LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze

Transkript

1 LABORATORNÍ MODULY katedra fyziky FEL ČVUT v Praze Sluneční plachetnice Elektrostatický most Magnetické bludiště Dopplerův jev Doppler effect Planckova konstanta Pohyb elektronu Drifty částic Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 HRAJEME SI S DRIFTY MOTIVACE Nabité částice se v magnetickém poli pohybují nezaměnitelným způsobem. Při svém letu obkružují magnetické indukční čáry (siločáry) a konají šroubovicový pohyb kolem siločar. Ve směru podél siločáry se nabité částice pohybují volně, ve směru napříč je jejich pohyb magnetickým polem blokován a stáčen. Základnímu krouživém pohybu kolem siločáry se říká Larmorova rotace neboli gyrace. Pohyb nabitých částic mohou ovlivňovat i další faktory, ale předpokládejme, že magnetické pole má dominantní vliv a základním pohybem je gyrace částic kolem magnetických indukčních čar. Samozřejmě zde mohou být přítomna i další pole, například elektrické nebo gravitační pole. Předpokládejme, že se všechna pole za jednu Larmorovu otočku změní jen málo. V čase to znamená, že dojde k malé změně polí za dobu jedné otočky částice; v prostoru tato podmínka říká, že se pole změní málo na Larmorově poloměru. Za těchto podmínek může dojít k driftování částic, začnou se odvalovat kolmo na původní magnetické pole a další přítomné pole. Na první pohled je tento pohyb podivný, ale není ničím jiným než důsledkem zákona zachování energie. Částice se pohybuje v různých oblastech dodatečného pole s různou rychlostí a tedy i s různým Larmorovým poloměrem Následný pohyb po kružnici s proměnným poloměrem vede k odvalování částic. Driftových pohybů existuje celá řada, setkáváme se s nimi ve všech zařízeních s magnetickým polem a mnohdy jsou drifty důvodem úniku nabitých částic ze zařízení. Nabité částice ale driftují i v blízkosti slunečního povrchu, v magnetosférách planet nebo v rozsáhlých mlhovinách v hlubinách vesmírného prostoru. Jde o jeden z nejrozšířenějších pohybů v přírodě. Pohyb nabitých částic v dipólovém poli Země vypadá na první pohled velmi podivně. Můžeme zde spatřit jak gyrační pohyb, tak odrazy v polárních oblastech způsobené jevem magnetického zrcadla, tak driftový pohyb v rovníkovém směru. Zdroj: Mark Looper. Tyto materiály vznikly v rámci projektu OPPA CZ.2.17/3.1.00/33306 Inovace předmětů a studijních materiálů pro e-learningovou výuku v prezenční a kombinované formě studia.

3 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

4 HRAJEME SI S DRIFTY KE ČTENÍ Rovnice pro gyrační střed Představme si, že se nabitá částice pohybuje v magnetickém poli B a dalším silovém poli F pohybová rovnice je. Její m d2r/dt 2= F + Q dr/dt B (1) ext V homogenním poli se nabitá částice může pohybovat po kružnici (pokud nemá rychlost ve směru siločar). Poloměr a úhlovou frekvenci oběhu můžeme získat z rovnosti odstředivé a Loretzovy síly. Vzhledem ke kolmosti všech vektorů postačí napsat rovnost ve velikostech, tj. mv 2/R = QvB, kombinací se vztahem v = ωr snadno určíme ω = QB/m, (2) R = mv/qb. (3) Úhlové frekvenci oběhu se zpravidla říká cyklotronní nebo gyrační frekvence. Cyklotronní proto, že jde o frekvenci pohybu nabité částice v cyklotronu. Poloměr oběhu částice se nazývá Larnmorův poloměr. Roste s rychlostí částice a zmenšuje se se sílícím polem. Orientace šroubovice závisí na znaménku náboje částice (je na něm závislá jak cyklotronní frekvence, tak Larmorův poloměr). Pokud je magnetické pole nehomogenní nebo je přítomno další pole, mohou být pohyby nabitých částic mnohem složitější, dochází k driftům a k odrazům v místech se silnějším magnetickým polem. V mnoha případech nepotřebujeme znát detailní pohyb částice v magnetickém poli. Vystředujeme-li přes známý gyrační pohyb, můžeme se zabývat jen pohybem samotného gyračního středu. Takové středování lze ale provést jen za předpokladu, že se všechna přítomná pole změní málo za jednu Larmorovu otočku. ext Středování probíhá přes vektor gyrace ρ, výsledná pohybová rovnice bude závislá jen na poloze gyračního středu R(t): m d2r/dt 2 = F (R)+ Q dr/dt B(R) μ B (4) Uvedená rovnice je pohybovou rovnicí pro gyrační střed, nevystupuje v ní poloha nabité částice, ale jen poloha gyračního středu R. Ta je i v argumentu obou polí F ext a B. Gyrační střed je fiktivním místem, pohybová rovnice (4) tedy není pohybovou rovnicí žádné skutečné částice. První tři členy jsou podobné jako v pohybové rovnici pro nabitou částici. Středování ale vzniknul zcela nový člen μ B. Jde o sílu, která vytlačuje pohybující se částice (a tím i jejich gyrační středy) z oblastí silného magnetického pole. Tato síla je závislá pouze na velikosti, nikoli na směru magnetického pole. Koeficient μ se nazývá první adiabatický invariant a je daný vztahem μ = mv /2B, (5) kde v k je projekce rychlosti do směru kolmého k siločárám. První adiabatický invariant se zachovává, tedy v silnějším poli B roste hodnota projekce v k. Číselně je tato veličina rovna magnetickému dipólovému momentu pohybující se nabité částice. Driftová rovnice ext k 2 V předchozím textu jsme si za předpokladu malí změny polí na Larmorově otočce odvodili rovnici pro pohyb gyračního středu: m d2r/dt 2 = F (R)+ Q dr/dt B(R) μ B (6) ext Násobme rovnici pro pohyb gyračního středu vektorově magnetickým polem. Po standardní úpravě dvojného vektorového součinu a vydělení celé rovnice výrazem QB 2 dostaneme (7) Druhý výraz na levé straně je projekcí rychlosti gyračního středu do směru magnetického pole, tedy levá strana je rozdílem vektoru samotného a jeho rovnoběžné projekce, což je projekce kolmá na magnetické siločáry:

5 (8) Odvozená rovnice se nazývá driftová rovnice. Gyrační střed se může pohybovat nenulovou rychlostí kolmo na indukční čáry magnetického pole. Takový pohyb nazýváme drift a může vzniknout třemi způsoby odpovídajícími třem členům rovnice na pravé straně. První příčinou mohou být vnější pole, například elektrické nebo gravitační. Druhou příčnou může být nehomogenita magnetického pole, která vede na grad B drift. Poslední příčinou může být nerovnoměrný pohyb gyračního středu. Buď je způsobený změnou směru rychlosti gyračního středu pod vlivem zakřivení indukčních čar (drifty zakřivení) nebo změnou velikosti rychlosti gyračního středu (inerciální drifty). Driftování nabitých částic kolmo na magnetické pole je velice častým jevem v plazmatu. Většinou jde o kombinaci několika driftů naráz, neboť některé drifty způsobí separaci náboje a vznik elektrického pole, které následně vede na drift v elektrickém poli. Pokud se situace pomalu mění, driftová rychlost gyračního středu tyto změny sleduje a poslední člen v driftové rovnici je nenulový. Vznikne například inerciální drift způsobený změnou velikosti rychlosti gyračního středu. V přítomnosti dalšího pole dojde k driftům Drifty Typickým pohybem nabitých částic jsou kružnice nebo šroubovice kolem siločar magnetického pole. Jak jsme viděli, je-li v plazmatu přítomno další pole (například elektrické, gravitační, pole odstředivých sil), které se málo mění v čase a prostoru ve srovnání s periodou a poloměrem Larmorovy rotace, dochází k driftům. Jde o odvalování nabitých částic kolmo na elektrické (nebo jiné) a magnetické pole po křivkách, které nazýváme trochoidy (speciálním příkladem je cykloida). Rychlost odvalování gyračního středu je dána driftovou rovnicí: (9) Jde o rychlost pohybu gyračního středu. Ze vztahu je jasné, že je tato rychlost kolmá na základní magnetické pole B. Obecně je drift citlivý na znaménko náboje částice a elektrony driftují na jinou stranu než protony. Výjimkou je drift v elektrickém poli, kde je elektrická síla rovna F = QE a náboj v čitateli zkrátí s nábojem ve jmenovateli. Pojďme se nyní seznámit s nejběžnějšími drifty.

6 Pohyby nabitých částic nemusí být jen gyrační. Může docházet k driftům, tj. jejich kolmému odvalování v přítomnosti dalšího pole. E B drift Jde o drift nabité částice v elektrickém a magnetickém poli. Z driftové rovnice (9) plyne pro F = QE Driftová rychlost je kolmá k oběma polím a její velikost je v = E B / B 2. (10) kde α je úhel mezi oběma poli. Driftová rychlost nezávisí na hmotnosti ani na náboji částice, elektrony i ionty v elektrickém poli driftují stejným směrem. Tento drift nebude původcem elektrického proudu. Gravitační drift V tíhovém poli F = mg a magnetickém poli dochází k driftu rychlostí E (11) (12) která je kolmá ke gravitačnímu i magnetickému poli. Její směr závisí na náboji částice a pro elektrony a ionty je opačný. Velikost síly závisí na hmotnosti částic. Drift může být zdrojem elektrických proudů, vede k separaci náboje, která následně způsobí sekundární E B drift. Grad B drift Tento drift je způsoben změnou velikosti magnetického pole. Příslušná driftová rychlost má velikost (13) Grad B drift závisí na hmotnosti a náboji částic, povede k různému driftování elektronů a iontů a ke vzniku elektrického proudu v plazmatu. Drift vede k separaci náboje, která následně způsobí sekundární E B drift. Drift zakřivení Při pohybu kolem zakřivené indukční čáry magnetického pole bude na částici působit odstředivá síla (14) Rychlost driftu zakřivení, který opět povede ke vzniku proudu v plazmatu a separaci náboje, je (15) Polarizační drift Bude-li se velikost elektrického pole pomalu měnit v čase, bude se také měnit driftová rychlost gyračního středu v (t). To povede ke vzniku inerciálního driftu odpovídajícímu inerciální síle E (16)

7 a polarizačnímu driftu (17) který je opět původcem vzniku proudu v plazmatu. Drift vede k separaci náboje, která následně způsobí sekundární E B drift. Běžnou situací tak je, že jeden drift je příčinou dalších následných driftů. Pohyb v magnetickém dipólu V magnetickém dipólu (například v dipólovém poli Země) koná nabitá částice tři periodické pohyby. Prvním je gyrační pohyb kolem siločar. Druhým pohybem je pendlování částic od pólu k pólu. V polárních oblastech je pole silnější a částice se zde odrážejí efektem magnetického zrcadla. Třetí periodický pohyb souvisí s drifty. Nabité částice se pohybují podél siločar Země, které jsou zakřivené. Na gyrační střed tak působí obdoba odstředivé síly, která způsobí drift v azimutálním (rovníkovém) směru. Částice pendlující mezi póly se tak současně pohybuje v azimutálním směru, přeskakuje ze siločáry na siločáru a obíhá dipól ve směru magnetického rovníku. Pohyb nabitých částic v magnetickém dipólu Země

8 HRAJEME SI S DRIFTY APLETY Na apletech, které pro Vás vytvořil Karel Řezáč, si vyzkoušejte jak se pohybuji nabité částice v elektrických a magnetických polích. V apletech lze nastavit jednotlivé složky počáteční rychlosti, magnetického pole elektrického pole a dalších parametrů. Červeně je vykreslována trajektorie kladně nabité částice, modře je znázorněna záporně nabitá částice. Nastavení poměru hmotnosti kladné a záporné částice je vlevo nahoře. V horní části apletu je také přepínání rovin pohledu. Zkuste si nastavit podmínky jednotlivých pohybů a zkuste se zamyslet nad tím, jak se budou pohybovat elektrony a ionty. Aplet první E B drift V prvním apletu si vyzkoušejte drift nabitých částic ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli. Nezapomeňte se na pohyb podívat v různých řezných rovinách. Ověřte, že se pohyb děje kolmo na elektrické i na magnetické pole. Aplet druhý vodič protékaný proudem Aplet třetí magnetický dipól

9 HRAJEME SI S DRIFTY APLETY Na apletech, které pro Vás vytvořil Karel Řezáč, si vyzkoušejte jak se pohybuji nabité částice v elektrických a magnetických polích. V apletech lze nastavit jednotlivé složky počáteční rychlosti, magnetického pole elektrického pole a dalších parametrů. Červeně je vykreslována trajektorie kladně nabité částice, modře je znázorněna záporně nabitá částice. Nastavení poměru hmotnosti kladné a záporné částice je vlevo nahoře. V horní části apletu je také přepínání rovin pohledu. Zkuste si nastavit podmínky jednotlivých pohybů a zkuste se zamyslet nad tím, jak se budou pohybovat elektrony a ionty. Aplet první E B drift Aplet druhý vodič protékaný proudem Další z apletů simuluje driftové pohyby v okolí vodiče protékaného elektrickým proudem. Hodnoty vstupující do výpočtu se nastavují pomocí posuvníků a editačních polí. Zkuste vyslat nabitou částici podél vodiče a kolmo na vodič. Pohrajte si s nastavováním velikosti proudu, počáteční polohy a rychlosti částic. Lehce můžete získat i některý z následujících obrázků: A Teď už se můžete pustit do experimentování s pohyby nabitých částic v okolí vodiče. Pokud budete trpěliví, budou Vám částice driftovat přesně podle dříve uvedených vztahů.

10 HRAJEME SI S DRIFTY APLETY Na apletech, které pro Vás vytvořil Karel Řezáč, si vyzkoušejte jak se pohybuji nabité částice v elektrických a magnetických polích. V apletech lze nastavit jednotlivé složky počáteční rychlosti, magnetického pole elektrického pole a dalších parametrů. Červeně je vykreslována trajektorie kladně nabité částice, modře je znázorněna záporně nabitá částice. Nastavení poměru hmotnosti kladné a záporné částice je vlevo nahoře. V horní části apletu je také přepínání rovin pohledu. Zkuste si nastavit podmínky jednotlivých pohybů a zkuste se zamyslet nad tím, jak se budou pohybovat elektrony a ionty. Aplet první E B drift Aplet druhý vodič protékaný proudem Aplet třetí magnetický dipól A do třetice si vyzkoušejte pohyby nabitých částic v okolí magnetického dipólu. Na první pohled si snadno povšimnete gyračního pohybu částic kolem siločar. Částice s vhodnou počáteční rychlostí se bude odrážet v polárních oblastech, to způsobuje jev magnetického zrcadla. Snadno také nasimulujete azimutální drift způsobený zakřivením magnetických siločar. Můžete získat pohyby podobné jako na následujících obrázcích: A teď si už nastavte parametry, spusťte aplet a zkoumejte, bádejte, experimentujte. Jedině tak pochopíte, co se ve skutečnosti s nabitými částicemi děje v různých konfiguracích magnetického pole. A nezapomeňte si měnit rovinu, ve které se na pohyb díváte.

11 HRAJEME SI S DRIFTY OTÁZKY Vyplňte prosím následující jednoduchý test, který ověří, zda jste porozuměli problematice pohybu nabitých částic a driftů v magnetickém poli. V jedné otázce může být i několik správných odpovědí nebo nemusí být správná žádná. Po vyplnění stiskněte tlačítko Odeslat. 1. Lorentzova síla působí na všechny částice působí jen na nabité částice působí na elektrony 2. Lorentzova síla je kolmá na magnetické siločáry působí na spojnici nabitých částic míří podél magnetických siločar 3. Lorentzova síla míří ve směru pohybu částice je nulová pro nepohybující se částici je nepřímo úměrná druhé mocnině rychlosti částice 4. Drifty jsou kolmé na magnetické pole a rovnoběžné s dalším polem jsou kolmé na magnetické a další pole 5. Drifty probíhají vždy probíhají, pokud se pole mění málo na Larmorově otočce jsou pohyby, při kterých plazma unáší nabitou částici 6. K driftu nikdy nedojde v oblasti s gradientem magnetického pole /ne může dojít v oblasti bez magnetického pole může dojít v oblasti zakřiveného magnetického pole /a 7. K driftu může dojít v magnetickém a elektrickém poli v magnetickém a gravitačním poli pokud jsou siločáry magnetického pole zakřivené 8. Drift zakřivení probíhá kolmo na siločáry, směrem ke středu oskulační kružnice podél magnetických siločar kolmo na siločáry a kolmo na spojnici částice a středu oskulační kružnice 9. Pohyb těles se počítá z Drakeovy rovnice za pomoci diferenciálních rovnic většinou numericky 10. V zemském magnetickém dipólu koná nabitá částice jeden periodický pohyb dva periodické pohyby tři periodické pohyby čtyři periodické pohyby Odeslat Obnovit

12 HRAJEME SI S DRIFTY DALŠÍ ČTENÍ Algoritmus pohybu nabitých částic Pro částici sestavíme pohybovou rovnici. Na částici bude působit Lorentzova síla způsobená magnetickým polem B, síla způsobená elektrickým polem E a další silové pole F. Výsledná pohybová rovnice nabité částice bude což je soustava tří obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro polohy x(t), y(t), a z(t) nabité částice. Výhodnější je ale řešení soustavy šesti rovnic prvního řádu ve tvaru (1) (2) Známe-li počáteční polohu a rychlost částice, můžeme použít některou standardní metodu na řešení diferenciálních rovnic, například Rungeovu-Kuttovu metodu 4. řádu, která je implementovaná v každém programovém celku pro numerické výpočty (například Mathematica, MATLAB atd.). Pro jistotu zde uvádíme příslušný diferenční předpis: Označme ξ = (r, v) šestici poloh a rychlostí částice, tedy budeme hledat hodnoty ξ 1 až ξ 6. První tři hodnoty jsou polohy, další tři jsou rychlosti. Námi hledané funkce ξ (t); k = 1,... 6 splňují soustavu rovnic (2), kterou přepíšeme do tvaru k Časovou osu rozdělíme na dílky s intervalem Δt. Předpokládejme, že známe polohu a rychlost v počátečním čase t. Potom určíme 0 (3) (4) a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů (5) Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opakovat. přesnosti výpočtu, konvergence a případně další metody lze nalézt v odborné literatuře. Materiály souvisící s tématem Na serveru Aldebaran jsme k tématu elektromagnetické interakce připravili materiály, ve kterých si prosím vyhledejte příslušné pasáže: [1] Petr Kulhánek: Teoretická mechanika; Praha 2012, [2] Petr Kulhánek: Úvod do teorie plazmatu; Praha 2011, [3] MIT: Kurz elektřiny a magnetizmu 8.02T; lokalizace AGA, 2007.