Modelování ternárních systémů slitin
|
|
- Ondřej Prokop
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Software pro modelování ternárních systémů slitin Modelování ternárních systémů slitin pomocí B-splajnových ploch Zuzana Morávková Jiří Vrbický Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Web programu: Program vznikl v rámci projektu MŠM
2 Obsah 1 Úvod 3 2 Plochy solidu a likvidu Aproximace kvadratickými plochami Aproximace B-splajnovými plochami Aproximace složitějších systémů B-splajnová křivka B-splajnová plocha Výpočet izotermických řezů Popis výpočtu hodnot pro konstatní teplotu Příklad Ga-Sn-Zn Výpočet polytermických řezů Newtonova metoda pro soustavu nelineárních rovnic Výpočet hodnoty na ploše Příklad Ag-Au-Pd Nalezení bodů v rovnovážné fázi Rovnovážný rozdělovací koeficient Popis počítačového programu Program Zásady pro volbu sítě Příklad Mo-V-Nb Příklad Al-Zn-Sn Zadání dat Zobrazení ploch a binárních diagramů Výpočet izotermických řezů Výpočet polytermických řezů Výpočet konod a koeficientů
3 1 Úvod Fázové rovnováhy ve slitině tří prvků A-B-C (ternárním systému) lze charakterizovat plochami likvidu a solidu. Na osu x, resp. y se vynášejí hodnoty příměsi B, resp. C a na osu z teplota. Pro grafické zobrazení systému se použivají vrstevnicové grafy (izotermické řezy) a také tzv. polytermické řezy. Tyto polytermické řezy ukazují závislost teploty tání likvidu a solidu daného ternárního systému A-B-C na koncentraci jednoho z těchto prvků, přičemž je předem dán poměr koncentrací zbývajících dvou prvků. Přechod mezi tekutou a tuhou fází nastává pro jednoprvkové látky při teplotě tání. V případě slitin je proces krystalizace složitější, neboť vlivem příměsí jsou teploty začátku krystalizace (likvidus) a konce (solidus) různé. Při tomto procesu se vznikají nehomogenity, které mají negativní vliv na vlastnosti slitin. Rovnovážný rozdělovací koeficient popisuje míru rozdělování příměsí mezi tuhou a tekutou fází. 2 Plochy solidu a likvidu 2.1 Aproximace kvadratickými plochami Pro každou procentuální koncentraci x příměsového prvku B a y prvku C je dána teplota likvidu a solidu. Grafy těchto zobrazení tvoří dvě rovnovážné plochy, které lze pro malé koncentrace příměsí a v jednoduchých případech aproximovat kvadratickými plochami. Solidus tedy modelujeme takto: S(x, y) = k S 1 x 2 + k S 2 y 2 + k S 3 xy + k S 4 x + k S 5 y + t A m, (1) kde t A m je teplota tání základního prvku A a koeficienty k S i, i = 1,..., 5 jsou spočítány aproximací naměřených dat metodou nejmenších čtverců. Při popisu plochy likvidu postupujeme analogicky. Tato problematika byla popsána v článku [1], [2], [4]. 3 Aproximace B-splajnovými plochami 3.1 Aproximace složitějších systémů V případě, že je průběh ploch solidu a likvidu složitější a nelze ho popsat pomocí kvadratický ploch, je potřeba použít jiný aparát. Ukazuje se, že B-splajnové plochy jsou dobrý nástroj pro aproximaci složitějších systémů. V následujících kapitolách popíšeme konstrkci B-splajnových ploch, začneme popisem B-splajnovývh křivek, ze kterých se plochy tvoří. Problematika byla pospána v článcích [5] a [6].
4 3.2 B-splajnová křivka Nechť jsou dány řídicí body P i = (x i, y i ) R 2, i = 0,..., n. Zvolíme stupeň p B-splajnová křivky a sestrojíme bázové funkce {N i,p (u)} n i=0 definované nad uzlovým vektorem: U = (0,..., 0, u }{{} p+1,..., u n, 1,..., 1). }{{} p+1 p+1 Báze pro p = 0 jsou definovány takto: { 1, u ui, u N i,0 (u) = i+1 ) 0, u u i, u i+1 ). A pro báze k = 1,..., p jsou dány rekurentní vzorce: N i,k (u) = u u i N i,k 1 (u) + u i+k+1 u N i+1,k 1 (u) u i+k u i u i+k+1 u i+1 Pak B-splajnová křivka je zadaná parametricky: S(u) = n x = N i,p (u)p i y = i=0 n N i,p (u)x i i=0 n N i,p (u)y i i=0 Obr 1.: Bázové funkce a B-splajnová křivka pro p = 3 a U = (0, 0, 0, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, 1, 1, 1).
5 3.3 B-splajnová plocha Nechť je dána síť řídicích bodů P ij = (x ij, y ij, z ij ) R 3, i = 0,..., n, j = 0,..., m. Uvažujeme bázové funkce {N i,p (u)} n i=0, resp. {N i,p (v)} m j=0 definované nad uzlovým vektorem: U = (0,..., 0, u p+1,..., u n, 1,..., 1), resp.v = (0,..., 0, u p+1,..., u m, 1,..., 1). Pak B-splajnová plocha je zadaná parametricky: x = n m S(u, v) = N i,p (u)n j,p (v)p ij y = i=0 j=0 z = n m N i,p (u)n j,p (v)x ij i=0 n i=0 n j=0 m N i,p (u)n j,p (v)y ij j=0 i=0 j=0 m N i,p (u)n j,p (v)z ij Obr 2.: Příklad bázové funkce N 3,3 (u)n 5,3 (v). Obr 3.: B-splajnová plocha. 4 Výpočet izotermických řezů Pro grafické zobrazení systému se použivají vrstevnicové grafy - izotermické řezy. 4.1 Popis výpočtu hodnot pro konstatní teplotu Izotermický řez je vrstevnice plochy S(u, v).
6 Pro zvolenou hodnotu z hledáme řešení (u, v) 0, 1 0, 1 rovnice: z = n m N i,p (u)n j,p (v)z ij. i=0 j=0 Řešení budeme hledat numericky, volíme hodnotu parametru ũ postupně z intervalu 0, 1 s krokem h. Nejprve pro j = 0,..., m spočítáme hodnoty: c j = n N i,p (ũ)z ij. i=0 Báze N j,p (v) na intervalu v k, v k+1 ) má tvar polynomu stupně nejvýše p: N j,p (v) vk,v k+1 ) = p a jk;l v l, l=0 kde a jk;l R jsou koeficienty. Pro každý interval v k, v k+1 ), k = p,..., n uzlového vektoru V hledáme řešení ṽ v k, v k+1 ) polynomické rovnice: z = m j=0 c j p a jk;l v l. l=0 4.2 Příklad Ga-Sn-Zn Plochu likvidu systému slitiny Ga-Sn-Zn jsme aproximovali B-splajnovou plochou třetího stupně.
7 Obr 4.: Vypočítané izotermické řezy. Obr 5.: Zadané izotermické řezy.
8 5 Výpočet polytermických řezů Pro grafické zobrazení systému se také použivají tzv. polytermické řezy. které ukazují závislost teploty tání likvidu a solidu daného ternárního systému A-B-C na koncentraci jednoho z těchto prvků, přičemž je předem dán poměr koncentrací zbývajících dvou prvků. Při výpočtu těchto řezů je potřeba řešit soustavu dvou nelineárních rovnic. Na tento problém použijeme Newtonovu metodu. 5.1 Newtonova metoda pro soustavu nelineárních rovnic Připomeňme si Newtonovu metodu pro řešení soustavy dvou nelineárních rovnic. Máme soustavu dvou rovnic ve tvaru F(X) = O ( ) F1 (X kde X = (X 1, X 2 ) jsou neznámé a dále F(X) = 1, X 2 ). F 2 (X 1, X 2 ) Zvolíme vhodně počáteční aproximaci X (0) a další aproximaci spočítáme ze vztahu: X (k+1) = X (k) J 1 (X (k) )F(X (k) ), kde J 1 (X (k) ) je hodnota inverzní matice k Jakobiánu J v bodě X (k), který má tvar: F 1 F 1 J = X 1 X 2 F 2 F 2. X 1 X 2 Výpočet ukončíme tehdy, je-li X (k) X (k 1) menší než požadovaná přesnost. Metoda konverguje pro regulární Jakobián a počáteční aproximaci dostatečně blízko přesnému řešení. 5.2 Výpočet hodnoty na ploše Při určování polytermických řezů a jiných aplikacích je často potřeba pro zvolené hodnoty x, ỹ najít hodnotu na B-splajnové ploše. Připomeňme, že B-splajnová plocha je popsána parametrickými rovnicemi: x = S x (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)x ij y = S y (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)y ij z = S z (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)z ij
9 kde u, v 0, 1 jsou parametry a N ip jsou polynomy p-tého stupně. Problém nalezení hodnoty z ke zvoleným hodnotám x, ỹ vede na soustavu nelineárních rovnic: } x = S x (u, v) ( ) ỹ = S y (u, v) Řešení této rovnice označíme ũ, ṽ a po dosazení do vztahu dostaneme požadavanou hodnotu. z = S z (ũ, ṽ) Soustavu ( ) budeme řešit Newtonovou metodou. K výpočtu Jakobiánu budeme potřebovat parciální derivace: Jakobián J má tvar: S x u (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)x ij S x v (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp(v)x ij S y u (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp (v)y ij S y v (u, v) = n m i=0 j=0 N ip(u)n jp(v)y ij. J(u, v) = v 0 S x S (u, v) u S y S (u, v) u x (u, v) v. y (u, v) v Inverzní matice J 1 k Jakobiánu má tvar: S y J 1 1 (u, v) (u, v) = v S x (u, v) v det J(u, v) S y S. x (u, v) (u, v) u u ( ) u 0 Počáteční aproximace zvolíme jako aritmetický průměr hodnot v uzlech sítě v příslušném intervalu. Další aproximaci spočítáme ze vztahu: ( ) ( ) ( ) u k+1 u k v k+1 = v k J 1 (u k, v k Sx (u ) k, v k ) x S y (u k, v k ) ỹ
10 5.3 Příklad Ag-Au-Pd Plochy likvidu a solidu systému slitiny Ag-Au-Pd jsme aproximovali B-splajnovou plochou třetího stupně. Na Obr.6. je zobrazen polytermický řez likvidu a solidu pro poměr Ag:Pd=1:1, který je spočítán výše uvedeným způsobem. Na Obr.7. je pro srovnání zobrazen tentýž graf z knihy Handbook of Ternary Alloy Phase Diagram. Obr 6.: Vypočítané polytermické řezy. Obr 7.: Zadané polytermické řezy.
11 6 Nalezení bodů v rovnovážné fázi Ke známé koncentraci x S příměsového prvku B v tuhé fázi potřebujeme určit jeho koncentraci x L v tekuté fázi. Nechť l LIK (a L, n L ) (resp. l LIK (a L, b L )) je délka křivky likvidu z bodu a L do n L (resp. b L ). Analogicky označme délku solidu l SOL. Ke známemu bodu n L na křivce likvidu hledáme bod v rovnovážné fázi n S na křivce solidu (viz Obr. 8) z rovnice: l SOL (a S, n S ) l SOL (a S, b S ) = l LIK(a L, n L ) l LIK (a L, b L ), (2) Spojnici bodů v rovnováze nazýváme konoda (viz Obr. 9). Obr 8.: Body v rovnováze. Obr 9.: Konody 6.1 Rovnovážný rozdělovací koeficient A B C Rovnovážný rozdělovací koeficient k 0 B příměsi B v ternárním systému A B C je dán jako izotermní poměr (při konstantí teplotě) koncentrace x S příměsového prvku B v tuhé fázi a jeho koncentrace x L kapalné fázi (analogicky definujeme koeficient pro prvek C): k 0 A B C B = x S x L k 0 A B C C = y S y L. A B C Koeficient nabývá hodnot k 0 B < 1 v systémech, kde příměs B snižuje teplotu A B C A B C tání a hodnot k 0 B > 1 v případech, kdy ji zvyšuje (analogicky pro k 0 C ).
12 7 Popis počítačového programu Modelování ternárníchsystémů bylo zprogramováno v systému Matlab a byl vytvořen počítačový program s grafickým uživatelským rozhraním. 7.1 Program
13 7.2 Zásady pro volbu sítě Při modelování ternárních diagramů pomocí B-splajnových ploch je prvním krokem volba vhodné sítě uzlových bodů. Pro jednotlivé ternární systémy je tato volba individuální, takže neexistuje obecný algoritmus pro vytvoření sítě. Pro výběr uzlových bodů přesto platí určité zásady, které je nezbytné dodržet. Síť je tvořena m n uzlovými body, přičemž nutně m, n 4. Tyto body obdržíme jako průsečíky dvou systémů úseček, jejichž krajní body leží vždy na hraničních křivkách uvažované oblasti. Z teorie B-splajnových ploch vyplývá že tyto krajní body jsou tzv. ukotvené, tedy tyto body leží na příslušné ploše. První systém je tvořen právě m 4 úsečkami a druhý právě n 4 úsečkami. Úsečky patřící do stejného systému se nesmí protínat ve vnitřních bodech uvažované oblasti, mohou však mít společné krajní body. To znamená, že se může jednat o svazek úseček vycházejících z jednoho bodu a dokonce několik úseček může být totožných. Je-li ve shodě s výše uvedenými podmínkami zvolen první systém m úseček, potom pro volbu druhého systému n úseček je nutné ještě navíc dodržet, aby každá z těchto n úseček protínala úsečky prvního systému právě v m bodech, které ovšem nemusejí být všechny navzájem různé. Volba hustoty sítě, tj. volba počtu m n, je opět velmi individuální, závisí na změnách tvaru izotermických křivek. V oblastech, kde mají izotermy inflexní body nebo se mění z konvexní na konkávní, je vhodné zvolit hustš síť uzlových bodů. V případě, že ternární diagram obsahuje brázdy rozdělující zkoumanou oblast na disjunktní podoblasti, je nutné sestavit síť uzlových bodů pro každou podoblast odděleně. Přitom je nutné dodržet zásadu, aby uzlové body ležící na brázdách byly společné pro všechny sítě jednotlivých podoblastí.
14 7.3 Příklad Mo-V-Nb Obr. 10: Zadaní systému Mo-V-Nb Obr. 11: Volba sítě a bodů
15 Mo V Nb T
16
17 7.4 Příklad Al-Zn-Sn Obr. 12: Zadaní systému Al-Zn-Sn Obr. 13: Volba sítě a bodů
18 Body u vrcholu Sn. Al Zn Sn T Body u vrcholu Zn. Al Zn Sn T
19 Body u vrcholu Al. Al Zn Sn T
20 7.5 Zadání dat Data, který odečteme z dostupných materiálů zadáme do souboru podle pravidel popsaných v předchozí kapitole. Soubory se vstupními daty pak do proramu načteme z následujících polí. 7.6 Zobrazení ploch a binárních diagramů Program vstupní data zpracuje a vytvoří B-splajnové plochy. V následující části programu si lze tyto plochy zobrazit, stejně jako binární diagramy. 7.7 Výpočet izotermických řezů Izotermické řezy si můžeme zobrazit buď v celém rozsahu, nebo v zadaném rozmezí.
21 7.8 Výpočet polytermických řezů Pro zobrazení polytermických řezů si můžeme zvolit buď řez plochou pro daný poměr prvků nebo pro konstantní hodnotu jednoho z prvků. 7.9 Výpočet konod a koeficientů Pro vykreslení konod zadáme teplotu pro daný izotermický řez a počet konod. Rovnovážný koeficient se spočítá pro zadanou hodnotu dvou prvků.
22 Reference [1] Z.Morávková: Výpočet rovnovážného koeficietnu v ternárních systémech, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, [2] Z.Morávková, I. Svobodová, J. Drápala:Modelování eutektických ternárních systémů, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, [3] Z.Morávková, J. Drápala, I. Svobodová:Modelování binárních systémů, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, [4] Z.Morávková, J. Drápala, I. Svobodová:Počítačová simulace krystalizace v ternárních systémech eutektického a peritektického typu, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, [5] Z.Morávková, J. Vrbický, J. Drápala, M. Madaj: Využití B-splajnových ploch v ternárních systémech slitin, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, [6] Z.Morávková, J. Vrbický, J. Drápala, M. Madaj: Výpočet polytermických řezů v ternárních systémech slitin, sborník konference Moderní metody v inženýrství, Ostrava, 2011.
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
VíceSoustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
VíceKapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu Základní pojmy Definice: Rovnice tvaru = f(t, x, y) = g(t, x, y), t I nazýváme soustavou dvou diferenciálních rovnic 1. řádu. Řešením soustavy rozumíme
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceJana Dannhoferová Ústav informatiky, PEF MZLU
Počítačová grafika Křivky Jana Dannhoferová (jana.dannhoferova@mendelu.cz) Ústav informatiky, PEF MZLU Základní vlastnosti křivek křivka soustava parametrů nějaké rovnice, která je posléze generativně
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic. 27. prosince 2011
Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Michal Čihák 27. prosince 2011 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic V přednáškách z lineární algebry jste se seznámili s několika metodami řešení
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceČebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Vícealgoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V
Hledání lokálního maxima funkce algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V Č R Abstrakt : Lokální maximum diferencovatelné funkce je hledáno postupnou změnou argumentu. V
VíceŘešení nelineárních rovnic
Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS
VíceNumerická matematika Banka řešených příkladů
Numerická matematika Banka řešených příkladů Radek Kučera, Pavel Ludvík, Zuzana Morávková Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava K D M G ISBN 978-80-48-894-6
VíceRegresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23
VíceStudijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.
Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceKrása fázových diagramů jak je sestrojit a číst Silvie Mašková
Krása fázových diagramů jak je sestrojit a číst Silvie Mašková Katedra fyziky kondenzovaných látek Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova Praha Pár základích pojmů na začátek Co jsou fázové diagramy?
VíceInterpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VíceMODELOVÁNÍ TERNÁRNÍCH SYSTÉMŮ POMOCÍ PROGRAMU MATLAB NA PŘÍKLADU SLITINY Al-Cu-Si
MODELOVÁNÍ TERNÁRNÍCH SYSTÉMŮ POMOCÍ PROGRAMU MATLAB NA PŘÍKLADU SLITINY Al-Cu-Si MODELLING OF TERNARY SYSTEMS USING THE MATLAB COMPUTER PROGRAM (THE Al-Cu-Si ALLOYS AS AN EXAMPLE) Vojtěch Pešat, Jaromír
VíceAproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
VícePŘÍSPĚVEK K STANOVENÍ ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ V TERNÁRNÍCH SYSTÉMECH CONTRIBUTION TO DETERMINATION OF DISTRIBUTING COEFFICIENTS IN TERNARY SYSTEMS
METL 2001 PŘÍSPĚVEK K STNOVENÍ ROZDĚLOVÍH KOEFIIENTŮ V TERNÁRNÍH SYSTÉMEH ONTRIUTION TO DETERMINTION OF DISTRIUTING OEFFIIENTS IN TERNRY SYSTEMS Jaromír Drápala a, Petr Pacholek a, Lumír Kuchař a, Igor
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceKřivky a plochy technické praxe
Kapitola 7 Křivky a plochy technické praxe V technické praxi se setkáváme s tím, že potřebujeme křivky a plochy, které se dají libovolně upravovat a zároveň je jejich matematické vyjádření jednoduché.
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceBézierovy křivky Bohumír Bastl KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26
Bézierovy křivky Bohumír Bastl (bastl@kma.zcu.cz) KMA/GPM Geometrické a počítačové modelování Bézierovy křivky GPM 1 / 26 Opakování Spline křivky opakování Bézierovy křivky GPM 2 / 26 Opakování Interpolace
Více15. listopadu Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta. Hermitovská interpolace
Geometrické modelování Zbyněk Šír Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Hermitovská interpolace 15. listopadu 2017 Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrické modelování 15. listopadu 2017 1 / 23 Hermiteovská
Více5. Plochy v počítačové grafice. (Bézier, Coons)
5. PLOCHY V POČÍAČOVÉ GRAFICE Cíl Po prostudování této kapitoly budete umět popsat plochy používané v počítačové grafice řešit příklady z praxe, kdy jsou použity plochy Výklad Interpolační plochy - plochy,
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceVE 2D A 3D. Radek Výrut. Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského sumy
25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE Radek Výrut VÝPOČET MINKOWSKÉHO SUMY VE 2D A 3D Abstrakt Tento článek obsahuje postupy pro výpočet Minkowského sumy dvou množin v rovině a pro výpočet Minkowského
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceVYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt
VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceREGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB
62 REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB BEZOUŠKA VLADISLAV Abstrakt: Text se zabývá jednoduchým řešením metody nejmenších čtverců v prostředí Matlab pro obecné víceparametrové aproximační funkce. Celý postup
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceAproximační křivky. Trocha historie. geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 1944 Roy Liming
Trocha historie geometrické modelování veliký pokrok v oblasti letectví 944 Roy Liming analytik, North American Aviation (výrobce letadel) společně s konstruktérem a designérem Edgardem Schmuedem matematizace
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
VícePlochy zadané okrajovými křivkami
Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceMatematické modely a způsoby jejich řešení. Kateřina Růžičková
Matematické modely a způsoby jejich řešení Kateřina Růžičková Rovnice matematické fyziky Přednáška převzata od Doc. Rapanta Parciální diferencíální rovnice Diferencialní rovnice obsahujcí parcialní derivace
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
Více10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceLibovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.
A 9 vzorové řešení Př. 1. Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice Počítejte v radiánech, ne ve stupních! sin x + x 2 2 = 0. Rovnici lze upravit na sin
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceDůvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo
0.1 Numerická matematika 1 0.1 Numerická matematika Důvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo π. = 22/7 s dovětkem, že to pro praxi stačí. Položme
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceRovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w
Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,
VíceMODELOVÁNÍ ROVNOVÁŽNÝCH PLOCH SOLIDU A LIKVIDU A STANOVENÍ ROVNOVÁŽNÝCH ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ RHENIA A MOLYBDENU V TERNÁRNÍM SYSTÉMU W-Mo-Re
METAL 005 4.-6.5.005, Hradec nad Moravicí MODELOVÁNÍ ROVNOVÁŽNÝCH PLOCH SOLIDU A LIKVIDU A STANOVENÍ ROVNOVÁŽNÝCH ROZDĚLOVACÍCH KOEFICIENTŮ RHENIA A MOLYBDENU V TERNÁRNÍM SYSTÉMU W-Mo-Re MODELLING OF EQUILIBRIUM
VíceINTERAKCE PRVKŮ V TERNÁRNÍM SYSTÉMU WOLFRAM - MOLYBDEN - RHENIUM INTERACTIONS OF ELEMENTS IN THE TERNARY SYSTEM TUNGSTEN- MOLYBDENUM-RHENIUM
INTERAKCE PRVKŮ V TERNÁRNÍM YTÉMU OFRAM - MOYBDEN - RHENIUM INTERACTION OF EEMENT IN THE TERNARY YTEM TUNGTEN- MOYBDENUM-RHENIUM Kateřina Bujnošková, Jaromír Drápala VŠB Technická Univerzita Ostrava, 7.listopadu
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Více1/15. Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu
1/15 Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu 2/15 Vsuvka: Vlastní čísla matic Definice: Bud A čtvercová matice a vektor h 0 splňující rovnici A h = λ h pro nějaké číslo λ R. Potom λ nazýváme
Více1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1
1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a
VíceNumerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceAproximace a interpolace
Aproximace a interpolace Aproximace dat = náhrada nearitmetické veličiny (resp. složité funkce) pomocí aritmetických veličin. Nejčastěji jde o náhradu hodnot složité funkce g(x) nebo funkce zadané pouze
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany
3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,
Více