Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová"

Transkript

1 Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová

2 Obsah 1 Kuželosečk Kružnice Tečnakekružnici lipsa Rovniceelips Tečnakelipse Konstrukceelips Parabola Rovniceparabol Tečnakparabole Konstrukceparabol Hperbola Rovnicehperbol Tečnakhperbole Konstrukcehperbol

3 1 Kuželosečk Jak název napovídá, kuželosečk dostaneme, sekneme-li kuželovou plochu nějakou rovinou. Kuželová plocha je rotační a sečná rovina neprochází ani osou kuželové ploch(to bchom dostali pouze dvě různoběžk) ani jejím vrcholem(to b výsledkem bl jediný bod právě tento vrchol). To, jaká kuželosečka vznikne, závisí na vzájemné poloze sečné rovin a os kuželové ploch. Je-li rovina kolmá k ose, vznikne kružnice. Budeme-li zmenšovat úhel ψ mezi rovinou a osou, kružnice přejde v elipsu. Dalším stáčením sečné rovin(zmenšováním úhlu ψ) se elipsaprotahujeavokamžiku,kd ψnabdehodnot ϕ,tj.rovinajerovnoběžnásnějakou površkou kuželové ploch, je sečnou křivkou parabola. Jestliže ψ < ϕ, protne rovina obě části kuželové ploch a výsledkem bude hperbola. V dalším tetu probereme jednotlivé kuželosečk podrobněji. 1.1 Kružnice Kružnici jsme získali jako průsečnici rotační kuželové plocharovinkolmékoseploch.(tejnětakjsmemohli seknout jakoukoli jinou rotační plochu rovinou kolmou k její ose.) Umístíme-li kružnici o poloměru r do soustav souřadnic tak,žestředležívpočátku,budemítrovnici: = r 2. Kružnicesestředemvbodě [m,n]márovnici: ϕ ( m) 2 +( n) 2 = r 2. Obecná rovnice kružnice je: obr a+b+c=0, kde a 2 +b 2 4c >0. Zdejestřed [ a ] 2 ; b a 2 +b 2 4c apoloměr r= Tečna ke kružnici Mámekružnicisestředem [m;n]apoloměremranakružnicibod T[ 0 ; 0 ].Rovnice tečnkekružnicivedenábodem Tmátvar: ( 0 m)( m)+( 0 n)( n)=r 2. Bstrý čtenář si všimne, že rovnice tečn je podobná rovnici kružnice, pouze jedno ve výrazu ( m)( m)rovnicekružniceblonahrazeno 0 aobdobnějedno v( n)( n)se zaměniloza 0. 3

4 Příklad 1 Kružnicejedanárovnicí: =8.Nalezněterovnicetěchtečendanékružnice, kteréjsourovnoběžnéspřímkou p: 2+3=0. Řešení Nejprve určíme bod dotku hledaných tečen. Jsou to průsečík kružnice s přímkou q, která prochází středem kružnice a je kolmá k přímce p. třed kružnice má souřadnice[4/2; 2/2] = [2; 1],takžepřímkaqmárovnici: 3( 2) 2(+1)=0. Průsečík přímk a kružnice najdeme vřešením soustav rovnic: 3 2 = 8, upravenárovnicepřímk q = 8. Z první rovnice vjádříme a dosadíme do druhé rovnice. Po úpravě vjde: 2 4=0, ztoho 1 =0, 2 =4. Boddotkujsouted T 1 [0; 4], T 2 [4;2].Amůžemepsátrovnicetečen: t 1 : 2( 0)+3(+4)=0, t 1 : =0, t 2 : =0. t 2 : 2( 4)+3( 2)=0,cožupravenodá 1.2 lipsa lipsajedalšízkuželoseček.jetozároveň válcosečka, tj. průsečnice rotační válcové ploch a rovin, která není ani kolmákoseplochanisnírovnoběžná. ψ Geometrická definice říká, že elipsa je množina bodů X vrovině,kterémajíoddvoudanýchbodů, (ohnisek) konstantní součet vzdáleností, X + X =k. ϕ Z definice elips plne, že je to křivka smetrická podle dvouossmetrie.jednaosaprocházíohnisk,,říkáse jí hlavníosa,druhájekníkolmáaprocházístředemúsečk ;nazývásevedlejšíosa. Bod A, Bnaobrázku3senazývají hlavnívrchol elips, bod C, D jsou vedlejší vrchol elips, je její obr.2 střed. Vzdálenost hlavního vrcholu od středu elips se nazývá hlavní poloosa, značí se písmenkem a, vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elips je vedlejší poloosa, značí se b a vzdálenost ohniska od středu elips je ecentricita neboli výstřednost, značí se e. pojnice libovolného bodu M elips s ohnisk se nazývají průvodiče bodu M. 4

5 D a b M A e B obr.3 C Z obrázku je patrné, že konstanta k v definici elips je rovna dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a,neboť k= A + A =( A )+ A + =2 A =2a.Takže bod elips splňují: X + X =2a, kde a > e. (1) Toznamená,že D = D =aazpravoúhléhotrojúhelníka Ddostávámevztahmezi a, b, e: e 2 +b 2 = a 2. (2) Rovnice elips Odvodíme nní rovnici elips pro případ, kd elipsa je umístěna do soustav souřadnic tak, že střed elips splývá s počátkem a os elips jsou v osách soustav souřadnic. Předpokládáme,žehlavnípoloosajea,vedlejšípoloosajebaecentricitaje e= a 2 b 2.Ohniska majísouřadnice [ e,0], [e,0]aobecnýbodelipsje M[,].Dosadímedorovnice(1): (+e) ( e) =2a. A máme rovnici elips s hlavní poloosou a a ecentricitou e. Rovnici ještě převedeme na jednodušší tvar. Povýšíme na druhou a upravíme: (+e) ( e) =2a e 2. Dalším umocněním se zbavíme odmocnin a sečteme, co se sečíst dá. Získáme rovnici: 2 (a 2 e 2 )+a 2 2 = a 2 (a 2 e 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(2)acelourovnicivdělímesoučinem a 2 b 2.Výsledkemje rovniceelipssestředemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2+ 2 b2=1, kde a b >0. 5

6 tejnárovnice,kdeale b a >0,jerovněžrovniceelips(avšaktentokrátpostavené nahlavičku ). Hlavnípoloosajenní b,vedlejšíje aaohniskovávzdálenostje e= b 2 a 2.Ohniskaležínaose.Pokud a=b,je e=0,ohniskasplnousestředemadostaneme kružnici. Je-li elipsa umístěna v soustavě souřadnic tak, že os elips jsou rovnoběžné s osami soustav souřadnic, ale nemusí s nimi splývat(tj. střed nemusí být totožný s počátkem), je rovnice elips: obr.4 tzv. středový tvar rovnice elips, [m; n] je střed elips. ( m) 2 ( n)2 a 2 + b 2 =1, (3) n n obr. 5a) m obr. 5b) m Pro a b >0ležíohniskanavodorovnéose(obr.5a)amajísouřadnice [m a 2 b 2 ;n], [m+ a 2 b 2 ;n]. Jestližeplatíopačnánerovnost b a >0,ohniskaležínasvisléose(obr.5b), [m;n a 2 b 2 ], [m;n+ a 2 b 2 ]. Na závěr uvedeme obecnou rovnici elips: A 2 +B 2 +C+D+=0. Ab rovnice představovala vůbec nějakou křivku, musí být splněno: aoelipsupůjdevpřípadě,že A B >0. C 2 4A + D2 >0 4B 6

7 Příklad 1 lipsa je dána rovnicí: =0. Nalezněte středový tvar rovnice elips, určete souřadnice ohnisek, načrtněte obrázek. Řešení Zvýrazů2 2 4, vtkneme2a3adoplnímenačtverec: 2( 1) 2 +3(+2) 2 =2+12 2, dále vdělíme pravou stranou obr.6 ( 1) (+2)2 4 =1. Získali jsme rovnici elips ve středovém tvaru. Z ní můžeme včíst souřadnice středu [1; 2]avelikostpoloos: a= 6, b=2.potom e= 6 4= 2,takžeohniskamajísouřadnice [1 2; 2], [1+ 2; 2] Tečna k elipse Geometrick je tečna k elipse osou vnějšího úhlu průvodičů bodu dotku, viz obr. 7. Říkáme, že tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Analtick podobně jako u kružnice stačí ve středové rovnici(3) elips nahradit jedno,resp. písmenkem 0,resp. 0,kde[ 0, 0 ]jsousouřadnicebodudotku,arovnicetečn jetu: ( 0 m)( m) a 2 + ( 0 n)( n) b 2 =1. (4) T Q t obr.7 7

8 Odvozenírovnicebdalotrochupráce.Vjdesezpodmínk,žetečnakelipsemá s elipsou jediný společný bod(matematick příslušná kvadratická rovnice má jediné řešení, tj. diskriminant je roven nule) a dále bod dotku musí ležet na elipse, tj. jeho souřadnice 0, 0 musísplňovatrovnicielips. Příklad 2 Jedánaelipsa: =6apřímka t: = /2+q.Určetehodnotuqtak,ab přímka t bla tečnou zadané elips, a nalezněte souřadnice bodu dotku. Řešení Hodnotuq určímezpodmínk,žetečnamáselipsouspolečnýjedinýbod.hledámeted průsečík přímk t a elips a požadujeme, ab příslušná úloha měla pouze jedno řešení. Jinými slov řešíme soustavu: =6 Z druhé rovnice dosadíme do první: = /2+q 2 +2( 2 /4 q+q 2 )+4 2+4q=6 aupravíme 3 2 +( 4q+4)+4q 2 +8q 12=0. (1) T 1 t 1 Dostali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou (souřadnici bodu dotku) s parametrem q. Hodnota parametru musí být taková, ab získaná kvadratická rovnice pro tutohodnotuqmělajedinéřešení.toznamená, že diskriminant rovnice musí být roven nule: obr.8 T 2 t 2 D=16q 2 32q+16 48q 2 96q+144=0. Rovnici postupně upravíme: 32q 2 128q+160 = 0/:( 32) q 2 +4q 5 = 0. Hledanáq jsou: q 1 =1, q 2 = 5.Danáelipsamáteddvěvzájemněrovnoběžnétečn orovnici = /2+q.Prvníje t 1 : = /2+1,druhá t 2 : = /2 5.-ové souřadnice bodů dotku získáme vřešením rovnice(1) pro vpočtené hodnot parametru q, -ové dopočteme z příslušných rovnic tečen: q=1: =0 =0, = 0/2+1=1. q= 5: =0 = 4, =4/2 5= 3. Boddotkujsou T 1 [0;1], T 2 [ 4; 3]. 8

9 1.2.3 Konstrukce elips Povíme si, jak sestrojit elipsu, známe-li velikosti poloos a, b. Jeden způsob je tzv. proužková konstrukce. Proužková, protože při ní můžeme použít vhodně upravený proužek papíru, ale stejně dobře poslouží třeba pravítko. Na proužku papíru délk a si vznačíme délku b podle obrázku. Nní pohbujeme proužkem a vezvolenésoustavěsouřadnictak,žebod Y seposouvápoose, b bod Xpooseabod Mopisujeelipsu. Y X M Jiná konstrukce bere na pomoc oskulační kružnice. To jsou kružnice,kterémajívdanémboděkřivkskřivkouspolečnoutečnuavblízkémokolíbodu jsou stejnězakřivené,takževokolízmíněnéhobodukřivkaaoskulačníkružnicepraktick splývají.(geometři to definují přesněji, ale m si vstačíme s tímto vmezením.) Budeme používat pouze oskulační kružnice ve vrcholech elips. Jak získáme jejich střed M apoloměr,jevidětzobrázku10.trojúhelník BD doplníme na obdélník BDP. X estrojímeúhlopříčku DBazbodu P na níkolmici.taprotnehlavníosuvbodě O 1, Y středuoskulačníkružnicevbodě Bavedlejšíosuvbodě O 2,středuoskulačníkružnice v bodě D. Poloměr těchto oskulačních kružnicjsou 1= O 1 B, 2= O 2 D. obr.9 V místech, kde oskulační kružnice již elipsu špatně aproimují(odchlují se od ní), můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice. Na úsečce AB si zvolíme pomocný bod X, čili AX + XB = 2a a sestrojíme kružnicové oblouk k 1 (, r 1 = AX ), k 2 (, r 2 = XB ).Průsečíkkružnicjsoubodelips-taktodostaneme dvabodelipsadalšídvazískámezáměnouohnisekcobstředůkružnic(naobr.10jsou kvůli přehlednosti konstrukce sestrojené pouze první dva bod). D P A X O 1 B C obr. 10 O 2 9

10 1.3 Parabola ϕ Další v pořadí kuželoseček je parabola. Jak již blo zmíněno, je to průsečnice kuželové ploch a rovin, která je rovnoběžná právě s jednou površkou(přímkou kuželové ploch), tj. ψ=ϕ.narozdílodkružniceaelipsjeparabolaotevřená křivka. ϕ Geometrická definice: Parabola je množina bodů v rovině, jejichž vzdálenost od pevné přímk d je stejná jako vzdálenostodpevnéhobodu,kterýnapřímceneleží Xd = X. Přímce dseříkářídícípřímka,bod jeohnisko. Parabola má jednu osu smetrie(přímka o na obrázku 12),kteráprocházíohniskemajekolmákřídícípřímce.Vpolovině vzdálenosti mezi ohniskem a řídící přímkou leží vrcholparabol V.pojnice Ma MQ,kde Qjepatakolmice obr. 11 zbodu nařídícípřímku dabod Mobecnýbodparabol, jsouprůvodičebodu M.Vzdálenost d seobvkleznačí písmenem p a nazývá se parametr parabol(v některých učebnicích půlparametr). Q d M V o obr Rovnice parabol Umístíme parabolu do soustav souřadnic tak, že osa parabol splývá s osou, vrchol je v počátku a ohnisko leží napravo od řídící přímk. Vzdálenost ohniska od řídící přímk označíme p,toznamená,žesouřadniceohniskajsou [p/2;0],arovniceřídícípřímk dje: = p/2.proobecnýbod M[,]tedplatí. Md = M, 10

11 +p/2 = ( p/2) / 2, 2 p 2 p 2 +p+ 4 = 2 p+ 4 +2, 2 =2p. (1) Rovnice(1)jerovnicíparabolsvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnapravood vrcholu(obr. 13a).(Říkáme, že parabola je otevřená směrem doprava.) Pokud na pravé straně rovnice(1) změníme znaménko, 2 = 2p. (2) získámerovniciproparabolusvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnalevoodvrcholu (obr. 13b)- parabola je otevřená doleva. V V obr. 13a) obr. 13b) Leží-li osa parabol v ose, vrchol opět v počátku, dostaneme další dvě možnosti; parabola otočená nahoru(obr. 14a)) a parabola otočená dolu(obr. 14b)). Příslušné rovnice jsou: 2 =2p 2 = 2p V V obr. 14a) obr. 14b) Jestliže jevrcholparabolvbodě V[m;n]aosarovnoběžnásosou,jeparabola popsána rovnicí(3)(obr. 15- odpovídá znaménku plus v rovnici(3)), v případě os rovnoběžné s osou rovnicí(4). Rovnice se nazývají vrcholové rovnice parabol. ( n) 2 = ±2p( m) (3) ( m) 2 = ±2p( n) (4) 11

12 ( n) 2 =2p( m) V n o m obr.15 Parabola může být zadána rovněž obecnou rovnicí: kdebuď A=0, B 0, C 0,nebo B=0, A 0, D 0. A 2 +B 2 +C+D+=0, (5) Příklad 1 Parabolajedánarovnicí =0.Určetesouřadnicevrcholu,souřadniceohniska, rovnici os parabol a rovnici řídící přímk, načrtněte obrázek. Řešení Protoževrovnicijekvadratickýčlenvproměnné,budeosaparabolrovnoběžnásosou. Abchom zjistili souřadnice vrcholu, převedeme rovnici na vrcholový tvar(bude odpovídat rovnici(3)). Dvojčlen doplnímenačtverec aprovedeme další potřebné úprav: 3 ( ) +5 2=0, o ( ) = 5+2, ( ) 4 3 = 5+2, ( obr ) 2 = Z pravé stran poslední rovnice vtkneme 5 a poté rovnici vdělíme 3. Výsledkem je rovnice zadané parabol ve vrcholovém tvaru: ( + 2 ) 2 = 5 ( 2 ),

13 Zposlednírovnice včteme,žeparabolajeotevřenádoleva(znaménkominuszarovnítkem), hodnotaparametruje p= 5 [ ] 2 6 (srovnejsrovnicí(3))asouřadnicevrcholujsou V 3 ; 2.Nní 3 můžeme určit [ souřadnice ohniska. Protože ohnisko leží nalevo od vrcholu, je [m p/2; n], 1 včísleno 4 3] ; 2.Řídícípřímkamárovnici = m+p/2, tj. = arovniceos parabolje = Tečna k parabole tejně jako u elips tečna k parabole půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Průvodiče jsouzdejednakkolmicezbodu T nařídícípřímku(vobr.17jetospojnice QT),jednak spojnice T. Analtické vjádření tečn dostaneme podobně jako u kružnice a elips. Rovnici parabol ve vrcholovém tvaru: t ( n) 2 =2p( m), d T nejprve přepíšeme na tvar Q ( n)( n)=p( m)+p( m). (6) Nníjedno napravéstraněrovnice(6)ajedno na levéstraněnahradímepříslušnousouřadnicí 0 resp. 0 bodu dotku. Získáme tak rovnici tečn: ( 0 n)( n)=p( 0 m)+p( m) (7) obr.17 Analogick se dostanou rovnice tečen pro další tři tp parabol. Parabola o rovnici: ( n) 2 = 2p( m), mávbodě T[ 0 ; 0 ]tečnuvjádřenourovnicí: ( 0 n)( n)= p( 0 m) p( m). (8) Předešlé se týkalo parabol s osami rovnoběžnými s osou. Parabol s osami rovnoběžnýmisosou jsoupopsánrovnicí: a jejich tečn mají analtické vjádření: ( m) 2 = ±2p( n) ( 0 m)( m)=±p( 0 n)±p( n), (9) přičemž znaménku plus v rovnici parabol odpovídá znaménko plus v rovnici její tečn a totéž pro znaménko minus. 13

14 Příklad 2 Parabolajedánarovnicí2(+1)=( 2) 2.Určeterovnicevšechpřímek,kteréprochází bodem M[5/2; 2]amajísparabolouprávějedenspolečnýbod. Řešení Načrtneme-li si obrázek(obr. 18), je zřejmé, že M je vnější bod parabol(vrchol parabol je V[2; 1],osajerovnoběžnásosou aparabolajeotevřenánahoru). To znamená, že hledané přímk budou tři, dvě tečn a jedna přímka rovnoběžná s osou parabol. Rovnici té m poslední přímk(označíme ji m) můžeme napsat ihned; m: = 5 2. t 1 t 2 T 2 [ ] 5 Průsečíkpřímk maparaboljebod M 2 ; 7,jeho 8 -ovou souřadnici jsme vpočítali z rovnice parabol. Rovnice tečen mají tvar(viz rce(9) kap ): obr.18 T 1 M ( 0 +1)+(+1)=( 0 2)( 2), (1) kde[ 0 ; 0 ]je(zatímneznámý)boddotku.prourčení jeho souřadnic potřebujeme dvě rovnice. Jedna z nich je daná podmínkou, že bod dotku leží na parabole: 2( 0 +1)=( 0 2) 2. A druhou dostaneme z požadavku, ab tečna procházela bodem M[5/2; 2], tj. ( 0 +1)+(( 2)+1)=( 0 2)( 5 2 2), cožupravenodá: 0= Řešíme ted soustavu rovnic: 0 = , (2) 2( 0 +1)=( 0 2) 2 (3) Z rovnice(2) dosadíme do rovnice(3): 2( )=( 0 2) 2, 0 = , =0 { 01 =1 a z rce(2) 01 = 1/2 02 =4 02 =1. Získalijsmeboddotku T 1 [1; 1/2], T 2 [4;1].Rovniceodpovídajícíchtečendostanemedosazenímsouřadnicbodůdotkudorovnice(1).Vjde t 1 : = +1/2, t 2 : =

15 1.3.3 Konstrukce parabol Předpokládáme, že je zadáno ohnisko parabol a řídící přímka. estrojíme osu parabol (procházíohniskemajekolmákřídícípřímce)avznačíme d vrchol parabol(leží na ose a půlí vzdálenost V O mezi ohniskem a řídící přímkou). Oskulační kružnice vevrcholumástřed(označímeho O)naose,poloměr r=2 O =pasamozřejměprocházívrcholem. Tam, kde se oskulační kružnice již výrazně odchluje od parabol, můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice(bod parabol musí mít od řídící přímk stejnou vzdálenost jako od ohniska). Zvolíme si ted nějakou vzdálenost v a sestrojímerovnoběžkuqsřídícípřímkouvevzdálenostivod řídícípřímk.abbodmležícínapřímceqblzároveň bodemparabol,musísplňovat M =v.toznamená, obr.19 žejeprůsečíkempřímkqakružnicek(;r= v).takto získáme vžd dvojici bodů parabol souměrných podle její os. 1.4 Hperbola Poslední z kuželoseček hperbolu dostaneme, jak již blo psáno, protneme-li kuželovou plochurovinou,kterásvírásosouplochúhelmenší,nežje úhelmeziosouapovrškamikuželovéploch(0 ψ < ϕ). Hperbola stejně jako parabola není uzavřená křivka, ale na rozdíl od parabol má hperbola dvě vzájemně oddělené části větve. Geometrická definice: Hperbola je množina ϕ bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností(braný v absolutní hodnotě). Tj. obecný bod X hperbol splňuje: X X =k, (1) ψ kde0<k<.tejnějakoelipsamáhperboladvěos smetrie; hlavní osa prochází ohnisk, vedlejší osa je osou úsečk,průsečíkosjestředhperbol.bodhperbol ležící na hlavní ose jsou vrchol hperbol, na obrázku obr jsoutobod A, B.Vzdálenostvrcholuhperbolodjejího středu je hlavní poloosa, budeme ji značit a, vzdálenost ohniska od středu je ecentricita, neboli výstřednost hperbol, označíme ji e. Na vedlejší ose neleží žádný bod hperbol, protože rozdíl vzdáleností libovolného bodu vedlejší os od ohnisekjevždnula.nicméněsezavádívedlejšípoloosa b,prokterouplatí: b 2 = e 2 a 2. Naobrázku21jetovzdálenost C nebo D. Novinkouvrodiněkuželosečekjsouasmptothperbol a 1, a 2.Jsoutopřímk, 15

16 které procházejí středem hperbol a v případě, že os hperbol jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, mají směrnici ±b/a. hperbolou nemají žádný společný bod. Přímk, které rovněž procházejí středem a mají směrnici z intervalu( b/a; b/a), protínají hperbolu ve dvou bodech. a 1 b A e a D B M C a 2 obr. 21 Konstanta k v rovnici (1) je rovna, stejně jako u elips, dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a.jetovidětzobrázku: k= A A = B A = AB =2a.To znamená, že bod hperbol vhovují rovnici: X X =2a, kde a < e. (2) aparametr a, b, esplňují: e 2 = a 2 +b 2. (3) Rovnice hperbol Zvolíme soustavu souřadnic tak, ab střed hperbol ležel v počátku a os v osách soustavsouřadnic.pakohniskamajísouřadnice [ e;0], [e;0]abodhperbol M[;] musí splňovat rovnici: (+e) ( e) =2a, kterou dále upravíme do zapamatovatelného tvaru. Nejprve obě stran rovnice umocníme na druhou a osamostatníme zblou odmocninu: (+e) ( e) =2a e 2. 16

17 Znovu umocníme, abchom se odmocnin zbavili a posčítáme: 2 (e 2 a 2 ) a 2 2 = a 2 (e 2 a 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(3)avdělímesoučinem a 2 b 2.Získámerovnicihperbolse středemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2 2 b2=1. (4) Pokudbohniskaleželanaose,tj.[0; e], [0;e],dostalibchomprohperboluobdobnou rovnici, jen b se na pravé straně změnilo znaménko: agrafbmohlvpadattřebajakonaobr a 2 2 b2= 1 (5) a 1 M D b A e a B C a 2 obr. 22 Vrcholhperboljsounníbod C, D,hlavnípoloosaje b= C avedlejšípoloosaje a= A.Vztah e 2 = a 2 + b 2 platíitadarovniceasmptotjsouprohperbolu(4)i(5) stejné. a 1 : = b a, a 2: = b a. Odsune-li se střed hperbol do bodu [m; n], bude mít rovnice hperbol(pro hlavní osu rovnoběžnousosou -obr.23a)tvar: ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 =1, (6) 17

18 nebo(prohlavníosurovnoběžnousosou obr.23b): ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 = 1. (7) n n obr. 23a) m obr. 23b m Rovniceasmptotjsounní: n=± b a ( m). Konečně obecná rovnice hperbol je: A 2 +B 2 +C+D+=0, (8) kdekoeficient A, Bjsouobanenulovéamajírůznáznaménka: A B <0. Příklad 1 Hperbolajedanárovnicí: =0.Určetesouřadnicejejíchohnisek a rovnice asmptot a načrtněte obrázek. Řešení Nejprve zadanou rovnici převedeme na středový tvar(6) nebo(7). Příslušné dvojčlen doplníme na čtverec, 9(+2) 2 4( 3) 2 = 9, / 9 obr (+2) 2 ( 3)2 = Z poslední rovnice včteme souřadnice středu: [ 2; 3] avelikostipoloos a=1, b=3/2.ztohozískámerovnice asmptot: = ±3(+2)/2+3.centricituvpočteme ze vztahu(3): e= = 2. ouřadniceohnisekjsouted: [ 2;3 13/2], [ 2;3+ 13/2]. 18

19 1.4.2 Tečna k hperbole I u hperbol tečna půlí vnější úhel průvodičů(spojnic bodu dotku s ohnisk) s tím, že vnějškem hperbol se rozumí ta část rovin ohraničená hperbolou, která obsahuje střed hperbol.rovnicitečnvbodědotku T[ 0 ; 0 ]dostaneme,obdobnějakouostatníchkuželoseček,zrovnicehperbolzáměnoujednoho za 0 ajednoho za 0.Prohperbolu popsanou rovnicí(6) resp.(7) je rovnice tečn: ( m)( 0 m) a 2 ( n)( 0 n) b 2 = ±1. (9) a 1 Q T A B t a 2 obr. 25 Bod Qnaobr.25jesouměrněsdruženýsohniskem podletečn,ležínapřímce T a jeho vzdálenost od ohniska je 2a. Podobné vlastnosti měl bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečn u elips. Příklad 2 Hperbola je dána rovnicí: ( 2) 2 (+2)2 = 1, (1) 4 9 Naleznětetečnhperbol,kteréjsourovnoběžnéspřímkou:3 4 14=0. Řešení Výpočet si značně zjednodušíme, budeme-li úlohu řešit v soustavě souřadnic posunuté do bodu [2; 2],tj.provedemesubstituci: = 2, = +2.Pakrovnicehperbolpřejde na tvar: = 1. (2) 9 a rovnice přímk na: 3 4 =0. 19

20 (Transformace přímk ovšem nebla třeba, protože pro řešení úloh potřebujeme pouze směrnicipřímk k=3/4atase,jakvidno,posunutímsoustavsouřadnicnemění.) Nní určíme souřadnice bodů dotku. Tečna k hperbole (2)vbodědotku T[ 0 ; 0 ]márovnici: T 1 t = 1, (3) 2 Ztoho = 9 0 ( ) , 2 t 2 takžesměrnicetečnjek= zadanépřímk k= 3 4 = atasemusírovnatsměrnici T 2 0=3 0. (4) obr. 26 Získalijsmejednurovniciproneznámé 0, 0.Druhourovnici dostaneme z podmínk, že bod dotku leží na hperbole, tzn. že jeho souřadnice musí splňovat rovnici(2) = 1. (5) Zrovnice(4)dosadímedo(5)aurčíme 0 = ± 2 3 a 0 =3 0 = ± 6 3.Získalijsme souřadnice [ bodů dotku ] v[ posunuté soustavě souřadnic. V původní soustavě jsou bod dotku 2 6 T ; 2, T ; 6 ] 2 a tečn mají rovnice: t 1 : = , t 2 : = Konstrukce hperbol Nakreslíme hperbolu, pro niž známe velikosti poloos a, b, kde a je hlavní poloosa a b vedlejší. Začneme tzv. charakteristickým obdélníkem se stranami 2a, 2b. Jeho úhlopříčk určují asmptot hperbol, středními příčkami procházejí os hperbol a střed obdélníka je středem hperbol. Ve vrcholech hperbol A, B sestrojíme oskulační kružnice. Jejich střed jsou průsečík hlavní os a kolmice k asmptotě vedené vrcholem charakteristického obdélníka.naobr.27je O 1 průsečíkhlavníosapřímk,kterájekolmákasmptotě a 1 aprocházíbodem M.Poloměroskulačníkružniceje O 1 A. Další bod hperbol získáme na základě definice. Na polopřímce AB zvolíme pomocný bod X tak,ab AX > A.Nnípoložíme X = AX, X = BX,potomrozdíl X X = AB =2aatedbod Xjebodemhperbol.Dostanemejejjakoprůsečík kružnic k 1 (; r 1 = AX ); k 2 (; r 2 = BX ).Díksmetriihperboltaktozískámebod dva,zaměníme-liohniskacobstředkružnic k 1, k 2,dostanemedalšídvabod. 20

21 a 1 a 2 M k 2 k 1 O 1 A B O 2 X X obr. 27 Malá poznámka nakonec Všechn kuželosečk(s výjimkou kružnice, pokud nechceme pracovat s nekonečnem) lze scho- vatpodjednu definici: d kuželosečka je množina bodů v rovině, které mají d ε >1 1 ε=1 konstantní poměr ε vzdáleností od pevného bodu X (ohniska) a od pevnépřímk d (zvané řídící direkční), která neprochází ohniskem. ε <1 Najdeme rovnici společnou pro všechn kuželosečk s tím, že tentokrát použijeme polární souřadnice r, ϕ. Polární osa budekolmá k řídící přímce ϕ o dajejípočátekumístímedoohniska.vzdálenost ohniskaodřídícípřímkoznačíme d 0, X[r,ϕ]jelibovolnýbod.Jehovzdálenostodohniskaje X =r aodřídícípřímkje d 1 = d 0 +rcosϕ.podledefinice r je: ε= d 0 +rcosϕ aztoho obr. 28 ε <1elipsu(ε=0kružnici). r= Atojeprodnešekvšechnomiléděti,dobrounoc. p 1 εcosϕ, kde p=εd 0, což je hledaná rovnice pro všechn kuželosečk. Pro ε > 1 dostaneme hperbolu, ε = 1 dá parabolu a 21

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky

7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky 739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: OSOVÁ SOUMĚRNOST Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce: EVOKACE Metoda: volné psaní Každý žák obdrží obrázek zámku Červená Lhota. Obrázek je také možné promítnout na interaktivní

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Konstrukce pravého úhlu pomocí kružítka 3 úlohy

Konstrukce pravého úhlu pomocí kružítka 3 úlohy Konstrukce pravého úhlu pomocí kružítka 3 úlohy Mgr. Jitka Koubová N{zev školy Z{kladní škola a Mateřsk{ škola Číslo projektu CZ. 1.07 N{zev šablony klíčové aktivity Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

Mechanika teorie srozumitelně

Mechanika teorie srozumitelně Rovnoměrný pohybu po kružnici úhlová a obvodová rychlost Rovnoměrný = nemění se velikost rychlostí. U rovnoměrného pohybu pro kružnici máme totiž dvě rychlosti úhlovou a obvodovou. Směr úhlové rychlosti

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI

URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI URČITÝ INTEGRÁL OBSAH PLOCHY ROVINNÉHO OBRAZCE OHRANIČENÉHO ZADANÝMI KŘIVKAMI Co je kýženým výsledkem je zřejmé ze zadání obsah, respektive obsah jistého obrazce omezeného zadanými křivkami který je samozřejmě

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám

Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 EU peníze středním školám Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační

Více

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více