10 Lineární kmitání 10.1 Úvod do kmitání bodů a těles

Transkript

1 159 1-Lineární itání 1 Lineární itání 1.1 Úvod do itání bodů a těles Reálná tělesa se terýi se setáváe v technicé praxi nejsou doonale tuhá, ale naopa více či éně pružná. Proto reálná tělesa popř. soustavy těles odelujee jao echanicé soustavy tvořené tuhýi hotnýi členy vzájeně spojenýi nehotnýi pružinai. Při působení vnějších sil (buzení) pa ezi jednotlivýi členy vzniají v pružinách direční síly (naířené proti sěru výchyle hotných členů z rovnovážných poloh), veliost direčních sil závisí na veliosti výchyle. Důslede působení direčních sil je vzni itavých pohybů tj. oscilačních pohybů ole rovnovážných poloh. Poud nejsou doonale tuhé vazby ezi tělesy, pa hovoříe o itání tuhých těles neboli hotných soustav, poud uvažujee časově proěnné elasticé deforace saotných těles pa hovoříe o itání pružných těles. Vzhlede tou, že itání doprovází chod aždého stroje, popis itavých pohybů je důležitý problée technicé praxe a analýza itavých pohybů dala vzni saostatné součásti dynaiy-teorii itání. Většinou jsou ity nežádoucí, protože s nii souvisí hlučnost strojů, zvýšení jejich naáhání a rostoucí opotřebení. V něterých případech vša vibrace uěle vyvoláváe a následně využíváe (např. u vibračních pil, zhutňovačů, vibroseisy jao zdroje seisicých vln při naftové prospeci, ity bubínu a bazilární ebrány vyvolávají pohyb nervových perceptorů a tí sluchový vníání apod.). Obecně existují dva typy itání-volné a vynucené. Volné itání vzniá, jestliže na tělesa působí pouze elasticé síly vracející itající těleso po vychýlení do původní rovnovážné polohy. Vynucené ity vzniají působení časově závislých vnějších sil, itavé děje ve strojích jsou nejčastěji vyvolávány deterinisticý periodicý buzení. Oba tyto typy itů přito ohou být tluené i netluené (do soustav zahrnujee i dissipátory energie). Kitající soustavy: lineární- odezva je lineárně závislá na buzení, platí princip superpozice; nelineární odezva je nelineární (důslede buď nelineární závislosti veliosti direční síly na výchylce, soové zěny ve sěru působících třecích sil apod.). Nelineárního itání je ožné dosáhnout např. pružinou ve tvaru šroubovice s proěnný průřeze. Konstanty tuhosti pružných prvů závisí ja na ateriálu, na geoetrii průřezu (šroubové pružiny, tyče, hranoly apod.) a na charateru pohybu (ity podélné, torzní, ohybové (příčné) a rouživě itající. 4 πgd a) šroubová pružina (nejčastější) je =, de G je odul ve syu, d průěr 8D L drátu, D průěr šroubovice, L déla šroubovice Eπ d b) podélně itající tyč ruhového průřezu =, de E je Youngův odul 4l pružnosti, S průřez tyče, l je déla tyče c) torzně itající tyč (silový účine vracející těleso do rovnovážné polohy je 4 Gπ r routicí oent) = l 4 3Eπ r e) ohybově itající vetnutá tyč = 3 4l Po ateaticé stránce je lineární itání popsáno diferenciálníi rovnicei. řádu s onstantníi oeficienty, přito všechny oeficienty usí být ladné. Pohybové rovnice se zpravidla neřeší, ale po převedení na norovaný tvar se pro řešení použijí standardní vzorce. 159

2 16 1-Lineární itání 1. Volné ity netluené Nejprve se oezíe na analýzu pohybu jednoho tělesa pohybujících se v jedno sěru tj. na jeden stupeň volnosti. Nechť se hotný bod pohybuje ve sěru osy x působení síly od pružiny (obr. 1.1) Obr F x =. x, (1.1) de x je výchyla hotného bodu z rovnovážné polohy, je onstanta (tuhost pružiny). Jestliže těleso uvolníe (obr. 1.), pa pohybovou rovnici pa ůžee napsat ve tvaru:.. x Rovnici (1..) ůžee taé napsat ve tvaru: de.. + x =. (1.) x+ Ω =, (1.3) x Ω = (1.4) je vlastní úhlová frevence vyjádřená v rad/s. Řešení rovnice (1.) ůžee hledat na bázi haronicých funcí (sinus, osinus, oplexní exponenciela). Např. při použití funce sinus á řešení tvar ( ) sin ( Ω ϕ ) x t = C t +, (1.4) de C je aplituda (tj. axiální hodnota) výchyly a φ je počáteční fáze určující výchylu v čase t =. Hodnoty C, φ zpravidla určujee z počátečních podíne. 16

3 161 1-Lineární itání C sinφ C T Obr Důležitá je perioda (doba itu) haronicého pohybut, což je nejratší doba, po teré se děj opauje π T = = π. (1.5) Ω Kitočet (frevence) f je převrácená hodnota periody Řešení rovnice (1.3) je vša i funce f 1 Ω = = [Hz]. (1.6) T π x = Asin Ω t + B cos Ω t. (1.7) Ze vztahu pro sinus součtu dvou úhlů ihned vyplývá pro t= vztah Tj. platí A = C cos ϕ, B = C sinϕ. (1.8) B = + ϕ =. (1.9) C A B, arctg A Poznáa: Pro studiu přenosových vlastností itajících soustav je vhodné řešení rovnice haronicého pohybu předpoládat ve tvaru i t de C = Ce ϕ je oplexní aplituda. i t { C e Ω } x = I (1.1) 161

4 16 1-Lineární itání Uvažuje uspořádání podle obr 1.3, při teré nastává tzv. staticý průhyb g pružiny x st =. x st Obr. 1.3 Pro počáte v oncové bodě volné pružiny pohybové rovnice ají tvar x + g = ɺɺ x (1.11a) g V rovnovážné poloze x R =x st je zrychlení ɺɺ x = tj. platí xr = xst =. Posunee-li počáte do této rovnovážné polohy tj. provedee transforaci y = x xr pa dostáváe vztah tj. platí g y + g = y = y ɺɺ (1.11b) ɺɺ y + Ω =, (1.11c) y což je stejná rovnice jao rovnice (1.). Kitání tedy nastává ole rovnovážné polohy odpovídající posunutí od původní polohy (určené délou nezatížené pružiny l ) o staticý průhyb. Z toho plyne: V případě působení onstantního silového účinu tedy nedochází e zěně vlastní frevence, řešení je stejné jao bez působení onstantního silového působení, pouze je nutné provést posunutí počátu do rovnovážné polohy. V případě působení více pružin taový systé zpravidla nahrazujee pružinou jedinou. V případě, že je n pružin řazeno sériově (jedna nad druhou, ale ze stejné strany od tělesa), pa ůžee celovou tuhost vypočítat podle vztahu = (1.1a) 1 n tento vztah dostanee na záladě uvolnění spojů ezi pružinai. Např. ve spoji pružin 1 a platí Fd = 1x1 = x. Stejně velá síla usí být ve spoji ezi první pružinou a ráe. Při zaěnění pružin za jednu evivalentní usí být síla působící na těleso stejná tj. usí platit Fd = 1 x1. Uvážení x1 = x1 + x dostanee vztah = +. Podobně v případě 1 1 paralelního systéu řazení pružin (pružiny vedle sebe nebo sestava pružina těleso-pružina) platí 16

5 163 1-Lineární itání = n (1.1b) Vztah vyplývá z uvolnění v ístě spojení pružin s tělese (výchyly všech pružin jsou stejné) Přílad 1.1 Vypočtěte dobu itu závaží hotnosti pružiná. Tuhosti pružin jsou 4 1 =,8 N (obr.1.4) = N, 1 1 = 58 g, připojeného e tře 4 1 =,5 N, 1 Obr Řešení: Při itavé pohybu se pružina nad závaží prodlouží (resp. zrátí) a o stejnou délu se zrátí (resp. prodlouží) pod závaží. Všechny pružiny se tedy snaží vrátit těleso do původní rovnovážné polohy. Direční síly se sčítají. Výsledná direční síla při výchylce x : F = F + F + F 1 1 F = x, de = Doba itu: F = x + T T T = 3 x + x π = = π ω π ( +,5 +,8) =,17715 s 1 = π Poznáa: V případě že použité pružiny by neěly stejné lidové dély, pa délu evivalentní pružiny nahrazující první dvě pružiny dostanee ze 1 vztahu 1 ( x l1 ) = 1 ( x l1 ) + ( x l ) tj. l1 = ( 1l1 + l ). Pro evivalentní délu pružiny nahrazující systé 3 pružin pa platí l = l1 + l3. Přílad 1.. Hotný bod G o hotnosti na pružině o tuhosti je uístěn na naloněné rovině s úhle slonu α (obr. 1.5). Klidová déla nestlačené pružiny je l = 11,5 c, lidová déla pružiny stlačené silou tíže je l 1. Pružinu odlehčíe o hodnotu x = + 4,5 c a 1 bod uvolníe s nulovou počáteční rychlostí. Tření zanedbejte. i) Zjistěte diferenciální rovnici pohybu závaží na naloněné rovině. ii) Určete hodnotu vlastní frevence, axiální aplitudy itů a 163

6 164 1-Lineární itání iii) počáteční fázi a závislost výchyly na čase x=x(t). Určete periodu itu. Obr Řešení: V rovnovážné poloze je direční síla od pružiny rovna složce tíže do sěru g sinα naloněné roviny tj. xst = l l1 =. Položíe počáte do rovnovážné polohy a orientujee osu x ve sěru vzhůru naloněné roviny. Jestliže hotný bod posunee z rovnovážné polohy o délu x sěre vzhůru, dojde e zenšení direční síly o hodnotu x. Pohybová rovnice tedy bude ít tvar: ( l l1 ) x g sinα = x ɺɺ Tj. platí: ɺɺ+ x x = (a) Řešení pohybové rovnice (a) předpoládáe ve tvaru: x( t) = x cos( Ωt + ϕ ), de Ω = je vlastní frevence, x je axiální výchyla itů a ϕ je počáteční fáze. Počáteční podína: v čase t = : x = x a v =. x x = x cos ϕ, tedy cosϕ = > x ϕ =. v = Ω x sin ϕ, tedy sinϕ = Pro ϕ = je cosϕ = 1 a tedy x = x. x( t) = x cos t, 5 Ω = = = x = ad iii) perioda itu: π T =, Ω 4,5 1 cos t. π T = =, 9 s Volné ity tluené 1 rad s, Vlastní ity tluené nastávají v případě, že roě direční síly F=-x působí síly odporu prostředí F o. Přito se hlavně jedná o Stoesovo tluení tj. síly visózní v apalinách. Coulobovo tření (teré je úěrné oléu tlau a teré je doprovázeno rychlý opotřebení pohybujících se součástí) bývá u itajících soustav eliinováno azání, 164

7 165 1-Lineární itání proto jej d8le disutovat nebudee. Visózní tluení (odporová síla) je úěrné rychlosti F = b xɺ, de b je součinitel lineárního tluení. Pohybová rovnice á tvar o Tuto rovnici převedee na norovaný tvar x ɺɺ + bxɺ + x = (1.13) ɺɺ x + δ xɺ + x =. (1.14) de b δ = je součinitel doznívání. Obecné řešení (1.14) je dáno ve tvaru x = C e + C e λ 1 t λ t = + (1.15a) 1 1 de C 1 a C jsou integrační onstanty, teré se stanoví z počátečních podíne a λ 1, λ 1 jsou ořeny charateristicé rovnice. Tato á tvar Odtud je řešení dáno vztahy λ bλ + + = (1.15b) λ 1, b ± b 4 = (1.15c) Čísla λ i se nazývají vlastní čísla soustavy, podle znaéna pod odocninou je určen jejich charater. V případě čistě reálných hodnot λ i (výraz pod odocninou je ladný) výsledný pohyb nebude itavý, ale bude probíhat po exponenciále. Pro praxi je proto nohe zajíavější případ, dyž znaéno pod odocninou bude záporné. V taové případě jsou ořeny charateristicé rovnice oplexně sdružené. Řešení rovnice (1.14) pa á tvar δ t x C e sin tlt ( Ω ϕ ) = +, (1.15e) δ de Ωtl = Ω δ = Ω 1 bp je frevence tluených itů, b p = je poěrný útlu. Ω Při podriticé tluení (b p <1) je řešení zatluená sinusoida (obr. 1.6a) tj. pohyb je haronicý, nioliv vša periodicý, frevence itů je v důsledu tluení nižší. Hodnotu onstanty C a počáteční fáze φ é zpravidla určujee z počátečních podíne tj. z hodnoty počáteční výchyly x = C sinϕ a z hodnoty počáteční rychlosti tl xɺ = CΩ sin( ϕ ϕ ), ϕ v = arctg Ω Jao veličinu charaterizující tluení soustavy (v tl v δ případě že studujee itání pružných těles je to jejich ateriálová charateristia) zavádíe logariticý dereent ϑ jao přirozený logaritus dvou následujících výchyle lišících se o dobu periody T tl ϑ x t = ln = δttl (1.16) xt + T 165

8 166 1-Lineární itání Při riticé tluení (b p =1) je frevence vlastních itů rovna nule tj. výsledný děj není haronicý, aplituda s čase postupně lesá. Podobně při nadriticé tluení ( b p > 1) je řešení charateristicé rovnice (1.15b) číslo reálné tj. pohyb je aperiodicý, přílad závislosti výchyly na čase je na obr. 1.6b a 1.6c. C = t e δ T tl Obr. 1.6a Obr. 1.6b Obr. 1.6c Poznáa: V případě Stoesova tluení je řešení opět haronicé, ale aplituda itů lesá s čase lineárně. 1.3 Vynucené ity Vynucené ity buzené haronicou silou Pohybová rovnice vynucených itů tělesa hotnosti, na teré působí haronicy proěnná síla F( t ) = F sinωt je dána vztahe F( t ) F ɺɺ x + δ xɺ + Ω x = = sin t ω (1.17) Pohybová rovnice je tedy nehoogenní diferenciální rovnicí.řádu. Řešení x = xh + xp, de partiulární řešení podle tvaru pravé strany hledáe na bázi haronicých funcí.. Při podriticé tluení (b p <1) řešení hoogenní x h po čase zaniá, ity se ustálí, průběh těchto ustálených vynucených itů je dána řešení partiulární xp = s sin( ωt + ϕ ). Aplituda ustálených vynucených itů s é závisí na frevenci a je dána vztahe s F = ( Ω ω ) ( δω ) de fázový úhel ϕ ezi výchylou a budící silou je +, (1.18) δω ϕ = arctg. (1.19) Ω ω Pro budící frevence rovné frevenci vlastních tluených itů (ω = Ω ) nabývá závislost s ( ω ) axia tj. soustava je v rezonanci. Při průchodu přes rezonanční itočet se hodnota 166

9 167 1-Lineární itání fáze rychle ění (při nulové tluení soe) o π. Bez tluení by v rezonanci aplituda itů s čase neustále lineárně narůstala tj. byla by dána vztahe F = (1.a) sr t sin Ωt Ω Závislost aplitudy resp. fáze vynucených itů na frevenci při stálé hodnotě aplitudy haronicé budící síly se nazývá aplitudová resp. fázová charateristia soustavy, přílady závislosti taových řive pro různé hodnoty tluení δ jsou na obr Pro nulovou budící frevenci je aplituda odezvy dána vztahe s F st = (1.b) což je v podstatě případ statiy resp. pevnosti a pružnost, podstatné je ale to, že aplituda není nulová. Při vyreslování aplitudových řive provádíe na hodnotu s st norování. Maxiální hodnoty je dosaženo pro netluené itání a pro stav, dy je budicí frevence rovna vlastní netluené frevenci. Tento stav se nazývá rezonanční a v provozních podínách je zpravidla snaha se u vyhnout. V případě álo tluených soustav je podrezonanční i v rezonanční oblasti aplituda itů větší než jsou staticé aplitudy, touto jevu říáe dynaicé zesílení. pro neonečně velé budicí frevence se aplituda itání blíží nule. ω ω Ω Ω Obr. 1.7 Možnosti ja potlačit (snížit) dynaicou odezvu soustavy při haronicé buzení jsou v podstatě zřejé z charateru rovnic pro odezvu a lze to provést třei způsoby 1. Snížit aplitudu budících sil. V praxi to znaená např. stroj co ožná nejlépe vyvážit, axiálně oezit aerodynaicé buzení atd.. Poud je snížena aplituda budících sil na iniu, druhá ožnost je provést zěnu vlastní frevence. Zvýšení hotnosti á za následe snížení vlastní frevence a zvýšení 167

10 168 1-Lineární itání tuhosti á za následe zvýšení vlastní frevence. Cíle je stroj tzv. přeladit ta, aby se v pásu provozního buzení nenacházela vlastní frevence. 3. Třetí ožný případ je taový, dy jsou aplitudy budících sil sníženy na iniální hodnotu a onstručníi zěnai není ožné soustavu přeladit. V toto případě se do soustavy přidá tluič, aby se snížila aplituda vibrací. Tluič je vhodné uístit do íst s axiální rychlostí vibrací, aby bylo tluení co nejvíce účinné Vynucené ity buzené rotující hotou V případě nevyváženého rotoru hotnosti na teré je nevývaže hotnosti 1 rotující frevencí ω je budící silou síla odstředivá (buzení nevývaže) je pohybová rovnice je dána vztahe F( t ) 1eω sinωt ɺɺ x + δ xɺ + Ω = =. (1.1) Z pohledu apliace rotorových soustav střed hřídele itá v rovině olé na spojnici ložise. Aplituda budící síly je tedy frevenčně závislá. Aplituda ustálených vynucených itů středu rotoru (obr. 1.8b) je dána vztahe s 1 eω = ( Ω ω ) ( δω ) + (1.) Obr. 1.8a Ja je z aplitudové řivy zřejé, v nadrezonanční oblasti je apalinový tluič neúčinný Vynucené ity buzené pohybující se zálade Obr. 1.8b Jestliže působící síla nepůsobí na těleso přío ale přes pružinu popř. i přes tluič, pa hovoříe o tzv. ineaticé buzení od záladu. Konrétní případe ůže být buzení při seisicé události, tedy při zeětřesení (proto nědy touto buzení říáe seisicé buzení). Stejný efet vša nastává, jestliže se odpružené těleso pohybuje po roletě povrchu rychlostí v 168

11 169 1-Lineární itání π π v aroserie je podrobena buzení přes pružinu s frevencí ω = =, de l je vzdálenost T l ezi hrboly (viz obráze). Řešení lze provést dvěa způsoby. V první případě je výslede pohyb tělesa absolutně vzhlede ráu, terý se nepohybuje (absolutní souřadnice), ve druhé případě je výslede relativní pohyb tělesa vzhlede pohybujícíu se záladu (relativní souřadnice). Jestliže sledujee pohyb tělesa vzhlede nehybnéu ráu a aplituda pohybu záladu je h, pa pohybová rovnice je dána vztahe b( xɺ x ɺ ) ( x x ) = x ɺɺ. (1.3) Tuto rovnici lze pro haronicý pohyb záladu x z = h sinωt upravit na tvar z z ɺɺ x + δ xɺ + Ω x = bhω cosωt + h sinωt. (1.4) Ustálený pohyb je opět popsán řešení partiulární x p = s sin( ωt + ϕ ) Aplituda odezvy hoty na ineaticé buzení s ( ω ) = Fázový posun proti pohybu záladu je h Ω + ( δω ) ( Ω ω ) + ( δω) ω bp Ω ϕ = arctg ω Ω 3 ( bp ) (1.5) (1.6) h ω Pro netluený pohyb je s =, de η =. Aplitudová charateristia je na obr. 1 η Ω 1.9. Po přeonání rezonanční frevence Ω tedy aplituda odezvy s frevencí ω již lesá. Přito čí je větší tluení, tí je toto lesání poalejší. Proto např. při pružné uložení náprav (tj. bez tluičů) je po přeonání riticé rychlosti ožná jízda po roletě i velou rychlostí V nadrezonanční oblasti při vyšších hodnotách apalinového tluiče b p tedy dochází vyšší hodnotá výchyle než u nízých hodnot tluení b p. Obr

12 17 1-Lineární itání Odezva echanicé soustavy na ipulsní buzení Často se setáváe s případe, že rozitání echanicé soustavy dojde náhlý přiložení síly, terá působí po zanedbatelně rátou dobu tj. po ateaticé stránce á charater δ-funce. Jde o rázové buzení, teréu říáe ipulsní buzení. Při podriticé tluení je odezvou na rázové působení zatluená sinusoida ve tvaru určené vztahe (1.15e). Vzhlede tou, že spetru δ-funce obsahuje všechny frevence, pa z principu superposice vyplývá, že Fourierovou transforací odezvy na rázové buzení ůžee zjišťovat hodnoty odezev soustavy na jednotlivá haronicá buzení tj. ůžee zjišťovat průběhy aplitudových řive ziňovaných v odstavci (1.3.1) na záladě zpracování jednoho ěření. Poocí odezvy na jednotový ipuls lze určit odezvu i na obecný průběh budící síly F(t) poocí onvoluce ( ) τ τ δ ( τ ) Ω τ τ (1.7) 1 t y t = F( )e sin ( t )d Ω Zjišťování frevenčních charateristi echanicých soustav Frevenční charateristiy echanicých soustav zjišťujee buď z odezvy při buzení haronicou silou s proěnnou frevencí (aplituda budící síly je přito pro všechny frevence stejná) nebo z analýzy odezvy na ipulsní buzení. Ke zjištění odezvy přito používáe buď ativní sníače (pracují jao generátory určité eletricé veličiny-náboje, napětí, proudu) nebo pasivní (potřebují externí napájení, přičež se hodnota dodávané eletricé veličiny ění). Přito sníače ohou ěřit absolutně (tj. sníač je spojen přío se zouaný tělese) nebo relativně (1 onec je spojen se zouaný tělese a druhý onec s jiný další tělese). Z hledisa vyhodnocovaných veličin rozeznáváe sníače apacitní (sledovaná eletricá veličina je apacita, echanicá je poloha), odporové (sledovaná eletricá veličina je odpor, echanicá je přetvoření), laserové (sledovaná eletricá veličina je napětí, echanicá je oažitá poloha), induční (sledovaná eletricá veličina je napětí, echanicá je rychlost), indutanční (sledovaná eletricá veličina je napětí, echanicá je poloha) a piezoeletricé (sledovaná eletricá veličina je náboj, echanicá je zrychlení) 17