Elektřina a magnetismus. Nerecenzovaná verze

Transkript

1 Elektřina a magnetismus Nerecenzovaná verze 5. října 2004

2 Kapitola 1 Vektorová a tenzorová analýza a algebra 1.1 Základní pojmy Matematické a fyzikální veličiny klasifikujeme podle jejich chování při transformaci souřadnic Skalár - veličina, která nezávisí na volbě souřadnicové soustavy (je dána pouze svou velikostí). Její číselná hodnota může záviset pouze na volbě jednotek. Příklad 1.1 počet částic; délka průvodiče r = x 2 + y 2 + z 2 Vektor - veličina, která je zadána velikostí a směrem (někdy se též odlišuje směr a orientace). Při transformaci souřadnic (typu x i = a ij x j ) se také transformuje. Vektor A má složky A 1, A 2, A 3 - ty se transformují podle stejného vztahu jako souřadnice A i = a ij A j Vektor vázaný - obrázek popsaný (v případě kartézských souřadnic) dvojicí souř. (a x, a y, a z ), (b x, b y, b z ) Vektor volný - obrázek popsaný pouze trojicí složek (x, y, z) Délka vektoru - absolutní hodnota, norma vektoru v v = v = (b x a x ) 2 + (b y a y ) 2 + (b z a z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 2

3 1.2. Algebra vektorů Tato veličina je skalárem. Jednotkový vektor e: vektor s jednotkovou délkou. Jednotkový vektor ve směru vektoru A: e = A A Příklad 1.2 polohový vektor (průvodič) r = (x, y, z) nebo (x 1, x 2, x 3 ) = (x i ) rychlost v = dx i dt zrychlení a = dv i dt hybnost p = mv i síla F = dp i dt Tenzor - zde jen na doplnění, podrobněji ve vyšších ročnících Veličiny, jež jsou tvořeny součiny souřadnic (x i x j ) nebo obecněji složek vektorů (A i B j, A i B j C k,...) Tenzor 2. řádu: T ij = A i B j Příklad 1.3 moment setrvačnosti, moment hybnosti (x i p j ), moment síly (x i F j ),... efektivní hmotnost Při transformaci souřadnic T ij T ij T ij = A ib j = (a ik A k ).(a jl B l ) = a ik a jl A k B l = a ik a jl T kl Tenzory vyšších řádů obdobně tenzory 0. řádu (skaláry), tenzory 1. řádu (vektory) 1.2 Algebra vektorů Skalární součin A B def = AB(??!!) = A k B k (konvence o sumaci při kk) výsledkem je skalár obrázek Jiná definice Vlastnosti skalárního součinu A B def = A.B. cos α komutativnost A B = B A distributivní zákon (?distributivnost) A (B + C) = A B + A C 3

4 KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ A TENZOROVÁ ANALÝZA A ALGEBRA pro A B = 0 a A 0 a B 0 A B (u skalárů a.b = 0 a = 0 nebo b = 0) Vektorový součin C = A B def = A.B. sin ϕ.n obrázek složky: C x = A y B z A z B y C y = A z B x A x B z C z = A x B y A y B x C = e x e y e z A x A y A z B x B y B z A y A z = e x B y B z e y A x B x A z B z + e z A x B x A y B y Součet (rozdíl) vektorů C = A ± B def = (A x ± B x, A y ± B y, A z ± B z ) obrázek Grafické znázornění součet vektorů skalární součin (A B) = A.(B. cos ϕ) = A.(B průmět ) obrázek vektorový součin [A B] = A.B. sin ϕ = A.B obrázek [A B] C = A.B. sin ϕ. C. cos ψ = V = skalár Vlastnosti (A A) = A 2 Důkaz: ϕ = 0, cos ϕ = 1 (A B) 2 + [A B] 2 = ( A. A ) 2 Důkaz: (A.B. cos ϕ) 2 + (A.B. sin ϕ.n) 2 = (A.B) 2 [cos 2 ϕ + sin 2 ϕ] = (A.B) 2 4

5 1.3. Další pojmy Důkazy následujících vztahů ponecháváme čtenáři jako jednoduché cvičení A [B C] = [A B] C A [B C] = C [A B] = B [C A] A [B C] = B(A C) C(A B) 1.3 Další pojmy Pole - každému bodu dané části prostoru je přiřazena jistá hodnota jisté (nějaké?) veličiny (pojem matematický fyzikální) Skalární pole - ϕ(x, y, z, t), ϕ je nějaká fyzikální veličina (teplota, koncentrace částic,...) Funkce přiřazující každé uspořádané n-tici čísel jistou (nějakou?) skalární hodnotu. Vektorové pole - A(x, y, z, t), A je nějaká vektorová veličina - velikost a směr (rychlost, síla,...) A x (x, y, z, t) A(x, y, z, t) = A y (x, y, z, t) složky vektoru A(x, y, z, t) A z (x, y, z, t) 1.4 Vektorová analýza Funkce jedné proměnné obrázky Derivace funkce f(x) jedné proměnné x v bodě x 0. Diferenciál funkce f(x) df = df dx dx Funkce více proměnných f(x, y, z) df dx def = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Tato funkce může být skalární ϕ(x, y, z) nebo vektorová A(x, y, z). Argumentem může též být skalár nebo vektor (ϕ(r), A(r) Parciální (částečná) derivace Parciální derivace funkce f např. podle x: f x v bodě (x 0, y 0, z 0 ) Význam - směrnice v daném 5

6 KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ A TENZOROVÁ ANALÝZA A ALGEBRA směru f x def = lim x x0 f(x, y 0, z 0 ) f(x 0, y 0, z 0 ) x x 0 = ( ) f x (x 0,y 0,z 0 ) Zde je limitní proces vůči jedné proměnné, ostatní se přitom nemění a považují se za konstanty, tj. jedná se o jakousi funkci jediné proměnné f(x, y 0, z 0 ) Příklad 1.4 f(x, y, z) = 3x 2 + 2y z f = 6x, f = 2, f = ( 1) x y z Pravidla pro práci s parciálními derivacemi jsou stejná jako pro obyčejné derivace: (f + g) x = f x + g x (f.g) x = f g g(x) + f(x) x x A v případě, že g(x) 0 ve všech bodech uvažovaného intervalu také (f/g) x = f g g(x) f(x) x x g 2 (x) Parciální derivace vyšších řádů Derivace 1. řádu f, f, f x y z Derivace 2. řádu opakováním definice: 2 f x 2, 2 f y 2, 2 f z 2 Smíšené derivace 2 f x y, 2 f y x, 2 f y z, 2 f z x, Pokud je funkce spojitá vzhledem ke všem svým proměnným, platí 2 f x y = 2 f y x Příklad 1.5 f(x) = x nespojitost v bodě (0, 0) x 2 + y2 6

7 1.4. Vektorová analýza { lim lim x 0 y 0 lim y 0 } x = lim x 2 + y 2 } { lim x 0 x x 2 + y 2 x 0 x x 2 = ± = lim y 0 0 = 0 Parciální diferenciály funkce f(x, y, z) vzhledem k jednotlivým proměnným x, y, z: Význam - rychlost změny v daném směru. Totální (úplný) diferenciál funkce f(x, y, z) Příklad 1.6 f(x, y, z) = 3x 2 + 2y z df = 6x dx + 2 dy dz f x dx, f y dy, f z dz df def = f f f f dx + dy + dz (v sumační konvenci dx i ) x y z x i Existence totálního diferenciálu 1. Jestliže v daném bodě (x 0, y 0, z 0 ) existují všechny parciální derivace dané funkce a jsou-li spojité, pak v tomto bodě existuje totální diferenciál. 2. Jestliže funkce f má v daném bodě totální diferenciál, pak má v tomto bodě všechny parciální derivace. 3. Jestliže má daná funkce v daném bodě totální diferenciál, pak je v tomto bodě spojitá. Příklad 1.7 Totální diferenciál polohového vektoru: r (x, y, z) r = r = x 2 + y 2 + z 2 dr = r r r dx + dy + dz y z x (x2 + y 2 + z 2 ) 1/2 = 1 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1/2 x 2x = x 2 +y 2 +z 2 x dr = x dx + y 2 +y 2 +z x dy + z 2 2 +y 2 +z x dz = x dx + y dy + z dz 2 2 +y 2 +z 2 r r r x r = x Složená funkce Ve fyzice se často setkáváme s tím, že funkce f závisí na souřadnici (-ích) x (x i ), která se však s časem t(?) mění podle trajektorie, tj. x i x i (t). Funkce f(x 1, x 2, x 3 ) (f(x, y, z)) je tak složenou funkcí času; resp. libovolného parametru t. f f(x(t), y(t), z(t)) 7

8 KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ A TENZOROVÁ ANALÝZA A ALGEBRA Totální diferenciál složené funkce df = r ( ) r r r dx dx + dy + dz = x y z x dt dt + r ( ) dy y dt dt + r ( ) dz z dt dt Podobně (totální) derivace funkce f podle času t: df = f dx + f dy + f dz dt x dt y dt z dt Je-li parametr t skutečně čas, je dx = v dt x, df = v dt x f + v x y f + v y z f z dy dt = v y, dz dt = v z a máme V řadě případů závisí i sama funkce f explicitně na čase: df = f + f dx + f dy + f dz dt t x dt y dt z dt df = f f f f dt + dx + dy + dz t x y z Derivovat můžeme nejen skalární, ale i vektorové funkce více proměnných. Pracujeme po složkách: A (A x, A y, A z ) da x dt da y dt da z dt = A x t = A y t = Az t + A x x + A y x + Az x dx + A x dt y dx + A y dt y dx + Az dt y dy + A x dt z dy + A y dt z dy + Az dt z dz dt dz dt dz dt Operátor Funkce - předpis, který jednomu číslu (proměnné) z nějakého intervalu přiřadí jiné číslo (funkční hodnotu) Příklad 1.8 f(x) = sin x, x 2, 5, sgn x,... 8

9 1.4. Vektorová analýza Operátor - zobecnění pojmu funkce - předpis, který jedné funkci přiřadí jinou funkci Příklad 1.9 x, ( ) 2, x,... Hamiltonův operátor (operátor nabla) Symbolický vektor = e x x + e y y + e z z ( x, y, ) z Také se označuje r, což neznamená dělení vektorem, ale právě zmíněný postup. Ve fyzice zavádíme tři základní operátory. Budeme pracovat se dvěma funkcemi - skalární f(x, y, z) - vektorovou A( x, y, z) 1. Gradient grad f def = ( f x, f y, f ) = f skalární funkce vektorová funkce z 2. Divergence div A def = ( Ax x + A y y + A ) z = A vektorová funkce skalární funkce z 3. Rotace rot A def = nebo taky ( Az y A y z, A x z A z x, A y x A ) x y vektorová funkce vektorová funkce 9

10 KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ A TENZOROVÁ ANALÝZA A ALGEBRA 1. Gradient grad f def = ( ) f, f, f = f skalární funkce vektorová funkce x y z 2. Divergence div A def = ( A x + Ay x y ) + Az = A vektorová funkce skalární funkce z 3. Rotace rot A def = ( A z y A y, A x A z, A y z z x x ) A x = A y vektorová funkce vektorová funkce Gradient Fyzikální význam: mějme skalární pole f, např. koncentraci částic; body M a N s polohovými vektory r a r + dr. Přírůstek hodnoty funkce f mezi body M a N je: f N f M = f(r + dr) f(r) = f(r) + df f(r) = df = f f dx + x y dy + f z dz } {{ } grad f dr Gradient skalárního pole f v bodě M nazýváme vektor namířený kolmo k tečné rovině v bodě M a mířící směrem rostoucího pole ( ve směru n = normály), číselně rovný derivaci podle směru n (grad f) M = f n n Příklad 1.10 kopec = dvourozměrná funkce f(x, y) = výška v bodě (x, y) grad f = rychlost stoupání (sklon) latinsky gradiens = stoupající, kráčející f před??? (strana 5 dole) orientovaná?? změna funkce f ve směrech e1, e 2, e 3. Pro referenční účely gradient v různých souřadnicích 10

11 1.4. Vektorová analýza kartézské souřadnice (x, y, z) : válcové souřadnice (ρ, ϕ, z) : sférické souřadnice (r, ϑ, ϕ) : ( f ( f, f, f x y z ), 1 f, f ρ ρ ϕ z ( f r, 1 r ) f, 1 ϑ r sin ϑ f ϕ ) Dá-li se ve fyzice nějaký vektor A vyjádřit jako gradient skalární funkce, tj. A = grad f, pak vektor A nazýváme potenciální. Plochy určené rovnicí f(x, y, z) = konst. se nazývají plochami stejného potenciálu neboli ekvipotenciálními plochami. Divergence Fyzikální význam: Mějme Vektorové pole A(r) (např. pole rychlosti proudění kapaliny) a kvádr V velikosti V = h k l. Chceme zjistit N = tok pole stěnami kvádru. Předpoklady A = spojitá funkce V = malý objem Tok podstavou: N OBCD = A z (0, 0, 0) h k Tok horní podstavou: N O B C D = A z(0, 0, l) h k. Změna toku ve směru z: N z = NO B C D + N OBCD = ( A z ) h k l = ( A z ) V z 0 z 0 ( ). Podobně: N y = Ay V y 0. ( N x = Ax ) V x 0 Celkový tok pole A(r) stěnami( kvádru objemu V: ) A N = N x + N y + N z = x + Ay + Az V = (div A) x y z 0 V 0 Divergence A je hustota toku uzavřenou plochou; tok vektoru plochou ohraničující jednotkový objem. Přesná matematická definice N (div A) 0 = lim V 0 V 1 div A = lim V 0 V (S) A n ds kde S je uzavřená plocha, n = vnější normála, A vektor rychlosti kontinua jednotkové hustoty A n ds = tok vektoru A plochou S (S) 11

12 KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ A TENZOROVÁ ANALÝZA A ALGEBRA obrázky latinsky divergens = rozbíhající se (vyjadřuje intenzitu vytékání tekutin,...) Rotace Fyzikální význam: Vezmeme vektorové pole A(r) a budeme chtít určit práci vykonanou při oběhnutí obdélníku OBCD. B Definice práce - při pohybu hmotného bodu po křivce AB vlivem síly F (r): F (r) dl!!!!!!!!!!zkontrolovat formulace!!!!!!!! tj. práce W l = F dráha, jsou-li F a l ve směru, nebo W l = F dráha cos α = F d (v případě přímky) křivku AB rozložíme na úseky dl a zintegrujeme. A Předpokládáme, že plocha S = k.l je malá Práce na úseku OB: W OB = A y (0, 0, 0) k Pak W = na úseku CD: W CD = A y (0, 0, l) k na úseku BC: W BC = A z (0, k, 0) l na úseku DO: W DO = A z (0, 0, 0) l ( A z y ) A y S z Zde bylo x konstantní x-ová složka (část) práce W x = (rot A) x S x Skutečná plocha v prostoru S (S x, S y, S z ) W = (rot A) S Rotace má význam práce, kterou vykoná vektorové pole při oběhnutí uzavřené plochy jednotkové velikosti. Rotace = víření, stáčení tekutiny - v anglické literatuře původní název curl A (curl = vír). Druhé (formální zavedení tří základních operátorů pomocí operátoru nabla: grad f = ( f) div A = ( A) rot A = A Vlastnosti 12

13 1.4. Vektorová analýza grad(f ± g) = grad f ± grad g grad(f g) = f grad g + g grad f div(f A) = A grad f + f div A div[a B] = B rot A A rot B rot(a +B) = rot A + rot B rot(f A) = [grad f A] + f rot A = f rot A [A grad f] Ověření - rozepsáním na jednotlivé derivace - pomocí operátoru a vlastností vektorů Diferenciální operátory 2. řádu Speciální význam ve fyzice má Laplaceův operátor Vyjádření pomocí operátoru je = ( ) = 2 = 2 x y z 2 v kartézských souřadnicích 1 (??) Operátory druhého řádu (mohou) vzniknou(t) opětovným použitím operátorů výše zmíněných. Je třeba si uvědomit, které lze aplikovat na funkci (gradient), a které na vektor (divergence, rotace). Mějme funkci f grad f div grad f rot grad f A div A grad div A rot A div rot A rot rot A experimenty: div grad f f grad f rot grad f 1 v teorii relativity máme podobný operátor - ještě s časem a c 2 13

14 KAPITOLA 1. VEKTOROVÁ A TENZOROVÁ ANALÝZA A ALGEBRA A div A rot A A div A grad div A rot A div rot A rot rot A už nemůžu, dořešit jindy div grad f = ( f) = ( )f = f Laplaceův operátor rot grad f = [ ( f)] = 0 mnemotechnicky f ( není skutečný vektor) div rot A = [ A] = 0 neboť [ A] Přesně: div rot A = x (rot A) x + y (rot A) y + z (rot A) z = = ( A z A y ) + ( A x A z ) + ( A y x y z y z x z x kvůli záměnnosti derivací A x y ) = 0 rot rot A = [ [ A]] = ( A) A ( ) = grad div A A Příklad 1.11 e x e y e z rot r = x y z x y z = e x 0 + e y 0 + e z 0 = 0 = e x ( z y y z ) + e y ( x z z x ) + e z ( y x x y ) Příklad 1.12 E = K r r 3 rot E = ( ) [ ] [ ] K r rot r r grad K 3 r = r grad K 3 r = 0 3 nebot grad K r r 3 Gaussova věta: (F ds) = (div F ) V (S) (V ) 14

15 1.4. Vektorová analýza Stokesova věta (F dl) = (rot F ) ds (l) (S) 15

16 Kapitola 2 Elektrostatika 2.1 Elektrostatické pole pevně rozložených nábojů ve vakuu Nejprve je nutno si vysvětlit pojmy pojem náboj. Tento pojem vznikl historicky pozorováním silových účinků mezi tělesy, která byla uvedena do stavu elektricky nabitý zelektrizovaný. Známé pokusy tření ebonitové tyče kožešinou + bezová kulička na niti. Nejprve je kulička k tyči přitahována a po dotyku se začne odpuzovat ( nabila se nábojem tyče). Tato kulička se ale přitahuje ke kožešině, jíž bylo použito k zelektrování. Podle těchto účinků je možno nabitá tělesa rozdělit na 2 skupiny podle toho, zda se přitahují nebo odpuzují jsou nabita souhlasně nebo nesouhlasně. Čistě náhodně byl jeden náboj nazván kladný (kožešina) a druhý záporný (tyč). Jedná se o jev zcela symetrický, je to pouze konvence, co je kladné. Z fenomenologického hlediska je elektrický náboj skalární veličina, která může nabývat kladných i záporných hodnot. Mírou jejího množství a složení na příslušných tělesech je právě silové působení mezi nimi. V kvantitativním popisu silového působení mezi nabitými tělesy se obvykle zavádí pojem bodového náboje. Dvě základní vlastnosti náboje: zachovává se (v izolované soustavě) kvantuje se, makroskopicky se spojí (fluidová teorie) Známe atomární stavy hmoty (není v elektrostatice důležitá): atom je navenek neutrální, ale 16

17 2.2. Silové působení mezi bodovými náboji skládá se z elektronů a protonů (a neutronů,...). Nejmenší náboj je náboj 1 elektronu (záporný). Zcela stejnou velikost má i náboj protonu nebo pozitronu (antičástice). Kdyby tomu tak nebylo, atom by měl nějaký nenulový reálný náboj. Experiment: svazek atomů Cs odkláněli ve vákuu elektrickým polem aparatura byla sestavena tak, aby byla schopna zjistit odchylku e. Žádná odchylka však nebyla zaznamenána. Hypotéza kvarků. Bodový náboj z experimetů o rozptylu částic víme, že protonový náboj je v kouli poloměru cm, je proto možno všechny makroskopické úvahy přiblížení bodovosti připustit. 2.2 Silové působení mezi bodovými náboji Mějme dva nepohyblivé náboje q 1, q 2. Jejich polohové vektory budou r 1 a r 2. Síla působící nábojem q 1 na náboj q 2 je F 2 = k q1 q 2 R 21 3 R 21 R 21 = r 2 r 1 Síla, kterou působí náboj q 2 na náboj q 1 je F 1 = k q1 q 2 R 12 3 R 12 R 12 = r 1 r 2 Coulumbův zákon Platí tedy F 2 = F 1, jak žádá Newtonův princip akce a reakce R 21 = R 12 Tyto síly jsou kolineární s vektory R 12 a R 21 a leží tedy na spojnici obou nábojů. Mají-li oba náboje opačná znaménka tj. pro q 1 q 2 < 0, jsou náboje přitahovány. V opačném případě jsou odpuzovány. F 1 = k q1 q 2 ( ) R R 2 R Závislost síly mezi náboji na vzdálenosti F 1 r 2 váhami. změřil přibližně Coulomb v r torzními V tehdejší době bylo možno měření provést s chybou 2%. V současné době byly experimenty opakovány a bylo zjištěno, že pro vzdálenosti řádu cm je exponent přesně 2 (s chybou řádu 10 9 ). Druhou otázkou je pro jaká r zákon platí minimálně platí od cm do několika kilometrů (v kosmickém měřítku je to otázka). Spodní hranice je dána podmínkou, aby bylo možno náboje brát jako bodové. Coulombův zákon má dvě funkce vyjadřuje vzdálené silové působení nábojů a součastně je definicí náboje (jako fyzikální veličiny). Jednotku náboje získáme z Coulombova zákona, 17

18 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA předepíšeme-li konkrétní hodnotu pro konstantu k. Soustava SI metr, kilogram, sekunda Základní elektrickou jednotkou je jednotka elektrického proudu ampér náboj je jednotkou odvozenou. Jednotkou náboje je pak 1 Coulomb = proud jednoho ampéru tekoucí po dobu 1 sekundy. Tím je určena konstanta k: k = F R 2 q 1 q 2 [F ] = Newton, [r] = metr, [q] = Coulomb, k = 8, SI Píše se většinou ve tvaru k = 1 4πε 0, kde ε 0 = ε 0 = permitivita vákua = univerzální fyzikální konstanta. Starší soustava jednotek = absolutní soustava CGSE Základní jednotky: centimetr, gram, sekunda Coulomb2 Newton metr 2 12 F arad = metr Coulumbův zákon pak sloužil k zavedení základní jednotky elektrické tím, že se položilo k = 1 [F ] = dyn jednotkové náboje na sebe působí ve vákuu na vzdálenost 1 cm silou 1 dynu. Jednotka neměla speciální název (sc) Platí 1C = absolutních elektrostatických jednotek (převod přes rychlost světla c) Důležitá fyzikální konstanta je náboj elektronu (jedno kvantum ) 1e = 1, C 1e = 4, jednotek CGSE 2.3 Elektrostatické pole Předpokládejme rozdělení nepohyblivých nábojů q 1,..., q N Nás bude zajímat síla, kterou tyto náboje působí na nějaký náboj q 0 Experiment ukazuje, že přítomnost dalšího náboje neovlivní silové působení mezi dvěma náboji, proto výsledná síla působící na náboj q 0 je F 0 = N F i=1 i Po dosazení za F i z Coulombova zákona: F 0 = N i=1 k q0 q i R0i R0i 2 R 0i 18

19 2.3. Elektrostatické pole Je vidět, že z tohoto vztahu je možno q 0 vytknout: F 0 = q 0 N i=1 k q i R0i R0i 2 R 0i Získáme vektorovou veličinu, která závisí pouze na struktuře našeho rozdělení nábojů q 1,..., q N a na poloze (x, y, z). Budeme ji říkat intenzita elektrostatického pole E(x, y, z). Reprezentuje sílu, kterou by náboje q 1,..., q N působily na jednotkový náboj umístěný v bodě (x, y, z). E(x, y, z) = 1 4πε 0 N i=1 q i r o r i 3 (r o r i ) Tento vztah může sloužit jako formální definice. Nyní si povšimněme dvou podstatných věcí: První: Silové působení soustavy nábojů na náboj q 0 se získá jako vektorový součet jednotlivých sil F 1, F 2, F 3,..., F N, který se vypočte tak, jako by tam ostatní náboje nebyly. Stejný přístup se uplatní i ve vztahu pro intenzitu pole. E = E i Tomu říkáme princip superpozice. Tento princip byl experimentálně potvrzen. V elektrostatice a celém elektromagnetismu většinou platí, není však zcela universální. Existují například kvantové elektromagnetické jevy, které se z klasického principu superpozice vymykají. Druhá: Zavedli jsme pojem elektrostatické pole. S jeho pomocí jsme mohli problém silového působení mezi náboji rozdělit do dvou stupňů. Za prvé jsme bodu r 0 přiřadili určenou hodnotu veličiny E (intenzity pole) podmíněnou a určenou přítomností nábojů q 1,..., q N v bodech r 1,..., r N. Sílu F 0 působící na náboj q 0 umístěný v bodě r 0 jsme za druhé vyjádřili jako interakci tohoto náboje s intenzitou pole v daném bodě. Tím můžeme mluvit o silovém působení soustavy nábojů a nepotřebujeme přitom jejich explicitní vyjádření. Například v látkách máme tolik nábojů ( cm 3 ), že je možno mluvit pouze o výsledné intenzitě. Zatím pro nás elektrostatické pole znamenalo jinou formu popisu soustavy nábojů pomocí velikosti a směru síly působící na jednotkový zkušební náboj q 0 umístěný do libovolného místa prostoru. 19

20 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Co to je pole? Je reálné nebo je to jen matematický obrat koeficient u náboje při výpočtu měřené síly? U pole má význam pouze jeho schopnost konat práci. Fakt existence pole v daném bodě prostoru nám umožňuje předem určit sílu, která bude působit na libovolný náboj v tomto bodě. A to je mnohem více než jen vydedukovaná veličina z jednoho experimentu. Reálná existence přenáší energii ( koná práci). Pro získání nové představy o průběhu pole dané soustavy nábojů je výhodné jeho grafické znázornění. Používají se dvě metody. Zobrazíme velikost a směr intenzity elektrostatického pole E v různých bodech tím, že v těchto bodech nakreslíme šipky různé délky a úrovně E. Zobrazíme pole pomocí siločar orientovaných křivek majících tu vlastnost, že vektor intenzity v jejím každém bodě je tečný a jeho orientace souhlasí s orientací křivky. Zhruba: siločára = dráha kladného náboje. Siločáry vždy vycházejí z + a vstupují do -. Velikost intenzity pole se vyjadřuje jejich hustotou Jednotka intenzity elektrostatického pole Mohli bychom ji odvodit z definičního vztahu Newton Coulomb Používá se však SI jednotka odvozená z výrazu pro práci náboje v elektrostatickém poli V olt metr Na základě principu superpozice lze intenzitu pole soustavy nábojů q 1,..., q N chápat jako vektorový součet intenzit vytvořených v daném bodě r jednotlivými náboji q 1,..., q N E(r) = N E i (r) i=1 kde E i (r) = 1 4πε 0 q i r r i 3 (r r i ) Příklad 2.1 Intenzita elektrostatického pole jediného bodového náboje Q umístěného v počátku soustavy souřadné: E(r) = 1 4πε 0 Q r 2 r r 20

21 2.3. Elektrostatické pole Příklad 2.2 Intenzita elektrostatického pole dipólu. Dipól: dva náboje stejné velikosti a opačného znaménka Q + = Q = Q umístěné ve vzdálenosti l. Při umístění podle obrázku je možno pro E v libovolném bodě r odvodit vztah Pro r l je možno vzorec zjednodušit: Zde p = Q l = elektrický moment dipólu { E(r) = 1 r l 2 Q 4πε 0 r l r + } l r + l 2 3 E(r) =. 1 ( 3 ( p r) r p ) 4πε 0 r 5 r 3 1 r 3 Pojem: elementární dipól vznikne z konečného dipólu limitním přechodem ( l 0, Q p = konst). Pro něj platí druhý vzorec přesně. První hlavní poloha: Q E + = k E (r l = k 2 )2 E = E + E = k Q Druhá hlavní poloha: cos α = l/2 cos α = E/2 a E + E =. k lq = 1 r 3 4πε 0 p r 3 Q (r+ l 2 )2 2lr = k [r 2 ( l 2 )2 ] 2 E = k Q l a 3 2lQ r 3 [1 ( l 2r )2 ] 2. = k 2lQ = 1 r 3 4πε 0 2p r 3 r. = a Spojitě rozložený náboj Nabité těleso Mějme nabité těleso. Potom jeho náboj můžeme vyjádřit pomocí skalární veličiny ρ = objemová hustota náboje = velikost náboje připadající na jednotku objemu: ρ(r) = dq dv ( ρ = lim V 0 q ) V Náboj q 1 rozložený v libovolné části V 1 tělesa dostaneme objemovým integrálem q 1 = ρ(r) dv V 1 21

22 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Ve speciálním případě rovnoměrného rozložení náboje ρ(r) = konst q 1 = ρ V 1 [ ρ ] = C m 3 Nabitá plocha Analogicky si vezmeme nabitou plochu. Na ní můžeme definovat plošnou hustotu náboje σ(r) = dq ds ( σ = lim S 0 q ) S Potom q 1 = σ(r) ds S 1 A při rovnoměrném rozložení náboje σ(r) = konst q 1 = σ S 1 [ σ ] = C m 2 Nabitá křivka Konečně můžeme uvažovat rozložení náboje na křivce lineární hustota náboje η(r) = dq dl ( η = lim l 0 q ) l Potom q 1 = η(r) dl l 1 A při rovnoměrném rozložení náboje η(r) = konst q 1 = η l 1 [ η ] = C m 1 Jedná se ovšem o přiblížení, nebot náboj není spojitý (elektron), pokud ale máme makroskopické útvary, je tento popis oprávněný Intenzita elektrostatického pole Pro bodové náboje platí: 22

23 2.3. Elektrostatické pole E(x 0, y 0, z 0 ) = 1 4πε 0 N i=1 q i r o r i 3 (r o r i ) V případě spojitě rozložených nábojů rozdělíme objem V na elementy dv a jeho povrh S na elementy ds, můžeme každý z nich považovat za bodový náboj velikosti ρ dv a ϱ ds sumaci nahradíme integrací přes V a S: E(x 0, y 0, z 0 ) = 1 [ 4πε 0 (V ) Konkrétní výpočet provádíme po složkách: E x = 1 [ 4πε 0 (V ) Analogicky pro náboj rozložený na křivce l. ρ dv r o r 3 (r o r) + ρ dv r o r (x 3 o x) + (S) (S) ] σ ds r o r i (r 3 o r) ] σ ds r o r (x 3 o x)... Vztahy pro intenzitu pole bodového náboje divergují pro přibližování se k tomuto náboji r o r i jako 1. r 2 Pro spojitě rozložený náboj je intenzita pole konečná a je jí možno vypočítat pomocí uvedených vztahů i uvnitř objemu V : ρ dv r o r (r 3 o r i ) = ρ dv ( ) ro r r o r 3 Druhý člen v integrálu se pro r o r i chová jako 1, ale element objemu dv, ve kterém toto r 2 chování pozorujeme je úměrný r 2 dr a hustota náboje ρ je konečná, proto i příspěvek je konečný Tok vektoru Máme-li rovinnou plochu S orientovanou ke směru vektoru E pod úhlem α, je tok N vektoru E touto plochou N = E S cos α = (E S) Je-li plocha obecně situovaná (nutnost skalárního součinu) a pole nehomogenní, složíme výsledný tok z úseků dn = E ds cos α tj. 23

24 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA N = (S) E ds cos α = (S) (E ds) Plocha musí být orientovaná, tj. musí být stanoveno, který směr normály je kladný. Nás budou zajímat uzavřené plochy tam platí, že normála směřuje vně. Bude-li vektorem E intenzita elektrostatického pole, mluvíme o silovém toku počet siločar procházejících jednotkovou plochou. 2.4 Gaussova věta elektrostatiky Vezměme bodový náboj q. Kolem něj opišme kouli o poloměru r. Spočtěme silový tok vektoru intenzity elektrostatického pole E povrchem koule: Intenzita musí být v každémm místě povrchu koule stejná (symetrie) a E je všude kolmé k povrchu koule: N = E S = ( 1 4πε 0 ) q (4πr 2 ) = q r 2 ε 0 Tok je úměrný q a nezávisí na r. Je kladný pro q > 0 a záporný pro q < 0. Nyní vezměme větší uzavřenou plochu S obecného tvaru. Jaký bude tok touto plochou? Vezměme kužel vycházející z q na kouli o poloměru r vytíná plošku a, na ploše S plošku A (vzdálenost R, θ) A je větší než a, nebot R > r a A je obecně nakloněná o úhel θ je větší ( R r ) 2 1 cos θ Elektrostatické pole je v A menší ( r R) 2 krát než na povrchu koule a má radiální směr. Tok ploškou a: E r a = E r a Pak tok plochou A: E R A = E R (A cos θ) krát. Upravíme tok plochou A: E R [ { ( }} ) { 2 ] [ { ( }} ) { ] r R 1 E R A = E R A cos θ = E r a 2 cos θ = E r a R r cos θ A 24

25 2.5. Potenciál Platí tedy, že silový tok libovolnou uzavřenou plochou kolem q je konstantní a roven q ε 0. Obecně, máme-li v objemu N bodových nábojů q 1,..., q N, bude platit (princip superpozice) (S) E ds = 1 ε 0 Nyní již můžeme formulovat Gaussovu větu elektrostatiky: Úhrný silový tok uzavřenou plochou je úměrný celkovému náboji uvnitř plochy a nezávisí na tvaru plochy. N i=1 q i Náboje, které jsou vně plochy, k silovému toku nepřispívají jejich siločáry protnou plochu 2 (nebo 4, 6 pro složitější tvary plochy) Důkaz by se povedl analogicky jako pro náboj uvnitř. Gaussova věta elektrostatiky je přímý důsledek Coulumbova zákona a má v elektrostatice zásadní význam. Shoda jejích předpovědí s experimentem je nepřímým ověřením Coulumbova zákona. V případě spojitě rozloženého náboje uvnitř Gaussovy plochy můžeme N i=1 q i nahradit jedním z výrazů ρ dv, σ ds, η dl (V ) (S) Gaussova věta v diferenciálním tvaru (str. 14) (l) 2.5 Potenciál Intenzita E charakterizuje elektrostatické pole dobře, ale je to vektor hledejme skalár. Práce se vypočítá podle vztahu W = B F dl Vezmeme-li za F sílu překonávající působení elektrostatického pole: F = q E Přemist ujeme-li tedy bodové náboje z bodu A do bodu B, vykoná vnější síla q E práci A W = q B A E dl která udává přírůstek potenciální energie v elektrickém poli. 25

26 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Závislost práce na dráze mezi koncovými body A, B: Přírůstek práce na dráze ds : F ds = F dr, tj. práce závisí pouze na poloze koncových bodů, ne na vlastním tvaru dráhy. Proto můžeme práci při přenosu jednotkového náboje (přírůstek potenciální energie normovaný na jednotkový náboj) použít k charakterizaci elektrostatického pole. Budeme definovat skalární veličinu U BA = W B q = jako přírůstek potenciálu elektrostatického pole. A E dl Příklad 2.3 Vypočítejme rozdíl potenciálu mezi body A a B v poli bodového náboje q (Nebot E dl = E dr) B U BA = A q 4πε 0 r 2 dr = q ( 1 1 ) 4πε 0 r B r A Jestliže nyní necháme bod A vzdalovat do nekonečna, dostaneme potenciál elektrostatického pole v bodě B: U B = lim r A U BA = q 4πε 0 Jde o práci, kterou musíme vykonat, abychom přenesli kladný jednotkový náboj z nekonečna do bodu B. Tímto způsobem přiřadíme každému bodu v elektrostatickém poli jednoznačně skalární veličinu potenciál, přičemž jsme zavedli nulovou hladinu potenciálu v nekonečnu. Obecně je potenciál určen až na konstantu (referenční bod). Pro potenciál v poli libovolné soustavy nábojů q 1, q 2,, q N (r 1, r 2,, r N ) máme U(r) = 1 4πε 0 N i=1 1 r B q i r r i + C Potom přírůstek potenciální energie mezi body A a B (rozdíl potenciálů) U B A = U B U A nazýváme napětím. Jednotka: 1 V olt. Mezi dvěma body je rozdíl potenciálů 1 V, jestliže se při přemístění náboje 26

27 2.5. Potenciál 1 C musí vynaložit práce 1 Joule [ U ] = V olt = Joule 1 ) Coulomb Potenciál spojitě rozloženého náboje: U(r 0 ) = 1 4πε 0 V ρ(r) dv r 0 r + S σ(r) ds r 0 r + C η(r) dl r 0 r Vztah mezi intenzitou elektrostatického pole a potenciálem: Platí U = E dl potom přírůstek potenciálu podél elementu dráhy dl je kde E l je složka vektoru pole do směru dl du = E l dl Po složkách v kartézských souřadnicích: E x = U x E y = U y E z = U z E(r) = grad U(r) Z tohoto vztahu též vyplývá jednotka elektrostatického pole = úbytek potenciálu na jednotkovou délku [V/m]. Vidíme, že potenciál U lze použít k popisu elektrostatického pole stejně dobře jako intenzitu E Grafické znázornění elektrostatického pole: Dosud jsme používali znázornění pomocí siločar. Další způsob je pomocí ekvipotenciálních ploch. Ekvipotenciální plocha je definována jako geometrické místo bodů, v nichž má potenciál konstantní předepsanou hodnotu K. Její rovnice je U(r) = K Vztah ekvipotenciálních ploch a siločar Derivací: du = U U U dx + dy + dz = 0 x y z Víme E = grad U E x = U, E x x dx + E y dy + E z dz = 0 = E dr Jelikož dr leží v ekvipotenciální ploše, je E na ekvipotenciální plochu. 1 ) V soustavě CGSE je jednotkou statvolt J = 10 7 ergů, C = jednotek náboje CGSE 1 statvolt. = 300 Voltů [erg/jedn. náboje CGSE] 27

28 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Vlastnosti elektrostatického pole: Práce vykonaná při přenesení náboje mezi dvěma body v elektrostatickém poli nezávisí na tvaru dráhy, po které byl náboj přenesen práce vykonaná po uzavřené křivce je vždy rovna nule. E dl = 0 Stokesova věta (matematická): F dl = rot F ds l S Gaussova věta (matematická): F ds = div F dv S Na základě Stokesovy věty dostaneme pro rot E vztah: rot E = 0 pro každý bod pole (uzavřenou křivku jsme mohli zvolit libovolně). Tentýž vztah bychom dostali na z rovnice (číslo rovnice E=-grad U) a toho, že rot grad = 0 rot E = rot grad U = 0 Uvedená podmínka znamená, že elektrostatické pole je konzervativní, tj. při obíhání po uzavřené dráze se nemůže konat práce. Pro spojitě rozložený náboj platí pro Gaussovu větu: E ds = 1 ρ(r) dv ε 0 S Použitím (číslo rovnice Gaussovy věty matem.) získáme V [div E ρ ε 0 ] dv = 0 pro libovolný objem V. Proto musí platit v každém bodě Gaussova věta v diferenciálním tvaru: div E(r) = ρ(r) ε 0 Tato rovnice platí pro bod o polohovém vektoru r a jeho nejbližší okolí. 28

29 2.5. Potenciál Náboj Bodový náboj je umístěn ve vakuu. Pro náboj spojitě rozložený je nutné médium, které ho nese (jinak silové působení změní konfiguraci). Vodič (kov) mřížková struktura kladného náboje a elektronový mrak (záporný náboj) jsou celkově elektricky neutrální. Nabijeme vodič jeho makroskopický náboj může být jen na povrchu (uvnitř ne kvůli odpuzování). Kladný náboj iontů je tam právě kompenzován (kde TAM???). Elektrony jsou na povrchu vodiče tam by se podélně pohybovaly, pokud by bylo přítomno tečné elektrické pole E t = 0 Stacionární stav: uvnitř vodiče je pole nulové, ve vakuu u povrchu jen pole ve směru vnější normály (tečná složka pole tedy musí být nutně nulová). E t = 0 Vztah mezi plošnou hustotou náboje a intenzitou elektrostatického pole: Zvolme Gaussovu plochu jako válec výšky dx a základny ds nad i pod povrchem vodiče. Silový tok pláštěm je nulový (je rovnoběžný s E). Tok spodní základnou je též nulový (E uvnitř = 0). Tok horní základnou: dn = E ds = E ds Náboj uvnitř Gaussovy plochy: Q IN = σ ds Z Gaussovy věty (elektrostatiky) pak vyplývá: E ds = σ ds ε 0 a tedy E n = σ ε 0 Pokud se nejedná o vodič, ale o jiný materiál s povrchovou hustotou náboje σ, zobecníme vztahy pro tečnou a normálovou složku pole: E 1t E 2t = 0 E 1n E 2n = σ ε 0 Relaci E 1t E 2t = 0 můžeme dokázat na základě vztahu l E dl = 0 Za integrační křivku vezmeme obdélníček s delšími stranami rovnoběžnými s povrchem materiálu. l E dl = E 1t l E 2t l = 0 = E 1t E 2t = 0 nebot l 0 Laplaceova a Poissonova rovnice Vyjdeme z Gaussovy věty v diferenciálním tvaru: 29

30 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA div E(r) = ρ(r) ε 0 a dosadíme E = grad U Víme, že div grad = 2 = a dostaneme Poissonovu rovnici U = ρ ε 0 V bodech, kde nejsou žádné náboje se Poissonova rovnice redukuje na rovnici Laplaceovu U = 0 Tyto rovnice představují podmínky, kterým musí potenciál elektrostatického pole vyhovovat. Jsou to parciální diferenciální rovnice a jsou základem teorie elektrostatického pole. Jejich platnost je lokální popisují konkrétní vztah mezi potenciálem a rozložením náboje v jednotlivých místech pole (?? prostoru??). Řešení těchto rovnic znamená nalézt takovou funkci U, aby vyhovovala rovnicím (což ještě není jednoznačné), a aby současně splňovala určité okrajové podmínky (na vodiči máme U pevně zadáno,...). Použití Gaussovy věty určení E a U pro jednoduchá tělesa 1) Bodový náboj Q Intenzita: Víme, že platí E(r) = 1 4πε 0 Q ( ) r r 2 r Potenciál U(r) = E dr = 1 4πε 0 Q + C r 2) Spojitý náboj sféricky symetrický Mějme náboj s hustotou ρ konst, ale závislou pouze na vzdálenosti r od středu, tj. ρ = ρ(r) ρ = 0 pro r > r 0 Chceme znát E v bodě P 1 a v bodě P 2 (vně a uvnitř) Jsou dva možné přístupy přes Coulombův zákon prostorovou integrací pomocí Gaussovy věty Systém je symetrický = intenzita má radiální směr a její velikost je konstantní pro r = konst. Zvolíme Gaussovu plochu S 1 jako kouli o poloměru r 1 : S 1 E ds = E(r 1 ) S = 4πr1 2 E(r 1 ) V 1 ρ dv = V 0 ρ dv = Q Gaussova věta E(r 1) = Q 1 4πε 0 r1 2 1 směr radiální Intenzita vně je stejná, jako kdyby byl celý náboj soustředěn do jediného bodu v centru. Potenciál tomu odpovídá. 30

31 2.5. Potenciál V bodě P 2 analogicky: S 2 E ds = E(r 2 ) S = 4πr 2 2 E(r 2 ) V 2 ρ dv = Q 2 E(r 2) = Q 2 4πε 0 r 2 2 jako by náboj uvnitř koule S 2 byl v centru a vně nebyl žádný náboj. Tvar E a U závisí na konkrétní formě rozdělení ρ 3) Nabitá vodivá koule Mějme kouli o poloměru R, nabitou nábojem Q ten bude po jejím povrchu rozprostřen s hustotou ρ = Q 4πR 2 Intenzita pole: r > R E(r) = Q 4πε 0 1 = σ r 2 ε 0 ( ) R 2 r r < R V objemu uzavřeném Gaussovou plochou nejsou žádné náboje a podle Gaussovy věty E = 0 Potenciál: r > R U(r) = Q 4πε 0 1 = σ r ε 0 R2 r r = R U(R) = σ ε 0 R = E(R) R r < R 4) Rovnoměrně nabitá přímka U(r) = U(R) = konst nebot E = 0 (vodivé těleso) Necht je na přímce náboj rozložen s lineární hustotou η, Gaussovou plochou zvolíme válec délky l a poloměru r. Náboj uvnitř této plochy je Q = η l. Pole je radiální; nenulový tok bude pouze pláštěm válce N = E(r) 2πr l. E(r 2) = Pole je radiální (díky symetrii) tok podstavami válce je nulový Potenciál: U(r) = E dr = η dr 2πε 0 r 5) Rovnoměrně nabitá rovina η l ε 0 2πl r = = η 2πε 0 ln r + C η 2πε 0 r Mějme rovinu nabitou plošnou hustotou σ(která se dělí na obě strany). Gaussouvou plochou bude válec k rovině kolmý. Z důvodu symetrie bude E na rovinu kolmá a nenulový tok bude pouze základnami válce Intenzita: N = E S 1 + E S 2 = 2E S Q = σ S Potenciál: U(r) = E dr = 1 2 } E(r) = σ S ε 0 2 S = 1 2 σ ε 0 r + C σ ε 0 f(r) Vidíme, že intenzita i potenciál mají obecně odvozené vlastnosti: potenciál je při průchodu nabitou plochou spojitý, intenzita nespojitá. 31

32 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA 6) Dvě rovnoměrně nabité roviny Výpočet nebudeme provádět využijeme princip superpozice. Intenzita: Části prostoru I a III budou bez pole: E = 0 Část II bude mít pole E = E 1 + E 2 = σ ε 0 Náboj na deskách se musí přesunout na vnitřní stranu desek, nebot jinak by u vnějších stran nemohlo být nulové pole (???). Potenciál: Vně má potenciál hodnotu stejnou jako na rovinách, uvnitř se bude měnit podle vztahu U(x) = σ ε 0 x + C Napětí mezi rovinami U = σ ε 0 d = E d Z těchto příkladů jsme získali poznatky: při průchodu nabitou vrstvou vykazuje intenzita nespojitost σ ε 0 Na povrchu koule je potenciál U(R) = R E(R) = E(R) = U(R), tj. pole u kovových koulí R na stejném potenciálu je nepřímo úměrné jejich poloměru sršení při E > V m 1 Doplnit chybějící údaje (strana 16 rukopisu)!!!! 2.6 Elektrostatické pole soustavy vodičů Elektrostatické pole nabitých vodičů Při uvedení pojmu hustota náboje se nehovořilo o konkrétní realizaci ve skutečnosti je náboj vázán na nositele (elektrony, ionty,... ) Staré experimenty máme kouli nabitou a nenabitou drát náboj přenese skleněná tyč ne = dělíme látky na vodiče a izolátory. Vodič nelze zelektrovat třením, je-li vodivě spojen se zemí. Dotkneme-li se nabitého vodiče (na izolované podložce) v libovolném místě zeměným vodičem, odvede se ihned celý náboj = náboj na vodiči je volný. Dotkneme-li se nabitého nevodiče odvede se jen náboj z místa dotyku = náboj na izolátoru je vázaný. Dále budeme uvažovat nabité vodiče ve vakuu. Vodič je nabitý pouze na povrchu uvnitř se vlivem vzájemného odpuzování žádný volný náboj neudrží. Proto je intenzita elektrostatického pole nulová. Platí E n = σ ε 0 E t = 0 tj. E = σ ε 0 (Coulombova věta) Chování vodičů v elektrostatickém poli: 32

33 2.6. Elektrostatické pole soustavy vodičů Umístíme-li vodivé těleso do pole jiného nabitého tělesa, objeví se na původně neutrálním tělese náboje, které pozmění průběh (?tvar, charakter?) původního pole. Tyto náboje vytvoří vlastní pole, které bude uvnitř vodiče rušit pole vnější. Z pokusů vyplývá, že celková velikost kladného náboje je rovna celkové velikosti náboje záporného. Elektrostatická indukce (influence) Tento jev spočívá v tom, že elektrostatické pole vytváří makroskopické náboje na vodičičích původně nenabitých (neutrálních). Vysvětlení: Ve vodiči jsou volné náboje. Na ně působí v elektrostatickém síla, která se je snaží přemístit. To vede k separaci kladných a záporných nábojů. Pohyb se děje tak dlouho, až je výsledná intenzita pole uvnitř vodiče nulová (kdyby někde nulová nebyla, byl by tam volný náboj, ten by se vlivem pole pohyboval stav by nebyl rovnovážný). Uvnitř kovu je nulová intenzita elektrostatického pole v takovém místě není volný náboj. Náboj je pouze na povrchu kovových vodičů a lze jej popsat plošnou hustotou náboje σ(r). Potenciál pro nulovou intenzitu je jeho hodnota uvnitř vodiče konstantní (U(r) = E(r) dr + C). Celý objem vodiče tvoří ekvipotenciální objem, povrch ekvipotenciální plochu. Intenzita pole je vždy kolmá k ekvipotenciální ploše. Platí E n = E, E t = 0. Mějme vodič s dutinou. Pokud v ní nebudou přítomny izolované náboje, elektrostatické pole vně vodiče se nezmění. Intenzita pole uvnitř vodiče (tedy i v dutině) bude nulová a nebude tam žádný volný náboj. To můžeme ověřit pokusem s Faradayovou klecí: Přenese-li se náboj kuličkou K 2 na vnitřní stěnu dutého vodiče K 1 (tak, že K 2 svůj náboj odevzdá), nabije se a odchýlí pouze (vodivá) kulička na vnější stěně. Vodič K 2 odevzdá všechen svůj náboj v okamžiku dotyku tvoří vodiče jedno těleso, kulička K 2 je uvnitř, tam však nemůže být žádný náboj. Základní problém elektrostatiky (jednoznačnost elektrostatického pole vodičů) Mějme libovolnou soustavu, tvořenou N vodiči libovolně rozloženými v prostoru. Necht tyto vodiče nesou náboje Q 1, Q 2,..., Q N. Víme, že v rovnovážném stavu budou náboje rozloženy jen na povrchu vodičů a E i n bude nulová. Vyvstává před námi otázka: Je tímto požadavkem rozložení náboje pole jednoznačně určeno, nebo rozložení náboje σ i na jednotlivých vodičích závisí například na pořadí nabití vodičů (čímž bychom získali více možností průběhu pole)? 33

34 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Rozložení náboje je určeno jednoznačně Důkaz: Předpokládejme, že existují dvě rovnovážná rozdělení σ 1 a σ 2!!!! DOPLNIT DŮKAZ ZE SEDLÁKA!!!! v rukopise str. 18 Rozložení nábojů na libovolných vodičích je tedy jednoznačně dáno velikostí těchto nábojů, tvarem vodičů a jejich rozmístěním v prostoru. Tím jsou dány i potenciály všech vodičů (až na aditivní konstantu). 1) Průběh potenciálu je principiálně možno vždy vypočítat na základě znalosti průběhu hustoty náboje podle U(r 0 ) = 1 4πε 0 S σ(r) r 0 r ds 2) Jiný (snadněji řešitelný) postup využívá Laplaceovy rovnice s vedlejšími podmínkami. Vedlejší podmínky najdeme z našich znalostí potenciálu: a) Potenciál má konstantní hodnotu v celém objemu každého vodiče. Tyto hodnoty jsou předepsány vztahem (odvozeným z Gaussovy věty) ε 0 grad U ds = Q i S i b) Jsou-li všechny vodiče rozmístěny v konečnu, platí: (tím určujeme aditivní konstantu) lim U(r) = 0 r Tvrzení: Existuje nejvýše jedno řešení Laplaceovy rovnice vyhovující podmínkám a), b). Důkaz: Předpokládejme, že existují dvě řešení U 1 a U 2. Kvůli linearitě Laplaceovy rovnice je řešením i U = U 1 U 2. U = 0 na každém vodiči (tam je potenciál určen pro U 1 i U 2 stejně). Dále lim r U (r) = 0. Kdyby bylo U 0 v nějakém bodě prostoru r 0 (necht např. U > 0), existuje kulová plocha K kolem r 0 v jejích bodech je U < U (r 0 ) grad U < 0 E = grad U > 0 (ven) a platí DOPLNIT TŘEBA ZE SEDLÁKA Víme: 1) řešení dané elektrostatické úlohy existuje a splňuje podmínky a), b) 2) podmínkami a), b) je řešení Laplaceovy rovnice určeno jednoznačně 34

35 2.6. Elektrostatické pole soustavy vodičů Proto: najdeme-li takovou funkci, která současně vyhovuje Laplaceově rovnici a zároveň podmínkám a), b), pak tato funkce bude určovat průběh potenciálu naší soustavy. /bf Konkrétní řešení: často je třeba najít průběh potenciálu soustavy vodičů umístěných v dutině vodivého tělesa. Pak je třeba modifikovat podmínku b) požadujeme nulový potenciál na této vodivé obálce. Zjednodušení výpočtu: můžeme si část prostoru obklopenou ekvipotenciálou nahradit vodičem a náboj, který byl v tomto objemu převedeme na naše vodivé těleso. Tím se původní pole nezmění, podmínka a) bude i nadále splněna. Výpočet přitom může být podstatně jednodušší. Příklad 2.4 Situace právě opačná: Zajímá nás pole soustavy nekonečná vodivá rovina náboj Q umístěný ve vzdálenosti a od roviny. Tomuto působení převedenému na sílu (?!?! jak se působení převádí na sílu?!?! Q.E?) se říká síla zrcadlení. Víme, že dipól má ekvipotenciální plochu ve své rovině symetrie. Do plochy (poloprostoru) nulového potenciálu můžeme umístit vodič aniž bychom tím pole změnili. Tedy pole soustavy bude mít tvar stejný jako pole dipólu Kapacita, kondenzátor Kapacitní a influenční koeficienty Mějme izolované vodivé těleso a na něm náboj Q. Potenciál tvořený tímto tělesem bude U(r), potenciál na povrchu tělesa volíme U 0. Na těleso nyní umístíme jiný náboj Q = A Q (A je konstanta). Chceme najít potenciál (jako funkci souřadnic) vyhovující Laplaceově rovnici a splňující podmínky a), b). Tyto požadavky formulujme například (v kartézských souřadnicích) takto: 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z = 0 2 a) ε 0 grad U ds = Q b) lim r U(r) = 0 35

36 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Proto platí, že poměr náboje a potenciálu U 0 je konstantní (závisí pouze na geometrii tělesa): C = Q U 0 Veličinu C nazveme kapacita je to schopnost daného tělesa shromažd ovat náboj. Těleso o menší kapacitě přivedeme daným nábojem na vyšší potenciál. Jednotkou kapacity je Farad kapacita tělesa, které se nábojem 1 C přivede na potenciál 1 V. Menší jednotky: µf = 10 6 F ; nf = 10 9 F ; pf = F. Nyní se zabývejme dvojicí vodivých těles (pro n-tici by byl postup analogický). Chceme najít vztahy mezi náboji na tělesech a potenciály elektrostatického pole. Budeme postupně uvažovat různé speciální případy, které pak zobecníme. 1) Vezmeme těleso I osamocené v prostoru, nabité nábojem Q 1. Jeho kapacitu označme C 01. Pro jeho potenciál platí 2) Do soustavy přidáme těleso II bez náboje. Q 1 = C 01 U (0) 1 (0. přiblížení) V rovnováze bude na tělese II indukován náboj obou znamení tak, aby výsledné pole v tělese II bylo nulové. Toto pole bude zpětně působit i na těleso I, tam musí též dojít k přerozdělení nábojů, aby v tělese I nebylo žádné pole. Pak potenciály kdekoliv v prostoru budou dány funkcí U(r), která na tělesech bude nabývat hodnot U (1) 1 a U (1) 2 (1. přiblížení) 3) Změníme náboj tělesa I na hodnotu Q 1 = A Q 1. Okrajovým podmínkám potenciálu bude vyhovovat funkce U (r) = A U(r), na vodičích bude nabývat hodnot A U (1) 1 a A U (1) 2. Tato funkce podle věty o jednoznačnosti popisuje nový průběh potenciálu. Proto opět existují konstanty určující úměrnost mezi nábojem Q 1 a potenciály těles (dané geometrií): U (1) 1 = B 11 Q 1 U (1) 2 = B 21 Q 1 (1. přiblížení) 4) Provedeme analogický postup s tělesem I bez náboje a tělesem II s nábojem Q 2. Na tělesech budou potenciály a úměrnost mezi nábojem a potenciály bude U (2) 1 = B 12 Q 2 U (2) 2 = B 22 Q 2 (1. přiblížení) (??? 2. priblizeni??? viz rukopis str 20) 5) Obecný případ těleso I s nábojem Q 1 a těleso II s nábojem Q 2 je superpozice případů 3) a 4). Potenciály U 1 a U 2 budou U 1 = U (1) 1 + U (2) 1 = B 11 Q 1 + B 12 Q 2 36

37 2.6. Elektrostatické pole soustavy vodičů U 2 = U (1) 2 + U (2) 2 = B 21 Q 1 + B 22 Q 2 Pro n těles bude tato soustava mít n rovnic o n členech U 1 = B 11 Q 1 + B 12 Q B 1n Q n U 2 = B 21 Q 1 + B 22 Q B 2n Q n.. U n = B n1 Q 1 + B n2 Q B nn Q n Řešení soustavy dvou těles pro náboje bude Q 1 = C 11 U 1 + C 12 U 2 Q 2 = C 21 U 1 + C 22 U 2 kde C 11 = B 22, C 22 = B 11, C 12 = B 12, C 21 = B 21, a = B 11 B 22 B 12 B 21 = detm Obecně: U i = N B ij Q j j=1 j = 1, 2,..., N Q i = N C ij U j j=1 j = 1, 2,..., N Konstanty B ij určené rozměry a vzájemnými polohami všech vodičů nazveme potenciálové koeficienty Konstanty C ii kapacitní koeficienty Konstanty C ij (i j) influenční koeficienty Dá se ukázat, že všechny zde uvedené koeficienty nejsou nezávislé. Platí: B ij = B ji C ij = C ji, dále C ij > 0 Obecně neplatí C ii = C, kde C je kapacita izolovaného i-tého vodiče. V C ii se projevuje i vliv všech ostatních vodičů. Bude C ii C, bude-li vliv ostatních vodičů malý, tj. budou-li malé příslušné influenční koeficienty. Kondenzátor V předchozím odstavci jsme si zavedli pojem kapacita jako schopnost daného tělesa shromažd ovat elektrický náboj. 37

38 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA Pro potenciál kulového vodiče platí: U = q 4πε 0 R = C = q U = 4πε 0R Koule poloměru 1 cm má kapacitu C = 4πε = 4π 8, = 1, F aradu [ ] Coulomb V olt V soustavě CGSE má kapacita rozměr délky cm (4πε 0 = 1). Vidíme, že v soustavě CGSE je kapacita koule rovna jejímu poloměru. Kapacita izolovaného tělesa je velmi malá. Kouli o poloměru R = 1 cm můžeme nabít na vzduchu maximálně na potenciál V (sršení při vyšších hodnotách). Bude na ní náboj 3, C, což je velmi málo. Kapacita tělesa se však zvýší, pokud do jeho blízkosti umístíme nějaké další těleso. Budeme-li druhé těleso přibližovat, bude potenciál prvního tělesa klesat (bude klesat výchylka elektroskopu). Jelikož Q = konst, bude kapacita růst. Tím vznikne zařízení nazývané kondenzátor. Obecně budeme uvažovat uspořádání dvou těles těleso I je v dutině tělesa II. Přivedeme náboj Q na těleso I. Na vnitřní straně tělesa II se indukuje stějně velký náboj Q. Potenciály vodičů budou U 1 a U 2 (U 1 U 2 nebot v dutině je elektrostatické pole). Obecně platí: Q = C 11 U 1 + C 12 U 2 V našem konkrétním případě ale nejsou koeficienty nezávislé. Pro Q = 0 platí U 1 = U 2 C 11 = C 12 = C. Pak Q = C U kde U = U 1 U 2 = napětí mezi vodiči. Pole v dutině nezávisí na nábojích na vnějším povrchu vodiče II a na okolním prostoru. Situace je popsána jedinou konstantou C kapacitou kondenzátoru. Praktická realizace kondenzátoru: Technicky není možno realizovat konfiguraci, kdy jedna elektroda zcela obklopuje druhou. Volí se proto kompromisy. 1) Deskový kondenzátor Elektrody jsou dvě rovnoběžné rovinné desky ve vzdálenosti d a ploše S. Bude-li d ve srovnání s rozměry desek velmi malé, bude pole soustředěno hlavně mezi deskami a rušení vnějšími poli bude malé (? zanedbatelné?). ( Alternativní formulace:bude-li d S, bude pole soustředěno 38

39 2.6. Elektrostatické pole soustavy vodičů hlavně mezi deskami a rušení vnějšími poli bude malé. ) Použijeme řešení získaného pro dvě nekonečné roviny (!! odkaz na řešený příklad!!). Intenzita E bude kolmá na desky. Náboj na každé desce bude ±q = σ S. Napětí mezi deskami U = d 0 E dl = E d E= σ ε 0,σ= q S = U = q d ε 0 S Podle definice kapacity kondenzátoru C = q U a tedy C = ε 0S d to platí, je-li mezi deskami vakuum (případně vzduch). 2) Válcový kondenzátor Pro jeho kapacitu platí C = 2πε 0 ln r 2 r1 l Snažíme se získat kondenzátor o malých rozměrech a velké kapacitě. Proto chceme, aby: 1) účinná plocha byla co největší 2) vzdálenost desek byla co nejmenší 3) permitivita dielektrika byla veliká (ε r. = , maximálně 10 4 ) Typy běžně používaných kondenzátorů: 1) Kondenzátor vzdušný se dvěma sadami rovnoběžných desek (popř. jedna sada otočná). 2) Kondenzátor svitkový dielektrikum (izolace) je realizováno papírovou fólií. 3) Kondenzátory s keramickým dielektrikem (T io 2, BaT io 3 ) 4) Kondenzátory elektrolytické (hliníková anoda, tenká vrstva Al 2 O 3, elektrolyt) Zapojení více kondenzátorů: 1) Paralelní kombinace (vedle sebe): Oba kondenzátory jsou na stejných potenciálech. Pro jejich náboje platí: Q 1 = C 1 U Q 2 = C 2 U Celkový náboj je tedy: Q = Q 1 + Q 2 = (C 1 + C 2 ) U Toto zapojení je ekvivalentní jednomu kondenzátoru s kapacitou C = Q = C U 1 + C 2 kapacity se sčítají Obecně pro n kondenzátorů: C = n i=1 39 C i

40 KAPITOLA 2. ELEKTROSTATIKA 2) Sériové zapojení (za sebou): Náboj na kondenzátorech je stejný (vzniká elektrostatickou indukcí). Pro napětí platí: U = U 1 + U 2 = Q C 1 + Q C 2 Pak 1 C = 1 C C 2 C = C 1C 2 C 1 +C 2 Obecně pro n kondenzátorů: = Q C 1 C = n i=1 1 C i Sčítají se převrácené hodnoty kapacit. Máme-li dva stejné kondenzátory kapacity C, bude jejich paralelní kombinace mít kapacitu 2C a sériová kombinace kapacitu C 2 (ale snese dvojnásobné napětí). Elektrostatické generátory Jsou to zařízení, která jsou schopná udržovat dva různé vodiče trvale na různém potenciálu. Zdroje kladného a záporného náboje. 1) Indukční (Wimshurstova) elektřina 1883 Využívá jevu elektrostatické indukce. Tvoří ji dva ebonitové (skleněné) kotouče, otáčející se proti sobě, pokryté kovovými lamelami. Náhodnou fluktuací vznikne v A 2 kladný náboj. Indukcí pak záporný náboj v A 1 a kladný v C 1. Otáčením se záporný náboj přesune do polohy B 1, čímž se indukuje kladný náboj v B 2 a záporný v D 2. Tím se horní část II a dolní část I nabíjejí kladně, dolní část II a horní část I se nabíjejí záporně. Náboje se snímají kartáčky S 1 a S 2 do kondenzátoru (Leydenské lahve). Lamely mají malou kapacitu vzniká velký potenciál. 2) Van de Graaffův generátor 1931 Využívá faktu, že intenzita pole v dutině vodiče je nulová a náboj je rozmístěn jen na vnějším povrchu vodičů. Skládá se z duté izolované kovové elektrody E, transportního pásu T (nevodivý materiál jako je např. guma,...), baterie B (galvanický článek), sběračů K 1 a K 2. Elektroda E se může nabíjet na libovolné napětí, dané izolací (řádově 10 6 V ). 40