Cvičení Kmity, vlny, optika

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvičení Kmity, vlny, optika"

Zdeňka Švecová
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 . " Cvičení Kity, vlny, optia přednášející: Zdeně Bochníče Tento text obsahuje přílady e cvičení předětu F3100 Kity, vlny, optia. Přílady jsou rozděleny do bloů, teré přibližně odpovídají tou, ja jsou jednotlivá téata řešena ve cvičení. Studenti obinovaného studia jsou povinni vypracovat pět příladů z aždého blou, terý prezenčně nenavštívili. Povinné přílady jsou v textu označeny sybole. Ostatní přílady ohou sloužit procvičení. Reference [1 Halliday D., Resnic R., Waler J., Fyzia, část 2, VUTIUM a Proetheus, Brno, Praha 2000 [2 Janča J., Kapiča V., Kučíre J., Stejsalová V., Cvičení z obecné fyziy III a IV, SPN Praha 1986 [3 Máca B., Cvičení z fyziy pro nefyziální obory, SPN Praha 1988 [4 Syrový A., Sbíra příladů z fyziy, SNTL Praha Haronicé ity I 1. [2 1.1 Částice oná lineární haronicý pohyb ole bodu. V čase á nulovou rychlost a její výchyla je 3,7 10. Je-li frevence pohybu najděte s s (a) periodu, (b) ruhovou frevenci, (c) aplitudu, (d) výchylu a rychlost v libovolné čase, (e) aplitudu rychlosti a aplitudu zrychlení. [(a) s, (b) s, (c)! " (e)+-, =1.85. #%$&, (d) '!" #%$& cos( *), %$& s, /, $& =9.25. s 2. [3 7.3 Určete aplitudu a fázovou onstantu netlueného haronicého pohybu po příce. Hotný bod ěl v čase 0 21 výchylu 435 c a rychlost +(36 ( cs jeho frevence byla ' $ s (= [! 7 c, 89 ;:<" 3. Napište pohybové rovnice a určete úhlovou frevenci fyzicého yvadla (těleso o hotnosti ) otáčející se ole osy neprocházející těžiště). Tutéž úlohu řešte pro ateaticé yvadlo (hotný bod na nehotné závěsu). 1?>

2 i H i w v A i i H o B o o o B [fyzicé GH'IJLKNMPORQTSUV de J je oent setrvačnosti vzhlede ose otáčení, d je vzdálenost AEF B osy otáčení od těžiště, g je tíhové zrychlení KNMPORQXW Q a SYQ je úhel určující výchylu z rovnovážné polohy. Uvažujee-li alé ity ( ), je úhlová frevence Z S\[ _^ ` W Uvažujee-li o ateaticé yvadle jao o speciální případu fyzicého yvadla s oente SH'Ia&V je úhlová frevence Z S [ ^ W A 4. b [2 1.6 V U-trubici je hoogenní apalina. Poocí pístu uístěného v jedno raeni U-trubice posune apalinové těleso o vzdálenost c. Uažte, že po uvolnění pístu začne apalina vyonávat jednoduché haronicé ity a určete jejich periodu. Celová déla apalinového sloupce v trubici je d. [e Sgf [ aeh ^ 5. b H Těleso hotnosti zavěsíe na dvě pružiny zanedbatelné hotnosti, stejné dély a tuhosti i. V první případě pružiny zapojíe paralelně (viz obr. a) a ve druhé sériově (obr. b). Určete poěr period itů obou soustav. Tření zanedbejte. [j- SYlV obecně en S j a f [ o, e a SYl-f [ 0r o sp B qp But a) b) 6. [2 1.7 Dřevěný válcový ůl, jehož déla je nohe větší než poloěr, je na jedno onci zatížen olove, taže ůže plavat ve svislé poloze (viz obráze). Kůl uvedee do itavého pohybu ve svislé sěru. Uažte, že se jedná o jednoduché haronicé ity a určete jejich periodu. Neberte v úvahu, že dochází e tluení itů. [e S!l-f [ ^ A d 7. Napište pohybové rovnice a určete úhlovou frevenci vlastních itů tělesa o hostnosti vysícího na pružině o tuhosti. Předpoládejte, že těleso oná haronicý itavý pohyb ve sěru osy x. G iyc S!UV Z S [ o H [ A Bsx AEF B 8. [2 1.2 V čase z S{U s je výchyla částice c4 S~} W c a její rychlost ( S W l s W Hotnost částice je =4 g a její celová energie je E=79.5 J. Napište vztah pro závislost výchyly částice na čase a vypočtěte dráhu částice za dobu 0.40s od začátu pohybu. 2

3 [ 'ƒ! 2 ˆ Š 0ŒŽ - (? 0, šƒ ( 9. [2 1.3 Určete periodu alých podélných itů tělesa o hostnosti v soustavě znázorněné na obrázu. Tuhosti nehotných pružin jsou œ a œž Ÿ tření zanedbejte. œ œž [ ƒ! - q Nª 2 Haronicé ity II 1. «[ vodorovné pružině zanedbatelné hotnosti je připevněn tuhý válec o hotnosti, terý se ůže valit bez louzání po vodorovné rovině. Tuhost pružiny je œ ƒ N (viz obráze). Válec vychýlíe z rovnovážné polohy o ƒ a uvolníe jej. (a) Vypočtěte ineticou energii rotačního a translačního pohybu válce při průchodu rovnovážnou polohou. (b) Uažte, že střed hotnosti válce oná jednoduchý haronicý pohyb s periodou ƒy - ± ž [(a) ²5³µ - q 2 0ƒ ± œ ž ƒ! 2 y Ÿ?²5É¹s³N q 2 ƒ œ ž ƒ & º º 2. «Jao přibližnou fyzicou realizaci odelu ateaticého yvadla lze použít ovovou uliču na tené silonové závěsu. Předpoládejte, že dobu itu ěříte s relativní chybou 10». Závěs yvadla upravíte vždy ta, aby vzdálenost ísta upevnění a těžiště uličy byla 1 nezávisle na průěru uličy. Doažte, že doba itu uličy bude vždy větší než doba itu ateaticého yvadla stejné dély. Jaý axiální průěr ůže ít olověná uliča, aby se doba itu uličy neodlišovala od teoreticé doby itu ateaticého yvadla stejné dély o více než experientální chybu? Odpor prostředí zanedbejte. [¼¾½g ( sà šá2 &», ¼Â½Y Ã 3. «[2 1.8 K nehotné pružině o tuhosti œ ƒy ( N je přívázána nit, na teré visí závaží o hotnosti 1g (viz obráze). O jaou vzdálenost lze posunout závaží sěre dolů, aby po jeho uvolnění vznily ity, v jejichž průběhu by bylo vláno stále napjaté? 3 [ ÅÄ _Æ ƒ &Ç c

4 à á ý õ ô õ ô ûõ ë Õ Õ 4. È [ Na isu o hotnosti É, zavěšenou na pružině s onstantní tuhostí Ê, dopadne z výšy Ë uliča o hotnosti Ì a zůstane na isce ležet (viz obráze). Tento systé začne vyonávat itavý pohyb. Najděte aplitudu itů soustavy. áà h â Þ Þßß M [Í!Î Ï ÐˆÑsÒNÑ Ó ØŽÙ ÑÔÖÕ ÐˆÑsÒC ÐˆÚÛÝÜ 5. È [ V uzavřené válci naplněné vzduche je píst o hostnosti Ì, terý rozděluje válec na dvě stejné části. Tla vzduchu v obou částech je ã4ä å Píst nepatrně vychýlíe z rovnovážné polohy o vzdálenost æ a poto uvolníe (viz obráze). Píst začne vyonávat itavý pohyb. Vypočtěte periodu itů za předpoladu, že děj v plynu ůžee považovat za a) izotericý b) adiabaticý. S [a) çî!è-é ê Ðìë ÕîíðïEñnò çîyè-é ê Ðìë ÕEó*íðïEñ d-x d+x 6. [ Hoogenní tyč dély ö ývá ole vodorovné osy, olé tyči. Určete, pro jaou vzdálenost osy otáčení od hotného středu tyče je perioda itů tohoto fyzicého yvadla iniální. [ øî ù ú 7. [ Hoogenní tená tyč o hotnosti É a délce ö je připevněna e stropu ta, že se ůže volně otáčet bez tření ole osy O (viz obráze). Tyč je roě toho připevněna e stěně poocí pružiny o tuhosti Ê. Určete periodu itů tyče. [çîyè-é ê Ûšü Û<ÒNÚ Ø L M þþ ÿÿ 4

5 I ' ' X ' 8. [ Kyvadlo etronou je lehá tyčina, na jejíž onci je ve vzdálenosti od osy otáčení uístěno tělíso o hotnosti. Na druhé onci yvadla je ve vzdálenosti od osy uístěno posuvné tělíso o hotnosti, poocí terého lze ěnit frevenci yvadla (viz obráze). Najděte vztah pro ruhovou frevenci etronou za předpoladu, že hotnosti tělíse a jsou bodové a hotnost tyčiny je zanedbatelná. [ x L M 3 Fourierova analýza, tluené haronicé ity, sládání itů 1. [ Poocí Fourierovy analýzy rozložte periodicou funci! #"%$, jejíž jedna perioda je na obrázu. [!#"%$& (' )+*-,. 0/ ) ;:< % >=@? *BA $C"%$ f(t) 1 0 D 2D t 2. Mateaticé yvadlo je přibližně realizováno olověnou uličou o poloěru EF HGJI K a tený silonový závěse dély LM ONNPG (taže vzdálenost hotného středu uličy od upevnění závěsu je právě 1.000). Určete, jaa zěna úhlové frevence je způsobena započtení odporu vzduchu. Předpoládejte, že odporová síla je dána Stoesový vzorce. [ Q!R AS*HT.;UWV X Y B!R[Z AS* T).;UWV X Y \ tedy ^ B *!R[ * T) Ù _ bac A a < ', tj. d T`g X Y b=jc A5efPA K 3. Nalezněte hodnotu tuhosti pružiny, pro terou dochází pro uliču ponořenou do apaliny ij e riticéu tluení. Předpoládejte, že pro odporovou sílu platí Stoesův vztah h o. U V. *le Dn E h [pq sr c de je visozita apaliny, E poloěr uličy, její hotnost 4. [ Jaý je logariticý dereent útluu tlueného haronicého pohybu, terý oná hotný bod, jestliže za 10s trvání pohybu ztratí hotný bod 50% své echanicé energie? Jaý je činitel jaosti t tohoto tlueného oscilátoru? Perioda tlueného pohybu je T=2s. 5

6 œ É É É œœ œ [ufvbwx Jx { 5. ƒ [ Kondenzátor o apacitě ~vbwx n ˆ terý je nabit na potenciální rozdíl Hv ŠwP Œ je vybíjen přes vodič o indučnosti vo nž x Odpor obvodu je Hv 5 x Vypočtěte úhlovou frevenci vlastních itů obvodu a jeho logariticý dereent útluu. R [ v šœ ž vb{xÿ 5yxŸ ufvs š C L 6. Odvod te obecně vztah pro výslednou aplitudu a fázový posuv itání, teré vznine složení dvou stejnosěrných itů o stejné frevenci, aplitudách a l a fázích a 5x [ bv l «; > `±` ² ³J µv ¹»º ¼½Š ¾À œ ¹»º ¼J½ ;ÁÃÂC¹½Š ¾À œ œ ÁÃÂC¹½ œ 7. [ Poocí Fourierovy analýzy rozložte periodicou funci ÄÅ #Æ%±, znázorněnou na obrázu. [ÄÅ #Æ%±&v É5Ê lç2è g(t) 1 É %Ë»Ìª ÃÍÎÆ%± 0 Ï 2Ï 3Ï t vð Šw w, ÍÑ SvH J y a ÍÑÒˆvÓ J Ô. Za předpoladu, že logariticý dereent útluu je onstantní, určete díle, terý odpovídá rovnovážné poloze ručy. É9 [ÍÑÕÖv É9 ¾ É v~ 5w 8. [4 375 Tři po sobě následující výchyly ývající ručy galvanoetru byly Í 9. [4 377 Aplituda A tlueného itavého pohybu se zenší za jednu periodu třirát. O oli procent je jeho perioda Ø větší než perioda ØªÙ itů netluených. [Ø v Ú ÓÛ5ÜÝ ªÞ ØÅÙÖv~ w ØÅÙ, de ß je oeficient tluení. Perioda Ø je o 1,52% větší než perioda ØnÙ itů netluených. 4 Haronicé vynucené ity, ity soustav s více stupni volnosti 1. ƒ [ Těleso o hotnosti à(vbw Pw je zavěšeno na pružině, terá se po zavěšení tělísa s hotností à(vopw g prodlouží o u5á2v~ 5w. Logariticý dereent útluu oscilátoru s větší tělese je uâvã ` ä. Oscilátor rozitáváe vynucující silou s aplitodou 0ÙÖv~ zy N. Určete rezonanční aplitudu a rezonanční frevenci oscilátoru. 6

7 R S 7 7, 2 [åæ2çbèé9ê5èšë, ìˆæ çbíé ëpèšî`ïjð 2. ñ [ Vlive vnější vertiální síly ò~çoòœómô;õîàö& oná těleso zavěšené na pružině stacionární vynucené ity podle vztahu ø2çqøåó ô;õî5ù7ö& Púüû!ý. Určete práci síly ò!ó vyonanou běhe jedné periody. [þÿçoò0ó%øîó Fî û 3. ñ [ Hoogenní struna dély 2.5 a hotnosti 0.01g je napjata silou 10N. (a) Najděte frevenci jejího nejnižšího ódu. (b) Jestliže strunu vychýlíe příčně a v ístě vzdálené 0.5 od jednoho once se jí dotnee, jaá frevence zní v toto případě? [pro výchylu struny platí Åù#øªé% %ýœç å î î ù7ö& %ý`é de öâçüö`é öœç é tedy (a) &ç ê5è!é (b)n=5, tedy jsou povoleny frevence 50Hz, 4. ñ [ Hoogenní tyč je upevněna ve středu a oba její once jsou volné. (a) Najděte frevence volných podélných itů tyče. (b) Určete vlnovou délu pro n-tý ód těchto itů (c) Kde se nachází uzly pro n-tý ód? 100 Hz, 150 Hz,... Tyč je zhotovena z ateriálu, jehož Youngův odul pružnosti je ", á délu # a její hustota je $. (a) ö%^ç'& ð % ï, )(+* -. (b) /0%^ç % ï1 (c) ø ç ð % ï #+ù432ú ý, ð657 çoèé9êé98jé;:<:<:<:ÿé=3 úqê 5. ñ Napište pohybové rovnice pro ity soustavy dvou spřažených yvadel (viz obráze), určete itové ódy soustavy. de 7 2 [?> 9@ 2 ç~ú C 2 øed ú ù#øed ú øgfý >BA?> IH 2 ç ú C øgf ú ù#øgf ú øedný`é >BA de øed (øgf ) značí výchylu uličy A (B) z její rovnovážné polohy. Vlastní itové ódy jsou ökjöç C é5ölçnm C ðko 8 QP ð l l A øed øgf B x 7

8 n 6. Odvod te vztah pro oažitou výchylu T -té uličy systéu na obrázu, určete vlastní frevence systéu U uliče a počet těchto itových ódů (ity se onají podél osy V ). Orajová podína: nultá a UNWYX uliča ají v libovolné čase nulovou výchylu. [pohybová rovnice ZY[\_^ ` Vhg;ij W VhgIGjlonVhgqp9r její řešení je tvaru Vhg TGyzWz{ p Wz p9r po [Ba \cbedqf apliaci orajových podíne dostanee pro bsut v wxf výchylu V g t v w f~} Tƒ Gj p bsut v wxf t v wxf~} Wz p a pro vlastní frevence vztahy } ˆ Gj) r r těchto frevencí je nejvýše N. b } t v w } 6b Š Œ Vhg;ijŽVhg Vhg x 8

Podobné dokumenty

MECHANICKÉ KMITÁNÍ NETLUMENÉ

MECHANICKÉ KMITÁNÍ NETLUMENÉ Kitání je PERIODICKÝ pohyb hotného bodu (tělesa). Pohybuje se z jedné rajní polohy KP do druhé rajní polohy KP a zpět. Jaýoliv itající objet se nazývá OSCILÁTOR. A je aplituda