MA2: Řešené příklady Funkce více proměnných: Derivace a geometrie
|
|
- Miroslava Pešková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MA2: Řešené příklady Funkce více proměnných: Derivace a geometrie 1. Najděte definiční obor a všechny parciální derivace prvního řádu funkce f(,y,z=arcsin(ye 3z +(+z y+z. 2. Najděte definiční obor a všechny parciální derivace druhého řádu funkce f(,y= 2 y+(3+5y 2. Najděte všechny derivace přímo, nepoužívejte žádnou větu. 3.Uvažujtefunkci f(,y,z= yz +y + e 2 z. Najdětejejígradient f(1,0,2atotálnídiferenciálvbodě(1,0,2. 4.Uvažujtefunkci f(,y=y y+2 y.jsmevbodě(1,2. a V jakém směru klesá f nejrychleji? Jakou rychlostí? bpokudsepohnemesměremkbodu(3,2,jakourychlostísezačnouměnithodnotyfunkce f? 5.Najděterovnicitečnérovinyanormályvbodě(1,1,2kpovrchudanémurovnicí z 2 =7 2 2y 2. 6.Najděterovnicitečnyanormályvbodě(0,/6kekřivcedanérovnicí Napište rovnice v klasickém tvaru. 2sin(y sin(=1. 7. Použijte totální diferenciál k aproimaci ln(1.1 cos( NajděteTaylorůvpolynomtřetíhostupněsestředem a=(1, 1,1kfunkci f(,y,z=2y 2 + z 3. 9.Nechťje f(,ynějakáfunkce.uvažujtetransformaciproměnných = s, y= t/s. anajděte s a t. btransformujtevýrazy a y. (Přesně řečeno, vyjádřete je pomocí parciálních derivací f vzhledem k s a t. ctransformujtevýraz 1 2 y. 10.Uvažujterovnici sin(y+ 2 + y 2 =1. a Dokažte, že na nějakém okolí(0, 1 tato rovnice definuje implicitní funkci y(. bnajděterovnicitečnykegrafutéto yvbodě(0,1. cnajděte y ( Uvažujte rovnici sin(z + sin(yz = sin(y. adokažte,ženanějakémokolíbodu(0,1,πtatorovnicedefinujeimplicitnífunkci z(,y. bnajděterovnicitečnérovinykegrafutéto zvbodě(0,1,π. cnajděte 2 z y (0,1,π. Řešení: 1. K nalezení definičního oboru musíme nejprve přepsat obecnou mocninu v druhém členu: f(,y,z=arcsin(ye 3z + e (y+zln(+z. 1
2 Podmínkyproeistencijsouproto 1 y 1a+z >0: D(f={(,y,z IR 3 ; 1 y 1az> }. K získání parciální derivace podle předstíráme, že y, z jsou konstanty. Co z toho plyne? První členjesoučin,alejehodruháčástzávisíjenna z,takžeceláeponenciálníčástjekonstanta a lze ji z derivace vytáhnout. Při derivování první složky součinu použijeme řetízkové pravidlo (složená funkce. V druhém členu je proměnná jen v základu, takže není třeba používat trik proobecnoumocninu, aplikujemevzorecpro[ a. Onotoalenenípřesnětakto, jetamv základu funkce, takže zase aplikujeme řetízkové pravidlo. Připomínáme, že derivace konstanty jenulaa[a = A. = [ e3z arcsin(y +(y+ z(+z y+z 1 [+z = e 3z 1 (y 2 [y+(y+ z(+zy+z 1 [1+0= y e 3z 1 2 y 2+(y+ z(+zy+z 1. Teďpředstíráme,že,zjsoukonstanty. Prvníčlensederivujeobdobně,aledruhýjeteďve tvaru a y+b,takžejetřebapoužítpravidloproderivováníobecnéeponenciály.dostaneme y = [ e3z arcsin(y +ln(+z(+z y+z [y+ z y y = e 3z 1 (y 2 y [y+ln(+z(+zy+z [1+0= e 3z 1 2 y 2+ln(+z(+zy+z. Nakonecpředstíráme,že,yjsoukonstanty. Vdruhémčlenuteďmámeproměnnou zjakv základu tak v eponentu mocniny, takže je třeba použít přepis pro obecnou mocninu, jak jsme jej měli při hledání definičního oboru, a derivovat složenou funkci z [eϕ(z =e ϕ(z z [ϕ(z: z =arcsin(y z (e3z +e (y+zln(+z [(y+ zln(+z z =arcsin(y3e 3z +(+z y+z( [1+0ln(+z+ 1 +z =3arcsin(ye 3z +(+z y+z( ln(+z+ y+ z. +z z [y+ z Poznámka ohledně definičního oboru(pro zvědavé studenty: Jakýjetvarmnožiny D(f={(,y,z IR 3 ; 1 y 1az> }? V první podmínce naštěstí není z, takže můžeme začít vyšetřovat, jaký tvar nám definuje v rovině y.přidešifrovánípodmínky 1 y 1musímeuvažovattřimožnosti: =0: 1 0 1vždy = všechna yfungují. >0: 1 y 1 <0: 1 y 1 = 1 y 1 MámetedynásledujícítvarvIR 2 : y 0 2
3 Definiční obor je nicméně třídimenzionální objekt, víme, že je to něco vztyčené nad množinou v obrázku výše. Kdyby tam nebyly žádné další podmínky, pak by z mohlo být libovolné a dostali bychom něco jako nekonečný svislý válec s průřezem daným tvarem výše. Myalemámepodmínku,jmenovitě z >. Tatopodmínkaomezuje zzdolavzávislostina pozici v rovině y. Rovnice z = definuje rovinu skloněnou pod úhlem 45 stupňů, rovnoběžnou a procházející osou y. Definiční obor D(f je proto ta část onoho nekonečného válce, která leží nad touto rovinou. z y 2.Protoževevzorcinejsoužádnéproblémy,máme D(f=IR 2. Abychom dostali parciální derivace druhého řádu, musme nejprve spočítat ty prvního řádu: = y [2 +2(3+5y [3+5y=2y+2(3+5y 3=2y+18+30y, = 2 y [y+2(3+5y y [3+5y=2 +2(3+5y 5= y. Proto 2= y = y y = [ = [2y+18+30y=2y+18, [ = y [2y+18+30y=2+30, [ y = [ y=2+30, [ y 2= y y = y [ y=50. Všimněte si, že tato funkce má parciální derivace všech řádů a jsou spojité, takže podle věty musíbýt 2 f y = 2 f y. 3.Tojesnadné.Nejprvenajdemeparciálníderivaceapakdonichdosadímedanýbod: = yz +y yz 2 +y +2e 2 z = +y (1,0,2=2, +y yz 2 +y +y y = z = y (1,0,2=2, z = y e 2 z = +y z (1,0,2= 1. 3
4 Teď již zformujeme gradient a totální diferenciál: f(0,2,0=grad(f(0,2,0=(2,2, 1, df(1,0,2=2d+2dy dz nebo df(1,0,2[ h=2h 1 +2h 2 h Obě otázky vyžadují znalost gradientu, takže najdeme příslušné parciální derivace a zpracujeme je: = } y2 +2y+2 y =2y+ = (1,2=10 } 2 1 y (1,2=4 = f(1,2=(10,4. Směrnejvětšíhospáduje f(1,2, tedy( 10, 4. Protožesesměrnemění, kdyžvektor vynásobíme(vydělímekladnýmčíslem,lzetakéudatodpověďjako 1 2 ( 10, 4=( 5, 2. Rychlostzměnyvesměrugradientuje f(1,2 = = 116=2 29. Vopačném směru bude rychlost změny stejně velká, ale záporná. Rychlost změny ve směru( 5, 2 je bnejprveurčímevektorudávajícínášpohyb(změnupozice,kdyžjdemez(1,2do(3,2: v=(3,2 (1,2=(2,0.Paknajdemevektorvestejnémsměru,alesnormourovnoujedné: u= v v = 1 2 (2,0=(1,0. Odpověď na otázku b je dána příslušnou směrovou derivací. Rychlost změny ve směru u je D u f(1,2=f u(1,2= f(1,2 u=(10,4 (1,0=10. 5.Ověříme,žedanýbod P=(1,1,2splňujedanourovnici,takžeotázkamásmysl,bodopravdu leží na dané křivce. Abychom nalezli zadané objekty, potřebujeme nejprve najít normálový vektor kdanémupovrchuvbodě(1,1,2.jsoudvamožnépřístupy: 1Můžemetenpovrchpovažovatzahladinukonstantnosti 2 +2y 2 + z 2 =7funkce f(,y,z= 2 +2y 2 + z 2. Víme, že pak gradient dává normálový vektor k hladině konstantnosti. Najdeme tedy patřičné parciální derivace a dosadíme: =2, y =4y, z =2z = (1,1,2=2, y (1,1,2=4, z (1,1,2=4. Proto f(1,1,2=(2,4,4.protožezanormálovývektorlzevzítlibovolnýnásobekgradientu, prozjednodušenívezmeme n= 1 2 f(1,1,2=(1,2,2. 2Můžemetenpovrchtaképovažovatzagrafjednézfunkcí z= 7 2 2y 2, z= y 2. Musíme rozhodnout, která z těchto funkcí je pro náš problém relevantní, ale to je snadné, rychle zjistíme,žedanýbod(1,1,2nevyhovujeprvnírovnici,aledruhájevpohodě. Budemetedy uvažovatfunkci g(,y= 7 2 2y 2. Víme,ženormálovývektorkegrafulzenaléztjako ( g, g y, 1 vyhodnocenývbodě(1,1. Takže počítáme: g =, 7 2 2y 2 = g y = 2y 7 2 2y 2 ( g g (1,1, y (1,1, 1 = ( 1 2, 1, 1. Protože můžeme jako n vzít libovolný násobek tohoto vektoru (i záporný, opačný směr ke kolmému vektoru je pořád kolmý!, dáme přednost vynásobení číslem 2 a dostaneme n = (1,2,2jakov1. Poznamenejme,žetímtozpůsobemtonebylotaksnadné,cožjetypické. Přístup přes hladiny konstantnosti je obvykle přirozenější, někdy jediný možný. 4
5 Každopádně máme normálový vektor n =(1, 2, 2. Normála je dána parametrickou rovnicí z(t=p+ t n=(1,1,2+t(1,2,2=(1+t,1+2t,2+2t, t IR. Protože jsme ve třech dimenzích, alternativním způsobem vyjádření přímky je coby průnik dvou rovin. To ale není tak elegantní jako parametrické vyjádření, tak jsme se rozhodli to nedělat. Tečná rovina daná normálovým vektorem(1, 2, 2 musí splňovat rovnici 1 +2 y+2 z= d pronějaké d.tonajdemedosazenímbodu(1,1,2dotétorovnice,vyjde d=7,takžerovniceje +2y+2z=7. Další možnost(má nejoblíbenější je si pamatovat, že rovnice roviny kolmé na n a procházející bodem Pjedánavztahem 0= n [(,y,z P=1 ( 1+2 (y 1+2 (z 2, což samozřejmě vede na stejnou odpověď. 6. Ověříme,žebod P = ( 0, 6 splňujedanourovnici,tudížotázkamásmysl. Jakoobvykle potřebujeme nejprve najít normálový vektor n. Křivka je dána rovnicí s dvěma neznámými, lze to tedy uvažovat jako problém najít n k hladině konstantnosti dané funkcí f(,y=2sin(y sin(. Z teorie víme, že kandidátem na takový vektor je gradient f, takže najdeme parciální derivace a dosadíme onen bod: = cos(, ( ( y =2cos(y = 0, 6 = 1, y 0, 6 = 2. Dostávámegradient f ( 0, 6 = ( 1, 2. Protožesijakonormálovývektormůžemevzít libovolnýnásobektohotogradientu,dámepřednostvektoru n= f ( 0, 6 =(1,2. Teď už snadno napíšeme parametrickou rovnici normály: z(t=p+ t n= ( ( 0, 6 + t(1,2= t, 6 +2t. Abychomdostaliklasickýtvar,eliminujeme tzvýslednýchrovnic =t, y= 6 +2t,dostaneme nejprve t=apak y=2+ 6. Jsou dva způsoby, jak nalézt tečnu. 1Jednamožnostjevidětjijakopřímku,kterájekolmána najdedanýmbodem P.Takováto přímka splňuje rovnici 0= n [(,y P=1 ( 0+2 (y 6 = +2y= 3. Někteřílidésipamatují,ževtakovémtopřípaděmáme1 +2 y=cpronějaké c. Topak najdoudosazenímbodu ( 0, 6 dotétorovnice,vyjde c= 3. 2 Ten druhý přístup začíná parametrickou rovnicí přímky. K tomu nejprve potřebujeme najít nějakýtečnývektorvbodě ( 0, 6. Protožeznámenormálovývektor n=(1,2,použijeme populární dvoudimenzionální trik s prohozením souřadnic a přidáním jednoho mínusu, čímž dostanemenapříklad d=(2, 1.Teďmůžemepsát z(t=p+ td= ( ( 0, 6 + t(2, 1= 2t, 6 t. Abychomdostaliklasickýtvar,eliminujeme tzvýslednýchrovnic =2t, y= 6 t,dostaneme t=/2apak y= Poznámka: Ověřte,žetakébod(π/2,π/2ležínadanékřivce. Cokdyžzkusímenajítnormálový vektor v tomto bodě? 5
6 Dosazení do parciálních derivací spočtených výše dává n =(0, 0 a problém nelze vyřešit. Proč tomutakje?důvodemje,žekřivkapopsanárovnicí2sin(y sin(=1jedostikomplikovaná, což před námi postup použitý výše laskavě ukryl. Na povrch by to vyšlo, pokud bychom zkusili tento problém z podoby tečna k hladině konstantnosti převést na typ tečna ke grafu funkce. Když se pokusíme vyjádřit y z rovnice, dostáváme sin(y= sin(+1 2. Pro dané má tato rovnice nekonečně mnoho řešení y(popřípadě žádné řešení, pokud číslo napravonepadnedo 1,1,aletozdenenastane. Ztoho,žemožnářešení ayseopakujís posunyo2π,dostáváme,žekřivkadanánašírovnicíjejedenurčitýtvar,kterýsepakopakuje stáleznovuaznovuvesměru atakévesměru ysperiodou2π,dokoncetamjsouizrcadlové obrazy! Totovšeplynezezamyšlení,kolikřešenímáproblémsin(y=Aajakvypadají. Graf je takovýto: y π 2π π 0 π 2 π 4 π π Hnedvidíte,ževbodě(0,/6mádanáotázkasmyslalzejivyřešit,alevbodě(π/2,π/2 tato křivka prochází dvěma směry, tudíž nemá smysl se ptát na tečnu. Všimněte si také, že kdybyste se naivně pokusili vyjádřit y pomocí arkus sinusu: = f(, y=arcsin ( sin(+1 2 tak byste dostali onu základní křivku, která vypadá jako moře a jejíž kopie a zrcadlení dávají kompletní graf výše: y π 2 2π π 0 π π 2 π 4 π 2 Tato křivka dokonce ani neobsahuje daný bod(0, /6, takže danou otázku nelze pomocí tohoto fřešit. 7. Budeme pracovat s funkcí f(, y = ln( cos(y. Číslo ln(1.1 cos(0.3, které chceme aproimovat,teďmůžemevyjádřitjako f(1.1,0.3.všimnemesi,že(1.1,0.3jevelmiblízkok(1,0,a 6
7 funkce fjevbodě(1,0mnohemhezčí,cožjezákladempronašiaproimaci.pojemtotálního diferenciálu nám umožňuje odhadovat f(1.1,0.3=f ( (1,0+(0.1,0.3 f(1,0+df(1,0[(0.1,0.3=f(1,0+ f(1,0 (0.1,0.3. Spočítáme Proto f(1,0= ( cos(y, ln(sin(y (1,0 =(1,0. ln(1.1cos(0.3 ln(1cos(0+(1,0 (0.1,0.3=0.1. Mimochodem, přesná hodnota je ln(1.1 cos(0.3 = , takže naše aproimace je dost dobrá. 8.Víme,že T( = 3 k=0 1 k! dk f( a[ a= 3 k=0 1 k! (( a k f( a. Potřebujemetedyspočítatonydiferenciálnívýrazy,prozjednodušeníbudemenejprvepsát h namísto a.víme,žed 0 f= f,a df[ h=( h f= ( h + h y y + h z z f= h + y h y+ z h z d 2 f[ h=( h 2 f= ( 2f h + h y y + h z z = ( h h 2 y 2 y 2 + h 2 z 2 z 2 +2h h y 2 y +2h h z 2 z +2h yh z 2 yz f = 2 f h f 2 y h 2 y+ 2 f 2 z h 2 z+2 2 f 2 y h h y +2 2 f z h h z +2 2 f yz h yh z d 3 f[ h=( h 3 f= ( 3f h + h y y + h z z = ( h h 3 3 y 3 y + h 3 3 z 3 z +3h 2 h 3 3 y 2 y +3h h 2 y 3 y 2 +3h 2 h z 3 +3h h 2 3 z z +3h 2 yh 3 2 z y 2 z +3h yh 2 z yz +6h 2 h y h 3 z 3 yz f 2 z = 3 f 3 h f y 3 h 3 y+ 3 f z 3 h 3 z+3 3 f 2 y h2 h y +3 3 f y 2 h h 2 y+3 3 f 2 z h2 h z +3 3 f z 2 h h 2 z+3 3 f y 2 z h2 yh z +3 3 f yz 2 h y h 2 z+6 3 f yz h h y h z Teď si spočítáme potřebné parciální derivace: 2 =0, y 2 =4, =2y2 + z 3, z 2 =6z, 3 f 3 = 3 f 2 y = 3 f 2 z = 3 f yz =0, y =4y, y =4y, 3 f y 2 =4, z =3z2 ; z =3z2, 3 f y 3 = 3 f y 2 z =0, yz =0, 3 f z 2 =6z, 3 f z 2 y =0, 3 f z =6. 3 Dosadímedonichbod a=(1, 1,1apakjedámedooněchvzorcůprototálnídiferenciály: d 0 f(1, 1,1[ h=f(1, 1,1=3, df(1, 1,1[ h=3h 4h y +3h z, d 2 f(1, 1,1[ h=4h 2 y+6h 2 z 8h h y +6h h z, d 3 f(1, 1,1[ h=6h 3 z+18h h 2 z+12h 2 yh z. Nakonecdosadíme h=( 1,y+1,z 1avytvořímeTaylorůvpolynom: T(,y,z=3+3( 1 4(y+1+3(z 1+2(y (z 1 2 4( 1(y+1 +3( 1(z 1+(z ( 1(z (y+1 2 (z Po transformaci dostaneme novou funkci f(s, t. akderivovánípodle sjetřebasiuvědomit,žepoprovedenítransformacesevevýrazu f(,y 7
8 proměnná svyskytujejakvtakvy,máme f((s,t,y(s,t.obecnéřetízkovépravidloříká, že musíme prozkoumat obě možnosti, jak se k s dostat. Podobně derivujeme vzhledem k t. f(,y= s s + y y s = 1 2 s + t y s 2, f(,y= t t + y 1 =0+ y t y s. b Tato otázka se dá zodpovědět dvěma možnými způsoby. 1 Obě derivace, které hledáme, jsou přítomny v oněch dříve odvozených rovnicích s = 1 2 s t s 2 y t =1 s y a my pro ně dokážeme tento systém vyřešit, dostáváme y = s t, =2 s s + 2t s t. 2Druhýpřístupfungujeobrácenímpostupuzčástia. Začnemesfunkcí fzávislouna s,ta transformujeme je v, y. Matematicky řečeno teď uvažujeme inverzní transformaci k té, která námbyladána,namísto(s,t (,ychcemejít(s,t (,y. Tosedásnadnorealizovat vyřešenímsystému = s, y= t/spro sat,dostávámevzorce s= 2, t= 2 y. Teď už pokračujeme jako předtím pomocí řetízkového pravidla. s f(s,t= s + t t = 2+ s t 2y s f(s,t= y s y + t =0+ t y t 2. Vtakovétosituacilidéčastodávajípřednostmítnapravéstranějen sat,aletosesnadnozařídí pomocí dané transformace. f=2 s s + 2t s t f= s y t. Dostali jsme stejný výsledek jako předtím. Prvnípřístupsezdásnažší,aletendruhýsebudehoditvčástic. Všimnětesinicméně,žeje závislýnanašíschopnostivyřešitonydvěrovnice =(s,t, y= y(s,tpro s,t,cožnenívždy možné. czasetumámedvěmožnostiodpovídajícípřístupůmzčástib. Jednamožnostjevzítjiž spočítanou derivaci podle y a zderivovat ji podle. Víme, že y = 2 t (všimnětesi,žejsmevzaliverzis 2,zjednodušítodalšívýpočtyateďderivujemepodle. Připomeňme, že t závisína s,t, kterézasezávisína,y. Mámetedysoučindvoufunkcí zahrnujících, proto musíme začít součinovým pravidlem. Pak aplikujeme řetízkové pravidlo na t (s,t: y = ( = y =2 t + 2[ s ( 2 t ( t = ( 2 t + 2 ( t t s + t 8 ( t (s,t
9 =2 t + 2[ st 2+ 2 f t 22y =2 t f st +23 y 2 f t 2. Řešení dokončíme dosazením za a y a dostaneme transformaci 1 2 y = s t + ( s 3 st + t s 2 f t 2. 2 Jaká je alternativa? Přístup, který je delší, ale bezpečnější(nemusíme být schopni najít ty inverzní transformace, je obdobný tomu z b1. Začneme s rovnicemi odvozenými v části a, vlastně můžeme použít jen tu druhou, t =1 s y ateďjizderivujemevzhledemksatakékt,dostanemedvěrovnice. st = 1 s 2 y +1 s t 2 =1 s y t +1 s nebolipozjednodušeníadosazeníza y zčásti1, st = 1 s 2 s t +1 s t 2 =1 s 1 y 2 s y s +1 s y y y 2 t 1 2 s +1 s y y 2 s t y 2 s 2 Tentosystémvyřešímepro 2 f y,jetamdalšíneznámáderivace,jmenovitě 2 f y,alemámedvě 2 rovnice, takže žádný problém, budeme eliminovat. Dostáváme y =2 s t +2 s 3 2 f st + t2 s 2 f t 2 Vydělením 2 dostáváme přesně totéž, co předtím. Poznamenejme,žejsmemělivelkéštěstí,žesevrovnicipro t objevila na pravé straně jen jedna parciální derivace. Obecně lze očekávat, že se v obou rovnicích v části 1 budou vyskytovat derivacepodle ay,jakjetomuvprvníznich.pakbychommuseliderivovatoběrovnicepodle satadostalibychomčtyřirovnicesečtyřmineznámýmiparciánímiderivacemi 2 f, 2 f 2 y, 2 f 2 y,pakbybylotřebatensystémvyřešit. Tentopostupjetedyopravdudelší,alejakuž a 2 f y jsme poznamenali, obecnější. Bonus:Najdeme 2 f y.začnemes =2 s +2y t. a pak(podobně jako výše počítáme y = ( 2 y s +2y =2 t y [ s =2 s 2 y + 2 f t ts y ( +2 s t +2y ( y t +2 [ 2 t +2y f s st y + 2 f t t 2 y =2 3 2 f ts +2 t +23 y 2 f t 2. Proto 1 2 y = s t + ( s 3 ts + t s 2 f t 2. Jestliže je f pěkné, tak se ty dvě smíšené derivace musejí rovnat. 9
10 10.Máme F(,y=sin(y+ 2 + y 2.Ověříme,že F(0,1=1,takžeotázkamásmysl. a F y (0,1=cos(y+2y =0,y=1 =2. Protože F y (0,1 0,podleVětyoimplicitnífunkci eistujefunkce y(definovanánanějakémokolíbodu =0taková,že y(0=1af(,y(=0. bknalezení y (můžemepoužítvětuoimplicitnífunkci,alejesnažšíprostěderivovatdanou rovnici,majenapaměti,že yjeteďfunkce.dostáváme sin(y+ 2 + y 2 =1 [sin(y( +[ 2 +[y( 2 =[1 cos(y [y+ y +2+2y y =0. Dosadímedotoho(0,1adostávámecos(0 [1+0 y (0+0+2 y (0=0,vyřešímepro y (0 adostáváme y (0= 1 2. Mámebod(0,1asměrnici y (0= 1 2,rovnicetečnyjeproto y= 1 2 ( 0+1neboli +2y=2. c Jsou dvě možnosti. Jedna je znovu derivovat rovnici( : sin(y[y+ y [y+ y +cos(y[y + y + y +2+2y y +2yy =0. Dosazením =0, y=1ay = 1 2,pakvyřešenímpro y (0dostaneme y (0= 3 4. Alternativnířešení:Vyřešímeobecně( pro y : y (= 2+cos(yy 2y + cos(y a pak zderivujeme: y (= [2+cos(yy [2y+cos(y [2+cos(yy [2y+cos(y [2y+cos(y 2 = 2 sin(y(y+ y y+cos(yy 2y + cos(y Pakdosadíme =0, y=1, y = 1 2 ajetohotovo. První řešení je evidentně výhodnější. ( + (2+cos(yy(2y sin(y(y+ y +cos(y [2y+cos(y Rovnicilzenapsatjako F(,y,z=0,kde F(,y,z=sin(z+sin(yz sin(y. aabyfunkce z(,yeistovala,potřebujeme F F z (0,1,π 0. Zde z = cos(z+ycos(yz, takže F z (0,1,π= 1 0azbytekdoděláVětaoimplicitnífunkci. b Daná rovnice definuje hladinu konstantnosti funkce F, ke které se normálový vektor najde jakogradient F. F = ( ycos(y+zcos(yz, cos(y+zcos(yz,cos(z+ycos(yz, takže n= F(0,1,π=(π 1, π, 1. Tečnárovinajedánarovnicí(π 1 π(y 1 (z π=0,cožje (π 1 πy z+2π=0. Alternativnířešení:Podívámesenatojakonaotázkunalezenítečnérovinykegrafu z= z(,y. Normálovývektorjedánjako(z,z y, 1.Parciálníderivacezískámetak,žezderivujemedanou rovnicipodle apodle ystím,žeteďje z= z(,y: cos(z[z+ z +cos(yzyz =cos(yy cos(zz y +cos(yz[z+ yz y =cos(y Dosadíme(0,1,πadostáváme z (0,1=π 1, z y (0,1= π,proto n=(π 1, π, 1jako předtím. Poznamenejme,žejsmeprozjednodušenízápisupoužiliužitečnouzkratku z = z, z y= z y. c Druhou parciální derivaci nejsnáze najdeme pomocí alternativního řešení části b. Tam jsme původnírovniciderivovalipodle,teďtenvýsledekzderivujemepodle yazískámekýženou z y. 10
11 Zasesimusímepamatovat,že z= z(,y,aleteďiz = z (,y. [ cos(z[z+ z +cos(yzyz = [ cos(yy = y y sin(zz y [z+ z +cos(z[z y + z y sin(yz[z+ yz y yz +cos(yzz +cos(yzyz y = sin(yy+cos(y. Dosadímebod(0,1,πataké z (0,1=π 1, z y (0,1= πavyřešímevýslednourovnici, dostanemetak z y (0,1=2 2π. Jeovšemtakémožnévzítrovnici,kteroujsmevčástibdostaliderivovánímpodle y,apakji zderivovat podle, dostaneme stejný výsledek. 11
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceII.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.
II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceImplicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?
Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceNapište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z
Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu
0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce
VíceFunkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceKristýna Kuncová. Matematika B3
(5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceDrsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy
Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura
VíceAsymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
Více14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
VíceCVIČENÍ Z MATEMATIKY II
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ CVIČENÍ Z MATEMATIKY II Řešené úlohy (Učební tet pro kombinovanou formu studia) RNDr. JIŘÍ KLAŠKA, Dr. ÚSTAV MATEMATIKY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ BRNO PŘEDMLUVA Učební
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceFunkce Arcsin. Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 je číslo, jehož druhá mocnina se rovná 4.
..6 Funkce Arcsin Předpoklady: Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = je číslo, jehož druhá mocnina se rovná. - - - - - - y = y = Eponenciální
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceDiferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1
Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceHomogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde
Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VícePříklady z matematiky(pro ITS)
Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
Více{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou
Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více