f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

Transkript

1 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že fc 0 Metoda půlení intervalu bisekce hledání nulových bodů funkce Předpoklady: f spojitá na a, b, fa fb < 0 Cíl: Najít c a, b takové, že fc 0 nebo alespoň jeho aproimaci Algoritmus pro fa < 0, fb > 0 jinak analogicky : Konstruujeme posloupnosti a n n, b n n následujícím způsobem, dokud není fc n 0 nebo b n a n < ε, kde ε > 0 je požadovaná přesnost: a 0 a, b 0 b pro n 0,, pokládáme: c n a n + b n a n+ { an pro fc n > 0 c n pro fc n < 0, b n+ { cn pro fc n > 0 b n pro fc n < 0 Příklad 5: Najděte s přesností 0 3 hodnotu 3 0 Řešení: Protože c 3 0 právě tehdy, když c 3 0, budeme hledat nulový bod spojité funkce 3 0 Víme, že 3 8 tj f < 0 a tj f3 > 0 Tedy c bude ležet v intervalu, 3 Metoda půlení intervalu nám dává postupně následující hodnoty podtržena je vždy ta krajní mez intervalu, která se změnila: n fc n a n b n b n a n c n an+bn Zde proces hledání nulového bodu funkce f končí, protože máme b 0 a 0 < 0 3 Hodnotu 3 0 tak bude s požadovanou přesností aproimovat libovolné číslo z intervalu a 0, b 0 Můžeme tedy psát např Důkaz Věty 5: Důkaz provedeme pro případ fa < 0, fb > 0, opačný případ by se dokázal analogicky Jako v metodě bisekce konstruujeme postupně posloupnosti a n, b n, c n, nekontrolujeme ale při tom velikost rozdílu b n a n Mohou nastat dva případy: a Pro nějaké n 0 N platí fc n0 0 V tom případě jsme našli hledaný nulový bod, položíme c : c n0 a s konstrukcí posloupností končíme

2 [MA-8:P5] b Pro všechna n N je fc n 0 V tomto případě máme zkonstruované neklesající posloupnost a n n a nerostoucí posloupnost b n n Protože monotonní posloupnosti mají itu, eistují A, B R tak, že a n A, b n B Přitom b a B A n b n a n n 0 Tedy A B Ze spojitosti funkce f eistuje n A a je rovna fa Z Heineovy věty 33 dostáváme n fb n 0 }{{} >0 fa n fa n 0 }{{} <0 To znamená, že fa 0, takže můžeme položit c : A Důsledek 5 o mezihodnotě: Jestliže je funkce f spojitá na intervalu I, a, b I, a < b a platí fa fb, pak pro každé z ležící mezi fa a fb, tj z fa, fb pro fa < fb a z fb, fa pro fa > fb eistuje c a, b tak, že fc z Tj f má Darbouovu vlastnost Důkaz: Použijeme Větu 5 na funkci z Důsledek 53: Je-li f spojitá na intervalu I, pak nabývá všech hodnot mezi m inf { I } a M sup { I} Důkaz: Je-li z m, M, pak z definice infima a suprema není dolní ani horní mezí množiny fi Tedy eistují α, β I tak, že fα < z < fβ Nyní už stačí použít na interval s krajními body α a β větu o mezihodnotě Důsledek 5: Je-li f spojitá na intervalu I, pak fi { I} je bud jednobodová množina nebo interval Věta 55 Weierstrassova: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b, pak a f je omezená na a, b, b eistují α, β a, b tak, že fα fβ pro každé a, b Tj f nabývá na a, b svého minima a maima Věta 56: Je-li f spojitá na intervalu I, pak f je prostá na I právě tehdy, když je na I ryze monotonní Věta 57: Je-li f spojitá a prostá na intervalu I, pak f je spojitá na fi 5 Věta o střední hodnotě Věta 58 Rolleova: Necht f je spojitá na a, b, v každém a, b eistuje f R a fa fb Pak eistuje c a, b tak, že f c 0 Věta 59 Lagrangeova o střední hodnotě; o přírůstku funkce: Necht f je spojitá na a, b a v každém a, b eistuje f R Pak eistuje c a, b tak, že f c fb fa b a

3 Důsledek 50: Necht f je spojitá na a, b a pro každé a, b platí f 0 Pak f je konstantní na a, b [MA-8:P53] Věta 5 zobecněná o střední hodnotě Cauchyova: Necht f a g jsou funkce spojité na a, b a v každém a, b eistuje vlastní nebo nevlastní f a vlastní g 0 Pak eistuje c a, b tak, že 53 l Hospitalovo pravidlo Věta 5 l Hospitalovo pravidlo: Necht 0 R a pro funkce f, g platí: a g 0 nebo f c g c fb fa gb ga g +, b eistuje Pak eistuje g f g A R a je rovna A Analogicky pro jednostranné ity Poznámka: Může se stát, že eistuje g sin, 0 0 máme g sin sin g, ale f g 0 omez omez 0 0, neeistuje Například pro sin, sin sin přitom f g sin + cos sin cos cos cos 0 omez nee 0 nee nee neeistuje Jiný příklad: Pro + sin, g sin, 0 + g 0 na 0, máme g a g + sin sin + sin + 0 omez sin 0 omez Přitom g cos, takže g k 0 pro každé k N, což ale znamená, že podíl f g není definován na žádném prstencovém okolí bodu 0 a nemůže mít tedy v tomto bodě itu Příklad 5: ln 0 Použití Věty 5 pro ity typu 0 Jestliže 0 a g, pak použijeme jeden z přepisů g g g 0 0 ± ± a můžeme aplikovat Větu 5 V druhém případě jsou ity absolutních hodnot čitatele a jmenovatele

4 Příklad 53: ln 0 + Použití Věty 5 pro ity typu [MA-8:P5] Jestliže g ±, pak lze v obecném případě použít přepis g g g 0 v konkrétních příkladech lze často součin získat jednodušeji a dále postupovat jako výše Příklad 5: cotg 0 5 Taylorův polynom Předpokládejme, že funkce f má n tou derivaci v bodě 0 Hledáme polynom tak, aby Máme T n a 0 + a 0 + a a n 0 n T k n 0 f k 0 pro k 0,, n T 0 n a 0 + a 0 + a 0 + a a a n 0 n, T n a + a a a n a n 0 n, T n a + 3 a a n n a n 0 n, T n 3 a a n n n a n 0 n 3, T n 3 a + + n 3 n n n a n 0 n, T n n 3 n n n a n Odtud dostáváme, že má platit Tedy pro k 0,,, n musí být Máme tak T 0 n 0 a 0 f 0 T n 0 a f 0 T n 0 a f 0 T n 0 3 a 3 f 0 T n 0 3 a f 0 T n n 0 3 n n a n f n 0 k! a k f k 0, tj a k f k 0 k! T n f 0 + f f f f n 0 0 n n! n f k 0 0 k k! T n Taylorův polynom řádu n stupně n funkce f v bodě 0 Taylorův polynom zapisujeme ve výše uvedeném tvaru Členy 0k neroznásobujeme! k0

5 [MA-8:P55] Věta 53 Taylorova; pro 0 0 : Mac Laurinova: Necht funkce f má vlastní derivaci řádu n + n 0 na nějakém okolí U 0 bodu 0 a necht U 0 Pak eistuje mezi body 0 a bod ξ tj ξ, 0 pro < 0, ξ 0, pro > 0 takový, že T n + R n, kde R n f n+ ξ n +! 0 n+ Poznámky : Jestliže je na nějakém U 0 f n+ omezená, tj eistuje-li takové K R, že na U 0 platí f n+ K, pak pro všechna U 0 máme To ale znamená, že a tedy R n K n +! 0 n+ R n 0 n K n +! 0 R n 0 n 0 0, To nám říká, že pro 0 se R n blíží k nule podstatně rychleji než 0 n Funkci R n nazýváme zbytkem řádu n Tento zbytek lze vyjádřit i v jiných tvarech než ve větě 53 Tvar z věty 53 se nazývá Lagrangeův tvar zbytku Příklad 55: Najděte Taylorův polynom řádu funkce g e sin 5 v bodě 0 Řešení: Postupně dostáváme Odtud g g 0 e sin 5 g e sin + e cos e sin + cos g e sin + cos + e cos sin e cos g e cos + e sin e cos + sin g e cos + sin + e sin + cos e sin T e 5 0! 0 + e! + 0! + e 3! 3 + e! g e 5 g e g g g 0 e e e 5 e + e 3 3 e 6 Všimněte si, že úprava derivací nám výrazně zjednodušila další derivování i výpočet hodnot derivací v bodě 0 Kdybychom si nevytkli v každé derivaci e, derivovali bychom v posledním kroku místo jednoho součinu součinů osm Příklad 56: Najděte Taylorův polynom 3 řádu funkce ln + 3 v bodě 0 a odhadněte velikost R k pro k 3, 5 a, 3, 0,, Řešení: Funkci f budeme potřebovat derivovat, proto si její předpis nejdřív upravíme na tvar ln ln + 3, který je pro derivování výhodnější Postupně pak dostaneme viz Příklad 9: k f k ln ln + 3 f k čtvrtou a další derivace použijeme jen k odhadu zbytků, nepotřebujeme proto znát jejich hodnoty v bodě 0

6 [MA-8:P56] Nyní už můžeme určit polynom T 3 : T 3 3 0! +! +! + 3! Zbývá nám ještě odhadnout zbytky Pro vhodné ξ mezi a 0 pro naše > 0 je zřejmě též ξ > 0 máme R 3 f ξ 6 ξ 0 ξ!! ξ, R ! 6 ξ 6 Pokud nyní místo ξ napíšeme vždy nejmenší číslo, které leží mezi a 0 tj pro, 3, 0 ; pro ; pro, jmenovatele zmenšíme a celý zlomek tím zvětšíme Dostaneme tak pro chyby horní odhady: 3 0 R R Všimněte si, že pokud se s blížíme k 0, odhad chyby se nám zlepšuje Nezáleží ovšem jen na vzdálenosti od 0, ale také na které straně od 0 se nachází Chyby vlevo jsou vyšší než vpravo Proč? Načrtněte si graf funkce, je to jen posunutý logaritmus