2.7.8 Druhá odmocnina

Transkript

1 .7.8 Druhá odmocnina Předpoklad: 707 Pedagogická poznámka: Tato hodina není příliš nabitá, pokud jste nestihli poslední příklad z minulé hodin 707, dá se stihnout na začátku této hodin. Př. : Je dána funkce = x. Rozhodni, zda k ní existuje funkce inverzní. Inverzní funkce k funkci = x neexistuje. Funkce = x není prostá, je sudá. Například platí ( ) = = pro x = a x = získáme stejnou hodnotu po provedení inverze bchom měli pro x = dvě hodnot = a =. Př. : Nakresli graf funkce = x x R. Najdi graf inverzní relace Pedagogická poznámka: Upozorňuji student, že existují dvě metod, jak graf inverzní relace nakreslit: vužití souměrnosti podle os = x a prohození souřadných os. Při zadání předchozího příkladu připomenu studentům, že relace je vlastně funkce, která nemusí splňovat podmínku jednoznačného přiřazení výsledku. Nemá cenu ztrácet čas tím, že b studenti něco hledali a pracně vzpomínali. Inverzní relace není funkce, pro jedno x má více. Blo to jasné, protože = x není prostá funkce. Nešlo b to přesto nějak ošidit? Stačilo b, kdb z grafu = x zbla jenom polovina.

2 Př. : Nakresli graf funkce = x x 0; ). Sestroj graf inverzní funkce a najdi její předpis. Urči definiční obor a obor hodnot obou funkcí Původní funkce je prostá. Inverzní relace je funkce (pro každé x máme jediné ). Hledáme předpis: Prohodíme x a : = x x = D = x. ( f ) = H ( f ) = 0; ), H ( f ) D ( f ) 0; ) = =. Co znamená zápis? Dvojice pro = x Dvojice pro = x 0 = 0 0 = 0 = = = = 9 = = 9 Jaké číslo hledáme, kdž napíšeme 5? Hledáme kladné číslo (obor hodnot je roven definičnímu oboru původní funkce x 0; ), proto kladné), které se po umocnění rovná 5 ( 5 = 5, protože 5 = 5 ). Př. : Rozhodni bez kalkulačk, zda platí 5 =. Pokud platí rovnost v zadání (dvojice z inverzní funkce) musí platit i rovnost = 5 (to už se dá vnásobit pod sebe).

3 5 Je pravda, že platí 5 =. Pedagogická poznámka: Většina studentů sice nejdříve oněmí hrůzou, ale nakonec na to přijde. Př. 5: Rozhodni bez kalkulačk, zda platí že,6 (přibližná hodnota). Pokud platí rovnost v zadání (dvojice z inverzní funkce) musí platit i rovnost se dá vnásobit pod sebe).,6,6 6 08,96 Protože platí, že,6, můžeme říci, že,6.,6 (to už Př. 6: Rozhodni bez kalkulačk, zda platí že, (přibližná hodnota). Rovnost v zadání určitě neplatí, protože odmocnina je vžd kladné číslo. Je pravda, že (, ) = 0,89. Věta, je pravdivá. Pedagogická poznámka: Vždck se najde část studentů, kteří se nechají nachtat. Buď tím, že počítají na prosto automatick, nebo protože příliš nevnímají, co se během hodin říká. Pozor: Platí: = = a ( ) nebo rovnice x = má dva kořen K = ; { } Je počítání odmocnin na něco dobré? Ale je pouze jediné číslo (kdž děláme funkci potřebujeme jednoznačný výsledek) a to = Pro rovnici x = platí: x = ± = ± (abchom získali z jedné hodnot odmocnin dva kořen, musíme ji násobit a ) Př. 7: Čtvercový pozemek má mít plochu 50 strana pozemku x Obsah čtverce: S = x m. Urči jak dlouhá bude jeho strana.

4 Dosadíme: 50 = x 50 = x x 5,8 Strana pozemku musí mít délku přibližně 5,8 m. Takových příkladů ve v praxi spousta. Bez odmocnin b bl život daleko těžší. Opět jsme hledali odmocninu jako číslo, které se po umocnění něčemu rovná. Nevadí, že =, ale 50 nejde napsat konečným desetinným rozvojem ani zlomkem (je iracionální)? Není to problém, 50 si dokážeme spočítat na libovolný počet míst a získanou hodnotu dosadit. Kdž chceme přesnou hodnotu píšeme smbol 50. Například kalkulačk určí 50 5,888. To není přesná hodnota, i kdž kalkulačka spočte ( 5,888) = 50. Kalkulačka zaokrouhluje, ve skutečnosti platí: ( 5,888) = 9, Kalkulačka zaokrouhlila až na platné číslici tímto b způsobila při odměření ploch pozemku chbu menší než 0, m = 0, 0mm (s takovou přesností rozhodně pozemek vměřovat nebudeme). Není problém spočítat odmocninu na daleko větší počet míst. Výpočet 50 na 0000 míst trvá na běžném počítači řádově sekundu. Kvůli úspoře místa uvádíme pouze prvních přibližně 00 (přesně 98) míst: 5, Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je takové nezáporné reálné číslo b, pro které platí b = a. Píšeme b = a. Př. 8: Pomocí grafu funkce = x nakresli graf funkce x = a urči její vlastnosti. Nakreslíme graf funkce = x, x 0; ) a sestrojíme graf inverzní funkce.

5 0 8 [;9] 6 [;] [0;0] - [;] - [9;] [;] Vlastnosti funkce = x : Rostoucí - x 0; ), klesající není nikd. D ( f ) = 0; ) (hodnot funkce = x jsou vžd kladné) H ( f ) = 0; ) (při zinverzňování jsme omezili definiční obor = x na 0; ) x ) Shrnutí: Pokud omezíme definiční obor kvadratické funkce na ) 0;, získáme prostou funkci, k níž inverzní funkcí je funkce druhá odmocnina. Hodnot druhé odmocnin ověřujeme pomocí umocňování. 5