SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY PRO 8. A 9. ROČNÍK MGR. BRONISLAVA TRČKOVÁ CZ.1.07/1.1.16/

Transkript

1 2015 SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY PRO 8. A 9. ROČNÍK MGR. BRONISLAVA TRČKOVÁ CZ.1.07/1.1.16/

2 1

3 Obsah 1. Poměr, měřítko Přímá a nepřímá úměrnost Procenta Mocniny Pythagorova věta, pravoúhlý trojúhelník Racionální čísla číselné výrazy Mocniny Čtyřúhelníky Středová souměrnost Výrazy Hodnota výrazu Mnohočleny ) Úpravy mnohočlenů Vzorečky Kruh, kružnice Lineární rovnice Slovní úlohy pohyb Statistika Válec Směsi a roztoky Společná práce Rovnice o dvou neznámých Soustava dvou rovnic o dvou neznámých Užití Pythagorovy věty Grafické řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých Dělení úsečky

4 28. Goniometrické funkce Užití goniometrických funkcí Lineární funkce Jehlan Kužel Lomené výrazy Koule Graf nepřímé úměrnosti Finanční matematika Zdroje

5 1. Poměr, měřítko 1. Alena, Michal, Petr a Jitka dostali odměnu 7 280,-Kč. Rozdělili si ji v poměru 2 : 1 : 3 : 4. Kolik korun obdržel každý? 2. Jaká je vzdálenost v terénu, je-li na mapě v měřítku 1 : naměřena 5,7 cm? 3. Jaká je vzdálenost na mapě v měřítku 1 : , je-li ve skutečnosti 1,075 km? 4. Alena, Michal, Petr a Jitka dostali odměnu ,-Kč. Rozdělili si ji v poměru 6 : 3 : 5 : 7. Kolik korun obdržel každý? 5. Alena, Michal, Petr a Jitka dostali odměnu 9 075,-Kč. Rozdělili si ji v poměru 2 : 1 : 3 : 5. Kolik korun obdržel každý? 6. Marcel, Michal, Petr a Jitka dostali odměnu ,- Kč. Rozdělili si ji v poměru 5 : 2 : 3 : 1. Kolik korun obdržel každý? 7. Jaká je vzdálenost v terénu, je-li na mapě v měřítku 1 : naměřena 8,7 cm? 8. Alena, Michal, Petr a Jitka dostali odměnu ,-Kč. Rozdělili si ji v poměru 4 : 3 : 5 : 2. Kolik korun obdržel každý? 9. Jaká je vzdálenost na mapě v měřítku 1 : , je-li ve skutečnosti 8,48 km? 10. Urči vzdálenost a) ve skutečnosti, je-li na mapě s měřítkem 1 : ,7 cm b) na mapě s měřítkem 1 : , je li ve skutečnosti 1,2 km 4

6 2. Přímá a nepřímá úměrnost 1. Ve škole koupili 28 učebnic fyziky a zaplatili za ně 1 260,- Kč. Kolik by zaplatili za 70 učebnic? 2. Ve škole koupili 46 učebnic chemie a zaplatili za ně 5 957,- Kč. Za kolik knih b zaplatili Kč? 3. Ve škole koupili 28 učebnic dějepisu a zaplatili za ně 1 260,- Kč. Kolik by zaplatili za 70 učebnic? 4. Ve škole koupili 32 učebnic matematiky a zaplatili za ně Kč. Kolik b zaplatili za 43 učebnic? 5

7 3. Procenta 1. Panu Holečkovi byl zvýšen měsíční plat o 15 % na ,- Kč. Kolik korun činí toto zvýšení? 2. Panu Novákovi byl zvýšen měsíční plat o 2 074,- Kč na ,- Kč. Kolik procent činí toto zvýšení? 3. Panu Zídkovi byl zvýšen měsíční plat o 12 % na ,- Kč. Kolik korun činí toto zvýšení? Jaký měl původní plat? 4. Panu Jasnému byl zvýšen měsíční plat o 3 344,- Kč na ,- Kč. Kolik procent činí toto zvýšení? Jaký byl původní plat? 6

8 4. Mocniny 1. Vypočítej: 21,3² = (-9 + 6) ² = (5. 4 8) ² = - 0,6² = 43,3² = (-9-6) ² = ( ) ² = - 0,17² = ( ) ² = - 0,8² = 87,6² = ( ) ² = 73,3² = (-11-6) ² = - 0,08² = ( ) ² = = 52, 4 = 6, 63 = = 652, 4 = = 14, 63 = = = = = = = = = 7

9 5. Pythagorova věta, pravoúhlý trojúhelník Zjisti, zda trojúhelník ABC je pravoúhlý: ( náčrtek) a) a = 6 cm, b = 7 cm, c = 9 cm b) a = 9 cm, b = 12 cm, c = 15 cm c) a = 31 cm, b = 32 cm, c = 7 cm d) a = 11 cm, b = 19 cm, c = 15 cm e) a = 4 cm, b = 7 cm, c = 11 cm f) a = 80 cm, b = 18 cm, c = 82 cm g) a = 5 cm, b = 8 cm, c = 11 cm h) a = 40 cm, b = 10 cm, c = 42 cm i) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm j) a = 40 cm, b = 9 cm, c = 41 cm Pomocí Pythagorovy věty vypočítej v pravoúhlém trojúhelníku: ( náčrtek) a) přeponu, jsou li odvěsny 23 cm a 50 cm b) odvěsnu, jsou li zbývající strany 184 mm a 96 mm c) přeponu, jsou - li odvěsny 11 cm a 60 cm d) odvěsnu, jsou li zbývající strany 145 mm a 144 mm e) přeponu, jsou - li odvěsny 112 cm a 15 cm f) odvěsnu, jsou li zbývající strany 24 mm a 19 mm g) přeponu, jsou - li odvěsny 82 cm a 15 cm h) odvěsnu, jsou li zbývající strany 25 mm a 21 mm i) přeponu trojúhelníku, je-li a = 5 cm, b = 10 cm j)urči odvěsnu trojúhelníku, je-li a = 4 cm, c = 11 8

10 6. Racionální čísla ( 3 4 ( ) : 7 5 = ) : ( ) = - 0,3. (- 0,09). 3 = 0,29 : (- 0,29) = = ( 3 5 ). 7 = ( 3 5 ). ( ) = ,4. (- 0,07). 4 = - 10,29 : 10,29 = = 9

11 7. číselné výrazy 1. Vypočítej {[ (1 + 9) 2. 5] 2} = {[8 3. (12 9) + 5] 7} + 1 = {[ ( ) ] 2} = = {[ ( ) + 5] 2. 16} = = 2. Zapiš mocninami: = 15 9 : 15 8 = ( 3 4 ) 8 = ( 4. 5) 3 = 2. Zapiš mocninami: = 12 6 : = ( 4 4 )7 = = 12 6 : 12 3 = ( 4 4 ) 6 = 3. Vypočítej: ( 8. 25) 2 = = 15 3 : 15 8 = ( 3 4 ) 8 = ( 4. 25) 3 = 10

12 8. Mocniny 10 1) Napiš rozvinutý zápis čísla pomocí mocniny čísla 10: = = = = = = = = 2) Zapiš čísla ve tvaru a. 10 n, 1 < a < 10 (na 2 desetinná čísla) = = = = = = = 11

13 8. Čtyřúhelníky 1. Narýsuj lichoběžník ABCD, AB CD, AB = 0,68dm, AD = 0,5 cm CD = 1 2 AB, < DAB = 80, (obrázek, rozbor, popis, rýsování). * Vypočítej jeho obsah. 2. Narýsuj pravoúhlý lichoběžník ABCD, s pravým úhlem u vrcholu A, když AB CD, AB = 7,3 cm, BC = 4,7 cm, AD =3,5 cm (obrázek, rozbor, popis, rýsování). * Vypočítej jeho obsah. 3. Narýsuj lichoběžník ABCD, AB CD, AB = 7,2 cm, AD = 6 cm, CD = 1 AB, < DAB = 72, (obrázek, rozbor, popis, 2 rýsování). *Vypočítej jeho obsah. 4. Narýsuj pravoúhlý lichoběžník ABCD, s pravým úhlem u vrcholu A, když AB CD, AB = 5,3 cm, BC = 3,7 cm, AD = 2,5 cm (obrázek, rozbor, popis, rýsování). 5. Narýsuj pravoúhlý lichoběžník ABCD, s pravým úhlem u vrcholu A, když AB CD, AB = 9,3 cm, BC = 5,7 cm, AD = 4,5 cm (obrázek, rozbor, popis, rýsování). * Vypočítej jeho obsah. 12

14 9. Středová souměrnost 1) Ve středové souměrnosti zobraz trojúhelník ABC x S 2) Ve středové souměrnosti sestroj trojúhelník ABC x S 13

15 10. Výrazy Zjednoduš výraz 9. x. x 4. x. x. = x. 3. x. 8. y. x = a 3. b. a a. b = ( -3b). 2. (2b). 7 = 5. x. x. x. x. x. x = x. 3. x. y. x. 6 = a 3. b. a a. b = ( -b). 2. (-b). 7 = Zjednoduš výrazy: 4. x 2. x 3. x 5 = x. 3. x y 3 = a a. a 2. 2b = 3. x 2. x 7. x 2 = 2x. 2. x 4. x = a 3. b. 6. a. 3b = 14

16 11. Hodnota výrazu 1) Těleso padající k zemi, proletí za čas t (v sekundách) dráhu s = 5. t 2. Určete dráhu, kterou těleso proletí za 1s, 2s, 3s, 4s a 5s. Výsledky zapište do tabulky 2) Urči hodnotu výrazu: 3 x 4. y pro a) x = 2, y = -2 b) x = -1, y = 2 c) x = -2, 4 y = -6, 3 3) Urči hodnotu výrazu: 21. x 4. y pro a) x = 1, y = -2 b) x = -2, y = 2 c) x = -3, 4 y = -5, 2 4) Urči hodnotu výrazu: 2 x 5. y pro a) x = 1, y = -2:. b) x = -2, y = 3:... 5) Urči hodnotu výrazu: 2. x 3. y pro a) x = 2, y = -1:. b) x = -4, y = 2:.. 6) Zvuk se šíří ve vzduchu stálou rychlostí 333m/s. Určete dráhu, kterou urazí za 2s, 3s, 4s a 5s. Výsledky zapište do tabulky. 15

17 12 Mnohočleny Urči zda je výraz jednočlen, dvojčlen, trojčlen, mnohočlen A = 4a. 5 B = 5b 2 + c C = x 4 + 4y 5-7 Urči zda je výraz jednočlen, dvojčlen, trojčlen, mnohočlen A = 2x 4 + 3y - 7. B = 2a C = b c Urči zda je výraz jednočlen, dvojčlen, trojčlen, mnohočlen A = 4a. 5 B = 5b 2 + c C = x 4 + 4y 5-7 Urči zda je výraz jednočlen, dvojčlen, trojčlen, mnohočlen A = 2x 4 + 3y 5-1 B = 5b 2-3c. C = 4a

18 13) Úpravy mnohočlenů Vypočítej: ( 2x 2 + 3x 2y + 1) + (x 2-5x + 2) = (3 x 2 + 4x y + 1) - (x 2-3x + 2) = (x 2 y - 2 x 2 + 3x -2) (x 2-5x y + 4) = ( x 6) ( 2x + 2) ( -x -5) = ( 3x + 4). 6 = (2x 3 3x 2 + 5). 4x = 7. (3a + 4b) = (3a 7). a 2. (2 a) = ( 2x + 5). 6 = (6x 3 4x 2 + 5). 2x = 8. (3a - 4b) = (5a 2). a 2. (3 a) = ( 2x 2 + 3x 1) + (x 2-5x + 2) = (3 x 2-4x + 1) - (x 2-3x - 2) = (x 2 y - 2 x 2 + 3x - 2) (x 2-5x 4) = (x 6) ( 2x + 2) ( -x -5) = (x 2 + 5x 1) + (x 2-5x + 2) = (x 2 + 5x - 1) - (x 2-4x - 2) = (2 x 2 + 3x -2) (x 2-5x 4) = ( x 6) ( 2x + 2) ( -x -5) = ( 2x 2-3x -2y + 1) + (x 2 + 5x + 2y -2) = (3 x 2-4x y + 1) - (x 2 + 3x 5y - 2) = (4 (3x 2 + 2y). ( 4y 3-10x) = 17

19 (5 ( 2x 2-3x 2y - 1) + (x 2-5x + 7y + 2) = (6 x 2-4x + y + 1) - (x 2-3x + 6y + 2) = (3x 2-2y). ( 4y x) = ( 2x + 5). 6 = (6x 3 4x 2 + 5). 2x = 8. (3a - 4b) = ( 2x 2-3x +2y + 1) + (x 2 + 5x -2) = (2x 2-4x y + 1) - (x 2 + 3x - 2) = (3x 2 + 2y). ( 4y x) = (3x + 4). 6 = (x 3 3x 2 + 5). 4x = 7. (3a + 4b) = (2x 2 + 3x 2y + 1) + (x 2-5x + 2) = (6x 2 + 4x y + 1) - (x 2-3x + 2) = (3x 2 2y). ( 4y 3 10x) = 18

20 14. Vzorečky Umocni výrazy: ( 1 a 4 6 b4 ) 2 = (0,8 x 3 + 0,06 y 2 ) 2 = (4x 3 + 2y) 2 = (3x + 4) 2 = (-3t + t 4 ) 2 = (7c 5-2d 2 ) 2 = ( a - 7b) 2 = (11c 2 + 8d 3 ) 2 = 4x 2 49 = (-2x 2 + 6x) 2 = ( a - 7b) 2 = (6t + 4). (6t - 4) = (c 2 + 8d) 2 = (-2 + 3x) 2 = Uprav podle vzorečků (4x 3-2y) 2 = ( 2x + 9) 2 = ( 2 + 5b). (2-5b) = (-3s + t) 2 = x 2 16y 2 = ( 1 u + 0,7 5 v3 ) 2 = 19

21 ( 11 b c)2 = ( a - 7b) 2 = (6t + 4). (6t - 4) = (c 2 + 8d) 2 = (-2 + 3x) 2 = ( 6 x + 3 y 5 )² = (3x² - 8y 3 ) ² = (11x y). (11x 8 9 y) = = 83 2 = Rozlož na součin: 144 a 6 16 b 4 = 25x 2 30 x + 9 = 9d 2 +36d + 36 = a 2-8ab b 4 = 169 x 8 36 y 2 = 49 c cd + 25 = a 2 + 8a + 16 = x 2 25 = x 2 = 4x 2 + 4xy + y 2 = x 2-6x + 9 = x 2 = 4x 2-4xy + y 2 = x 2 + 6x + 9 = 20

22 15. Kruh, kružnice 1) Narýsuj kružnici k(s; r = 3,2 cm), vyznač b T, narýsuj tečnu, sečnu a vnější přímku této kružnice. 2) Narýsuj kružnici k(s; r = 3 cm), vyznač b T, tak že ST = 6 cm. Narýsuj tečny kružnice, které procházejí bodem T. (obrázek) 3) Narýsuj kružnici k(s; r = 2,5 cm), vyznač b T, tak že platí ST = 4 cm. Narýsuj tečny kružnice, které procházejí tímto bodem. (obrázek) 4) Narýsuj kružnici k(s; r = 3,1cm), vyznač b T, ǀSTǀ = 4,4 cm, narýsuj tečny ke kružnici.(obrázek, rozbor, popis konstrukce) 5) Otočný zavlažovač, který dostříkne do vzdálenosti 10 m, kropí rovnoměrně kruhovou plochu, která byla oseta travou. Vypočítej obvod a obsah zatravněné plochy, která je zavlažována. 6) Otočný zavlažovač, který dostříkne do vzdálenosti 12 m, kropí rovnoměrně kruhovou plochu, která byla oseta travou. Vypočítej obvod a obsah zatravněné plochy, která je zavlažována. 7) Narýsuj kružnici k(s; r = 2,1cm), vyznač b T, ǀSTǀ = 5 cm, narýsuj tečny ke kružnici.(obrázek, rozbor, popis konstrukce) 8) Narýsuj kružnici k(s; r = 3,1cm), vyznač b T, ǀSTǀ = 6 cm, narýsuj tečny ke kružnici.(obrázek, rozbor, popis konstrukce) 21

23 16. Lineární rovnice Vyřeš lineární rovnice a proveď zkoušku: 3(x -9) + 6 = 5(3x 25) + 4(6 x) 5b 3 b 2 2 = 3b ,2y - 14,3 0,5y = 8y 23,3 0,8y 2,7x 2(1,8 1,2x) = 3(1 0,5x) y 20 + y y = ,8(1,5z 2) -2(4 1,8z) = z 2 v v = 0 3( t + 2) + 2( t 3) = 4( t + 2) + 5( t + 4) 2a a 17 = 15a a ( t + 2) + 2( t 3) = 4( t + 2) + 5( t + 4) (x + 2) = 3x 2(x 5) + (x 2) (v - 1) = 4. (v + 1) - 5 7(y + 6) = 49 x+3 = 2 + x

24 17. Slovní úlohy pohyb 1) Vzdálenost měst je 204 km. Z města A do města B vyjel v 9 hodin osobní automobil průměrnou rychlostí 76 km/h. Ve stejnou dobu vyjel z města B do města A nákladní automobil průměrnou rychlostí 60 km/h. Kdy a kde se potkají? 2) V 9 hodin vyjel z místa A automobil rychlostí 90 km/h. O 40 minut později vyjel za ním jiný automobil rychlostí 60 km/h. V kolik hodin a kde se potkají? 3) Pavlína šla na výlet po turistické cestě průměrnou rychlostí 4 km/h. Libor za ní vyšel o hodinu později a spěchal rychlostí 7km/h. Za jak dlouho a po kolika km Libor Pavlínu dostihne? 4) V 10 hodin vyjel z místa A automobil rychlostí 90 km/h. O 20 minut později vyjel proti němu z místa B rychlostí 60 km/h jiný automobil. Vzdálenost míst A a B je 120 km. V kolik hodin a kde se potkají? 5) Z města A do města B vyjel v 9 hodin automobil průměrnou rychlostí 76 km/h. O 15 minut později vyjel z a ním automobil průměrnou rychlostí 80 km/h. Kdy a kde se potkají? 6) V 9 hodin vyjel z místa A automobil rychlostí 80 km/h. O 20 minut později vyjel z města B jiný automobil rychlostí 90 km/h Vzdálenost měst je km. V kolik hodin a kde se potkají? 7) Pavlína šla na výlet po turistické cestě průměrnou rychlostí 4 km/h. Libor za ní vyšel o hodinu později a spěchal rychlostí 6km/h. Za jak dlouho a po kolika km Libor Pavlínu dostihne? 23

25 8) V 10 hodin vyjel z místa A automobil rychlostí 60 km/h. O 30 minut později vyjel proti němu z místa B rychlostí 80 km/h jiný automobil. Vzdálenost míst A a B je 160 km. V kolik hodin a kde se potkají? 9) V 9 hodin vyjel z místa A automobil rychlostí 80 km/h. O 20 minut později vyjel z města B jiný automobil rychlostí 90 km/h Vzdálenost měst je 210 km. V kolik hodin a kde se potkají? 10) V 6.30h vyplul parník rychlostí12 km/h. V za ním vyplul člun rychlostí 42 km/h. V kolik hodin a po kolika km dostihne člun parník? 24

26 18. Statistika Urči relativní četnost v %, aritmetický průměr známek, modus a medián písemky. známky četnost Urči aritmetický průměr známek, modus a medián písemky. známky četnost Urči relativní četnost v %, aritmetický průměr známek, modus a medián písemky. Narýsuj graf (sloupcový nebo kruhový) známky četnost Urči relativní četnost v %, aritmetický průměr známek, modus a medián písemky. Narýsuj graf (sloupcový nebo kruhový) známky četnost

27 Z písemky dostali žáci 9. ročníku tyto známky: 2 krát byla jednička, 5 krát dvojka, 6 krát trojka, 4 krát čtyřka a 3 krát pětka. Zapiš výsledky do tabulky, urči relativní četnost známek v procentech, modus a medián, aritmetický průměr a graf (sloupcový nebo kruhový) Z písemky dostali žáci 9. ročníku tyto známky: 5 krát byla jednička, 7 krát dvojka, 4 krát trojka, 3 krát čtyřka a 1 krát pětka. Zapiš výsledky do tabulky, urči relativní četnost známek v procentech, modus a medián, aritmetický průměr a graf (sloupcový nebo kruhový) 26

28 19. Válec 1) Narýsuj síť válce o rozměrech r = 1,8cm a v = 3,2 cm. Vypočítej jeho povrch a objem. 2) Válcová cisterna na podvozku nákladního auta leží ve vodorovné poloze. Její vnitřní průměr je 2 m a vnitřní délka je 5,5 m. Ze 3 svého objemu je 4 naplněna mlékem. Kolik hl mléka obsahuje? 3) Narýsuj síť válce o rozměrech r = 1,8cm a v = 3,2 cm. Vypočítej jeho povrch a objem. 4) Válcová hřídel turbíny je dlouhá 2,7 m a má průměr 30cm. Vypočítej její objem v krychlových metrech a povrch. 5) Narýsuj síť válce o rozměrech r = 1,5cm a v = 3,1 cm. Vypočítej jeho povrch a objem. 6) Válcová cisterna na podvozku nákladního auta leží ve vodorovné poloze. Její vnitřní průměr je 2 m a vnitřní délka je 5,5 m. Urči její objem. Ze 3 4 svého objemu je naplněna mlékem. Kolik hl mléka obsahuje? 7) Narýsuj síť válce o rozměrech r = 1,6cm a v = 3 cm. Vypočítej jeho povrch a objem. 8) Válcová hřídel turbíny je dlouhá 2,5 m a má průměr 32cm. Vypočítej její objem v krychlových metrech a povrch. 27

29 20. Směsi a roztoky 1) Do 70l vody 80 C teplé bylo přilito 80l vody 20 C teplé. Urči výslednou teplotu. 2) Obchodník smíchal dva druhy kávy a vytvořil 5kg směsi s cenou 1550 Kč/kg. Kolik bylo první kávy, u které 1 kg stojí Kč a kolik druhé, která stojí Kč/kg? 3) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 10 litrů 40% lihu, 22 litrů 50% a 25 litrů 65% lihu? 4) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 30 litrů 50 % lihu a 20 litrů 70% lihu? 5) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 10 litrů 45% lihu a 25 litrů 60% lihu? 6) Obchodník smíchal dva druhy bonbónů, 5 kg dražších po 600 Kč/kg a 4 kg levnější po 150 Kč/kg. Za jakou cenu směs prodával? 7) Obchodník smíchal dva druhy bonbónů, 10 kg dražších po 650 Kč/kg a 5 kg levnější po 200 Kč/kg. Za jakou cenu směs prodával? 8) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 10 litrů 40 % lihu a 25 litrů 65 % lihu? 9) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 45 litrů 50 % lihu a 30 litrů 70 % lihu? 10) Obchodník smíchal dva druhy bonbónů, 10 kg dražších po 650 Kč/kg a 5 kg levnější po 200 Kč/kg. Za jakou cenu směs prodával? 11) Jana má v pokladničce 35 mincí. Spoří si padesátikoruny a dvacetikoruny. Kolik je kterých mincí, když úspory činí Kč? 12) Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 12 litrů 80 % kyseliny, 8 litrů 65 % kyseliny a 20 litrů 42 %. 3b 13) Obchodník smíchal dva druhy čaje a vytvořil 20 kg směsi s cenou 840,- Kč/kg. Kolik bylo prvního čaje, který stojí 600 Kč za 1 kg a kolik druhého, který stojí Kč/kg? 28

30 14) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 10 litrů 40% lihu a 25 litrů 65% lihu? 15) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 45 litrů 50 % lihu a 30 litrů 70 % lihu? 16) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 25 litrů 60 % lihu, 30 litrů 70% lihu a 15 litrů 40 % lihu? 17) Kino navštívilo 210 osob. Kolik bylo dětí a kolik dospělých, když se na vstupném utržilo Kč. Dětská vstupenka stojí 70 Kč, pro dospělé stojí 120 Kč? 18) Obchodník smíchal dva druhy kávy a vytvořil 5kg směsi s cenou 1550,- Kč/kg. 19) Kolik bylo první kávy, u které 1 kg stojí Kč a kolik druhé, která stojí Kč/kg? 20) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 10 litrů 45 % lihu a 25 litrů 60 % lihu? 21) Do školní družiny koupili 22 sad pastelek. Větší sady stály 65 Kč, menší jen 50 Kč. Za všechny sady zaplatili Kč. Kolik bylo kterých? 22) Obchodník smíchal dva druhy bonbónů, 5 kg dražších po 600 Kč/kg a 4 kg levnější po 150 Kč/kg. Za jakou cenu směs prodával? 23) Kolikaprocentní líh získáme smícháním 30 litrů 50 % lihu a 20 litrů 70 % lihu? 24) Paní Beránková si koupila květiny na jarní výsadbu. Begonie byly po 35 Kč a muškáty po 48 Kč. Za 25 sazenic zaplatila Kč. Kolik kterých sazenic koupila? 29

31 21. Společná práce Bubnovou sekačkou je možné posekat louku za 25 minut, lištovou za 35minut. Obě sekačky začaly sekat louku v 6.30 hod. V kolik hodin blo hotovo? Do bazénu vedou celkem tři potrubí. Jedno naplní bazén za 70 minut, další za 50 minut a poslední za 35 minut. Za jak dlouho naplní bazén, když se budou napouštět ze všech tří trubek? 30

32 22. Rovnice o dvou neznámých Najdi dvě řešení rovnice: x - y = - 8 Najdi dvě řešení rovnice: 4x + 5y = 8 Najdi dvě řešení rovnice: 2x + y = 3 Najdi dvě řešení rovnice: 4x + y = 8 Najdi dvě řešení rovnice: x - y = - 2 Najdi dvě řešení rovnice: 2x - y = 1 Najdi dvě řešení rovnice: x - 2y = 5 Najdi dvě řešení rovnice: 3x - y = 6 31

33 24. Soustava dvou rovnic o dvou neznámých Vyřeš soustavu a proveď zkoušku: 5x + 2 y = 8 4x + 3y = 19 3x - 2y = 12 5x + y = - 6 5x - 3y = 4 7x - 4y = 7 2 x + 3 y = -8 3 x 2 y = 27 2x - y = 12 3x + 2y = 25 x + 2y = 7 3x - 4y = x + 3y = -3 5x - 2y = (a + b) + 2. (b a) = 4 2 (a - 2) + 3(b-3) = 0 3a + 6b = - 3 5a - 2b = 19 32

34 3. (x 7) 8.(y + 2) = (x + 9) 6.(y + 13) = 32 4y + 6t = -16-2y + 3t = 4 5. (x 3) 12.(y - 2) = 7 3. (x y) 2.(4x + 7y) = 3 2x 7y = 0-5x + 14y = 7 x + y = 0,5 2x - 4y = 0,4 33

35 25. Užití Pythagorovy věty 1) U krychle ABCDEFGH se stranou AB = 5 cm vypočítej tělesovou úhlopříčku EC (nakresli si krychli a potřebné pravoúhlé trojúhelníky). 2) U krychle ABCDEFGH se stranou AB = 8 cm vypočítej tělesovou úhlopříčku EC (nakresli si krychli a potřebné pravoúhlé trojúhelníky). 3) U krychle ABCDEFGH se stranou AB = 10 cm vypočítej tělesovou úhlopříčku EC (nakresli si krychli a potřebné pravoúhlé trojúhelníky). 4) U kvádru ABCDEFGH se stranami AB = 5 cm, BC = 6 cm, BF = 8 cm, vypočítej tělesovou úhlopříčku EC (nakresli si kvádr a potřebné pravoúhlé trojúhelníky). 5) U kvádru ABCDEFGH se stranami AB = 3cm, BC = 4cm, BF = 5cm, vypočítej tělesovou úhlopříčku EC (nakresli si kvádr a potřebné pravoúhlé trojúhelníky) 6) U kvádru ABCDEFGH se stranami AB = 4 cm, BC = 6 cm, BF = 10 cm, vypočítej tělesovou úhlopříčku EC (nakresli si kvádr a potřebné pravoúhlé trojúhelníky). 34

36 26. Grafické řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých 2x - y = 12 3x + 2y = 25 3x - 2y = 12 5x + y = - 6 Vyřeš graficky soustavu a ověř výpočtem: x + y =- 8 3 x - y = 0 Vyřeš graficky soustavu a ověř výpočtem: 2x - y = 6 x + y = 0 35

37 27. Dělení úsečky Libovolnou úsečku AB rozděl a) na 3 stejné díly b) v poměru 1 : 5 Rozděl úsečku AB, AB = 13,3 cm a) na 5 stejných dílů b) v poměru 3 : 4 Libovolnou úsečku AB rozděl a) na 4 stejné díly b) v poměru 2 : 5 Libovolnou úsečku AB rozděl a) na 5 stejných dílů b) v poměru 2 : 7 Libovolnou úsečku AB rozděl a) na 7 stejných dílů b) v poměru 3 : 5 Rozděl úsečku AB, AB = 11,3 cm a) na 6 stejných dílů b) v poměru 1 : 4 36

38 28. Goniometrické funkce 1) Doplň všechny chybějící údaje v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 9 cm, β = 49 - odvěsnu, přeponu, urči velikosti známých goniom. funkcí pro oba úhly, nezapomeň obrázek. 2) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů 38 27, b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: 0, 2387; 0, ) Doplň všechny chybějící údaje v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 11 cm, β = 28. Urči velikosti známých goniometrických funkcí pro oba úhly, nezapomeň obrázek. 4) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů 82 36, b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: 0, 2387; 0, ) Doplň všechny chybějící údaje v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: c = 11 cm, α = 54. Urči velikosti známých goniometrických funkcí pro oba úhly, nezapomeň obrázek 6) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů 58 17, b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: 0, 7867; 0, ) Doplň všechny chybějící údaje v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: c = 11 cm, α = 54. Urči velikosti známých goniometrických funkcí pro oba úhly, nezapomeň obrázek. 8) Označ vrcholy, zapiš hodnoty ke stranám a dopočítej funkce a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: 15 m 25 m 20 m 9) Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 7 cm, β = 49 (nezapomeň obrázek) 37

39 10) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů sin = cos = tg = sin = cos = tg = b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: 0, 8794 sin α = 0,324 8cos α = 0,238 7 tg α = 0,238 7 α = α = α = sin α = 0,879 4 sin α = 0,879 4 tg α = 0,879 4 α = α = 11) Urči velikost obou odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: c = 13 cm, α = 54. (nezapomeň obrázek) 12) Označ vrcholy, zapiš hodnoty ke stranám a dopočítej funkce a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: 18 m 30 m 13) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů sin = cos = tg = sin = cos = tg = b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: sin α = 0,135 8 cos α = 0,135 8 tg α = 0,135 8 α = α = α = sin α = 0,684 1 sin α = 0,684 1 tg α = 0,684 1 α = α = α = 14) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů 58 17, b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: 0, 7867; 0,

40 29. Užití goniometrických funkcí 1) Věž ústředny je vysoká 84 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, Je- li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 172 m? (stupně a minuty) 2) Na přímé silnici jsou místa A, B od sebe vzdálena 680 m. Místo A je položeno o 42,5 m níže než místo B. Vypočítejte velikost úhlu stoupání.(stupně a minuty) 3) Jak je vysoká věž ústředny vrhající stín dlouhý 43m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 37? 4) Vypočítej délku žebříku, když je opřený o zeď ve výši 6,5 m a svírá úhel se zemí 38. 5) Jaký stín vrhá rozhledna vysoká 43,5m; dopadají li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 28? 6) Věž ústředny je vysoká 84 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, je-li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 172 m? (stupně a minuty) 7) Na přímé silnici jsou místa A, B od sebe vzdálena 680 m. Místo A je položeno o 42,5 m níže než místo B. Vypočítejte velikost úhlu stoupání.(stupně a minuty) 8) Věž ústředny je vysoká 96 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, je-li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 144 m? ( ) 9) Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 220 m. lanovka stoupá v úhlu 51. Vypočítej vzdálenost stanic 10) Jak je vysoká rozhledna vrhající stín dlouhý 46m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 47 39

41 11) Na přímé silnici jsou místa A, B od sebe vzdálena 680 m. Místo A je položeno o 39 m níže než místo B. Vypočítejte velikost úhlu stoupání. 12) Jak je vysoká věž ústředny vrhající stín dlouhý 43m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 37? 13) Vypočítej délku žebříku, když je opřený o zeď ve výši 4,5m a svírá úhel se zemí

42 30. Lineární funkce 1) Narýsuj graf funkce podle tabulky, urči D(f) a H(f) X Y ) Narýsuj funkci, která je daná předpisem y = - 2x, urči definiční obor a obor hodnot (tabulka) 3) Nakresli obrázek lineárních funkcí, urči obor hodnot a jaká je to funkce: y = - 2x; y = 1, 5 4) Lineární funkce je dána b A 1; 3, B 2; 6. Urči předpis, průsečíky s osami, tabulku s 5 b, sestroj graf a napiš jestli je funkce rostoucí 5) Nakresli obrázek lineárních funkcí, urči obor hodnot a jaká je to funkce: y = 3x; y = -2 6) Lineární funkce je dána b A 1; 3, B 2; 3. Urči předpis, průsečíky s osami, tabulku s 5 b, sestroj graf a napiš jestli je funkce rostoucí 7) Lineární funkce je dána b A 1; 3, B 2; 3. Urči předpis, průsečíky s osami, tabulku s 5 b, sestroj graf a napiš jestli je funkce rostoucí. 8) Narýsuj graf funkce y = 1,5 x (narýsuj tabulku s 5 b, graf) Zapiš Df, Hf, napiš, jestli je funkce rostoucí nebo klesající 9) Narýsuj graf funkce y = -1,5 x (narýsuj tabulku s 5 b, graf) Zapiš Df, Hf, napiš, jestli je funkce rostoucí nebo klesající. U10) rči vzorec lineární funkce, narýsuj graf (tabulka) a urči průsečíky s osami, je-li bod A [- 1; -5], bod B[2; -1] 11) Urči vzorec lineární funkce, narýsuj graf (tabulka) a urči průsečíky s osami, je-li bod A[ 1; 1], bod B[ 4; -5] 41

43 31. Jehlan 1) Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je a = 3,2 cm a vt = 8 cm? 2) Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je a = 5,3 cm a vt = 11 cm? 3) Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je a = 8 cm a v = 7 cm? 4) Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je S = 290,4cm 2 a a = 10 cm? 5) Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu, když je S = 280 cm 2 a a = 8 cm? 42

44 32. Kužel 1) Vypočítej povrch a objem kužele, když průměr podstavy je 5,8 cm a tělesová výška je 6 cm 2) Vypočítej povrch a objem kužele, když poloměr podstavy je 6 dm a s = 5 dm Vypočítej povrch a objem kužele, když poloměr podstavy je 3 dm a s = 5 dm 3) Vypočítej povrch a objem kužele, když průměr podstavy je 6,4cm a tělesová výška je 8 cm 4) Vypočítej povrch a objem kužele, když průměr podstavy je 4,4cm a tělesová výška je 15 cm 43

45 33. Lomené výrazy Zkrať lomené výrazy, urči podmínky: x+1 x 2 +x = b+3 b 2 9 = Zkrať lomené výrazy, urči podmínky: z 2 +1 z 3 +z = x 4 1 x 2 1 = Zkrať výrazy, urči podmínky: 2rs 3 3r 2 s = a 2 +ab 4a = Vypočítej, urči podmínky 7x 1 6x 3 + = 4 x2 2+x 8x 3 4x 3x+2 3 = a b 6m n2. = 3m n2 b a k+4 k2 8 k+16 = k 4 k 2 16 Vypočítej a urči podmínky: 1 1 a + 2a 1 a a = 44

46 Vypočítej, urči podmínky: 2x 1 2 x x 3 + = 2+x 8x 3 4x 3x+2 2 = a+b. 9a = 6b 2 3(a+b) 4 a 15a 3 b 16 a2 25ab 2 = 45

47 34. Koule Vypočítej povrch a objem koule, je-li r = 10 cm. Vypočítej povrch a objem koule, je-li průměr 5 cm. Vypočítej povrch a objem koule, je-li r = 5 cm. Vypočítej povrch koule, je-li objem cm 3. Vypočítej objem koule, je-li povrch 452,16cm 2. 46

48 35. Graf nepřímé úměrnosti 1) Narýsuj graf nepřímé úměrnosti: y = 2 x 2) Narýsuj graf nepřímé úměrnosti: y = 3 x 3) Narýsuj graf nepřímé úměrnosti: y = 1 x 4) Narýsuj graf nepřímé úměrnosti: y = 5 x 47

49 36. Finanční matematika Pan Horký vložil na účet u banky Kč. Roční úroková míra je 1,7%. Kolik peněz bude mít na účtu navíc po 1 roce? 4. Pan Sladký vložil na účet u banky Kč. Roční úroková míra je 1,72%. Kolik peněz bude mít na účtu po 1 roce? 5. Paní Nováková si půjčila na kuchyni Kč. Půjčku splatí po 1 roce. Kolik zaplatí navíc, je-li R.U.M 15,2 %? 6. Paní Sýkorová si půjčila na kuchyni Kč. Půjčku splatí po 1 roce. Kolik celkem zaplatí? Paní Fárová si koupila dluhopisy v celkové hodnotě Kč na jeden rok, úroková míra činí 2,4%, daň z úroku je 25%. Kolik obdržela peněz při výplatě? Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na pět let Kč, úroková míra je 4,3%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě? Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na sedm let Kč, úroková míra je 3,3%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě? Pan Liška si půjčil na auto Kč s roční úrokovou mírou17,6%. Kolik musí vrátit, jestliže se zavázal splatit dluh do 1 roku? Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na osm let Kč, úroková míra je 4,9 %, daň z úroku je 15 %. Kolik obdržela při výplatě? Paní Lišková si koupila dluhopisy v celkové hodnotě Kč na jeden rok, úroková míra činí 2,4%, daň z úroku je 25%. Kolik obdržela peněz při výplatě? 48

50 Paní Bízová si uložila na termínovaný vklad na tři roky Kč, úroková míra je 4,1%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě? Pan Liška si půjčil na nábytek Kč s roční úrokovou mírou15,6%. Kolik musí vrátit, jestliže se zavázal splatit dluh do 1 roku? 49

51 Zdroje autor Microsoft Office 2013 Učebnice: prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 8 pro základní školy algebra, SPN Praha 2009 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 8 pro základní školy geometrie, SPN 2009 PhDr. Ivan Bušek PhDr. Vlastimil Macháček Bohumil Kotlík Milena Tichá Sbírka úloh z matematiky pro 8. ročník základní školy Běloun, F. a kol Tabulky pro základní školu, Prometheus Praha 2011 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy algebra, SPN Praha 2010 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy geometrie, SPN 2010 PhDr. Ivan Bušek PhDr. Vlastimil Macháček Bohumil Kotlík Milena Tichá Sbírka úloh z matematiky pro 8. ročník základní školy Pracovní sešity prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 8 pro základní školy algebra, SPN Praha 2009 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 8 pro základní školy geometrie, SPN 2009 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy algebra, SPN Praha 2010 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy geometrie, SPN

52 Randáčková, Marie a kol. - Pracovní karty a šablony pro činnostní učení v matematice pro 8. a 9. ročník, Tvořivá škola Brno