rovinou. Kuželová plocha je rotační a sečná rovina neprochází ani osou kuželové ploch(to bchom dostali pouze dvě různoběžk) ani jejím vrcholem(to b výsledkem bl jediný bod právě tento vrchol). To, jaká kuželosečka vznikne, závisí na vzájemné poloze sečné rovin a os kuželové ploch. Je-li rovina kolmá k ose, vznikne kružnice. Budeme-li zmenšovat úhel ψ mezi rovinou a osou, kružnice přejde v elipsu. Dalším stáčením sečné rovin(zmenšováním úhlu ψ) se elipsaprotahujeavokamžiku,kd ψnabdehodnot ϕ,tj.rovinajerovnoběžnásnějakou površkou kuželové ploch, je sečnou křivkou parabola. Jestliže ψ < ϕ, protne rovina obě části kuželové ploch a výsledkem bude hperbola. V dalším tetu probereme jednotlivé kuželosečk podrobněji. 1.1 Kružnice Kružnici jsme získali jako průsečnici rotační kuželové plocharovinkolmékoseploch.(tejnětakjsmemohli seknout jakoukoli jinou rotační plochu rovinou kolmou k její ose.) Umístíme-li kružnici o poloměru r do soustav souřadnic tak,žestředležívpočátku,budemítrovnici: = r 2. Kružnicesestředemvbodě [m,n]márovnici: ϕ ( m) 2 +( n) 2 = r 2. Obecná rovnice kružnice je: obr a+b+c=0, kde a 2 +b 2 4c >0. Zdejestřed [ a ] 2 ; b a 2 +b 2 4c apoloměr r= Tečna ke kružnici Mámekružnicisestředem [m;n]apoloměremranakružnicibod T[ 0 ; 0 ].Rovnice tečnkekružnicivedenábodem Tmátvar: ( 0 m)( m)+( 0 n)( n)=r 2. Bstrý čtenář si všimne, že rovnice tečn je podobná rovnici kružnice, pouze jedno ve výrazu ( m)( m)rovnicekružniceblonahrazeno 0 aobdobnějedno v( n)( n)se zaměniloza 0. 3

4 Příklad 1 Kružnicejedanárovnicí: =8.Nalezněterovnicetěchtečendanékružnice, kteréjsourovnoběžnéspřímkou p: 2+3=0. Řešení Nejprve určíme bod dotku hledaných tečen. Jsou to průsečík kružnice s přímkou q, která prochází středem kružnice a je kolmá k přímce p. třed kružnice má souřadnice[4/2; 2/2] = [2; 1],takžepřímkaqmárovnici: 3( 2) 2(+1)=0. Průsečík přímk a kružnice najdeme vřešením soustav rovnic: 3 2 = 8, upravenárovnicepřímk q = 8. Z první rovnice vjádříme a dosadíme do druhé rovnice. Po úpravě vjde: 2 4=0, ztoho 1 =0, 2 =4. Boddotkujsouted T 1 [0; 4], T 2 [4;2].Amůžemepsátrovnicetečen: t 1 : 2( 0)+3(+4)=0, t 1 : =0, t 2 : =0. t 2 : 2( 4)+3( 2)=0,cožupravenodá 1.2 lipsa lipsajedalšízkuželoseček.jetozároveň válcosečka, tj. průsečnice rotační válcové ploch a rovin, která není ani kolmákoseplochanisnírovnoběžná. ψ Geometrická definice říká, že elipsa je množina bodů X vrovině,kterémajíoddvoudanýchbodů, (ohnisek) konstantní součet vzdáleností, X + X =k. ϕ Z definice elips plne, že je to křivka smetrická podle dvouossmetrie.jednaosaprocházíohnisk,,říkáse jí hlavníosa,druhájekníkolmáaprocházístředemúsečk ;nazývásevedlejšíosa. Bod A, Bnaobrázku3senazývají hlavnívrchol elips, bod C, D jsou vedlejší vrchol elips, je její obr.2 střed. Vzdálenost hlavního vrcholu od středu elips se nazývá hlavní poloosa, značí se písmenkem a, vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elips je vedlejší poloosa, značí se b a vzdálenost ohniska od středu elips je ecentricita neboli výstřednost, značí se e. pojnice libovolného bodu M elips s ohnisk se nazývají průvodiče bodu M. 4

5 D a b M A e B obr.3 C Z obrázku je patrné, že konstanta k v definici elips je rovna dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a,neboť k= A + A =( A )+ A + =2 A =2a.Takže bod elips splňují: X + X =2a, kde a > e. (1) Toznamená,že D = D =aazpravoúhléhotrojúhelníka Ddostávámevztahmezi a, b, e: e 2 +b 2 = a 2. (2) Rovnice elips Odvodíme nní rovnici elips pro případ, kd elipsa je umístěna do soustav souřadnic tak, že střed elips splývá s počátkem a os elips jsou v osách soustav souřadnic. Předpokládáme,žehlavnípoloosajea,vedlejšípoloosajebaecentricitaje e= a 2 b 2.Ohniska majísouřadnice [ e,0], [e,0]aobecnýbodelipsje M[,].Dosadímedorovnice(1): (+e) ( e) =2a. A máme rovnici elips s hlavní poloosou a a ecentricitou e. Rovnici ještě převedeme na jednodušší tvar. Povýšíme na druhou a upravíme: (+e) ( e) =2a e 2. Dalším umocněním se zbavíme odmocnin a sečteme, co se sečíst dá. Získáme rovnici: 2 (a 2 e 2 )+a 2 2 = a 2 (a 2 e 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(2)acelourovnicivdělímesoučinem a 2 b 2.Výsledkemje rovniceelipssestředemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2+ 2 b2=1, kde a b >0. 5

6 tejnárovnice,kdeale b a >0,jerovněžrovniceelips(avšaktentokrátpostavené nahlavičku ). Hlavnípoloosajenní b,vedlejšíje aaohniskovávzdálenostje e= b 2 a 2.Ohniskaležínaose.Pokud a=b,je e=0,ohniskasplnousestředemadostaneme kružnici. Je-li elipsa umístěna v soustavě souřadnic tak, že os elips jsou rovnoběžné s osami soustav souřadnic, ale nemusí s nimi splývat(tj. střed nemusí být totožný s počátkem), je rovnice elips: obr.4 tzv. středový tvar rovnice elips, [m; n] je střed elips. ( m) 2 ( n)2 a 2 + b 2 =1, (3) n n obr. 5a) m obr. 5b) m Pro a b >0ležíohniskanavodorovnéose(obr.5a)amajísouřadnice [m a 2 b 2 ;n], [m+ a 2 b 2 ;n]. Jestližeplatíopačnánerovnost b a >0,ohniskaležínasvisléose(obr.5b), [m;n a 2 b 2 ], [m;n+ a 2 b 2 ]. Na závěr uvedeme obecnou rovnici elips: A 2 +B 2 +C+D+=0. Ab rovnice představovala vůbec nějakou křivku, musí být splněno: aoelipsupůjdevpřípadě,že A B >0. C 2 4A + D2 >0 4B 6

7 Příklad 1 lipsa je dána rovnicí: =0. Nalezněte středový tvar rovnice elips, určete souřadnice ohnisek, načrtněte obrázek. Řešení Zvýrazů2 2 4, vtkneme2a3adoplnímenačtverec: 2( 1) 2 +3(+2) 2 =2+12 2, dále vdělíme pravou stranou obr.6 ( 1) (+2)2 4 =1. Získali jsme rovnici elips ve středovém tvaru. Z ní můžeme včíst souřadnice středu [1; 2]avelikostpoloos: a= 6, b=2.potom e= 6 4= 2,takžeohniskamajísouřadnice [1 2; 2], [1+ 2; 2] Tečna k elipse Geometrick je tečna k elipse osou vnějšího úhlu průvodičů bodu dotku, viz obr. 7. Říkáme, že tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Analtick podobně jako u kružnice stačí ve středové rovnici(3) elips nahradit jedno,resp. písmenkem 0,resp. 0,kde[ 0, 0 ]jsousouřadnicebodudotku,arovnicetečn jetu: ( 0 m)( m) a 2 + ( 0 n)( n) b 2 =1. (4) T Q t obr.7 7

8 Odvozenírovnicebdalotrochupráce.Vjdesezpodmínk,žetečnakelipsemá s elipsou jediný společný bod(matematick příslušná kvadratická rovnice má jediné řešení, tj. diskriminant je roven nule) a dále bod dotku musí ležet na elipse, tj. jeho souřadnice 0, 0 musísplňovatrovnicielips. Příklad 2 Jedánaelipsa: =6apřímka t: = /2+q.Určetehodnotuqtak,ab přímka t bla tečnou zadané elips, a nalezněte souřadnice bodu dotku. Řešení Hodnotuq určímezpodmínk,žetečnamáselipsouspolečnýjedinýbod.hledámeted průsečík přímk t a elips a požadujeme, ab příslušná úloha měla pouze jedno řešení. Jinými slov řešíme soustavu: =6 Z druhé rovnice dosadíme do první: = /2+q 2 +2( 2 /4 q+q 2 )+4 2+4q=6 aupravíme 3 2 +( 4q+4)+4q 2 +8q 12=0. (1) T 1 t 1 Dostali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou (souřadnici bodu dotku) s parametrem q. Hodnota parametru musí být taková, ab získaná kvadratická rovnice pro tutohodnotuqmělajedinéřešení.toznamená, že diskriminant rovnice musí být roven nule: obr.8 T 2 t 2 D=16q 2 32q+16 48q 2 96q+144=0. Rovnici postupně upravíme: 32q 2 128q+160 = 0/:( 32) q 2 +4q 5 = 0. Hledanáq jsou: q 1 =1, q 2 = 5.Danáelipsamáteddvěvzájemněrovnoběžnétečn orovnici = /2+q.Prvníje t 1 : = /2+1,druhá t 2 : = /2 5.-ové souřadnice bodů dotku získáme vřešením rovnice(1) pro vpočtené hodnot parametru q, -ové dopočteme z příslušných rovnic tečen: q=1: =0 =0, = 0/2+1=1. q= 5: =0 = 4, =4/2 5= 3. Boddotkujsou T 1 [0;1], T 2 [ 4; 3]. 8

9 1.2.3 Konstrukce elips Povíme si, jak sestrojit elipsu, známe-li velikosti poloos a, b. Jeden způsob je tzv. proužková konstrukce. Proužková, protože při ní můžeme použít vhodně upravený proužek papíru, ale stejně dobře poslouží třeba pravítko. Na proužku papíru délk a si vznačíme délku b podle obrázku. Nní pohbujeme proužkem a vezvolenésoustavěsouřadnictak,žebod Y seposouvápoose, b bod Xpooseabod Mopisujeelipsu. Y X M Jiná konstrukce bere na pomoc oskulační kružnice. To jsou kružnice,kterémajívdanémboděkřivkskřivkouspolečnoutečnuavblízkémokolíbodu jsou stejnězakřivené,takževokolízmíněnéhobodukřivkaaoskulačníkružnicepraktick splývají.(geometři to definují přesněji, ale m si vstačíme s tímto vmezením.) Budeme používat pouze oskulační kružnice ve vrcholech elips. Jak získáme jejich střed M apoloměr,jevidětzobrázku10.trojúhelník BD doplníme na obdélník BDP. X estrojímeúhlopříčku DBazbodu P na níkolmici.taprotnehlavníosuvbodě O 1, Y středuoskulačníkružnicevbodě Bavedlejšíosuvbodě O 2,středuoskulačníkružnice v bodě D. Poloměr těchto oskulačních kružnicjsou 1= O 1 B, 2= O 2 D. obr.9 V místech, kde oskulační kružnice již elipsu špatně aproimují(odchlují se od ní), můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice. Na úsečce AB si zvolíme pomocný bod X, čili AX + XB = 2a a sestrojíme kružnicové oblouk k 1 (, r 1 = AX ), k 2 (, r 2 = XB ).Průsečíkkružnicjsoubodelips-taktodostaneme dvabodelipsadalšídvazískámezáměnouohnisekcobstředůkružnic(naobr.10jsou kvůli přehlednosti konstrukce sestrojené pouze první dva bod). D P A X O 1 B C obr. 10 O 2 9

10 1.3 Parabola ϕ Další v pořadí kuželoseček je parabola. Jak již blo zmíněno, je to průsečnice kuželové ploch a rovin, která je rovnoběžná právě s jednou površkou(přímkou kuželové ploch), tj. ψ=ϕ.narozdílodkružniceaelipsjeparabolaotevřená křivka. ϕ Geometrická definice: Parabola je množina bodů v rovině, jejichž vzdálenost od pevné přímk d je stejná jako vzdálenostodpevnéhobodu,kterýnapřímceneleží Xd = X. Přímce dseříkářídícípřímka,bod jeohnisko. Parabola má jednu osu smetrie(přímka o na obrázku 12),kteráprocházíohniskemajekolmákřídícípřímce.Vpolovině vzdálenosti mezi ohniskem a řídící přímkou leží vrcholparabol V.pojnice Ma MQ,kde Qjepatakolmice obr. 11 zbodu nařídícípřímku dabod Mobecnýbodparabol, jsouprůvodičebodu M.Vzdálenost d seobvkleznačí písmenem p a nazývá se parametr parabol(v některých učebnicích půlparametr). Q d M V o obr Rovnice parabol Umístíme parabolu do soustav souřadnic tak, že osa parabol splývá s osou, vrchol je v počátku a ohnisko leží napravo od řídící přímk. Vzdálenost ohniska od řídící přímk označíme p,toznamená,žesouřadniceohniskajsou [p/2;0],arovniceřídícípřímk dje: = p/2.proobecnýbod M[,]tedplatí. Md = M, 10

11 +p/2 = ( p/2) / 2, 2 p 2 p 2 +p+ 4 = 2 p+ 4 +2, 2 =2p. (1) Rovnice(1)jerovnicíparabolsvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnapravood vrcholu(obr. 13a).(Říkáme, že parabola je otevřená směrem doprava.) Pokud na pravé straně rovnice(1) změníme znaménko, 2 = 2p. (2) získámerovniciproparabolusvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnalevoodvrcholu (obr. 13b)- parabola je otevřená doleva. V V obr. 13a) obr. 13b) Leží-li osa parabol v ose, vrchol opět v počátku, dostaneme další dvě možnosti; parabola otočená nahoru(obr. 14a)) a parabola otočená dolu(obr. 14b)). Příslušné rovnice jsou: 2 =2p 2 = 2p V V obr. 14a) obr. 14b) Jestliže jevrcholparabolvbodě V[m;n]aosarovnoběžnásosou,jeparabola popsána rovnicí(3)(obr. 15- odpovídá znaménku plus v rovnici(3)), v případě os rovnoběžné s osou rovnicí(4). Rovnice se nazývají vrcholové rovnice parabol. ( n) 2 = ±2p( m) (3) ( m) 2 = ±2p( n) (4) 11

12 ( n) 2 =2p( m) V n o m obr.15 Parabola může být zadána rovněž obecnou rovnicí: kdebuď A=0, B 0, C 0,nebo B=0, A 0, D 0. A 2 +B 2 +C+D+=0, (5) Příklad 1 Parabolajedánarovnicí =0.Určetesouřadnicevrcholu,souřadniceohniska, rovnici os parabol a rovnici řídící přímk, načrtněte obrázek. Řešení Protoževrovnicijekvadratickýčlenvproměnné,budeosaparabolrovnoběžnásosou. Abchom zjistili souřadnice vrcholu, převedeme rovnici na vrcholový tvar(bude odpovídat rovnici(3)). Dvojčlen doplnímenačtverec aprovedeme další potřebné úprav: 3 ( ) +5 2=0, o ( ) = 5+2, ( ) 4 3 = 5+2, ( obr ) 2 = Z pravé stran poslední rovnice vtkneme 5 a poté rovnici vdělíme 3. Výsledkem je rovnice zadané parabol ve vrcholovém tvaru: ( + 2 ) 2 = 5 ( 2 ),

13 Zposlednírovnice včteme,žeparabolajeotevřenádoleva(znaménkominuszarovnítkem), hodnotaparametruje p= 5 [ ] 2 6 (srovnejsrovnicí(3))asouřadnicevrcholujsou V 3 ; 2.Nní 3 můžeme určit [ souřadnice ohniska. Protože ohnisko leží nalevo od vrcholu, je [m p/2; n], 1 včísleno 4 3] ; 2.Řídícípřímkamárovnici = m+p/2, tj. = arovniceos parabolje = Tečna k parabole tejně jako u elips tečna k parabole půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Průvodiče jsouzdejednakkolmicezbodu T nařídícípřímku(vobr.17jetospojnice QT),jednak spojnice T. Analtické vjádření tečn dostaneme podobně jako u kružnice a elips. Rovnici parabol ve vrcholovém tvaru: t ( n) 2 =2p( m), d T nejprve přepíšeme na tvar Q ( n)( n)=p( m)+p( m). (6) Nníjedno napravéstraněrovnice(6)ajedno na levéstraněnahradímepříslušnousouřadnicí 0 resp. 0 bodu dotku. Získáme tak rovnici tečn: ( 0 n)( n)=p( 0 m)+p( m) (7) obr.17 Analogick se dostanou rovnice tečen pro další tři tp parabol. Parabola o rovnici: ( n) 2 = 2p( m), mávbodě T[ 0 ; 0 ]tečnuvjádřenourovnicí: ( 0 n)( n)= p( 0 m) p( m). (8) Předešlé se týkalo parabol s osami rovnoběžnými s osou. Parabol s osami rovnoběžnýmisosou jsoupopsánrovnicí: a jejich tečn mají analtické vjádření: ( m) 2 = ±2p( n) ( 0 m)( m)=±p( 0 n)±p( n), (9) přičemž znaménku plus v rovnici parabol odpovídá znaménko plus v rovnici její tečn a totéž pro znaménko minus. 13

14 Příklad 2 Parabolajedánarovnicí2(+1)=( 2) 2.Určeterovnicevšechpřímek,kteréprochází bodem M[5/2; 2]amajísparabolouprávějedenspolečnýbod. Řešení Načrtneme-li si obrázek(obr. 18), je zřejmé, že M je vnější bod parabol(vrchol parabol je V[2; 1],osajerovnoběžnásosou aparabolajeotevřenánahoru). To znamená, že hledané přímk budou tři, dvě tečn a jedna přímka rovnoběžná s osou parabol. Rovnici té m poslední přímk(označíme ji m) můžeme napsat ihned; m: = 5 2. t 1 t 2 T 2 [ ] 5 Průsečíkpřímk maparaboljebod M 2 ; 7,jeho 8 -ovou souřadnici jsme vpočítali z rovnice parabol. Rovnice tečen mají tvar(viz rce(9) kap ): obr.18 T 1 M ( 0 +1)+(+1)=( 0 2)( 2), (1) kde[ 0 ; 0 ]je(zatímneznámý)boddotku.prourčení jeho souřadnic potřebujeme dvě rovnice. Jedna z nich je daná podmínkou, že bod dotku leží na parabole: 2( 0 +1)=( 0 2) 2. A druhou dostaneme z požadavku, ab tečna procházela bodem M[5/2; 2], tj. ( 0 +1)+(( 2)+1)=( 0 2)( 5 2 2), cožupravenodá: 0= Řešíme ted soustavu rovnic: 0 = , (2) 2( 0 +1)=( 0 2) 2 (3) Z rovnice(2) dosadíme do rovnice(3): 2( )=( 0 2) 2, 0 = , =0 { 01 =1 a z rce(2) 01 = 1/2 02 =4 02 =1. Získalijsmeboddotku T 1 [1; 1/2], T 2 [4;1].Rovniceodpovídajícíchtečendostanemedosazenímsouřadnicbodůdotkudorovnice(1).Vjde t 1 : = +1/2, t 2 : =

15 1.3.3 Konstrukce parabol Předpokládáme, že je zadáno ohnisko parabol a řídící přímka. estrojíme osu parabol (procházíohniskemajekolmákřídícípřímce)avznačíme d vrchol parabol(leží na ose a půlí vzdálenost V O mezi ohniskem a řídící přímkou). Oskulační kružnice vevrcholumástřed(označímeho O)naose,poloměr r=2 O =pasamozřejměprocházívrcholem. Tam, kde se oskulační kružnice již výrazně odchluje od parabol, můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice(bod parabol musí mít od řídící přímk stejnou vzdálenost jako od ohniska). Zvolíme si ted nějakou vzdálenost v a sestrojímerovnoběžkuqsřídícípřímkouvevzdálenostivod řídícípřímk.abbodmležícínapřímceqblzároveň bodemparabol,musísplňovat M =v.toznamená, obr.19 žejeprůsečíkempřímkqakružnicek(;r= v).takto získáme vžd dvojici bodů parabol souměrných podle její os. 1.4 Hperbola Poslední z kuželoseček hperbolu dostaneme, jak již blo psáno, protneme-li kuželovou plochurovinou,kterásvírásosouplochúhelmenší,nežje úhelmeziosouapovrškamikuželovéploch(0 ψ < ϕ). Hperbola stejně jako parabola není uzavřená křivka, ale na rozdíl od parabol má hperbola dvě vzájemně oddělené části větve. Geometrická definice: Hperbola je množina ϕ bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností(braný v absolutní hodnotě). Tj. obecný bod X hperbol splňuje: X X =k, (1) ψ kde0<k<.tejnějakoelipsamáhperboladvěos smetrie; hlavní osa prochází ohnisk, vedlejší osa je osou úsečk,průsečíkosjestředhperbol.bodhperbol ležící na hlavní ose jsou vrchol hperbol, na obrázku obr jsoutobod A, B.Vzdálenostvrcholuhperbolodjejího středu je hlavní poloosa, budeme ji značit a, vzdálenost ohniska od středu je ecentricita, neboli výstřednost hperbol, označíme ji e. Na vedlejší ose neleží žádný bod hperbol, protože rozdíl vzdáleností libovolného bodu vedlejší os od ohnisekjevždnula.nicméněsezavádívedlejšípoloosa b,prokterouplatí: b 2 = e 2 a 2. Naobrázku21jetovzdálenost C nebo D. Novinkouvrodiněkuželosečekjsouasmptothperbol a 1, a 2.Jsoutopřímk, 15

16 které procházejí středem hperbol a v případě, že os hperbol jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, mají směrnici ±b/a. hperbolou nemají žádný společný bod. Přímk, které rovněž procházejí středem a mají směrnici z intervalu( b/a; b/a), protínají hperbolu ve dvou bodech. a 1 b A e a D B M C a 2 obr. 21 Konstanta k v rovnici (1) je rovna, stejně jako u elips, dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a.jetovidětzobrázku: k= A A = B A = AB =2a.To znamená, že bod hperbol vhovují rovnici: X X =2a, kde a < e. (2) aparametr a, b, esplňují: e 2 = a 2 +b 2. (3) Rovnice hperbol Zvolíme soustavu souřadnic tak, ab střed hperbol ležel v počátku a os v osách soustavsouřadnic.pakohniskamajísouřadnice [ e;0], [e;0]abodhperbol M[;] musí splňovat rovnici: (+e) ( e) =2a, kterou dále upravíme do zapamatovatelného tvaru. Nejprve obě stran rovnice umocníme na druhou a osamostatníme zblou odmocninu: (+e) ( e) =2a e 2. 16

17 Znovu umocníme, abchom se odmocnin zbavili a posčítáme: 2 (e 2 a 2 ) a 2 2 = a 2 (e 2 a 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(3)avdělímesoučinem a 2 b 2.Získámerovnicihperbolse středemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2 2 b2=1. (4) Pokudbohniskaleželanaose,tj.[0; e], [0;e],dostalibchomprohperboluobdobnou rovnici, jen b se na pravé straně změnilo znaménko: agrafbmohlvpadattřebajakonaobr a 2 2 b2= 1 (5) a 1 M D b A e a B C a 2 obr. 22 Vrcholhperboljsounníbod C, D,hlavnípoloosaje b= C avedlejšípoloosaje a= A.Vztah e 2 = a 2 + b 2 platíitadarovniceasmptotjsouprohperbolu(4)i(5) stejné. a 1 : = b a, a 2: = b a. Odsune-li se střed hperbol do bodu [m; n], bude mít rovnice hperbol(pro hlavní osu rovnoběžnousosou -obr.23a)tvar: ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 =1, (6) 17

18 nebo(prohlavníosurovnoběžnousosou obr.23b): ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 = 1. (7) n n obr. 23a) m obr. 23b m Rovniceasmptotjsounní: n=± b a ( m). Konečně obecná rovnice hperbol je: A 2 +B 2 +C+D+=0, (8) kdekoeficient A, Bjsouobanenulovéamajírůznáznaménka: A B <0. Příklad 1 Hperbolajedanárovnicí: =0.Určetesouřadnicejejíchohnisek a rovnice asmptot a načrtněte obrázek. Řešení Nejprve zadanou rovnici převedeme na středový tvar(6) nebo(7). Příslušné dvojčlen doplníme na čtverec, 9(+2) 2 4( 3) 2 = 9, / 9 obr (+2) 2 ( 3)2 = Z poslední rovnice včteme souřadnice středu: [ 2; 3] avelikostipoloos a=1, b=3/2.ztohozískámerovnice asmptot: = ±3(+2)/2+3.centricituvpočteme ze vztahu(3): e= = 2. ouřadniceohnisekjsouted: [ 2;3 13/2], [ 2;3+ 13/2]. 18

19 1.4.2 Tečna k hperbole I u hperbol tečna půlí vnější úhel průvodičů(spojnic bodu dotku s ohnisk) s tím, že vnějškem hperbol se rozumí ta část rovin ohraničená hperbolou, která obsahuje střed hperbol.rovnicitečnvbodědotku T[ 0 ; 0 ]dostaneme,obdobnějakouostatníchkuželoseček,zrovnicehperbolzáměnoujednoho za 0 ajednoho za 0.Prohperbolu popsanou rovnicí(6) resp.(7) je rovnice tečn: ( m)( 0 m) a 2 ( n)( 0 n) b 2 = ±1. (9) a 1 Q T A B t a 2 obr. 25 Bod Qnaobr.25jesouměrněsdruženýsohniskem podletečn,ležínapřímce T a jeho vzdálenost od ohniska je 2a. Podobné vlastnosti měl bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečn u elips. Příklad 2 Hperbola je dána rovnicí: ( 2) 2 (+2)2 = 1, (1) 4 9 Naleznětetečnhperbol,kteréjsourovnoběžnéspřímkou:3 4 14=0. Řešení Výpočet si značně zjednodušíme, budeme-li úlohu řešit v soustavě souřadnic posunuté do bodu [2; 2],tj.provedemesubstituci: = 2, = +2.Pakrovnicehperbolpřejde na tvar: = 1. (2) 9 a rovnice přímk na: 3 4 =0. 19

20 (Transformace přímk ovšem nebla třeba, protože pro řešení úloh potřebujeme pouze směrnicipřímk k=3/4atase,jakvidno,posunutímsoustavsouřadnicnemění.) Nní určíme souřadnice bodů dotku. Tečna k hperbole (2)vbodědotku T[ 0 ; 0 ]márovnici: T 1 t = 1, (3) 2 Ztoho = 9 0 ( ) , 2 t 2 takžesměrnicetečnjek= zadanépřímk k= 3 4 = atasemusírovnatsměrnici T 2 0=3 0. (4) obr. 26 Získalijsmejednurovniciproneznámé 0, 0.Druhourovnici dostaneme z podmínk, že bod dotku leží na hperbole, tzn. že jeho souřadnice musí splňovat rovnici(2) = 1. (5) Zrovnice(4)dosadímedo(5)aurčíme 0 = ± 2 3 a 0 =3 0 = ± 6 3.Získalijsme souřadnice [ bodů dotku ] v[ posunuté soustavě souřadnic. V původní soustavě jsou bod dotku 2 6 T ; 2, T ; 6 ] 2 a tečn mají rovnice: t 1 : = , t 2 : = Konstrukce hperbol Nakreslíme hperbolu, pro niž známe velikosti poloos a, b, kde a je hlavní poloosa a b vedlejší. Začneme tzv. charakteristickým obdélníkem se stranami 2a, 2b. Jeho úhlopříčk určují asmptot hperbol, středními příčkami procházejí os hperbol a střed obdélníka je středem hperbol. Ve vrcholech hperbol A, B sestrojíme oskulační kružnice. Jejich střed jsou průsečík hlavní os a kolmice k asmptotě vedené vrcholem charakteristického obdélníka.naobr.27je O 1 průsečíkhlavníosapřímk,kterájekolmákasmptotě a 1 aprocházíbodem M.Poloměroskulačníkružniceje O 1 A. Další bod hperbol získáme na základě definice. Na polopřímce AB zvolíme pomocný bod X tak,ab AX > A.Nnípoložíme X = AX, X = BX,potomrozdíl X X = AB =2aatedbod Xjebodemhperbol.Dostanemejejjakoprůsečík kružnic k 1 (; r 1 = AX ); k 2 (; r 2 = BX ).Díksmetriihperboltaktozískámebod dva,zaměníme-liohniskacobstředkružnic k 1, k 2,dostanemedalšídvabod. 20

21 a 1 a 2 M k 2 k 1 O 1 A B O 2 X X obr. 27 Malá poznámka nakonec Všechn kuželosečk(s výjimkou kružnice, pokud nechceme pracovat s nekonečnem) lze scho- vatpodjednu definici: d kuželosečka je množina bodů v rovině, které mají d ε >1 1 ε=1 konstantní poměr ε vzdáleností od pevného bodu X (ohniska) a od pevnépřímk d (zvané řídící direkční), která neprochází ohniskem. ε <1 Najdeme rovnici společnou pro všechn kuželosečk s tím, že tentokrát použijeme polární souřadnice r, ϕ. Polární osa budekolmá k řídící přímce ϕ o dajejípočátekumístímedoohniska.vzdálenost ohniskaodřídícípřímkoznačíme d 0, X[r,ϕ]jelibovolnýbod.Jehovzdálenostodohniskaje X =r aodřídícípřímkje d 1 = d 0 +rcosϕ.podledefinice r je: ε= d 0 +rcosϕ aztoho obr. 28 ε <1elipsu(ε=0kružnici). r= Atojeprodnešekvšechnomiléděti,dobrounoc. p 1 εcosϕ, kde p=εd 0, což je hledaná rovnice pro všechn kuželosečk. Pro ε > 1 dostaneme hperbolu, ε = 1 dá parabolu a 21

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512

Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512 7.5.6 Hperbola Předpoklad: 7507, 75 Pedagogická poznámka: Na první pohled se nezdá, že b hodina bla příliš zaplněná, ale kreslení obrázků studentům (spíše studentkám) docela trvá. Je dobré vsvětlit, že

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Deskriptivní geometrie 2

Deskriptivní geometrie 2 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37

2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37 Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice 7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli

Více

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

7 Analytická geometrie v rovině

7 Analytická geometrie v rovině 7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat

Více

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Parametrický popis křivek

Parametrický popis křivek Parametrický popis křivek Jan Suchomel Smíchovská střední průmslová škola Maturitní práce 013/014 Garant: Mgr. Zbšek Nechanický Konzultanti: RNDr. Alena Rbáková a RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D. Obsah 1

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Kuželosečky. Kapitola Elipsa

Kuželosečky. Kapitola Elipsa Kapitola 4 Kuželosečky 4.1 Elipsa DEFINICE 4.1.1. Množinu všech bodů v rovině E, které mají od dvou různých pevně zvolených bodů F 1, F konstantní součet vzdáleností a, nazýváme elipsa; tj. k e = {X E

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok

Více

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie

Mendelova univerzita. Konstruktivní geometrie Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0

Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KVADRATICKÁ

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více