6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH"

Transkript

1 Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle proměnnou nevstačíme Například výsledná cena výrobku je dána cenou vstupního materiálu, cenou vkonané práce, zahrnuje daň z přidané hodnot, marži obchodníka, případně další veličin Váha člověka závisí především na jeho výšce, ale také na věku, stravovacích návcích a životním stlu každého jedince, uplatňují se i genetické vliv Spotřeba automobilu závisí na tpu a kvalitě motoru, na stlu jízd a na použitém palivu Jednoduchým příkladem z matematik je například výpočet objemu kvádru o hranách a, b, c: V = abc 6 Funkce dvou a více proměnných Nechť D je neprázdná množina bodů v rovině o souřadnicích [, ] a H je neprázdná množina reálných čísel Funkcí dvou reálných proměnných a nazýváme každé zobrazení f množin D na množinu H [5] Zápis funkce: z = f(,, případně pouze f(, nebo f: [, ] z nebo [,, z] f Proměnné, D se nazývají nezávisle proměnné nebo také argument, proměnná z H je závisle proměnná nebo také funkční hodnota Množina D se nazývá definiční obor funkce (množina všech bodů [, ], kterým daná funkce přiřazuje funkční hodnotu z), množina H je obor funkčních hodnot (množina všech čísel z) Grafem funkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru o souřadnicích [,, z], přičemž [, ] nabývají všech hodnot z definičního oboru funkce Připomeňme, že třírozměrnou soustavu souřadnic tvoří vzájemně kolmé souřadnicové os,, z, které se protínají v počátku O Dvojice souřadnicových os tvoří souřadnicové rovin, z a z Souřadnicové rovin rozdělují celý prostor na 8 oktantů Zvolíme-li na každé ose měřítko, můžeme libovolné trojici [,, z] přiřadit jediný bod o souřadnicích [,, z] Bod P na obr 5, který má souřadnice [,, ], leží v prvním oktantu z P Obr 5: Souřadnicová soustava v prostoru Poznámk: Funkci také můžeme definovat jako předpis, který každé uspořádané dvojici [, ] D přiřadí právě jedno číslo z H [7] Způsob určení funkce: Funkce dvou proměnných je určena analogick jako funkce jedné proměnné, známe-li pravidlo, které každému [, ] D přiřadí jediné z = f(, H Toto pravidlo můžeme vjádřit analtick (nejčastěji rovnicí z = f(, ), tabulkou, grafem nebo slovně

2 Funkce více proměnných Funkci z = f(, dvou nezávisle proměnných můžeme zobecnit na funkci u = f(,, z) tří nezávisle proměnných,, z, nahradíme-li v definici bod rovin [, ] bod v třírozměrném prostoru [,, z] Nahradíme-li bod v rovině [, ] bod v n-rozměrném prostoru [,,, n ], hovoříme o funkci z = f(,,, n ) n nezávisle proměnných,,, n Pro určení definičního oboru funkce více proměnných postupujeme analogick jako u funkce jedné proměnné Příklad 6: Určete hodnotu funkce z = v bodech A[, ], B[0, ], C[-, ] a D[, -] Řešení: Daná funkce je definována v celé rovině E Funkční hodnot v daných bodech získáme dosazením prvních souřadnic bodů za proměnnou a jejich druhých souřadnic bodů za proměnnou : z ( A) = f (, ) = = 0, z ( B) = f (0, ) = 0 =, z ( C) = f (, ) = ( ) =, z ( D) = f (, ) = ( ) = 6 Příklad 6: Určete definiční obor funkce: a) z = ( )( 5 + 6), b) z = Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E s výjimkou bodů, v nichž je jmenovatel zlomku roven nule: 0 a Musí ted platit a Geometrick jsou rovnice = a = rovnicemi přímek v rovině Grafick je definiční obor znázorněn na obr 6a Protože přímk = a = nepatří do definičního oboru, rýsujeme je čárkovaně = = - Obr 6: Definiční obor funkce: a) z = ( ( + 6) 5, b) z = b) Daná funkce je definována pro t bod rovin, v nichž platí 0, ted a odtud + Definiční obor tvoří množina všech bodů kruhu se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem r = (obr 6b)

3 Funkce více proměnných Příklad 6: Načrtněte graf funkce: a) z = 6, b) z = Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E Vzhledem k tomu, že všechn proměnné,, z jsou lineární, je grafem funkce rovina Nejjednodušší způsob, jak ji nakreslit, spočívá v převedení rovnice rovin na úsekový tvar: 6 z + + z = = Z poslední rovnice je vidět, že hledaná rovina vtíná na souřadnicových osách postupně úsek o velikosti 6,, 6 (obr 7a) 6 z z 6 Obr 7: Graf funkce: a) z = 6, b) z = b) Uvedená funkce je rovnicí horní polovin kulové ploch se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem r = (obr 7b) 6 Parciální derivace Funkce z = f(, je funkcí dvou nezávisle proměnných Chceme-li vědět, jak se tato funkce změní v závislosti na změně jedné z proměnných nebo, rozhodneme o tom pomocí parciálních derivací funkce Parciální derivaci funkce z = f(, podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné a druhou proměnnou považujeme za konstantu Značíme ji smbol: (, f = = = f Parciální derivaci funkce z = f(, podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné a druhou proměnnou považujeme za konstantu Značíme ji smbol: (, f = = = f Význam parciálních derivací objasní následující jednoduchý příklad Příklad 6: Náklad na určitý výrobek jsou dán funkcí dvou nezávisle proměnných TC(, = 6 + +, kde proměnná je cena kg materiálu a proměnná je cena práce za jednotku času Určete, jak se změní cena výrobku, změní-li se cena a) materiálu, b) práce

4 Funkce více proměnných Řešení: a) Abchom určili, jak se změní náklad v závislosti na změně cen materiálu, budeme považovat cenu práce za konstantní a vpočítáme derivaci TC = = TC Výsledek derivace = nám říká, že změní-li se cena materiálu o hodnotu Δ při konstantní ceně práce, změní se celkové náklad o trojnásobek této hodnot, ted o Δ b) Abchom určili, jak se změní náklad v závislosti na změně cen práce, budeme považovat cenu materiálu za konstantní a vpočítáme derivaci TC = = TC Výsledek derivace = interpretujeme takto: změní-li se cena práce o hodnotu Δ při konstantní ceně materiálu, změní se celkové náklad o dvojnásobek této hodnot, ted o Δ Příklad 65: Určete parciální derivace funkce A[, ] a B[0, ] z (, = + ln + 5 v bodech Řešení: Daná funkce je definována pro > 0, ted v celé horní polorovině = = 6 + 5, ( A) po dosazení souřadnic = 6+ 5 =, ( B) = =, = = + 0, ( A) ( B) po dosazení souřadnic = + 0 =, = + 00 = Poznámka: Pojem parciálních derivací můžeme analogick zobecnit na funkce, i více proměnných Příklad 66: Určete parciální derivace funkce u(,, z) = z + sin + e + 5 v bodě A[,, ] Řešení: Daná funkce je definována pro všechna,, z, ted v celém prostoru E Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné vpočítáme tak, že proměnné a z budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné : u = 6 z + cos = 6 z + cos, z

5 Funkce více proměnných 5 u( A) po dosazení souřadnic = 6 + cos = + cos Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné vpočítáme tak, že proměnné a z budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné : u = z = 9 z, u( A) po dosazení souřadnic = 9 = 0 Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné z vpočítáme tak, že proměnné a budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné z: = e = + e u z z po dosazení souřadnic u( A) = + e, 6 = + e 6 Parciální derivace všších řádů V předchozí kapitole jsme zadanou funkci z = f(, derivovali vžd pouze jednou Vpočítali jsme proto parciální derivace prvního řádu Vpočítané parciální derivace však mohou být opět funkcemi proměnných, Můžeme je ted stejně jako v případě funkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtři parciální derivace druhého řádu: Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a Derivace a se nazývají druhé čisté parciální derivace funkce z(,, protože při jejich výpočtu se nemění proměnná, podle které derivujeme z z Derivace a se nazývají druhé smíšené parciální derivace funkce z(,, protože při jejich výpočtu derivujeme jednou podle proměnné a podruhé podle proměnné

6 Funkce více proměnných 6 Příklad 67: Určete parciální derivace druhého a třetího řádu funkce z = + ln + 5 Řešení: Derivace prvního řádu jsme vpočítali v příkladě 65: = 6 + 5, = +0 Pro druhé derivace platí: čisté = 6, = + 0, Poznámk: smíšené = 0, = 0 Z posledního řádku předchozího příkladu je vidět, že obě druhé smíšené parciální derivace si jsou rovn Tato rovnost platí obecně, ale pouze v případě, kd smíšené parciální derivace jsou spojité funkce Říkáme, že smíšené parciální derivace v případě spojitosti funkcí nezávisí na pořadí derivování Je zřejmé, že i druhé parciální derivace mohou být funkcemi proměnných a, můžeme je ted dále derivovat, čímž získáme parciální derivace třetího řádu Derivací třetích parciálních derivací dostaneme parciální derivace čtvrtého řádu, atd Příklad 68: Určete parciální derivace a funkce z = + ln + v bodech A[, ] a B[0, ] Řešení: Je zbtečné počítat všechn parciální derivace prvního a druhého řádu Stačí určít pouze = 6 + ln + (derivujeme podle, kdežto považujeme za konstantu), = 6 + ln (první derivaci znovu derivujeme podle, přičemž opět považujeme za konstantu), = ln (druhou derivaci ještě jednou derivujeme podle, přičemž znovu považujeme za konstantu), = = (třetí derivaci nní derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) Teprve do vpočítaných derivací dosadíme souřadnice bodů A[, ] a B[0, ]: ( A) ( A) = ln = 0 = 0, = =, ( B) ( B) 0 = 0ln = 0, = = 0

7 Funkce více proměnných 7 6 Etrém funkce více proměnných Etrém funkce více proměnných jsou definován analogick jako etrém funkce jedné proměnné Stejně jako u funkce jedné proměnné je rozdělujeme na lokální nebo také relativní (v okolí daného bodu) a globální nebo také absolutní (v celém definičním oboru) Podle nutné podmínk eistence etrému funkce = f() (kap 5) nastane lokální etrém v takovém bodě, v němž je tečna rovnoběžná s osou, v němž ted musí platit df = 0 Analogick pro funkci dvou proměnných z = f(, musí být tečná rovina k ploše z d = f(, v bodě, v němž nastane lokální etrém rovnoběžná s rovinou určenou osou a osou To ale znamená, že všechn tečn v tomto bodě musí ležet v rovině rovnoběžné s osou a osou, protože leží v tečné rovině k ploše (, f Pro tečnu rovnoběžnou s osou musí proto platit = = = 0 a (, f pro tečnu rovnoběžnou s osou pak = = = 0 Nutnou podmínkou eistence lokálního etrému funkce z = f(, v bodě S, v jehož okolí má tato funkce spojité parciální derivace, je platnost soustav rovnic (, f (, f = = = 0, = = = 0 (55) Tento bod S se nazývá stacionární bod funkce z = f(, Poznámka: Pro funkci tří a více proměnných analogick musí ve stacionárním bodě platit: parciální derivace podle všech nezávisle proměnných musí být ve stacionárním bodě rovn 0 Příklad 69: Určete lokální etrém funkce z + = f (, = Řešení: Funkce je definována na celé rovině E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace = 6 (derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) a = (derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted 6 = 0 a = 0 Tato soustava má jediné řešení: stacionární bod S[0, 0] Protože platí + 0 = f ( S) pro [, ] E, znamená to, že daná funkce má v bodě S[0, 0] lokální minimum Příklad 60: Určete lokální etrém funkce z + = f (, =

8 Funkce více proměnných 8 Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E, protože pro výraz pod odmocninou platí: + 0 pro [, ] E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace: = a = + + Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted = 0 a = Tato soustava však nemá řešení, protože v počátku O[0, 0], v němž je čitatel roven nule, nejsou parciální derivace definován (jmenovatel je rovněž roven 0) Daná funkce ted nemá stacionární bod Protože vžd platí + 0 = f ( O) pro [, ] E, znamená to, že daná funkce má v počátku O[0, 0] lokální maimum Příklad 6: Určete lokální etrém funkce z = f (, = Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace = 6 a = Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted 6 = 0 a = 0 Tato soustava dvou rovnic pro dvě neznámé, má jediné řešení: bod S[0,0] Protože však v okolí bodu S[0, 0] funkce nabývá kladných i záporných hodnot (například pro bod [, 0] platí f(, 0) = 0 = > 0 pro 0 a pro bod [0, ] platí f(0, = 0 = < 0 pro 0), nemá zadaná funkce z = f (, = v počátku lokální etrém Předchozí příklad ukazují, že určení lokálního etrému pomocí znaménka funkce v okolí stacionárního bodu je zdlouhavé Proto zformulujeme postačující podmínku k určení lokálních etrémů K jejímu přehlednějšímu zápisu zavedeme dva determinant, které jsou tvořen druhými parciálními derivacemi: D f =, D f f f f = (56) Postačující podmínka pro eistenci lokálního etrému ve stacionárním bodě S: Nechť bod S je stacionárním bodem funkce z = f(,, která má v tomto bodě spojité parciální derivace druhého řádu

9 Funkce více proměnných 9 Jestliže platí D ( ) > 0 a D ( ) > 0, potom v bodě S nastává lokální minimum S S Jestliže platí D ( ) > 0 a D ( ) < 0, potom v bodě S nastává lokální maimum S S Jestliže platí D ( ) < 0, potom v bodě S nenastává lokální etrém S Jestliže platí D ( S ) = 0, potom o etrému v bodě S musíme rozhodnout na základě chování funkce v okolí bodu S Při určování lokálních etrémů funkce dvou proměnných je vhodné dodržovat následující postup: Určíme první parciální derivace funkce Vpočítáme stacionární bod S, S, funkce podle (55) vřešením soustav: = 0, = 0 Vpočítáme druhé parciální derivace funkce Vpočítáme hodnot determinantů D a D (56) pro první stacionární bod S 5 Na základě postačující podmínk rozhodneme o eistenci a druhu etrému 6 Bod a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod Příklad 6: Určete lokální etrém funkce = f (, = z + Řešení: Funkce je definována na celé rovině E K určení stacionárních bodů vpočítáme parciální derivace = + a = Pro stacionární bod musí platit (55): = 0, = 0, ted + = 0, = 0 Z první rovnice po úpravě vtknutím ( + ) = 0 vplývá řešení = 0 nebo = Dosadíme-li tato řešení do druhé rovnice získáme čtři stacionární bod: 5 S [ 0, 0 ], S 0,, [, ], [, ] S S Vpočítáme druhé parciální derivace: čisté = +, = + 0, smíšené = Vpočítáme hodnot determinantů D a D (56) pro první stacionární bod S [0, 0]: 0 D ( S ) = = 0 a D ( S ) = = 0 0

10 Funkce více proměnných 0 5 Protože oba determinant jsou kladné, nastává podle postačující podmínk v bodě S [0, 0] lokální minimum 6 Postup v bodech a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod 5 S 0, : 0 0 D ( S ) = = a 0 0 D ( S ) = = Protože determinant D ) je kladný a determinant D ) je záporný, nastává podle ( S postačující podmínk v bodě 0 S [, ] : D ( S ) = = 6 ( S 5 S 0, lokální maimum Protože determinant D ) je záporný, nenastává podle postačující podmínk v bodě [, ] ( S S lokální etrém S [, ] : D ( S ) = = Protože determinant D ) je záporný, nenastává podle postačující podmínk v bodě [, ] ( S S lokální etrém Příklad 6: Určete maimální zisk, jestliže poptávková funkce po výrobku je p ( ) = 50 a poptávková funkce po výrobku je p ( = 60 Celkové náklad na výrobu jsou dán funkcí n = n(, = Řešení: Funkce určující výsledný zisk je dána vztahem Π = Π(, = p( ) + p ( n(, = (50 ) + (60 = = Abchom odpověděli na zadaný úkol, musíme určit lokální etrém funkce Π (, : K určení stacionárních bodů vpočítáme parciální derivace Π Π = 50 a = 60 Π Π Pro stacionární bod musí platit (55): = 0 a = 0, ted 50 = 0, 60 = 0 Jestliže od první rovnice odečteme druhou rovnici, dostaneme 0 + = 0 a odtud snadno určíme = 5 Dosazením do první rovnice vpočítáme = 0 S 0, 5 Stacionární bod ted má souřadnice [ ] Musíme ověřit, zda ve stacionárním bodě nastane lokální maimum Vpočítáme druhé parciální derivace:

11 Funkce více proměnných čisté =, =, smíšené = Vpočítáme hodnot determinantů D a D ( S) = = a D ( S) = = D (56) pro stacionární bod [ 0, 5] S : 5 Protože determinant D ( S ) je kladný a determinant D ( S ) je záporný, nastává podle S 0, 5 lokální maimum postačující podmínk v bodě [ ] Maimální zisk určíme vpočítáním funkční hodnot funkce z(, v bodě [ 0, 5] Π (0, 5) = = 650 S : Poznámka: Uvedené lokální etrém funkce více proměnných se nazývají volné lokální etrém Kromě nich se u funkcí více proměnných vsktují ještě vázané lokální etrém, kd kromě zadané funkce více proměnných je navíc určena podmínka, kterou hledané etrém musí splňovat 65 Cvičení Určete a načrtněte definiční obor funkcí: a) z = [ 0 ] b) z= [ ± ] c) z = + 7 [ ] d) z = + 5 [ ] e) z = 5 [ 0, > 0] f) z = [( 0 0) ( 0 0) ] Vpočítejte parciální derivace funkcí: a) z = + 5 [ = +, = + ] b) z = sin + cos [ = + cos, + c) z = e ln = cos [ e = +, d) z = + [ =, + = e sin ] + = ] + ]

12 Funkce více proměnných Vpočtěte parciální derivace funkce z= f (, v daném bodě A: a) z= +, A = [, ] [, ] b) z= ln( + ), A = [0, ] [0, ] c) z = e, A = [-, 0) [0, ] d) z= (5 n, A = [, 5] [0, 0] e) z = 5, A = [, ] [ , ] Vpočítejte parciální derivace druhého řádu funkcí: 5 a) z = + [ z = 6 6, z = 0, z = z = ] b) z = + [ z = 0, z =, z = ] c) z = e sin [ z = e sin, z = e cos, z = e sin] d) z = sin + cos [ z = sin, z = cos sin, z = cos ] 5 Vpočítejte lokální etrém funkcí: a) z= + [nemá etrém] b) z= + + [lokální minimum v bodě [-, ]] c) z= [lokální maimum v bodě [, ]] d) z= 6+ [lokální minimum v bodě [, ]]

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

Průběh funkce II (hledání extrémů)

Průběh funkce II (hledání extrémů) .. Průběh funkce II (hledání etrémů) Předpoklad: Pedagogická poznámka: Poslední příklad v běžné vučovací hodině nestíháme. Rchlost postupu je možné značně ovlivnit tím, kolik času dáte studentům na výzkumné

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu

[ 5;4 ]. V intervalu 1;5 je funkce rostoucí (její první derivace je v tomto intervalu 1..1 Průběh funkce III (prohnutí Předpoklad: 111 Pedagogická poznámka: Při poctivém probírání b tato látka zabrala dvě celé vučovací hodin. Studenti z toho nebudou příliš nadšení, je zde příliš mnoho definic

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka

Definice : 1 Bod A Ω En se naývá vnitřní bod oboru Ω, kdž eistuje okolí U A, které celé patří do oboru Ω Bod B se naývá hraniční bod oboru Ω, kdž v ka 1 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 1 Výnačné bod a množin bodů v prostoru Souřadnicová soustava v prostoru Každému bodu v prostoru přiřaujeme v kartéské souřadnicové soustavě uspořádanou trojici

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Evropský polytechnický institut, s.r.o.. soukromá vysoká škola na Moravě Kunovice MATEMATIKA I. Dierenciální počet unkcí jedné proměnné RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Evropský

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více