STUDIUM ROVNOVÁŽNÉ, KVAZIROVNOVÁŽNÉ A NEROVNOVÁŽNÉ KRYSTALIZACE V TERNÁRNÍCH SYSTÉMECH EUTEKTICKÉHO A PERITEKTICKÉHO TYPU
|
|
- Sára Valentová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 STUDIUM ROVNOVÁŽNÉ, KVAZIROVNOVÁŽNÉ A NEROVNOVÁŽNÉ KRYSTALIZACE V TERNÁRNÍCH SYSTÉMECH EUTEKTICKÉHO A PERITEKTICKÉHO TYPU STUDY OF EQUILIBRIUM, QUASI- AND NON-EQUILIBRIUM CRYSTALLIZATION IN EUTECTIC AND PERITECTIC TERNARY SYSTEMS Jaromír Drápala a, Zuzana Morávková a, Ivona Svobodová a Jevgenij Vasil jevič Sidorov b a VŠB Technická univerzita Ostrava, tř. 17. listopadu 15, Ostrava Poruba, ČR, E- mail: Jaromir.Drapala@vsb.cz b Vladimirskij gosudarstvěnnyj universitět, ul. Gorkogo 87, Vladimir, Ruská federace, ferromag@vtsnet.ru Abstrakt Termodynamicky rovnovážná data prezentovaná jako projekce křivek či ploch likvidu, solidu a solvu jsou používána často pro studium krystalizace slitin. Pro komplexní využití takových projekcí jsou také požadovány informace o změnách chemického složení po ukončení tuhnutí v daném systému. Byla vypracována teorie pro simulaci a software pro zpracování ternárních systémů pomocí vlastního počítačového programu v MatLab založeném na experimentálních datech. Pro simulaci ideálního, kvaziideálního, eutektického a peritektického typu ternárních systémů byl zvolen polynom druhého stupně. Výsledky výpočtů jsou: tabelární nebo grafický výstup, který umožní komplexní zobrazování ternárních diagramů ve formě izotermických a polytermických řezů, 3-D projekce povrchů ploch likvidu, solidu a solvu, mapování konod pro důležité slitiny při rovnovážné, kvazi- nebo nerovnovážné krystalizaci, výpočet rozdělovacích (segregačních) koeficientů jednotlivých prvků v slitinách v závislosti na teplotě. Rozdělovací koeficienty jsou ovlivněny skutečností, zda v systému probíhá eutektická nebo peritektická reakce, polohou bodu daného složení slitiny v ternárním systému a charakterem translace složení kapalné a tuhé fáze v průběhu krystalizace a vzdáleností tohoto bodu od bodů či křivek peritektických či eutektických reakcí. Přesnost vstupních dat z ternárních či binárních systémů je neméně důležitá. Rozdělovací koeficienty mají značný význam pro prognózu makro- a mikronehomogenit v reálných strukturách krystalů. Abstract Thermodynamic equilibrium data presented as liquidus, solidus, and solvus projections are often used to study solidification sequences. In order to make the fullest use of such projections, information on the solid state composition on completion of the solidification of a given system is also required. A theory for the simulation and software for processing of ternary systems by the help of our own MatLab computer program based on experimental data has been elaborated. The second degree polynomial was selected for the simulation of ideal, quasi-ideal, eutectic, and peritectic types of ternary systems. Results of the calculations are: a tabular or graphical output that enables the complete displaying of ternary diagrams in the form of isothermal and vertical sections, the 3-D projection of liquidus, solidus and solvus surfaces, the mapping of tie-lines and/or tie-triangles for relevant alloys at equilibrium, quasior non-equilibrium crystallization, the calculation of distribution (segregation) coefficients of 1
2 individual elements in alloys in dependence on the temperature. The distribution coefficients are also influenced by the fact whether a eutectic or peritectic reaction occurs in the system, by the position of the alloy composition point in the ternary system, and the curve direction in the close proximity of this point. The accuracy of reading input data from ternary and/or binary systems is of no less important. The distribution coefficients are of high importance for the prediction of macro- and micro-inhomogeneities in real structures of crystals. 1. TEORIE MODELOVÁNÍ TERNÁRNÍHO SYSTÉMU Byla vypracována teorie pro modelování a softwarové zpracování ternárních systémů pomocí vlastního výpočetního programu v systému MatLab vycházející z experimentálních dat. Pro geometrický popis ploch likvidu, solidu a solvu používáme tyto dva druhy ploch: 1. Kvadratická plocha T definována nad oblastí P (obr. 1) : T : 2 2 z = k, 1x + k 2 y + k3xy + k4 x + k5 y + k6 (1) kde P je oblast, jejíž hranici tvoří části kuželoseček. 2. Válcová plocha T definována nad křivkou P (obr. 2): T = k x + k y + k xy + k x + k y + ; z = T x, y), T ( x, y) (2) : k6 min ( max Každou plochu zadáme pomocí vhodně vybraných bodů na hranici plochy. Pro dobré modelování ploch je rozhodující přesnost těchto vstupních dat, proto u každého bodu lze zadat i jeho procentuální důležitost. Pokud bod známe přesně, nastavíme jej na hodnotu 100% a pak bude plocha tímto bodem procházet. Neznáme-li bod přesně, zadáme procentuální důležitost na hodnotu mezi 99 % - 1 % a pak bude tato hodnota brána jako váhový koeficient u regrese. Z rovnic (1), (2) je zřejmé, že počet pevně zadaných bodů nesmí přesáhnout počet parametrů, tj. šest. Pro přesnější modelování je nutno zadávat více bodů, a to jak z oblasti periferní části diagramu, tak i z oblastí uvnitř ternárního systému a využít tak lépe regresní analýzu. Obr. 1. Kvadratická plocha Fig. 1. Quadratic surface Obr. 2. Válcová plocha Fig. 2. Cylindrical surface 1.1 Hledání průsečíků Při vyhodnocení jak horizontálního tak vertikálního řezu systémem ploch vzniká následující problém: Jednotlivé plochy jsou definovány nad oblastmi, jejíchž hranice jsou části kuželoseček. Řez plochou je v projekci do roviny x-y také část kuželosečky. Obecně jsou průnikem dvou kuželoseček čtyři průsečíky. K nalezení správných průsečíků bylo potřeba 2
3 pracovat s vhodnou rotací souřadného systému vždy podle aktuální hraniční křivky. Vhodnou rotací se rozumí lokální souřadný systém, který má osy rovnoběžné s osami kuželosečky. A to ať už jde o osy reálné nebo imaginární. Jinými slovy jde o tuhou deformaci globálního systému souřadnic. Jestliže si kuželosečku charakterizujeme trojicí tak, že k1 k3 / 2 k4 A =, b, c = k6, k / 2 (3) 3 k = 2 k 5 pak lze nalézt vhodnou rotační matici rozkladem symetrické matice A = Q D Q T (4) Sloupce matice Q jsou vlastní vektory matice A a diagonální matice D obsahuje vlastní čísla A. Platí tedy vztah A Q = Q D. (5) Matice rotace je ortogonální (QQT = QTQ), čehož se využije při implementaci výpočtu do programu. Standardním rozkladem s využitím předdefinované funkce v systému MatLab nalezneme matici rotace Q. Potom platí, že v novém lokálním souřadném systému se jednotlivé koeficienty kuželosečky přepočítají podle vztahu K Q = {Q T A Q; Q T b; c}. (6) V této chvíli máme k dispozici vhodný souřadný systém. V případě, že pracujeme s hyperbolou, zvolíme z vypočtených reálných průsečíků ty, které leží v průniku dvou polorovin: jedna je definována přímkou, na které leží imaginární poloosa křivky a hraničními body definičního oboru, druhá je definována přímkou procházející hraničními body a bodem středu kuželosečky. Pro elipsu zvolíme z vypočtených reálných průsečíků ty, které leží v polorovině, která je definována přímkou procházející hraničními body a bodem ležícím na požadované části křivky. V případě paraboly zvolíme z vypočtených reálných průsečíků ty, které leží v průniku dvou polorovin: obě jsou definovány přímkami rovnoběžnými s osou paraboly a procházející vždy jedním hraničním bodem. 2. VÝPOČETNÍ PROGRAM A JEHO CHARAKTERISTIKA Výpočetní program byl vytvořen pomocí software MatLab, který má integrované prostředí pro vědeckotechnické výpočty, modelování, návrhy algoritmů a simulaci. Vstupní data pro jednotlivé plochy se zadávají pomocí souřadnic bodů x A, x B, x C [at. %] a teploty T, příp. lze zadat fixně regresní parametry rovnic jednotlivých binárních systémů z vlastní databáze. Hodnoty rozdělovacích koeficientů jednotlivých prvků pro konkrétní slitinu v ternárním systému A B C lze určit ze spojnic (konod) dvou v rovnováze se nacházejících bodů na ploše solidu x S a likvidu x L pro zvolenou teplotu T A B C xsa A B C xsb A B C xsc ko A = ; ko B = ; koc = ; T = konst. (7) xla xlb xlc Program má 9 voleb různých výpočtů a možných tabelárních či grafických výstupů: 1) tabulka a grafy vypočtených teplot jednotlivých ploch solvu, solidu a likvidu ternárního, resp. binárních systémů 2) izotermické řezy ternárním systémem A B C pro zvolené teploty 3) polytermický řez pro konstantní koncentraci prvku A, B, resp. C [at. %] 4) polytermický řez pro zvolený koncentrační poměr B : C = konst. 5) izotermický řez s konodami pro zvolenou teplotu 6) vykreslení konod a výpočet rovnovážných rozdělovacích koeficientů komponent pro zadanou teplotu, odpovídající izotermě likvidu či solidu 7) vykreslení konod a výpočet rovnovážných rozdělovacích koeficientů pro slitinu daného chemického složení, včetně výpočtu podílu přítomných fází při rovnovážné krystalizaci 3
4 8) tabulka rozdělovacích koeficientů a grafické zobrazení koncentrační, resp. teplotní závislosti rozdělovacích koeficientů jednotlivých komponent v zvolené oblasti ternárního systému 9) výpočet trajektorie změny chemického složení slitiny při nerovnovážných nebo kvazirovnovážných podmínkách krystalizace. 3. MODELOVÁNÍ TERNÁRNÍCH SYSTÉMŮ EUTEKTICKÉHO A PERITEKTICKÉHO TYPU Obr. 3 prezentuje prostorové znázornění ternárního systému A B C, kde každý ze tří binárních systémů je eutektického typu s částečnou rozpustností komponent v tuhém stavu. Primární tuhé roztoky, příslušející základním prvkům A, B, C, jsou označeny α, β, γ - viz obr. 4. Nejsou zde přítomny žádné intermediární fáze. Jednotlivé binární eutektické body jsou spojeny s ternárním eutektikem (bod G, resp. g) prostorovými křivkami DG, EG a FG (resp. dg, eg, fg na obr. 4), přičemž teplota bodu G je nižší než kterákoli z eutektických teplot binárních systémů. Ternární eutektickou reakcí taveniny slitiny o složení odpovídajícímu bodu G dojde k vzniku všech třech tuhých roztoků α, β, γ podle reakce L α + β + γ. Obr. 4. Projekce ternárního systému zobrazeného na obr. 3 Fig. 4. Projected view of ternary system of Fig. 3 Obr. 3. Prostorový model ternárního systému s eutektickou reakcí L α + β + γ [1, 2] Fig. 3. Space model of system showing a ternary eutectic reaction L α + β + γ [1, 2] 3.1 Rovnovážná krystalizace ternárních slitin Krystalizace slitin v různých oblastech ternárního systému může být diskutována na základě obr. 4 za předpokladu rovnovážných podmínek. Jestliže slitina leží v jedné z monofázových oblastí, probíhá krystalizace v podstatě klasicky za vzniku jednoho tuhého roztoku (např. v oblasti Am 1 mm 2 ). Pro slitiny (např. slitina X na obr. 4), ležící uvnitř dvoufázových oblastí, tj. mimo eutektických sedel (spojnice dg, eg, fg), vznikají při primární krystalizace nejprve tuhé roztoky α, β nebo γ, v závislosti na poloze oblasti, v které se složení slitiny nachází. Následkem vylučování primární fáze dosáhne složení likvidu jednoho z eutektických sedel (údolí) a dojde k příslušné binární eutektické reakci. Krystalizace je 4
5 ukončena při klesající teplotě, vyloučením směsi dvou tuhých fází. Např. v slitině X po primárním vyloučení tuhého roztoku α následuje reakce L α + β. Během této reakce spojují vrcholy trojúhelníku bod likvidu ležící na křivce dg s vrcholy fází α a β na křivkách m 1 m, resp. n 1 n a krystalizace je ukončena, když strana tohoto trojúhelníku obsahuje bod X. Jestliže složení slitiny leží v třífázové oblasti, dosáhne složení likvidu v konečné fázi ternárního eutektického bodu g, např. u slitiny Y, jako důsledek výskytu eutektika dle reakce L α + β. Trojúhelník Lαβ se bude postupně přesouvat směrem dolů k ternární eutektické rovině. Při ternární invariantní teplotě nastává reakce L α + β + γ; složení likvidu odpovídá bodu g a jednotlivé fáze α, β, γ svým složením bodům m, n, o. Ve finální struktuře slitiny Y lze tedy očekávat tři typy struktur: primární fázi α, binární eutektikum α + β a ternární eutektikum α + β + γ. Třífázová reakce začíná, když složení taveniny během primární krystalizace protne některou křivku na projekci likvidu např. dg na obr. 4. Křivka dg, tj. eutektické sedlo, představuje trajektorii, podél které se mění složení taveniny při postupující třífázové krystalizaci. Likvidus koexistuje se dvěma tuhými fázemi při eutektické nebo peritektické reakci nebo s pevnou a další kapalnou fází při monotektické reakci. Třífázová reakce pokračuje dále, protože se mění složení taveniny podél příslušné křivky do bodu g; šipky na křivkách obvykle určují směr klesající teploty. Při vylučování tuhých roztoků se mění jejich složení podél příslušných křivek rozpustností (solidus). Proto jsou požadovány detailní experimentální nebo termodynamicky vypočtené údaje pro lokalizaci konod v koncentračním trojúhelníku (anglicky tie-triangle), které jsou nutné pro výpočet množství kapalné a tuhých fází koexistujících při různých teplotách za použití pákového pravidla. Vymezení oblastí tuhých roztoků (projekce křivek solidu pomocí izotermických řezů) ukáže, jestli je ukončena krystalizace dané slitiny třífázovou reakcí na dvoufázovou slitinu (např. slitina X na obr. 4). Tavenina může podstoupit invariantní reakci nebo pokračovat k třífázové reakci, (např. slitina Y na obr. 4) dále po spojnici dg, kde zbývající podíl taveniny utuhne ternární eutektickou reakcí L α + β + γ v bodě g. V systémech, kde primární fázi tvoří tuhý roztok, je nutné přesně sledovat trajektorie, podél kterých se mění složení likvidu a solidu, tj. mít k dispozici experimentální nebo termodynamicky vypočtené údaje, týkající se poloh a délek konod. Tato data jsou v praxi často nedostupná. Pak je výhodnější pokusit se o odhad změn koncentrací likvidu a solidu s ohledem na projekci solidu, která přinejmenším pomůže v nalezení polohy pravděpodobného složení kapalné a tuhé fáze, koexistující na začátku třífázové reakce bezprostředně po primární krystalizací. Další varianta, kterou umožňuje vlastní výpočetní program, spočívá v modelování trajektorie změny složení jednotlivých fází (nacházejících se v rovnováze) v průběhu krystalizace i při ochlazování v tuhém stavu. Pro zvolené složení slitiny se v prvé etapě testují jednotlivé oblasti ternárního systému, kterými bude slitina procházet. Zjistí se teploty, kdy dochází k významné fázové přeměně a určí se počet fází v systému v individuálních teplotních intervalech. V druhé etapě se při zvoleném teplotním kroku počínaje teplotou likvidu určí příslušné konody a zjistí složení jednotlivých rovnovážných fází. Počet fází v systému se v průběhu krystalizace může měnit od dvou do max. čtyř - viz tab. 1. Současný stav výpočetního programu umožňuje celkové zobrazení diagramu v 3-D projekci s barevným rozlišením barevných ploch: červená likvidus, modrá solidus, zelená, azurová a magenta solvus, viz obr. 5a. Rovinnou projekci ploch likvidu, solidu a solvu uvádí obr. 5b, zobrazení izotermických čar obr. 6 a na obr. 7 jsou znázorněny konody pro izotermický řez při 600 C. V rámci výpočetního programu má uživatel další možností zobrazení, včetně vertikálních (polytermických) řezů. Program umožňuje výpočet konod pro danou slitinu v průběhu rovnovážné krystalizace, což umožní stanovit rozdělovací (segregační) koeficienty jednotlivých komponent a podíl jednotlivých fází v průběhu 5
6 krystalizace. Program dále umožňuje zakreslení jednotlivých izotermických řezů pro zvolené teploty, kde je patrný charakter reakcí a vznik jednotlivých fází v daném teplotním intervalu. Dalším významným přínosem modelování je grafický a tabelární výstup hodnot segregačních koeficientů pro danou oblast ternárního systému. Např. můžeme sledovat chování slitin v regionu vymezeném teplotou tání prvku A a dvěma eutektickými křivkami spojující binární eutektika (E 1, E 2 ) s ternárním eutektikem (E), viz obr. 5b. E3 E2 E C B E1 A a) 3-D projekce (3-D view) b) 2-D projekce (2-D view) Obr. 5. Projekce modelového ternárního systému A B C eutektického typu Fig. 5. Projected view of the model ternary system A B C of eutectic type C C Point E 600 C 800 C 700 C 900 C A B Obr. 6. Izotermické řezy pro teploty C Obr. 7. Projekce konod pro teplotu 625 C Fig. 6. Isotherms for temperatures C Fig. 7. Projected view of tie-lines for 625 C Charakter polytermických (vertikálních) řezů ternárním diagramem A B C eutektického typu dle obr. 5a je jako příklad uveden na obrázku 8. Na obr. 8a) je prezentován polytermický řez vedený rovnoběžně s binárním diagramem A B pro konstantní koncentraci prvku 12.5 at. % C. V jednotlivých uzavřených polích jsou vyznačeny příslušné fáze, které se zde vyskytují. Polytermický řez na obr. 8b) je veden přes bod ternárního eutektika (25 at. % A, 35 at. % B, 40 at. % C) pro konstantní koncentraci prvku 35 at. % B, tedy rovnoběžně s binárním A B 6
7 diagramem A B. Význam polytermických řezů spočívá v tom, že pro konkrétní slitinu snadno určíme, kterými fázovými přeměnami a při jakých teplotách prochází daná slitina za termodynamicky rovnovážných podmínek. Liquidus Liquidus L + γ L + β L + α L + α + β L + γ γ α + γ L + β + γ β + γ α + β + γ β β + γ α + β α + β + γ L + β + γ β + γ a) 12.5 at. % C = const. b) 35 at. % B = const. Obr. 8. Vybrané polytermické řezy ternárním systémem A B C eutektického typu Fig. 8. Selected vertical sections of the ternary system A B C of eutectic type Fázové přeměny a změny chemického složení vybrané slitiny o složení 50 at. % A, 20 at. % B, 30 at. % C při rovnovážných podmínkách ochlazování dokumentuje tab. 1 a obr. 9. Při rovnovážné krystalizaci slitiny nejprve dochází v prvé etapě ke vzniku tuhého roztoku α, po dosažení taveniny eutektického sedla se začnou vylučovat současně fáze α + γ. Dále se s klesající teplotou mění složení taveniny do bodu ternárního eutektika, kde pří teplotě 600 C utuhne zbývající podíl taveniny eutektickou reakcí za současného vzniku všech tří fází α + β + γ. Pod teplotami 600 C koexistují vedle sebe pouze tyto tři fáze za postupného snižování jejich rtozpustnosti ve shodě s ternárním systémem dle obr. 5. Tab. 1. Změny chemického složení jednotlivých fází při rovnovážné krystalizaci vybrané slitiny 50 at. % A, 20 at. % B, 30 at. % C Table 1. Changes of the chemical composition of particular phases at equilibrium crystallization of selected alloy 50 At. % A, 20 At. % B, 30 At. % C [At. %] Liquidus Phase α Phase β Phase γ T [ C] x L (B) x L (C) x L (A) x α (B) x α (C) x α (A) x β (B) x β (C) x β (A) x γ (B) x γ (C) x γ (A)
8 Graficky tuto situaci dokumentuje také obr. 9. Obr. 9. Charakter konod při rovnovážné krystalizaci slitiny X 50 at. % A, 20 at. % B, 30 at. % C X Fig. 9. The character of tie-lines and tie-triangles at equilibrium crystallization of the alloy X with 50 At. % A, 20 At. % B, 30 At. % C 4. NEROVNOVÁŽNÁ KRYSTALIZACE V slévárenské praxi běžně používané způsoby lití neumožňují zachování rovnovážných podmínek, které jsou požadovány během tuhnutí slitin. Významnou roli zde hraje difuze v pevných fázích, vznikajících během tuhnutí. Licí mikrostruktury obvykle vykazují "jádra", kde existuje koncentrační gradient napříč dendritickými rameny. Při rychlé solidifikaci, např. při rychlostech ochlazování >10 3 K.s -1 se může vyskytovat mnohem více nerovnovážných stavů. Značné přechlazení vede k potlačení rovnováhy fází, k tvorbě amorfní struktury atd. Tak např. slitina X na obr. 4 může obsahovat i fázi γ, díky dosažení bodu g v likvidu za nerovnovážných podmínek ochlazování. Účinky nerovnovážného ochlazování jsou zvláště výrazné v systémech, obsahujících peritektické reakce, z důvodu potlačení některých reakcí. Kvantitativní přístup k nerovnovážné krystalizaci rozpracovali Scheil [3], Pikunov et al. [4], V prvním přiblížení se předpokládá, že difuze rozpuštěné látky v pevné fázi je velmi malá, takže má zanedbatelný účinek na krystalizaci. Na druhé straně, difuze v kapalném stavu je extrémně vysoká, asi o tři až pět řádů vyšší než v pevné fázi.. V této souvislosti navrhl Scheil [3] matematické přiblížení, které popisuje tuhnutí za podmínek rovnovážné i nerovnovážné krystalizace a uvedl vzorce, pomocí kterých lze vypočíst množství transformované pevné látky jako funkci teploty. Scheilovy rovnice jsou běžně užívané pro popis krystalizace za předpokladu konstantní hodnoty rozdělovacího koeficientu k = const., což v praxi není reálné. Proto je nutno pro objektivní výpočet zavést do rovnic funkční závislost k = f(c), resp. k = f(t). Scheilovy rovnice lze použít i pro případ dendritického tuhnutí, ale nemohou být aplikovány pro eutektickou krystalizaci. Proces krystalizace v binárních, ternárních i polykomponentních systémech sestává při kvazi-rovnovážných podmínkách z rozpadu taveniny a interakce primárních krystalů s koexistující taveninou. Rozpad se uskutečňuje díky difuznímu přenosu hmoty v kapalné fázi. Interakce je určena přenosem hmoty mezi taveninou a krystalem i v samotném krystalu [4]. Výše popsané jevy mají velký vliv na průběh krystalizace se všemi důsledky. Prozkoumáme nerovnovážnou krystalizaci podle Scheila a Petrova za podmínek difuzivit D S = 0, D L. Slitiny v ternárních systémech s úplnou mísitelností v kapalném i tuhém stavu v celém koncentračním rozsahu (tzv. ideální typ diagramu) začnou krystalizovat při individuálních teplotách likvidu. Za nerovnovážných podmínek bude krystalizace libovolné slitiny ukončena při teplotě kovu s nejnižší teplotou tání, kdy složení tuhé i tekuté fáze bude stejné. U ternárních systémů s minimem na křivkách solidu a likvidu (např. v ternárním systému Cu Mn Ni viz obr. 10, bude trajektorie kapalné fáze směřovat prakticky nejkratší 8
9 cestou k minimu spojujícímu oba binární systémy (v tomto případě Cu Mn a Ni Mn). Vzhledem k tomu, že teplota binárního minima je nižší u systému Cu Mn (871 C) nerovnovážná krystalizace bude ukončena zde. Vybrané údaje o složení jednotlivých fází za těchto podmínek uvádí tab. 2, kde jsou uvedeny rovněž segregační koeficienty jednotlivých přítomných prvků v průběhu nerovnovážné krystalizace. V případě eutektických a peritektických systémů bude situace analogická. Nejnižší teplota likvidu v rámci celého diagramu bude významně ovlivňovat trajektorii změny koncentrace likvidu. Na obr. 10 je zakreslena trajektorie změny složení v ternárním systému Cu Mn Ni při nerovnovážné krystalizaci vybrané slitiny. M Obr. 10. Trajektorie likvidu při nerovnovážné krystalizaci slitiny M o složení 60 at. % Cu, 20 at. % Mn, 20 at. % Ni ke křivce minima. Fig. 10. Non-equilibrium crystallization of alloy containing 60 at. % Cu, 20 at. % Mn, 20 at. % Ni the path and tielines of the composition from the point M to the minimum line ( valley ) Tab. 2. Změny chemického složení jednotlivých fází při nerovnovážné krystalizaci vybrané slitiny 60 at. % Cu, 20 at. % Mn, 20 at. % Ni a segregační koeficienty k jednotlivých prvků. Table 2. Changes of the chemical composition of particular phases in non-equilibrium crystallization of selected alloy 60 At. % Cu, 20 At. % Mn, 20 At. % Ni and segregation coefficients k of individual elements T [ C] X(L,Mn) X(S,Mn) k(mn) X(L,Ni) X(S,Ni) k(ni) X(L,Cu) X(S,Cu) k(cu) ZÁVĚR V článku jsou prezentovány základní zákonitosti solidifikace ternárních slitin za podmínek rovnovážné i nerovnovážné krystalizace. Znalost segregačních koeficientů jednotlivých komponent v ternárních slitinách umožní predikci makro- a mikronehomogenit v krystalech. Úspěšné modelování rovnovážných ploch v ternárních systémech je závislé především na volbě vstupních dat, která lze získat z reálných experimentálně sestavených systémů. Problematika studia ternárních systémů se týká nejen rozdělovacích koeficientů, ale 9
10 také i izotermických a polytermických řezů, izotermických řezů s konodami. Mezi izotermickými a polytermickými řezy existuje vazba, kterou lze využít pro zpětnou kontrolu. PODĚKOVÁNÍ Tato práce vznikla v rámci řešení projektu Grantové agentury ČR, reg. č. 106/06/1190 Studium procesů krystalizace vícekomponentních slitin s cílem stanovení zákonitostí interakce prvků a tvorby struktury a v rámci výzkumného záměru fakulty Metalurgie a materiálového inženýrství VŠB TU Ostrava, reg. č. MSM Procesy přípravy a vlastnosti vysoce čistých a strukturně definovaných speciálních materiálů. LITERATURA [1] PETROV, D.A. Dvojnye i trojnye sistemy. Moskva: Metallurgija, 1986, 334 s. [2] WEST, D.R.F. SAUNDERS, N. Ternary Phase Diagrams in Material Science, 3 rd Edition, MANEY for the Institute of Materials, 2002, 224 p.. [3] SCHEIL, E. Z. Metallkunde, 1942, s [4] PIKUNOV, M.V., BĚLJAJEV, I.V., SIDOROV, E.V. Kristallizacija splavov i napravlennoe zatvěrděvanie otlivok. Vladimir, 2002, 218 s. 10
MODELOVÁNÍ TERNÁRNÍCH SYSTÉMŮ POMOCÍ PROGRAMU MATLAB NA PŘÍKLADU SLITINY Al-Cu-Si
MODELOVÁNÍ TERNÁRNÍCH SYSTÉMŮ POMOCÍ PROGRAMU MATLAB NA PŘÍKLADU SLITINY Al-Cu-Si MODELLING OF TERNARY SYSTEMS USING THE MATLAB COMPUTER PROGRAM (THE Al-Cu-Si ALLOYS AS AN EXAMPLE) Vojtěch Pešat, Jaromír
VíceTEORETICKÉ ASPEKTY KRYSTALIZACE TERNÁRNÍCH SLITIN A CHARAKTER SEGREGAČNÍCH DĚJŮ PŘI ROVNOVÁŽNÉ A NEROVNOVÁŽNÉ KRYSTALIZACI
Acta Metallurgica Slovaca, 13, 2007, 1 (76-84) 76 TEORETICKÉ ASPEKTY KRYSTALIZACE TERNÁRNÍCH SLITIN A CHARAKTER SEGREGAČNÍCH DĚJŮ PŘI ROVNOVÁŽNÉ A NEROVNOVÁŽNÉ KRYSTALIZACI Drápala J. 1, Morávková Z. 2,
VíceKONCENTRAČNÍ A TEPLOTNÍ ZÁVISLOSTI ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ. Lumír Kuchař, Jaromír Drápala
KONCENTRČNÍ TEPLOTNÍ ZÁVISLOSTI ROZDĚLOVCÍCH KOEFICIENTŮ Lumír Kuchař, Jaromír Drápala Vysoká škola báňská - Technická Univerzita,708 33 Ostrava, E-mail: Jaromir.Drapala@vsb.cz bstrakt Jsou předloženy
VíceModelování ternárních systémů slitin
Software pro modelování ternárních systémů slitin Modelování ternárních systémů slitin pomocí B-splajnových ploch Zuzana Morávková Jiří Vrbický Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola
VíceMODELOVÁNÍ ROVNOVÁŽNÝCH PLOCH SOLIDU A LIKVIDU A STANOVENÍ ROVNOVÁŽNÝCH ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ RHENIA A MOLYBDENU V TERNÁRNÍM SYSTÉMU W-Mo-Re
METAL 005 4.-6.5.005, Hradec nad Moravicí MODELOVÁNÍ ROVNOVÁŽNÝCH PLOCH SOLIDU A LIKVIDU A STANOVENÍ ROVNOVÁŽNÝCH ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ RHENIA A MOLYBDENU V TERNÁRNÍM SYSTÉMU W-Mo-Re MODELLING OF EQUILIBRIUM
VícePŘÍSPĚVEK K STANOVENÍ ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ V TERNÁRNÍCH SYSTÉMECH CONTRIBUTION TO DETERMINATION OF DISTRIBUTING COEFFICIENTS IN TERNARY SYSTEMS
METL 2001 PŘÍSPĚVEK K STNOVENÍ ROZDĚLOVÍH KOEFIIENTŮ V TERNÁRNÍH SYSTÉMEH ONTRIUTION TO DETERMINTION OF DISTRIUTING OEFFIIENTS IN TERNRY SYSTEMS Jaromír Drápala a, Petr Pacholek a, Lumír Kuchař a, Igor
VíceINTERAKCE PRVKŮ V TERNÁRNÍM SYSTÉMU WOLFRAM - MOLYBDEN - RHENIUM INTERACTIONS OF ELEMENTS IN THE TERNARY SYSTEM TUNGSTEN- MOLYBDENUM-RHENIUM
INTERAKCE PRVKŮ V TERNÁRNÍM YTÉMU OFRAM - MOYBDEN - RHENIUM INTERACTION OF EEMENT IN THE TERNARY YTEM TUNGTEN- MOYBDENUM-RHENIUM Kateřina Bujnošková, Jaromír Drápala VŠB Technická Univerzita Ostrava, 7.listopadu
VíceNĚKTERÉ ZKUŠENOSTI S MODIFIKACÍ SLITIN Mg. SOME OF OUR EXPERIENCE OF MODIFYING THE Mg ALLOYS. Luděk Ptáček, Ladislav Zemčík
NĚKTERÉ ZKUŠENOSTI S MODIFIKACÍ SLITIN Mg SOME OF OUR EXPERIENCE OF MODIFYING THE Mg ALLOYS Luděk Ptáček, Ladislav Zemčík Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství SUMMARY In our earlier
Více1. ÚVOD DO MODELOVÁNÍ KONCENTRAČNÍCH PLOCH V TERNÁRNÍCH SYSTÉMECH Modelování je založeno na regresní analýze rovnovážných ploch solidu a likvidu terná
PROGRESIVNÍ METODY REGRESNÍ ANALÝZY PRO VÝPOČET ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ V TERNÁRNÍCH SYSTÉMECH Vladimír Dostál a, Jaromír Drápala a Zuzana Morávková b a Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava,
VíceKrystalizace ocelí a litin
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky reg. č.: CZ.1.07/2.2.00/07.0018. Krystalizace ocelí a litin Hana Šebestová,, Petr Schovánek Společná laboratoř optiky Univerzity Palackého a Fyzikáln lního
VíceGRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ NONVARIANTNÍCH FÁZOVÝCH PŘEMĚN V BINÁRNÍCH SLITINÁCH V PRŮBĚHU OCHLAZOVÁNÍ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIV 17 Číslo 1, 2006 GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ NONVARIANTNÍCH FÁZOVÝCH
VíceNauka o materiálu. Přednáška č.10 Difuze v tuhých látkách, fáze a fázové přeměny
Nauka o materiálu Přednáška č.10 Difuze v tuhých látkách, fáze a fázové přeměny Difuze v tuhých látkách Difuzí nazýváme přesun atomů nebo iontů na vzdálenost větší než je meziatomová vzdálenost. Hnací
VíceKrása fázových diagramů jak je sestrojit a číst Silvie Mašková
Krása fázových diagramů jak je sestrojit a číst Silvie Mašková Katedra fyziky kondenzovaných látek Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova Praha Pár základích pojmů na začátek Co jsou fázové diagramy?
VíceJAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
VíceSMĚROVÁ KRYSTALIZACE EUTEKTIK SYSTÉMU Ti-Al-Si DIRECTIONAL CRYSTALLIZATION OF Ti-Al-Si EUTECTICS
SMĚROVÁ KRYSTALIZACE EUTEKTIK SYSTÉMU Ti-Al-Si DIRECTIONAL CRYSTALLIZATION OF Ti-Al-Si EUTECTICS Dalibor Vojtěch a Pavel Lejček b Jaromír Kopeček b Katrin Bialasová a a Ústav kovových materiálů a korozního
VíceSTUDIUM VLASTNOSTÍ BEZOLOVNATÝCH PÁJEK PRO VYSOKOTEPLOTNÍ APLIKACE STUDY OF PROPERTIES OF LEAD-FREE SOLDERS FOR HIGH-TEMPERATURE APPLICATION
STUDIUM VLASTNOSTÍ BEZOLOVNATÝCH PÁJEK PRO VYSOKOTEPLOTNÍ APLIKACE STUDY OF PROPERTIES OF LEAD-FREE SOLDERS FOR HIGH-TEMPERATURE APPLICATION Jaromír DRÁPALA a, Daniel PETLÁK a, Kateřina KONEČNÁ a, Bedřich
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceK. Novotný, J. Filípek
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIII 9 Číslo 2, 2005 Dynamické vertikální Sauverovy diagramy metastabilní
Více, Hradec nad Moravicí
TEORETICKÉ A EXPERIMENTÁLNÍ STUDIUM TERNÁRNÍHO SYSTÉMU Cu In Sn Jaromír Drápala a, Petr Zlatohlávek b, Jan Vřešťál c a Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava, FMMI, katedra neželezných kovů,
VíceTEORETICKÉ STUDIUM BINÁRNÍCH FÁZOVÝCH DIAGRAMŮ NÍZKOTAVITELNÝCH KOVŮ THEORETICAL STUDY OF BINARY PHASE DIAGRAMS OF LOW-FUSING METALS
TEORETICKÉ STUDIUM BINÁRNÍCH FÁZOVÝCH DIAGRAMŮ NÍZKOTAVITELNÝCH KOVŮ THEORETICAL STUDY OF BINARY PHASE DIAGRAMS OF LOW-FUSING METALS Jaromír Drápala, Žaneta Urbanívá Vysoká šla báňská chnická Univerzita
VíceSTUDIUM MIKROSEGREGACNÍCH JEVU PRI DENDRITICKÉ KRYSTALIZACI SLITIN NEŽELEZNÝCH KOVU
STUDIUM MIKROSEGREGACNÍCH JEVU PRI DENDRITICKÉ KRYSTALIZACI SLITIN NEŽELEZNÝCH KOVU MICRO-SEGREGATION PHENOMENA AT THE DENDRITIC CRYSTALLIZATION IN ALLOYS OF NON-FERROUS METALS Jaromír Drápala a Petr Václavík
VíceNOVÉ POZNATKY O STRUKTUŘE TVÁŘENÉ SLITINY AlSi12CuMgNi (AA 4032) Katedra náuky o materiáloch, Slovenská republika
19/18 ARCHIWUM ODLEWNICTWA Rok 2006, Rocznik 6, Nr 18 (1/2) ARCHIVES OF FOUNDRY Year 2006, Volume 6, N o 18 (1/2) PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 NOVÉ POZNATKY O STRUKTUŘE TVÁŘENÉ SLITINY AlSi12CuMgNi (AA
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Více12 Fázové diagramy kondenzovaných systémů se třemi kapalnými složkami
12 Fázové diagramy kondenzovaných systémů se třemi kapalnými složkami Kondenzovanými systémy se třemi kapalnými složkami jsou v této kapitole míněny roztoky, které vzniknou smísením tří čistých kapalin
VíceStrukturní charakteristiky hořčíkové slitiny AZ91. Structure of Magnesium Alloy AZ91.
Strukturní charakteristiky hořčíkové slitiny AZ91. Structure of Magnesium Alloy AZ91. Hubáčková Jiřina a), Čížek Lubomír a), Konečná Radomila b) a) VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERSITA OSTRAVA, Fakulta
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceTEORETICKÉ STUDIUM ROVNOVÁŽNÝCH DIAGRAMŮ BINÁRNÍCH SYSTÉMŮ MĚDI, STŘÍBRA, ZLATA A PALADIA
TEORETICKÉ STUDIUM ROVNOVÁŽNÝCH DIAGRAMŮ BINÁRNÍCH SYSTÉMŮ MĚDI, STŘÍBRA, ZLATA A PALADIA THEORETICAL STUDY OF EQUILIBRIUM PHASE DIAGRAMS OF COPPER, SILVER, GOLD AND PALLADIUM BINARY SYSTEMS Kozelvá Renata,
VíceFázové heterogenní rovnováhy Fáze = homogenní část soustavy, oddělná fyzickým rozhraním, na rozhraní se vlastnosti mění skokem
Fázové heterogenní rovnováhy Fáze = homogenní část soustavy, oddělná fyzickým rozhraním, na rozhraní se vlastnosti mění skokem Rovnováha Tepelná - T všude stejná Mechanická - p všude stejný Chemická -
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceKvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
VíceMETALOGRAFIE II. Oceli a litiny
METALOGRAFIE II Oceli a litiny Slitiny železa, uhlíku a popřípadě dalších prvků se nazývají oceli a litiny. Oceli jsou slitiny železa obsahující do 2,14 hm. % uhlíku, litiny s obsahem uhlíku nad 2,14 hm.
VíceRovnováha tuhá látka-kapalina
Krystalizace kovů Rovnováha tuhá látka-kapalina Výpočty fázových rovnováh a základní typy fázových diagramů Způsoby přípravy a vlastnosti monokrystalů Whiskery a jejich pevnost Růst nové fáze, difúze,
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
VíceFÁZOVÉ DIAGRAMY A JEJICH VÝZNAM PŘI KRYSTALIZACI
FÁZOVÉ DIAGRAMY A JEJICH VÝZNAM PŘI KRYSTALIZACI Lumír KUCHAŘ, Jaromír DRÁPALA, Vysoká škola báňská - TU Ostrava 1 Úvod V současné technice se užívá velké množství nejrůznějších kovových i nekovových materiálů,
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceKRYSTALICKÁ STAVBA KOVOVÝCH SLITIN
KRYSTALICKÁ STAVBA KOVOVÝCH SLITIN Krystalická stavba kovových slitin 1. MECHANICKÉ SMĚSI SI Mech. směs s dvou a více v fází f (složek) vzniká tehdy, jestliže e složky se vzájemn jemně nerozpouští ani
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Více- zabývá se pozorováním a zkoumáním vnitřní stavby neboli struktury (slohu) kovů a slitin
2. Metalografie - zabývá se pozorováním a zkoumáním vnitřní stavby neboli struktury (slohu) kovů a slitin Vnitřní stavba kovů a slitin ATOM protony, neutrony v jádře elektrony v obalu atomu ve vrstvách
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více24.-26.5.2005, Hradec nad Moravicí POLYKOMPONENTNÍ SLITINY HOŘČÍKU MODIFIKOVANÉ SODÍKEM
POLYKOMPONENTNÍ SLITINY HOŘČÍKU MODIFIKOVANÉ SODÍKEM EFFECT OF SODIUM MODIFICATION ON THE STRUCTURE AND PROPERTIES OF POLYCOMPONENT Mg ALLOYS Luděk Ptáček, Ladislav Zemčík VUT v Brně, Fakulta strojního
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
VíceKMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceRovnováha Tepelná - T všude stejná
Fázové heterogenní rovnováhy Fáze = homogenní část soustavy, oddělná fyzickým rozhraním, na rozhraní se vlastnosti mění skokem Rovnováha Tepelná - T všude stejná Mechanická - p všude stejný Chemická -
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceGRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV
GRAFICKÉ ŘEŠENÍ ROVNIC A JEJICH SOUSTAV Mgr. Jitka Nováková SPŠ strojní a stavební Tábor Abstrakt: Grafické řešení rovnic a jejich soustav je účinná metoda, jak vysvětlit, kolik různých řešení může daný
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce kvadratická funkce Mirek Kubera žák načrtne grafy požadovaných funkcí, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí, modeluje závislosti
VíceMANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH
Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceFe Fe 3 C. Metastabilní soustava
Poznámka: tyto materiály slouží pouze pro opakování STT žáků SPŠ Na Třebešíně, Praha 10;s platností do r. 2016 v návaznosti na platnost norem. Zákaz šířění a modifikace těchto materálů. Děkuji Ing. D.
VíceVYSOCEPEVNÉ HLINÍKOVÉ SLITINY SE ZLEPŠENÝMI SLÉVÁRENSKÝMI VLASTNOSTMI
VYSOCEPEVNÉ HLINÍKOVÉ SLITINY SE ZLEPŠENÝMI SLÉVÁRENSKÝMI VLASTNOSTMI Ondřej Ekrt, Dalibor Vojtěch, Jan Šerák, Tomáš Kubatík a Čestmír Barta, Čestmír Barta jun. b a VŠCHT,Ústav kovových materiálů a korozního
VíceIV. Fázové rovnováhy. 4. Fázové rovnováhy Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze
IV. Fázové rovnováhy 1 4. Fázové rovnováhy 4.1 Základní pojmy 4.2 Fázové rovnováhy jednosložkové soustavy 4.3 Fázové rovnováhy dvousložkových soustav 4.3.1 Soustava tuhá složka tuhá složka 4.3.2 Soustava
VíceFázové diagramy a krystalizace slitin
Fázové diagramy a krystalizace slitin KRYSTALICKÁ STAVBA KOVOVÝCH SLITIN Základní pojmy Izotropní látka má ve všech krystalografických směrech stejné vlastnosti (plyn, kapalina). Anizotropní látka má v
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceVLIV CHEMICKÉHO SLOŽENÍ A KINETIKY KRYSTALIZACE NA TVORBU SULFIDICKÝCH VMĚSTKŮ V OCELÍCH
METAL 26 23.5.5.26, Hradec nad Moravicí VLIV CHEMICKÉHO SLOŽENÍ A KINETIKY KRYSTALIZACE NA TVORBU SULFIDICKÝCH VMĚSTKŮ V OCELÍCH INFLUENCE OF CHEMICAL COMPOSITION AND KINETICS OF CRYSTALLIZATION ON ORIGINATION
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceSTUDIUM VYBRANÝCH SLITIN NA BÁZI TERNÁRNÍHO SYSTÉMU MĚĎ INDIUM CÍN
Acta Metallurgica Slovaca, 12, 2006, 4 (343-356) 343 STUDIUM VYBRANÝCH SLITIN NA BÁZI TERNÁRNÍHO SYSTÉMU MĚĎ INDIUM CÍN Drápala J. 1, Zlatohlávek P. 2, Smetana B. 1, Vodárek V. 1, Kursa M. 1, Vřešťál J.
Více2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Rovnováha sil je stav, kdy na těleso působí více sil, ale jejich výslednice
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VícePOROVNÁNÍ TEPLOT SOLIDU A LIKVIDU OCELÍ S34MnV, 20MnMoNi5-5 ZÍSKANÝCH POMOCÍ METOD TERMICKÉ ANALÝZY A VÝPOČTŮ
POROVNÁNÍ TEPLOT SOLIDU A LIKVIDU OCELÍ S34MnV, 20MnMoNi5-5 ZÍSKANÝCH POMOCÍ METOD TERMICKÉ ANALÝZY A VÝPOČTŮ Karel GRYC a, Bedřich SMETANA b, Monika ŽALUDOVÁ b, Markéta TKADLEČKOVÁ a, Ladislav SOCHA a,
VíceGeometrické vyhledávání
mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
VíceRELATIONSHIP BETWEEN UNIVERSAL CONSTITUTION DIAGRAMS AND DIAGRAMS IRON WITH CARBON
RELATIONSHIP BETWEEN UNIVERSAL CONSTITUTION DIAGRAMS AND DIAGRAMS IRON WITH CARBON VZTAH MEZI OBECNÝMI ROVNOVÁŽNÝMI DIAGRAMY A DIAGRAMY ŽELEZA S UHLÍKEM Novotný K., Filípek J. Ústav techniky a automobilové
VíceVÝZKUM OBLASTI PERITEKTICKÉ REAKCE - TEPLOTY TÁNÍ A TUHNUTÍ NÍZKOLEGOVANÝCH OCELÍ
VÝZKUM OBLASTI PERITEKTICKÉ REAKCE - TEPLOTY TÁNÍ A TUHNUTÍ NÍZKOLEGOVANÝCH OCELÍ STUDY OF PERITECTIC REACTION REGION - LIQUIDUS AND SOLIDUS TEMPERATURES OF LOW ALLOYED STEELS Bedrich Smetana a Jana Dobrovská
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
VíceGeometrické transformace pomocí matic
Geometrické transformace pomocí matic Pavel Strachota FJFI ČVUT v Praze 2. dubna 2010 Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace ve 2D 3 Geometrické transformace ve 3D Obsah 1 Úvod 2 Geometrické transformace
VíceVyužití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce
Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceMECHANIKA TUHÉHO TĚLESA
MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny
VíceUrci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
VíceACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LIV 12 Číslo 1, 2006 Kvantitativní stanovení produktů izotermického
VíceK CHEMICKÉ MIKROHETEROGENITĚ NIKLOVÉ SUPERSLITINY ON CHEMICAL MICROHETEROGENEITY OF A NICKEL SUPERALLOY
K CHEMICKÉ MIKROHETEROGENITĚ NIKLOVÉ SUPERSLITINY ON CHEMICAL MICROHETEROGENEITY OF A NICKEL SUPERALLOY Jana Dobrovská a Věra Dobrovská a Karel Stránský b a VŠB-TU, 7.listopadu 5, 708 33 Ostrava - Poruba,
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Víceb) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm
b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.
VíceC5060 Metody chemického výzkumu
C5060 Metody chemického výzkumu Audio test: Start P01 Termická analýza Přednášející: Doc. Jiří Sopoušek Moderátor: Doc. Pavel Brož Operátor STA: Bc.Ondřej Zobač Brno, prosinec 2011 1 Organizace přednášky
VícePŘÍSPĚVEK K TERMODYNAMICKÝM A DIFÚZNÍM INTERAKČNÍM KOEFICIENTŮM A JEJICH VZÁJEMNÉMU VZTAHU
PŘÍSPĚEK K TERMODYNAMIKÝM A DIFÚZNÍM INTERAKČNÍM KOEFIIENTŮM A JEJIH ZÁJEMNÉMU ZTAHU Lenka Řeháčková 1) Bořivo Million 2) Jana Dobrovská 1) Karel Stránský 3) 1) ŠB - TU FMMI Ostrava, 17. listopadu, 708
Více1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
VíceLineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceSNÍŽENÍ OBSAHU ŽELEZA VE SLITINÁCH AlSiCuMgFe. DECREASE OF IRON CONTENTS IN AlSiCuMgFe ALLOYS. Jan Šerák, Dalibor Vojtěch, Pavel Novák, Václav Šefl a
SNÍŽENÍ OBSAHU ŽELEZA VE SLITINÁCH AlSiCuMgFe DECREASE OF IRON CONTENTS IN AlSiCuMgFe ALLOYS Jan Šerák, Dalibor Vojtěch, Pavel Novák, Václav Šefl a a Vysoká škola chemicko-technologická v Praze, Ústav
Více