Univerzita Palackého v Olomouci. optických soustav. Studijní program: B1701 Fyzika. Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Ondřej Haderka, Ph.D.

Transkript

1 Univerzita Palackého v Olomouci Přírodovědecká fakulta Společná laboratoř optiky UP a FZÚ AV ČR BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Použití difrakčních masek pro zaostřování optických soustav Vypracovala: Jiřina Prokopová Studijní program: B1701 Fyzika Studijní obor: 1701R030 Přístrojová fyzika Forma studia: Prezenční Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Ondřej Haderka, Ph.D. Termín odevzdání práce: květen 2015

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou diplomovou práci vypracovala samostatně pod vedením doc. RNDr. Ondřeje Haderky, Ph.D a že jsem použila zdrojů, které cituji a uvádím v seznamu použitých pramenů. V Olomouci dne 14. května Jiřina Prokopová

3 Tímto děkuji panu Pavlu Bahtinovovi za vynález nového typu difrakční masky a její přínos pro astrofotografii. Upřímný dík patří doc. RNDr. Ondřeji Haderkovi, Ph.D za jeho vedení, vstřícný přístup, trpělivost a předané zkušenosti.

4 Bibliografická identifikace Jméno a příjmení autora Jiřina Prokopová Název práce Použití difrakčních masek pro zaostřování optických soustav Typ práce Bakalářská Pracoviště Společná laboratoř optiky UP a FZÚ AV ČR Vedoucí práce Doc. RNDr. Ondřej Haderka, Ph.D. Rok obhajoby práce 2015 Abstrakt Tato bakalářská práce se věnuje zaostřování astronomických dalekohledů užitím difrakčních masek. Nejvíce pozornosti je věnováno Bahtinovově masce. Ze znalostí vlnové optiky a difrakční teorie je odvozen Fresnel- Kirchhoffův integrál. S jeho pomocí lze matematicky popsat průchod rovinné vlny optickou soustavou s difrakční maskou. S využitím tohoto vzorce jsou vytvořeny programy v prostředí MATLAB simulující tvorbu difrakčních obrazců v blízkosti ohniskové roviny dalekohledů daných parametrů. Tyto obrazce jsou porovnány se snímky skutečné hvězdy vyfocené CCD kamerou přes dalekohled s Bahtinovovou maskou. Jednotlivé parametry Bahtinovovy masky jsou dále zkoumány pomocí vytvořených programů, které jsou součástí multimediální přílohy. Analýzou výsledků jsou nalezena pravidla pro tvorbu masek. Klíčová slova Bahtinovova maska, zaostřování dalekohledů, Fresnel-Kirchhoffův integrál, difrakční teorie světla, vlnová optika Počet stran 65 Počet příloh 20 Jazyk český

5 Bibliographical identification Autor s first name and surname Jiřina Prokopová Title Using diffraction masks for focusing optical systems Type of thesis Bachelor Department Joint Laboratory of Optics Supervisor Doc. RNDr. Ondřej Haderka, Ph.D. The year of presentation 2015 Abstract This bachelor s thesis deals with the use of diffraction masks for focusing astronomical telescopes. Most attention will be paid to Bahtinov mask. Based on principle of wave optics and diffraction theory of light the Fresnel-Kirchhoff integral will be derived. Using Fresnel-Kirchhoff integral it is possible to mathematically describe transmission of plane wave through optical system fitted with diffraction mask. Writing MATLAB programs based on derived formula it will be possible to simulate creation of diffraction patterns near focal plane of telescope with given parameters. Produced patterns are compared with shots of real star taken by CCD camera through telescope with Bahtinov mask. Parameters of Bahtinov mask are further studied using created programs, which are included in multimedia appendix. Analysis of the results yields rules for making the masks. Keywords Bahtinov mask, focusing of telescopes, Fresnel-Kirchhoff integral, diffraction theory of light, wave optics Number of pages 65 Number of appendices 20 Language czech

6 Obsah Úvod 8 1 Teoretická část Zaostřování Problémy Hloubka ostrosti Metody Difrakční masky Vlnová optika Vlnová rovnice Helmholtzova rovnice Průchod rovinné vlny optickými členy Fresnel-Kirchhoffův integrál Praktická část Modelování Generátor masek Numerická integrace Fourierova transformace Porovnání s experimentem Vliv seeingu Mez přesnosti Vliv parametrů Počet štěrbin Centrální zastínění Tvar štěrbin Tloušt ka štěrbin Podíl mřížek Posun z centra

7 2.5.7 Úhel mřížek Závěr 56 Seznam použitých zdrojů 57 Seznam symbolů 59 Seznam obrázků 62 Seznam tabulek 63 Seznam příloh na CD 64 7

8 Úvod Už od pradávna lidé zvídavě zvedali pohled k noční obloze. V dnešní době můžeme hvězdné nebe nejen obdivovat, ale také účinně zkoumat a v neposlední řadě fotografovat. Přenesení objektů vzdálených až miliardy světelných let na fotografický papír či monitor počítače v sobě skýtá nepopiratelnou atraktivitu. Pro neprofesionální nadšence jsou dnes cenově dostupné technologie, které ještě před několika desítkami let neměli k dispozici sami vědci. Sečteno, podtrženo, amatérská astronomie a astrofotografie se těší velké oblibě. Na cestě k dokonalé fotografii však musí každý astrofotograf překonat celou řadu překážek. Jednou z nich je správné zaostření. První kapitola této práce se krátce věnuje různým metodám zaostření, mezi nimiž nachází difrakční masky, které mohou být elegantním řešením. Dále se první kapitola zabývá vlnovou optikou a teorií difrakce, kde nalézáme způsob, jak matematicky popsat optickou soustavu, jakou dalekohled s difrakční maskou je. Toto řešení si odnášíme do druhé kapitoly, kde s jeho pomocí vytvoříme matematický model simulující danou optickou soustavu a difrakční obrazce vznikající v okolí ohniskové roviny dalekohledu. Pomocí takového modelu budeme schopni efektivně zkoumat parametry difrakčních masek, zejména pak masky Bahtinovovy. Tato práce si klade za cíl porovnat matematický model vytvořený pomocí počítače s experimentálně získanými daty a následné zkoumání parametrů masky a jejich optimalizaci. Astrofotografové si mnohdy difrakční masky navrhují nebo i vyrábějí sami v domácích podmínkách. V této práci bychom chtěli nalézt odpovědi na to, co a jakým způsobem jednotlivé parametry ovlivňují, a identifikovat ty, které jsou podstatné pro správnou funkčnost difrakční masky. 8

9 Kapitola 1 Teoretická část 1.1 Zaostřování Abychom se mohli zabývat způsoby zaostřování, musíme nejprve vědět co zaostření je a jak ho rozeznáme. Teprve potom můžeme hledat způsoby, jak ho dosáhnout. Naším cílem je zaostřený obraz, tak aby co nejpřesněji a nejvěrněji zobrazoval pozorovaný objekt. Není možné soustředit všechny paprsky světla do jednoho bodu a dosáhnout dokonalého zaostření. Tím, proč to není možné, se budeme zabývat dále v této kapitole. Snažíme se ale o to, abychom soustředili co možná nejvíce světelných paprsků, do co nejmenší možné plošky - rozptylového kroužku. Ve skutečnosti však ideální zaostření ani nepožadujeme, protože existují fyzické limity oka, detektorů jako fotografický film nebo CCD (charge-coupled device) čip a stejně tak tisku či zobrazení na monitoru apod. Nabízí se tedy otázka - jak ostré je dostatečně ostré? Problémy Díky světlu vidíme všechny objekty, at už osvětlené nebo emitující světlo. A tak je celý vesmír propojen. Atomové pohyby ve vzdálených hvězdách mají na tak velkou vzdálenost dostatečný vliv na to, aby uvedly do pohybu elektrony v našem oku - a tak víme o tom, že jsou hvězdy, řekl Richard P. Feynman ve svých Přednáškách [1]. Z teorie paprskové optiky víme, že světlo se šíří přímočaře a podle Fermatova principu nejkratšího času. Chceme-li tedy soustředit paprsky z nějakého světelného bodu do ohniska, musíme přimět světlo, aby se nešířilo pouze po přímce ale i po sousedních drahách tak, že vykompenzujeme čas, o který by se na nich zpozdilo. Toho lze dosáhnout, vložíme-li světlu do cesty čočku nebo zrcadlo daných parametrů. Tímto způsobem lze do ohniska přivést světlo z každého bodu pozorovaného předmětu a vytvořit tak jeho obraz. Pomocí čoček a zrcadel můžeme vytvořit optickou soustavu, v našem případě dalekohled. Každý reálný optický člen konečných rozměrů je zatížen aberacemi. Vlastností všech sférických povrchů je sférická (otvorová) aberace, která způsobuje, že pozorovaný bod na ose se nám zobrazí jako ploška. Mimoosové body deformuje vada zvaná koma, do obrazů podobným kometám. Čočkové dalekohledy podléhají navíc chromatickým aberacím, které jsou způsobené tím, že se světla různých barev šíří ve sklech různými 9

10 rychlostmi. Zobrazujeme-li bílý předmět, nemůžeme zaostřit jednu barvu, aniž by se jiná rozostřila. Dalšími vadami jsou astigmatismus a zklenutí pole. U většiny dalekohledů, se kterými se setkáme, není ohnisková rovina plochá, ale zklenutá. To má za následek, že je-li obraz zaostřen na střed zorného pole, nebudou zároveň zaostřeny objekty v jeho rozích. Ke korekci plochy můžeme použít tzv. rovnač pole, který bude kompatibilní s naším dalekohledem. Jinou možností je hledání kompromisu v podobě zaostření do určitých míst pole (např. do 1{3 od středu zorného pole) v závislosti na konkrétních okolnostech a hledat tak ideální zaostření pro dané pozorování. Při sestavování optické soustavy se snažíme o to, aby se aberace jednotlivých optických členů vzájemně vyrušily, užíváme korekčních destiček a uzpůsobujeme s ohledem na ně tvar jednotlivých komponentů. Existují různé stavby dalekohledů s různou mírou odstranění těchto aberací. Ideální optická soustava neexistuje. Co nejlepší korekcí vad se ale snažíme blížit tzv. fyzikálně dokonalé optické soustavě. Fyzikálně dokonalá soustava je taková soustava, jejíž zobrazovací schopnost je limitována pouze difrakcí. Jedná se o jev, který říká, že elektromagnetické záření, jímž světlo je, se ohýbá za hranice geometrického stínu, který vytváří překážka (viz obrázek 1.1). Ohyb světla na apertuře dalekohledu konkrétně popisuje Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru [[2], viz kap. 4.3]. Rozložení intenzity elektromagnetické vlny znázorňujeme pomocí difrakčního obrazce. Pokud bychom o světle nadále uvažovali jako o paprscích, byl by difrakčním obrazcem jednoduše stín překážky. Zkoumáme-li difrakci, musíme se na světlo dívat z pohledu vlnové optiky. Rozložení energie v difrakčním obrazci je ve skutečnosti dáno Airyho funkcí, jak je znázorněno na obrázku 1.1. Samotný difrakční obrazec představuje Airyho disk obsahující téměř 84 % energie, obklopený soustavou soustředných kroužků. Jeho průměr určuje maximální rozlišovací schopnost optické soustavy.... Airyho funkce Airyho obrazec záøení štìrbina senzor Obrázek 1.1: Airyho funkce. K tomu, abychom v dalekohledu mohli pozorovat dvě úhlově blízké hvězdy, nestačí zvyšovat zvětšení. Nad určitou mezí nám zvětšení už nedává žádné nové informace. Problémem je, že při pozorování úhlově blízkých objektů splývají jejich rozložení intenzity. Rayleighovo kritérium říká, že dva objekty rozlišíme v případě, že maximum 10

11 rozložení intenzity jednoho připadá do prvního minima rozložení intenzity druhého. Vyjádříme-li tuto rozlišovací mez ψ vzorcem, dostaneme ψ 1,22 λ D, (1.1) kde, je-li λ vlnová délka světla v nanometrech a D průměr apertury v milimetrech, získáme výsledek v úhlových vteřinách. Tento vztah můžeme zapsat i v základním tvaru převodem jednotek délky na metry a úhlových vteřin na radiány: ψ 5,91 λ D. (1.2) Každý astronom, který chce pozorovat oblohu ze zemského povrchu, se musí potýkat se seeingem. Označujeme takto turbulence a neklid atmosféry dané fluktuacemi teploty a promícháváním vrstev různé teploty a hustoty. Výsledkem těchto jevů je rozmazaný obraz při dlouhých expozicích a mihotání hvězd a rychlé změny při expozicích krátkých. V ČR se hodnota seeingu pohybuje typicky od 2 do 5 úhlových vteřin, ale existují lokality, kde jeho velikost klesá pod 1 2 (při dobrých povětrnostních podmínkách). Slovy Isaaca Newtona: Vzduch skrze kterým se díváme na hvězdy je v neustálém třesu (... ) Jediným řešením je klidný a tichý vzduch, který by mohl být nalezen ve vysokých horách nad hustými mraky. 1 Nejlukrativnější pozorovací pozemská pozorovací místa se skutečně nacházejí ve vysokých nadmořských výškách nad vrstvou atmosféry, ve které probíhá teplotní inverze. Atmosféra je zde suchá a současně dochází k laminárnímu proudění větrů, které přicházejí od oceánu (chilské Andy, Havaj, Tenerife, aj.). Musíme být schopni rozeznat špatné zaostření a vliv seeingu. Přestože jednotlivé hvězdy mohou mít mezi sebou příslovečné astronomické vzdálenosti z pohledu zaostřování při pozorování ze Země, jsou všechny tzv. v nekonečnu. Není ale možné vyrábět dalekohledy s fixním zaostřením na nekonečno, protože musíme brát v úvahu teplotní roztažnost, jíž podléhá materiál konstrukce dalekohledu při každém pozorování. V neposlední řadě závisí výsledné zaostření na kvalitě našeho teleskopu a kamery Hloubka ostrosti Na obrázku 1.2 máme zobrazenou jednoduchou optickou soustavu tvořenou jednou tenkou čočkou s ohniskovou vzdáleností f a průměrem D, která soustřed uje světlo z předmětu v nekonečnu do ohniska F. Načrtnuté paprsky ohraničují pomyslný světelný kužel, který konverguje do bodu F a diverguje na cestě z něj. Na začátku této kapitoly jsme si položili otázku jak ostré zobrazení je dostatečně ostré. Víme, že díky difrakci nelze získat bodový obraz, nýbrž rozptylový kroužek o velikosti Airyho disku. Díky tomu existuje rozsah vzdálenosti, v rámci níž můžeme umístit detektor a stále získat nejostřejší možný obraz. Této vzdálenosti f říkáme hloubka ostrosti. Na obou jejích hranicích je úhlová velikost rozptylové plošky dána vzorcem 1.1, resp. 1.2, jinými slovy má velikost Airyho disku. Velikost rozptylové plošky v metrech získáme vynásobením úhlové velikosti ψ ohniskovou vzdáleností f. Na základě těchto znalostí můžeme odvodit velikost f vyjádřením velikosti úhlu Θ ze dvou žlutě 1 Přeloženo z [3] 11

12 o D È F øf Äf f Obrázek 1.2: Odvození hloubky ostrosti f. vyznačených trojúhelníků na obrázku 1.2: pak tan Θ D 2f ψf 2 2 f 5,21λf D 1 f, ˆ 2 f f 11,82 λ 11,82 λγ 2, (1.3) D kde γ nazýváme clonové číslo, které reprezentuje převrácenou hodnotu světelnosti dalekohledu. Světelnost udává, kolik světla dopadne na plochu vymezenou jednotkou prostorového úhlu v ohniskové rovině, což z ní dělá jeden z nejdůležitějších parametrů dalekohledu. Ze vzorce je zřejmé, že čím větší světelnost, tím menší je hloubka ostrosti a tedy tím přesnější musíme při zaostřování být. Velikost hloubky ostrosti je velice malá a pohybuje se od desítek po stovky mikrometrů. Při jejím překročení na jednu nebo druhou stranu se velikost rozptylového kroužku zvětšuje. V teorii by se všechny paprsky setkaly v ohnisku a vytvořily bodový obraz. V praxi proložíme bodem F rovinu kolmou na osu o a mluvíme o ohniskové rovině, kam umístíme senzor S. S ohledem na zklenutí pole musíme navíc počítat se zakřivením ohniskové roviny. Obrazy mimoosových bodů A a B na obrázku 1.3 se potom nevytvoří přímo na senzoru. Zklenutí z na tomto obrázku nepřesahuje hloubku ostrosti f. V případě, že by platilo z ą f, převzalo by zklenutí roli limitujícího faktoru. Jako senzor můžeme použít např. CCD čip. Je-li velikost jednoho pixelu čipu větší než ψf, bude udávat toleranci tato velikost pixelu. Co se týče rozlišovací schopnosti oka, bod se zobrazí jako ostrý, pokud je na výsledné fotografii v konvenční zrakové vzdálenosti menší než 0,25 mm. Podobným způsobem musíme vzít v úvahu sférickou a barevnou aberaci nebo vliv seeingu. Ten faktor, který má v danou chvíli převahu udává celkovou toleranci s jakou můžeme umístit senzor a získat zaostřený obraz ve smyslu kontrastu a rozlišení. 12

13 A S B o Äf Metody Ä z Obrázek 1.3: Zklenutí pole z vs. hloubka ostrosti f. Při pozorování astronomickým dalekohledem můžeme jako detektor použít své vlastní oko. V tom případě mluvíme o vizuálním pozorování a veškeré zaostřovací metody jsou subjektivní. Výsledek je ovlivněn našimi případnými vadami zraku, únavou, alergiemi apod. Soustava se může jevit zaostřená ve větším rozsahu, než je ve skutečnosti možné vlivem akomodace oka. Naše oko si obraz doostří samo, aniž by byl objektivně ostrý, což se projeví v případě, že jako detektor zvolíme fotografický film nebo CCD čip a vytvoříme tak fotografii. V následujícím výčtu se budeme zabývat pouze objektivními metodami zaostření pro účely astrofotografie. Většina moderních fotoaparátů je vybavena systémem pro automatické zaostřování, tzv. autofokusem. Existují dvě varianty tohoto systému. Jednu nazýváme aktivní a spočívá ve vysílání signálu k fotografovanému objektu a měření jeho vzdálenosti od nás. Druhá metoda je pasivní a je založena na užití senzorů kontrastu. Jinými slovy na hledání rozhraní mezi světlými a tmavými přechody objektu. Použití aktivního autofokusu při astronomickém pozorování není možné. V případě pasivního si dovedeme představit užití v případě fotografování Slunce nebo Měsíce. Naším cílem je však zaostřování na bodových objektech - hvězdách. Již z definice vidíme, že pasivní autofokus bude prakticky nefukční pro typické scény, se kterými se setkáváme v astrofotografii (úhlově malé kontrastní body na rovnoměrně osvětleném pozadí). Pro získání kvalitního ostrého obrazu musíme zaostřit manuálně. Dnes už existuje široká paleta metod zaostřování. Od výhodné metody očekáváme přesnost, rychlost, opakovatelnost, konzistenci a nízkou cenu. Každá metoda s sebou nese určitá omezení a na nás je najít kompromis. Metody zaostření můžeme rozdělit např. podle přesnosti, jak ukazuje následující tabulka: 13

14 Nízká přesnost Střední úroveň přesnosti Vysoká přesnost Prizmatický hledáček Bahtinovova maska Ostří nože Postupné expozice Trasování hvězd Video Hartmannova maska Parfokální krátkoohniskový okulár Hybridní metody Tabulka 1.1: Rozdělení metod zaostřování podle přesnosti. Prizmatický hledáček Jako první se nabízí možnost zaostřit pouhým pohledem na matnici fotoaparátu. Tato metoda v astrofotografii nepřináší dobré výsledky a obecně se nedoporučuje. Předpokládá se perfektně zkolimovaná soustava a kvalitní správně umístěná matnice. Chceme-li se přesto vydat touto cestou, zvýšit přesnost můžeme zde i u řady dalších metod použitím lupy. Zvětšení obrazu na matnici nám pomůže zaostřit, musíme ale počítat se ztmavnutím obrazu. Tímto způsobem nelze zaostřovat na slabých objektech. Postupné expozice Vyfotíme-li hvězdu, můžeme si ji poté prohlédnout pomocí digitálního zoomu na displeji fotoaparátu nebo obrazovce počítače. Zvolíme-li krátkou expozici, můžeme vyfotit řadu snímků s postupnou změnou zaostření a porovnávat velikost nafocených hvězd. Tento výběr přímo závisí na našem úsudku. Mnohem lepších výsledků můžeme dosáhnout použitím softwaru. Již u starší generace zrcadlovek byly k dispozici programy, ve kterých se daly snímky stáhnuté do počítače zkoumat. Bylo možné měřit jasnost nebo průměr focených hvězd. Dnes už můžeme na monitoru pozorovat obraz ve fotoaparátu v reálném čase. Výhodou je, že kvalitu zaostření porovnáváme na skutečných snímcích. Musíme být ale schopni vrátit se do místa nejlepšího zaostření, případně zde opakovat postup s menším krokem. Takovýto postup můžeme kombinovat i s následujícími metodami zaostřování. Hartmannova maska Hartmannova maska je disk z neprůhledného materiálu, ve kterém jsou vyříznuty dva nebo tři otvory kruhového nebo trojúhelníkového tvaru. U masek se dvěma kruhovými otvory se můžeme setkat také s označením Scheinerův disk. Takovouto masku umístíme před objektiv pro proces zaostření a před samotným fotografováním ji odejmeme. Obrázek 1.4 znázorňuje průchod rovinné vlny optickou soustavou s Scheinerovým diskem resp. Hartmannovou maskou. Paprsky procházející otvory v disku se protínají v ohniskové rovině. Pokud bychom do ní umístili detektor, získali bychom obraz jedné rozptylové plošky. Při posunu detektoru na jednu nebo druhou stranu podél optické osy o by se ale obraz rozdělil na dva (popřípadě na tři) a se vzrůstající vzdáleností od ohniska by se od sebe tyto obrazy čím dál více vzdalovaly. Posun detektoru provádíme právě zaostřováním. Dalekohled je zaostřen jestliže jednotlivé obrazy rozptylových plošek splynou v jeden. Posoudit toto splynutí obrazů může být náročné. Díky značnému zaclonění apertury není možné zaostřovat s touto 14

15 Scheinerùv disk F o záøení optická soustava ohnisková rovina Obrázek 1.4: Princip Scheinerova disku. metodou na slabších objektech. Výhodou je, že takovou masku je snadné vyrobit např. z kartonu. Na podobném principu a s podobným omezením funguje i použití pomocného kříže nebo tzv. motýlku. K tomuto účelu lze využít i podpěry sekundárního zrcadla u Newtonova dalekohledu. V tomto případě vidíme obraz kříže 2x a při zaostření dojde k jejich splynutí a zjasnění. Obrázek 1.5: Hartmannova maska (vpravo převzato z [4]). Bahtinovova maska Bahtinovova maska je podobně jako Hartmannova difrakční maskou z neprůhledného materiálu. Tvoří ji disk, ve kterém jsou vyřezané štěrbiny podle určitého vzorce: 15

16 kruhový otvor je střední příčkou rozdělen na dva půlkruhy, v jednom z nich jsou štěrbiny vodorovně pod sebou ve druhém štěrbiny v dolní a horní polovině vzájemně svírají úhel 40. Dá se říci, že ji tvoří tři samostatné mřížky. Toto rozložení má za cíl vytvořit tři šikmé difrakční paprsky v ohniskové rovině. Dva z nich společně tvoří tvar písmene X. Třetí se při zaostřování zdánlivě pohybuje z jedné strany hvězdy na druhou. Ve skutečnosti se pohybují všechny tři difrakční paprsky, ale centrální paprsek se pohybuje v opačném směru než ostatní dva. Ideálního zaostření je docíleno ve chvíli, kdy je tento paprsek vycentrován a umístěn symetricky mezi ostatními dvěma. Tímto způsobem lze zpozorovat i malé odchylky od optimálního zaostření. Opět nelze zaostřovat na slabých objektech. Obrázek 1.6: Bahtinovova maska (vpravo převzato z [5]). Na internetu se objevila variace na Bahtinovu masku, která je podle slov autora dostatečně odlišná na to, aby si zasloužila vlastní jméno. Tzv. Careyho maska je rozdělena kolmými průměry na čtyři mřížky. U Bahtinovy masky v jednom půlkruhu svírají štěrbiny v horní polovině s těmi v dolní polovině úhel 40. U prototypu Careyho masky tyto štěrbiny svírají v jednom půlkruhu úhel 10 a ve druhém 12. Takovéto rozestavení generuje difrakční obrazec sestávající se ze dvou obrazů písmene X s mírně odlišnými úhly. Správného zaostření je dosaženo jsou-li tato dvě X symetrické a protínají se v jednom bodě. Obrázek 1.7: Careyho maska (převzato z [6]). 16

17 Trasování hvězd Provedeme sérii snímků hvězdy s delší expozicí, přičemž budeme měnit zaostření v jejím průběhu a zaznamenávat si jednotlivé polohy zaostřovacího šroubu na stupnici, pomocí mikrometru nebo značek. Najdeme nejlépe zaostřenou trasu (světelnou stopu) hvězdy a jí příslušné zaostření na stupnici. Tento postup lze použít jako test. Můžeme například nasbírat data z několika nocí s různou teplotou vzduchu a vytvořit si graf závislosti zaostření na změně teploty a řídit se podle něj. Tuto metodu lze modifikovat použitím Hartmannovy masky. Na fotografii potom můžeme vidět dvě resp. tři přibližující se světelné trasy. Parfokální krátkoohniskový okulár Pro užití této metody si musíme nejprve připravit tzv. parfokalizovaný okulár. Budeme k tomu potřebovat okulár s ohniskovou vzdáleností 3 5 mm a redukci. Dalekohled s fotoaparátem či kamerou zaostříme např. pomocí difrakční masky, za světla na nějaký vzdálený objekt nebo jinou metodou. Zaostření fotoaparátu zafixujeme, odšroubujeme fotoaparát a nahradíme ho redukcí s krátkoohniskovým okulárem. V rámci redukce okulárem pohybujeme, dokud nedocílíme ostrého obrazu a upevníme ho v dané poloze. Takto připravený okulár můžeme poté kdykoliv použít. Před každým fotografováním ho připevníme k dalekohledu. Pomocí zaostřovacího šroubu nalezneme ostrý obraz. Poté vyměníme parfokalizovaný okulár za fotoaparát, který je tímto zaostřený. Ostří nože Pro provedení této metody potřebujeme jasnější hvězdu a ostrý břit. Tento břit umístíme dovnitř fotoaparátu přes kolejničky, kterými se posouvá film, kolmo vůči posuvům okulárového výtahu. Naše oko umístíme přímo za břit. Při pohledu do okuláru uvidíme světelný disk. Otáčením zaostřovacího šroubu bude osvětlená plocha tmavnout z jedné nebo druhé strany, jak břit začne stínit světlu hvězdy. Je-li dalekohled zaostřen, celá plocha ztmavne najednou. Tato metoda není vhodná pro všechny typy refraktorů a může ztrácet na přesnosti při zhoršeném seeingu. Přináší dobré výsledky, ale vyžaduje dostatek zkušeností ze strany uživatele. V dnešní době už se s metodou ostří nože nesetkáme příliš často, nebot fotografický film vystřídaly CCD čipy a pro ně je metoda nepoužitelná. Na trhu existují Ronchi okuláry, které pracují na stejném principu. Na místo jednoho břitu zde najdeme hned několik linií, což činí celý proces snazším. Video Během pozorování lze na některých fotoaparátech či kamerách zobrazovat video v reálném čase. Takové video můžeme zvětšit a podrobněji prozkoumat, připojímeli k fotoaparátu nějaké přídavné zařízení. Dříve se používaly přenosné televize nebo watchmany. Dnes můžeme užít např. tabletu nebo notebooku. Metoda založená na pozorování videa může být velmi přesná, protože si prohlížíme obraz přímo na potenciálních snímcích. 17

18 Lze postupovat i exaktněji, užitím příslušného softwaru a motorového ostření. Takové programy se snaží vzít do úvahy co možná nejvíce proměnných. Zkoumají obraz a hledají bud minimální průměr pozorované hvězdy výpočtem přes pološířku píku intenzity záření (FWHM) nebo sledují intenzitu signálu v maximu píku. Místo zaostření poznáme podobně jako u metody pokusných expozic teprve potom, co se dostaneme za něj. Musíme tedy být schopni vrátit se zpět do příslušné pozice zaostření. Překážkou této metody může být špatný seeing a předpokládá se dobrá znalost programu a zkušenosti. Hybridní metody Chceme-li dosáhnout precizního zaostření, můžeme výše uvedené metody kombinovat a vytvořit si své vlastní postupy Difrakční masky Každý astrofotograf má oblíbenou metodu zaostření, která mu přináší uspokojivé výsledky pro jeho konkrétní záměr. V dnešní době jsou pro svou jednoduchost, eleganci a všestranné použití velice populární difrakční masky. Roku 1612 sepsal matematik, fyzik a astronom Christopher Scheiner (viz obrázek 1.8) vědecké pojednání o lidském oku, Oculus. Ve své práci zřejmě jako první správně popsal stavbu lidského oka a odvodil, že místem vidění je sítnice. Mimo mnoho dalšího se zabýval zaostřením oka s použitím neprůhledného disku se dvěma malými otvory, který dnes označujeme jeho jménem. Při pozorování takového disku osvětleného bodovým zdrojem, se na sítnici nedokonalého oka vytvoří dva obrazy. Je-li tato nedokonalost způsobena jen a pouze rozostřením oka, můžeme takovou chybu napravit brýlemi příslušných dioptrií. Po této nápravě obrazy splynou v jeden. Obrázek 1.8: Christopher Scheiner (převzato z [7]). Obrázek 1.9: Johannes Hartmann (převzato z [8]). Na Scheinerovu práci navázal německý astrofyzik Johannes F. Hartmann (viz obrázek 1.9). Na samém počátku 20. století pracoval Hartmann na observatoři v Postupimi. Zdejší refraktor o průměru apertury 800 mm nepřinášel takové výsledky, jaké se od něj očekávaly. Ve snaze nalézt zdroj problému sestavil Hartmann svůj slavný screen test. Před objektiv dalekohledu vložil clonu s mnoha otvory. Dovnitř vhodně umístil fotografické desky, které sloužily jako senzor pro vznikající spot diagram. Paprsky procházející v různých místech objektivu tvořily na každé desce jednotlivé body. 18

19 Při testování bezchybného optického systému by linie spojující korespondující body na deskách protínaly optickou osu v jednom místě. Vzhledem k tomu, že linie protínaly optickou osu v různých místech, byl Hartmann schopen odhalit problém. Výše popsané úvahy a experimenty přispěly ke zrodu Shack-Hartmannova senzoru. Tuto technologii, využívá mimo jiné adaptivní optika. Testování navržené Scheinerem a Hartmannem je pro svou jednoduchost a účinnost používáno dodnes. Obrázek 1.10: Pavel Bahtinov (převzato z [9]). V roce 2008 zveřejnil ruský amatérský astronom Pavel Bahtinov (viz obrázek 1.10) nový důmyslný způsob snadného zaostřování. Modifikoval nástroj, kterému dnes říkáme Hartmannova maska do nové podoby. Tak vznikla Bahtinovova maska, jejímž primárním účelem už bylo přímo zaostřování dalekohledů. Zpráva o nové možnosti zaostřování prolétla internetem a setkala se s nadšeným ohlasem. Amatérští astronomové vymýšleli způsoby jak novou masku zrealizovat. Výroba Bahtinovovy masky není tak snadná jako výroba Hartmannovy masky, ale je to možné i v amatérských podmínkách. Dnes už lze zakoupit cenově dostupnou masku na míru z kvalitních materiálů i s úchyty pro konkrétní model dalekohledu. Jak již bylo naznačeno v odstavci věnovanému Bahtinovově masce v 1.1.3, tvoří ji v podstatě tři mřížky neboli tři sady štěrbin. Pro vysvětlení jejich funkce je můžeme zredukovat na tři příčky svírající tytéž úhly a tvořící tak písmeno Y, jak ukazuje obrázek 1.11 vlevo. Větší počet štěrbin v každé sekci potom zapříčiní pouze jasnější lépe pozorovatelný difrakční obrazec typu 1.11 vpravo. Šipky na tomto obrázku ukazují posun jednotlivých difrakčních paprsků při rozostřování dalekohledu jedním směrem (při rozostření druhým směrem, bude směr šipek opačný). Obrázek 1.11: Posun paprsků (převzato z [10]). 19

20 Za kladnı mys lenka vycha zı z principu Scheinerova disku, jak byl vysve tlen na obra zku 1.4. Difrakc nı obrazec ale vypada odlis ne. Dva paprsky tvor ı cı pı smeno X se na m pr i zaostr ova nı jevı na mı ste a pozorujeme pouze pohyb centra lnı ho paprsku z jedne strany na druhou, viz obra zek Pr i posunu detektoru pr ed ohniskovou rovinu se centra lnı paprsek vychy lı k jedne strane a pr i posunu za ohniskovou rovinu ke druhe strane. Lez ı -li centra lnı paprsek symetricky uprostr ed X, znamena to, z e jsme detektor umı stili do ohniskove roviny (resp. do intervalu f, viz obra zek 1.2), dalekohled je zaostr en a pr ipraven k fotografova nı. Obra zek 1.12: Posun centra lnı ho paprsku pr i zaostr ova nı. Pr i konstrukci opticky ch soustav pohlı z ı me na sve tlo jako na soubor paprsku. Chceme-li ale studovat podrobne ji difrakc nı masky, pomocı nichz se tvor ı difrakc nı obrazce v ohniskove rovine, musı me se zaby vat vlnovou optikou. Pra ve vlnova podstata sve tla umoz n uje difrakci a potaz mo i uz itı Bahtinovovy masky. 1.2 Vlnova optika V nas em makroskopicke m sve te, kde jsou rozme ry objektu kaz dodennı ho z ivota mnohem ve ts ı, nez je vlnova de lka sve tla, na prvnı pohled vlnove vlastnosti sve tla nepozorujeme. Zkouma me-li ale jevy jako je difrakce nebo interference, musı me pohlı z et na sve tlo jako na soubor vln. Pr esne to de la vlnova optika, ktera se r ı dı ne kolika postula ty: rychlost sve tla v la tkove m prostr edı je da na vztahem: c c0, n (1.4) kde c0 je rychlost sve tla ve vakuu a n nazy va me index lomu, coz je bezrozme rna velic ina pomocı nı z charaktrizujeme dane la tkove prostr edı ; sve tlo popisujeme vlnovou funkcı up~r, tq, ktera spln uje vlnovou rovnici, takova funkce u za visı na poloze ~r px, y, zq a c asu t Vlnova rovnice Chova nı elektromagneticke ho pole popisujı Maxwellovy rovnice. Pro studium difrakc nı ch jevu ve vakuu mu z eme zanedbat objemovou hustotu proudu a plos nou hustotu 20

21 volného náboje a odvodit vlnovou rovnici ve tvaru: 2 u 1 c B2 u 0. (1.5) 2 Bt2 Jedná se o skalární homogenní vlnovou rovnici, kde namísto funkce up r, tq lze dosadit kteroukoli složku vektoru elektrické nebo magnetické intenzity E, H. 2 představuje Laplaceův operátor, který odpovídá 2 B2 Bx 2 + B2 By 2 + B2 Bz 2. Vlnovou rovnicí (1.5) můžeme popsat jakoukoliv elektromagnetickou vlnu v bezeztrátovém dialektrickém prostředí. Jejím řešením může být např. rovinná nebo sférická monochromatická vlna Helmholtzova rovnice Předpokládáme monochromatickou harmonickou vlnu: up r, tq ap rq cosr2πνt + ϕp rqs. (1.6) V této vlně ap rq představuje její amplitudu, ϕp rq fázi a ν je její frekvence. Takovouto vlnovou funkci je vhodné vyjádřit pomocí komplexní funkce, protože pro nás bude snazší počítat s exponenciálou, než s goniometrickými funkcemi. Docílíme toho tak, že na rovnici monochromatické vlny aplikujeme Eulerův vztah: e iz cos z + i sin z, kde i je imaginární jednotka. Vlnová funkce up r, tq představuje reálnou část vlnové funkce U p r, tq, kterou nazýváme komplexní: Up r, tq ap rq e iϕp rq e i2πνt Up rq e i2πνt. (1.7) Dosadíme-li ji do vlnové rovnice (1.5), dostaneme tzv. Helmholtzovu rovnici p 2 + k 2 q Up rq 0, (1.8) která závisí pouze na prostorových souřadnicích. Odseparovali jsme tak časovou složku vlny s časově harmonickým průběhem. V rovnici jsme zavedli vlnové číslo k, které má význam rychlosti změny fáze se vzdáleností. Analogicky k němu můžeme nalézt veličinu, která vyjadřuje rychlost změny fáze s časem, označujeme ji ω a jedná se o úhlovou frekvenci. Mezi těmito veličinami existuje následující vztah: k ω c 2πν c. (1.9) Vlnové číslo dále odpovídá velikosti vlnového vektoru k pk x, k y, k z q. 21

22 Rovinná vlna Zaved me pojem vlnoplochy jako plochy konstantní fáze. Je to plocha, na které jsou konstantní argumenty harmonických funkcí (... ) [11]. Vlnu s rovnoběžnou vlnoplochou jejíž normála je kolmá k vlnovému vektoru k nazýváme rovinnou vlnou. Taková vlna je určitou idealizací, protože teoreticky přenáší nekonečný výkon. Jedna rovinná vlnoplocha je od druhé vzdálena o vlnovou délku, která představuje jakousi periodu v prostoru : Můžeme vyjádřit komplexní amplitudu rovinné vlny λ 2π k c ν. (1.10) Up r, tq A e i k r, (1.11) kde A je komplexní konstanta. Takováto rovinná vlna je řešením Helmholtzovy rovnice. Sférická vlna Sférické vlny tvoří kulové vlnoplochy vzdálené od sebe o velikost vlnové délky. Řešení Helmholtzovy rovnice pro sférickou vlnu má tvar: Up r, tq A r e ikr, (1.12) kde r představuje vzdálenost od počátku šíření vlny a platí r r. Znaménko v exponentu chápeme jako ukazatel směru radiálního šíření vlny, příčemž mínus značí šíření právě od počátku. Budeme sledovat sférickou vlnu šířící se ve směru osy z z počátku soustavy souřadnic tak, aby platilo: a x 2 + y 2! z. Pomocí Taylorova rozvoje nalezneme aproximaci: r a c x2 + y x 2 + y 2 + z 2 z zp1 + x2 + y 2 + px2 + y 2 q q, z 2 2z 2 8z 2 z čehož vyplývá: r «z + x2 + y 2. (1.13) 2z Na základě toho můžeme vztah 1.12 modifikovat do tzv. Fresnelova přiblížení sférické vlny: Up r, tq «A z e ikz e ik x2 +y 2 2z (1.14) Tímto způsobem jsme sférickou vlnu aproximovali vlnou parabolickou. Roste-li z do nekonečna, můžeme sférickou vlnu považovat za rovinnou, jak znázorňuje obrázek Průchod rovinné vlny optickými členy Pro naše účely zanedbáme odraz na povrchu transparentních komponent, kterými se budeme zabývat, stejně tak jako absorpci uvnitř nich. 22

23 Obrázek 1.13: Aproximace sférické vlny (podle [12]). Planparalelní destička Mějme planparalelní destičku tloušt ky d ve vakuu, vyrobenou ze skla o indexu lomu n. Vlnové číslo uvnitř destičky bude potom: k n k 0 (1.15) a vlnová délka λ λ 0 n, (1.16) přičemž index 0 charakterizuje velikost těchto veličin ve vakuu. Zajímá nás k čemu dojde při kolmém dopadu rovinné vlny na destičku. Zasadíme-li destičku do soustavy souřadnic, bude první stěna připadat na z 0 a zadní strana z d. Hledáme komplexní amplitudovou propustnost tpx, yq, kterou můžeme zapsat jako poměr komplexních amplitud: Upx, y, dq tpx, yq Upx, y, 0q. (1.17) Z chování rovinné vlny, které popisuje rovnice 1.11 můžeme s ohledem na 1.15 odvodit, že tento poměr komplexních amplitud bude úměrný expp ink 0 dq a bude tedy platit: tpx, yq e ink 0d. (1.18) Fáze této vlny je rovna ink 0 d a víme, že jeden celý cyklus trvá 2π, z toho je jasné, že fázový posun po průchodu vlny destičkou bude odpovídat ink 0 d 2π d λ. (1.19) V případě, že by tloušt ka destičky byla funkcí příčných souřadnic dpx, yq, kde maximum je d 0, bude se kolem destičky nacházet tenká vrstva vakua o tloušt ce d 0 dpx, yq. Na základě vztahu 1.18 můžeme aproximovat pro paraxiální paprsky následující vztah: Ten lze jednoduše upravit do tvaru: tpx, yq «e ink 0dpx, yq e ik 0rd 0 dpx, yqs. (1.20) tpx, yq «e ik 0d0 e ik 0dpx, yq pn 1q. (1.21) 23

24 Tenká čočka Mějme čočku podle obrázku Podobně jako u destičky s proměnnou tloušt kou je dpx, yq, konkrétně Obrázek 1.14: Model čočky (podle [12]). dpx, yq d 0 P Q d 0 R ar ı 2 px 2 + y 2 q. (1.22) Vzdálenost QC jsme vyjádřili podle Pythagorovy věty pomocí poloměru křivosti čočky R. Zavedeme ohniskovou vzdálenost f «R. Díky tomu po dosazení do rovnice pro propustnost destičky s proměnnou tloušt kou 1.21 dostaneme: ˆ c tpx, yq9 e ikf 1 1 x12 +y 12 f, 2 (1.23) kde jsme zanedbali fázový člen e ink 0d 0, nebot nás bude zajímat veličina úměrné intenzitě, kterou neovlivní. Podobně jako u hledání Fresnelovy aproximace u sférické vlny 1.14 předpokládáme, že a x 2 + y 2! f. Po vzoru 1.13 můžeme vyjádřit dpx, yq «d 0 x2 + y 2 2f (1.24) a dostaneme: tpx, yq9 e ik 0 x2 +y 2 2f. (1.25) Čočka zakřivuje rovinnou vlnoplochu na parabolickou s faktorem x2 +y 2. Jinými slovy 2f soustřed uje dopadající světlo do ohniska Fresnel-Kirchhoffův integrál Lineární optický systém V optickém systému jaký je znázorněn na obrázku 1.15 se šíří sférická vlna ve volném prostoru od objektivu ze vstupní roviny k výstupní rovině. Vstupní signál je popsán 24

25 Obrázek 1.15: Průchod optické vlny volným prostorem mezi vstupní rovinou x 1, y 1 v níž je umístěna čočka a výstupní rovinou x, y, kde písmeno značí její vzdálenost od ohniskové roviny. funkcí fpx 1, y 1 q a výstupní signál funkcí gpx, yq. Společně tyto funkce tvoří lineární systém. Systém považujeme za lineární v případě, že je výstupní signál součtem jednotlivých vstupních signálů (platí tzv. princip superpozice). Šíření vlny Up rq podle obrázku 1.15 popisuje Helmholtzova rovnice 1.8, která je lineární a proto víme, že i celý systém je lineární a můžeme ho popsat následující rovnicí: żż 8 gpx, yq hpx, y; x 1, y 1 q fpx 1, y 1 q dx 1 dy 1. (1.26) 8 Funkci hpx, y; x 1, y 1 q nazýváme rozptylová funkce. Říkáme, že takový systém je izoplanatický, jestliže posunutí vstupního signálu o určitou vzdálenost způsobí stejné posunutí výstupního signálu, aniž by došlo k jakékoliv jiné změně. Rozptylová funkce hpx, y; x 1, y 1 q je potom funkcí rozdílu jednotlivých souřadnic: żż 8 gpx, yq hpx x 1 ; y y 1 q fpx 1, y 1 q dx 1 dy 1. (1.27) Fourierova transformace 8 Podle zobecněného Fourierova teorému [[2], viz dodatek A] můžeme funkci f px, yq rozvést pomocí harmonických funkcí do tvaru integrálu. Funkce fpx, yq a F pν x, ν y q budou tvořit fourierovský pár. Ze znalosti jedné můžeme určit druhou pomocí Fourierovy transformace 1.28 a inverzní Fourierovy transformace żż 8 F pν x, ν y q fpx, yq e i2πpνxx+νyyq dx dy, (1.28) 8 kde ν x, ν y jsou prostorové frekvence. 8 żż 8 fpx, yq F pν x, ν y q e i2πpνxx+νyyq dν x dν y, (1.29) 25

26 Fourierova transformace má mnoho zajímavých vlastností, nejužitečnější z nich pro nás bude konvoluční teorém, který říká: Je-li f px, yq dvourozměrná konvoluce dvou funkcí f 1 px, yq a f 2 px, yq majících Fourierovy transformace F 1 pν x, ν y q a F 2 pν x, ν y q tedy żż 8 fpx, yq f 1 px 1, y 1 q f 2 px x 1, y y 1 q dx 1 dy 1, (1.30) 8 pak Fourierova transformace funkce f px, yq je [2] F pν x, ν y q F 1 pν x, ν y q F 2 pν x, ν y q. (1.31) Rozptylová a přenosová funkce Ze znalosti konvolučního teorému můžeme vztah 1.27 přepsat do následujícího tvaru: gpx, yq hpx, yq fpx, yq, (1.32) kde symbolem označujeme konvoluci. Provedením Fourierovy transformace získáme: Gpν x, ν y q Hpν x, ν y q F pν x, ν y q, (1.33) kde Hpν x, ν y q nazýváme přenosová funkce. Hpν x, ν y q je Fourierovou transformací hpx, yq a platí żż 8 Hpν x, ν y q hpx, yq e i2πpνxx+νyyq dx dy. (1.34) Huygens-Fresnelův princip 8 Podle Huygens-Fresnelova principu [[2], viz kap. 4.1] můžeme každý bod vlnoplochy, do něhož dospělo vlnění pokládat za zdroj elementárního vlnění, který generuje sférickou vlnu typu Výsledná vlnoplocha je vnější obalová plocha všech elementárních ploch. Rozptylová funkce pro šíření ve volném prostoru má následující tvar hpx, y; x 1, y 1 q 1 r e ikr, (1.35) kde r a px x 1 q 2 + py y 1 q 2 + pf + q 2. Můžeme tedy zapsat, že platí hpx, y; x 1, y 1 q 1 a px x1 q 2 + py y 1 q 2 + pf + q 2 e ik?px x 1 q 2 +py y 1 q 2 +pf+ q 2, (1.36) odkud dobře vidíme, že tento systém je izoplanatický. Difrakce Jak již bylo naznačeno v úvodní kapitole, difrakce je jev, který popisuje ovlivnění chodu světla v blízkosti překážek. Je-li # 1 uvnitř otvoru, ppx, yq (1.37) 0 vně otvoru, 26

27 Obrázek 1.16: Huygens-Fresnelův princip (podle [12]). aperturní funkce, pak platí fpx, yq Upx, yq ppx, yq, (1.38) kde fpx, yq a Upx, yq jsou komplexní amplitudy vlny. Aperturní funkce nám vymezuje objektiv dalekohledu, kudy vstupuje světlo. Před objektiv vložíme difrakční masku M px, yq, pomocí níž vymezíme, ve kterých místech bude světlo propouštěno a ve kterých ne: # 1 propustný bod, Mpx, yq (1.39) 0 nepropustný bod. Řešení optické soustavy Obrázek 1.17 znázorňuje naši základní situaci, kterou matematicky popisujeme. M p o F záøení optická soustava Obrázek 1.17: Schéma pozorování objektu v nekonečnu pomocí dalekohledu. 27

28 Z předmětu umístěného v nekonečnu přichází ke vstupní apertuře rovinná vlna. Naše optická soustava ji zakřivuje na vlnu parabolickou a soustřed uje ji do ohniska. Právě k tomu dochází při pozorování hvězdy v centru zorného pole pomocí dalekohledu. Šíření světla skrz Bahtinovovu masku a aperturu dalekohledu popisují členy 1.37 a Následné zakřivení světla pomocí čočky potom člen Tyto vztahy dosadíme do vzorce pro výstupní signál Člen fpx1, y 1 q můžeme rozepsat následovně: ˆ c fpx 1, y 1 q ppx 1, y 1 q Mpx 1, y 1 q e ikf 1 1 x12 +y 12 f 2. (1.40) Pro člen hpx x 1 ; y y 1 q platí vztah 1.36 vyplývající z Huygens-Fresnelova principu. Na základě všech těchto úvah získáme Fresnel-Kirchhoffův integrál: żż ˆ c 8 gpx, yq ppx loomoon 1, y 1 q Mpx looomooon 1, y 1 q e ikf 1 1 x12 +y 12 f looooooooomooooooooon 2 ˆ 8 A B? e ik px x 1 q 2 +py y 1 q 2 +pf+ q 2 ˆ a dx 1 dy 1. loooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon px x1 q 2 + py y 1 q 2 + pf + q 2 D C (1.41) Písmeno značí vzdálenost výstupní roviny gpx, yq od ohniskové roviny. Člen C představuje fázový vliv čočky a šíření světla od čočky do obrazové roviny popisuje člen D. Řešením tohoto dvojného integrálu najdeme podobu difrakčního obrazce v blízkosti ohniskové roviny. Pro analytické vyčíslení je takový integrál příliš složitý. Při jeho řešení proto užijeme numerických metod. Jednou z možností je přímá metoda řešení, např. pomocí lichoběžníkového pravidla, druhou možností je pak užití Fourierovy transformace a konvolučního teorému. Je možné provést i Fourierovu transformaci Fresnel-Kirchhoffova integrálu 1.41, kde F pν x, ν y q bude Fourierova transformace fpx 1, y 1 q a Hpν x, ν y q Fourierova transformace hpx x 1 ; y y 1 q: Gpν x, ν y q F pν x, ν y q Hpν x, ν y q. (1.42) V těchto a podobných případech se využívá Fresnelovy aproximace, podobně jako jsme to udělali při aproximaci sférické vlny parabolickou v části Víme, že f + " x, x 1, y, y 1, f + " x x 1, y y 1, a proto můžeme zavést Fresnelovu aproximaci Fresnel-Kirchhoffova integrálu pomocí r a px x 1 q 2 + py y 1 q 2 + pf + q 2 «pf + q ˆ1 + px x1 q 2 + py y 1 q 2 (1.43) 2 pf + q 2 a využít V konečné podobě tedy bude platit: żż 8 gpx, yq ppx 1, y 1 q Mpx 1, y 1 q e ik 0 x2 +y 2 2f ˆ 8 ˆ e ikpf+ q ˆ pf + q 1+ px x1 q 2 +py y 1 q 2 2 pf+ q px x1 q 2 +py y 1 q 2 2 pf+ q 2 dx 1 dy (1.44)

29 Integrál v této formě stále nelze řešit analyticky. Avšak numerický výpočet prováděný pomocí počítače by mohl být rychlejší. Fresnelova aproximace platí za předpokladu, že k px 12 + y 12 q 2 8f 4! π. (1.45) Na základě toho výpočtem dojdeme k závěru, že by muselo být splněno γ " 25. (1.46) Takto vysoké clonové číslo charakterizuje nízkosvětelné optické soustavy, se kterými se u astronomických dalekohledů typicky nesetkáme. Tímto postupem bychom získali méně přesný výsledek o něco rychleji, celkový přínos této metody je pro nás tedy minimální. 29

30 Kapitola 2 Praktická část Na základě vztahu 1.41, který jsme odvodili v předchozí kapitole, chceme vytvořit počítačový model průchodu světla optickou soustavou s difrakční maskou. Tento model budeme realizovat pomocí interaktivního prostředí a programovacího jazyka MATLAB R společnosti The MathWorks, Inc. Simulací určité optické soustavy získáme difrakční obrazec, který v realitě můžeme pozorovat, resp. fotografovat v ohniskové rovině dalekohledu nebo její blízkosti. Nafotíme i skutečné fotografie hvězdy na noční obloze přes difrakční mřížku. Nakonec porovnáme difrakční obrazce získané oběma způsoby a budeme se dále zabývat tím, jaký vliv na jejich podobu mají jednotlivé parametry difrakční masky. 2.1 Modelování Generátor masek Pomocí MATLABU jsme vytvořili program pro generování Bahtinovových masek (příloha 2). Výstupem programu je černobílý obrázek ve formátu JPEG. Jinými slovy funkce Mpx 1, y 1 q. Obrázek tvoří matice rozměru 2048 ˆ 2048 (případně s menším rozlišením 1024ˆ1024 pro méně výkonné počítače), ve které každý prvek matice s hodnotou 1 představuje bílý bod a každý prvek s hodnotou 0 černý bod. Generátor je implicitně nastaven tak, aby štěrbiny (nezastíněná část) i mezery mezi nimi (zastíněná část) měly stejnou tloušt ku, přičemž platí, že počet štěrbin v prvním půlkruhu zůstává lichý. Stejná hodnota tloušt ky je nastavena i pro příčky, které od sebe navzájem oddělují jednotlivé difrakční mřížky (viz obrázek 1.6). Velikost obrázku zůstává za každých okolností stejná, pomocí nastavitelných parametrů můžeme ale obrázek přizpůsobit dalekohledům různé velikosti. Soustředíme se na parametr udávající počet štěrbin v difrakční masce, který můžeme měnit a zkoumat v závislosti na D nebo f. Některé typy dalekohledů jako např. Newton, mají sekundární zrcátko, díky němuž dochází k centrálnímu zastínění. Pro takové dalekohledy se vyrábějí Bahtinovovy masky s centrálním zastíněním, které můžeme nastavením příslušného parametru simulovat v našem generátoru. Měnit můžeme i úhel, který svírají štěrbiny ve druhém půlkruhu nebo velikost okraje. Konkrétní nastavení některých parametrů si můžeme prohlédnout na obrázku 2.1. Jedním z nastavitelných parametrů je počet štěrbin v prvním půlkruhu, od nějž se 30

31 Obrázek 2.1: Obrázky Bahtinovových masek s různými parametry. Podrobnější popis v textu. odvíjí i jejich počet ve druhém (více v 2.5.1). První maska na obrázku má 29 štěrbin, druhá 21 a třetí pak 11. Úhel je u prvních dvou nastaven na standardních 40 a ve třetím případě je tento parametr roven dvojnásobku (80 ). Druhá maska má nastaveno i centrální zastínení v podobě kruhu o poloměru 120 px (asi 7 % centrálního zastínění). Na podobném principu jsme vytvořili i generátor Hartmannových masek (příloha 3). Zvolili jsme variantu se třemi kruhovými otvory, které leží na vrcholech rovnostranného trojúhelníku (viz obrázek 1.5) Numerická integrace K výpočtu dvojného integrálu ve vztahu 1.41 lze použít vestavěných integračních metod, které MATLAB nabízí. Z teorie víme, že rozložení inzenzity při difrakci na kruhovém otvoru je v paraxiální aproximaci dáno Airyho funkcí. Tato znalost nám dobře poslouží při hledání vhodného řešení integrálu. Pro kontrolu správného postupu budeme nejprve simulovat průchod světla optickou soustavou bez jakéhokoli zastínení objektivu a budeme požadovat, aby rozložení intezity mělo skutečně tvar Airyho funkce. Ve zdrojovém kódu si zadefinujeme vstupní parametry jako průměr apertury D a ohniskovou vzdálenost f. Vše budeme zatím zkoumat přibližně ve středu viditelného spektra, tedy v zeleném světle λ 550 nm. Vytvoříme subintegrální funkci přesně podle vzorce Po té procházíme přes připravenou matici představující vstupní aperturu po jednotlivých souřadnicích a využijeme některou z integračních metod prostředí MATLAB. Mezi ně patří lichoběžníková metoda Z trapzpx, Y q, funkce pro numerický výpočet dvojného integrálu q integral2 pfun, xmin, xmax, ymin, ymax q nebo q quad2dpfun,a, b, c, dq 1. Z absolutní hodnoty vypočteného integrálu uděláme druhou mocninu a získáme tak hledanou intenzitu. Vykreslíme graf intenzity v závislosti na vzdálenosti v milimetrech: 1 Obě tyto funkce jsou adaptivní, užívají se však dva přístupy. První je metoda tiled, kterou užívá jak funkce quad2d, tak funkce integral2 s příslušným parametrem. Při výpočtu je integrovaná plocha rozdělena na jednotlivé obdélníky s využitím kvadraturního pravidla. Druhým parametrem, který může funkce integral2 mít je iterated. Při užití této metody integrace probíhá po jednotlivých dimenzích. 31

32 intenzita [arb. u.] vzdálenost [mm] intenzita [arb. u.] vzdálenost [mm] intenzita [arb. u.] vzdálenost [mm] Obrázek 2.2: Rozložení intenzity v difrakčním obrazci pro velikosti apertury postupně D 50 mm, D 100 mm a D 200 mm. Na obrázku 2.2 vidíme, že správného tvaru graf nabývá pouze pro malá D. To je dáno tím, že Airyho funkce je řešením difrakčního integrálu pro paraxiální prostor. Se zvětšujícím se D ve vstupní rovině se vzdalujeme od osy optické soustavy v předmětové rovině a subintegrální funkce nabývají složitějšího tvaru, jak je vidět z obrázků 2.3 a 2.4. subintegrální funkce [arb. u.] 10 x vzdálenost [mm] subintegrální funkce [arb. u.] x vzdálenost [mm] subintegrální funkce [arb. u.] x vzdálenost [mm] Obrázek 2.3: Řez absolutní hodnotou subintegrální funkce ve středu obrazové roviny pro velikosti apertury postupně D = 50 mm, D = 100 mm a D = 200 mm. subintegrální funkce [arb. u.] x vzdálenost [mm] subintegrální funkce [arb. u.] x vzdálenost [mm] subintegrální funkce [arb. u.] x vzdálenost [mm] Obrázek 2.4: Řez absolutní hodnotou subintegrální funkce v místě třetího minima Airyho funkce pro velikosti apertury postupně D 50 mm, D 100 mm a D 200 mm. Tím, že jsme do optické soustavy nezařadili žádnou difrakční masku, se náročnost výpočtu značně zjednodušila. I přesto trvalo vykreslení Airyho funkce příliš dlouhou dobu. Lichoběžníková metoda se ukázala jako nejpomalejší, nejlepších výsledků jsme dosáhli použitím funkce quad2d nastavením parametru iterated. Ani tato metoda ale neměla s časových důvodů potenciál pro řešení optických soustav s Bahtinovovou maskou, a proto jsme byli nuceni hledat jinou možnost výpočtu Fourierova transformace Díky znalostem o Fourierově transformaci a konvolučním teorému (viz 1.2.4) můžeme provést tzv. 2D rychlou Fourierovu transformaci. Aplikujeme funkci Y fft2pxq 32