Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a

Transkript

1 4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna R nemůžeme použít definici pomocí trojúhelníku. Máme definovány funkce sin a cos pro všechna R a vzorec použijeme jej jako definiční vztah: cos cotg = sin Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem značíme cotg. cos cotg =. Tuto funkci sin Poznámka: Většina světa používá pro funkci kotangens označení cot. Př: Urči definiční obor funkce y = cotg cos Vyjdeme z definičního vztahu cotg =. Ve vztahu se dělí nesmíme dělit nulou, sin další problémové operace se v ní nevyskytují, obě funkce sin i cos jsou definovány pro všechna R. Kdy je sin =? Hodnota funkce y = sin je dána jako y-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici.

2 sin() - S cos() cos() T sin() R - Z obrázku je vidět, bod T bude mít nulovou y-vou souřadnici, pokud bude ležet na ose. T - S T R - V intervalu ;π ) jde o čísla = a = π. Pokud zohledníme, že funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou π. Jde o dvě množiny čísel + k π U U { } { π + k π } Stejně jako v předchozí kapitole jsou jednotlivá vyřazená čísla rovnoměrně rozmístěna po ose, jsou od sebe vzdálena o násobky π. Všechna vyřazená čísla bych získal tak, že bych se z bodu posouval o násobky π. U{ + k π } + U { π + k π } = U{ kπ} Funkce kotangens je definována pro všechna čísla R { kπ} U.

3 Př: Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí grafu odhadni tvar grafu funkce y = cotg y = sin a y = cos. Pomoci nakreslených - V bodech, ve kterých graf funkce y = sin protíná osu nebude mít funkce y = cotg žádnou hodnotu (nulou nelze dělit). - cos Funkce y = cotg je definována jako y = cotg = podíl dvou funkcí. Modrou křivku sin budu v grafu dělit zelenou. π V bodě = je hodnota funkce y = cotg rovna =. V intervalu ; π dělíme hodnoty cos, nejdříve velmi malými čísly, poté čísly, která se zvětšují k jedničce. Pro blížící se

4 budeme dělit velmi malými čísly. Pro blížící se k se budou blížit nekonečnu, pro blížící se k π se budou blížit k nule. - Zkoumáme interval ; π. Dělíme hodnoty cos (záporná čísla), nejdříve čísly blízkými, poté čísly, která se zmenšují. Pro blížící se π budeme dělit velmi malými kladnými čísly. Získané hodnoty budou vždy menší než hodnoty sin (jsou to záporná čísla, jejich absolutní hodnota naopak poroste), pro menší čísla se budou lišit více. Pro blížící se k π se budou blížit mínus nekonečnu. - 4

5 V intervalu π; π nejdříve dělíme hodnoty cos blížící se -, zápornými čísly které se zmenšují od nuly k. Hodnoty podílu se na začátku intervalu blíží k nekonečnu, pak se postupně zmenšují až se dostanou k nule. Průběh funkce je podobný jako v intervalu ;. - π V intervalu ; π dělíme kladnou hodnotu cos záporným číslem sin, výsledek tedy bude záporný. Hodnoty cos se zvětšují od k, Hodnota sin se zvětšuje od k nule. Hodnota podílu se na začátku intervalu blíží k nule pak postupně klesá k mínus nekonečnu. Průběh funkce je podobný jako v intervalu ; π. - 5

6 Hodnoty v dalších intervalech můžeme zkopírovat z již nakreslené části grafu, protože funkce y = sin a y = cos jsou periodickí s nejmenší periodou π a výsledek jejich dělení se již musí opakovat. - Př: V tabulce hodnot goniometrických funkcí doplň hodnoty pro kotangens. Úhel [ ] π π π π Úhel [rad] 6 4 π 4 π 5 6 π π sin ( ) cos ( ) tg( ) - - cotg ( ) - Úhel [ ] Úhel [rad] π 6 π 5 4 π 4 π π 5 π 7 4 π 6 π π sin ( ) cos ( ) - tg( ) - - 6

7 cotg ( ) - Př: Zakresli hodnoty spočtené v tabulce do odhadnutého grafu funkce správnost odhadu. y = tg a ověř tak - Tabulkové hodnoty potvrzují odhadnutý tvar grafu. Př: Z grafu funkce y = cotg urči její vlastnosti. U ( ) = { + } D f R kπ periodická s nejmenší periodou π. H f = R ( ) není omezená nemá maimum ani minimum lichá Klesající v intervalu ( ;π ), dále pak v intervalu ( π; ) ( + kπ ; π + kπ ). kladné hodnoty v intervalech + k π; + k π záporné hodnoty v intervalech + k π ; π + k π π,, tedy ve všech intervalech Př: Dokaž pomocí definice funkce y = cotg, že je funkce lichá. Potřebuju cotg ( ) cotg ( ) =. 7

8 cos cotg ( ) = sin ( ) ( ) Použiju vlastnosti goniometrických funkcí: sin = sin sinus je lichý ( ) ( ) cosinus je sudý cos ( ) = cos ( ) cos( ) cos( ) cotg ( ) sin ( ) sin ( ) = = = cotg ( ) Př: Zobraz hodnoty funkce y = cotg v jednotkové kružnici? cos Definice: cotg =. sin Upravím ji tak, abych mohl použít poměr stran u podobných trojúhelníků. cotg cos = sin Zelený trojúhelník už známe, červený trojúhelník musí být podobný zelenému a jeho kratší ; sestrojíme (svislá) odvěsna musí mít délku trojúhelník sestrojíme, když v bodě [ ] vodorovnou přímku a necháme ji protnout s koncovým ramenem úhlu. Vodorovná odvěsna má délku cotg. cotg() sin() - S cos() T R - Př: Pomocí znázornění funkce y = cotg na jednotkové kružnici zdůvodni, proč je v intervalu ; funkce cotg y = klesající. 8

9 cotg() T - S R - Z obrázku je zřejmé, že při zvětšování úhlu se zmenšuje hodnota cotg. V tomto okamžiku můžeme s klidem prohlásit naše grafy za správné. Graf funkce vypadá takto: y = cotg Správnost grafu můžeme ověřit i pomocí počítačového programu: Nakresleny jsou grafy funkcí y = cotg, y = sin, y = cos 9

10 cot(), cos(), sin() y Nebo dynamickým modelem jednotkové kružnice. Př: Vytvoř tabulku se dvěma sloupci, ve které porovnáš vlastnosti funkcí y = tg a y = cotg. y = tg y = cotg π D ( f ) = R + kπ periodická s nejmenší periodou π H f R U D ( f ) = R { + kπ } U periodická s nejmenší periodou π H f = R ( ) = ( ) není omezená nemá maimum ani minimum lichá π π rostoucí v intervalu + kπ; + kπ není omezená nemá maimum ani minimum lichá Klesající v intervalu ( + kπ ; π + kπ )

11