6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH"

Transkript

1 Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle proměnnou nevstačíme Například výsledná cena výrobku je dána cenou vstupního materiálu, cenou vkonané práce, zahrnuje daň z přidané hodnot, marži obchodníka, případně další veličin Váha člověka závisí především na jeho výšce, ale také na věku, stravovacích návcích a životním stlu každého jedince, uplatňují se i genetické vliv Spotřeba automobilu závisí na tpu a kvalitě motoru, na stlu jízd a na použitém palivu Jednoduchým příkladem z matematik je například výpočet objemu kvádru o hranách a, b, c: V = abc 6 Funkce dvou a více proměnných Nechť D je neprázdná množina bodů v rovině o souřadnicích [, ] a H je neprázdná množina reálných čísel Funkcí dvou reálných proměnných a nazýváme každé zobrazení f množin D na množinu H [5] Zápis funkce: z = f(,, případně pouze f(, nebo f: [, ] z nebo [,, z] f Proměnné, D se nazývají nezávisle proměnné nebo také argument, proměnná z H je závisle proměnná nebo také funkční hodnota Množina D se nazývá definiční obor funkce (množina všech bodů [, ], kterým daná funkce přiřazuje funkční hodnotu z), množina H je obor funkčních hodnot (množina všech čísel z) Grafem funkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru o souřadnicích [,, z], přičemž [, ] nabývají všech hodnot z definičního oboru funkce Připomeňme, že třírozměrnou soustavu souřadnic tvoří vzájemně kolmé souřadnicové os,, z, které se protínají v počátku O Dvojice souřadnicových os tvoří souřadnicové rovin, z a z Souřadnicové rovin rozdělují celý prostor na 8 oktantů Zvolíme-li na každé ose měřítko, můžeme libovolné trojici [,, z] přiřadit jediný bod o souřadnicích [,, z] Bod P na obr 5, který má souřadnice [,, ], leží v prvním oktantu z P Obr 5: Souřadnicová soustava v prostoru Poznámk: Funkci také můžeme definovat jako předpis, který každé uspořádané dvojici [, ] D přiřadí právě jedno číslo z H [7] Způsob určení funkce: Funkce dvou proměnných je určena analogick jako funkce jedné proměnné, známe-li pravidlo, které každému [, ] D přiřadí jediné z = f(, H Toto pravidlo můžeme vjádřit analtick (nejčastěji rovnicí z = f(, ), tabulkou, grafem nebo slovně

2 Funkce více proměnných Funkci z = f(, dvou nezávisle proměnných můžeme zobecnit na funkci u = f(,, z) tří nezávisle proměnných,, z, nahradíme-li v definici bod rovin [, ] bod v třírozměrném prostoru [,, z] Nahradíme-li bod v rovině [, ] bod v n-rozměrném prostoru [,,, n ], hovoříme o funkci z = f(,,, n ) n nezávisle proměnných,,, n Pro určení definičního oboru funkce více proměnných postupujeme analogick jako u funkce jedné proměnné Příklad 6: Určete hodnotu funkce z = v bodech A[, ], B[0, ], C[-, ] a D[, -] Řešení: Daná funkce je definována v celé rovině E Funkční hodnot v daných bodech získáme dosazením prvních souřadnic bodů za proměnnou a jejich druhých souřadnic bodů za proměnnou : z ( A) = f (, ) = = 0, z ( B) = f (0, ) = 0 =, z ( C) = f (, ) = ( ) =, z ( D) = f (, ) = ( ) = 6 Příklad 6: Určete definiční obor funkce: a) z = ( )( 5 + 6), b) z = Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E s výjimkou bodů, v nichž je jmenovatel zlomku roven nule: 0 a Musí ted platit a Geometrick jsou rovnice = a = rovnicemi přímek v rovině Grafick je definiční obor znázorněn na obr 6a Protože přímk = a = nepatří do definičního oboru, rýsujeme je čárkovaně = = - Obr 6: Definiční obor funkce: a) z = ( ( + 6) 5, b) z = b) Daná funkce je definována pro t bod rovin, v nichž platí 0, ted a odtud + Definiční obor tvoří množina všech bodů kruhu se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem r = (obr 6b)

3 Funkce více proměnných Příklad 6: Načrtněte graf funkce: a) z = 6, b) z = Řešení: a) Daná funkce je definována v celé rovině E Vzhledem k tomu, že všechn proměnné,, z jsou lineární, je grafem funkce rovina Nejjednodušší způsob, jak ji nakreslit, spočívá v převedení rovnice rovin na úsekový tvar: 6 z + + z = = Z poslední rovnice je vidět, že hledaná rovina vtíná na souřadnicových osách postupně úsek o velikosti 6,, 6 (obr 7a) 6 z z 6 Obr 7: Graf funkce: a) z = 6, b) z = b) Uvedená funkce je rovnicí horní polovin kulové ploch se středem v počátku soustav souřadnic a poloměrem r = (obr 7b) 6 Parciální derivace Funkce z = f(, je funkcí dvou nezávisle proměnných Chceme-li vědět, jak se tato funkce změní v závislosti na změně jedné z proměnných nebo, rozhodneme o tom pomocí parciálních derivací funkce Parciální derivaci funkce z = f(, podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné a druhou proměnnou považujeme za konstantu Značíme ji smbol: (, f = = = f Parciální derivaci funkce z = f(, podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné a druhou proměnnou považujeme za konstantu Značíme ji smbol: (, f = = = f Význam parciálních derivací objasní následující jednoduchý příklad Příklad 6: Náklad na určitý výrobek jsou dán funkcí dvou nezávisle proměnných TC(, = 6 + +, kde proměnná je cena kg materiálu a proměnná je cena práce za jednotku času Určete, jak se změní cena výrobku, změní-li se cena a) materiálu, b) práce

4 Funkce více proměnných Řešení: a) Abchom určili, jak se změní náklad v závislosti na změně cen materiálu, budeme považovat cenu práce za konstantní a vpočítáme derivaci TC = = TC Výsledek derivace = nám říká, že změní-li se cena materiálu o hodnotu Δ při konstantní ceně práce, změní se celkové náklad o trojnásobek této hodnot, ted o Δ b) Abchom určili, jak se změní náklad v závislosti na změně cen práce, budeme považovat cenu materiálu za konstantní a vpočítáme derivaci TC = = TC Výsledek derivace = interpretujeme takto: změní-li se cena práce o hodnotu Δ při konstantní ceně materiálu, změní se celkové náklad o dvojnásobek této hodnot, ted o Δ Příklad 65: Určete parciální derivace funkce A[, ] a B[0, ] z (, = + ln + 5 v bodech Řešení: Daná funkce je definována pro > 0, ted v celé horní polorovině = = 6 + 5, ( A) po dosazení souřadnic = 6+ 5 =, ( B) = =, = = + 0, ( A) ( B) po dosazení souřadnic = + 0 =, = + 00 = Poznámka: Pojem parciálních derivací můžeme analogick zobecnit na funkce, i více proměnných Příklad 66: Určete parciální derivace funkce u(,, z) = z + sin + e + 5 v bodě A[,, ] Řešení: Daná funkce je definována pro všechna,, z, ted v celém prostoru E Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné vpočítáme tak, že proměnné a z budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné : u = 6 z + cos = 6 z + cos, z

5 Funkce více proměnných 5 u( A) po dosazení souřadnic = 6 + cos = + cos Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné vpočítáme tak, že proměnné a z budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné : u = z = 9 z, u( A) po dosazení souřadnic = 9 = 0 Parciální derivaci funkce u(,, z) podle proměnné z vpočítáme tak, že proměnné a budeme považovat za konstant a derivovat budeme podle proměnné z: = e = + e u z z po dosazení souřadnic u( A) = + e, 6 = + e 6 Parciální derivace všších řádů V předchozí kapitole jsme zadanou funkci z = f(, derivovali vžd pouze jednou Vpočítali jsme proto parciální derivace prvního řádu Vpočítané parciální derivace však mohou být opět funkcemi proměnných, Můžeme je ted stejně jako v případě funkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtři parciální derivace druhého řádu: Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a Zápis = = f znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a Derivace a se nazývají druhé čisté parciální derivace funkce z(,, protože při jejich výpočtu se nemění proměnná, podle které derivujeme z z Derivace a se nazývají druhé smíšené parciální derivace funkce z(,, protože při jejich výpočtu derivujeme jednou podle proměnné a podruhé podle proměnné

6 Funkce více proměnných 6 Příklad 67: Určete parciální derivace druhého a třetího řádu funkce z = + ln + 5 Řešení: Derivace prvního řádu jsme vpočítali v příkladě 65: = 6 + 5, = +0 Pro druhé derivace platí: čisté = 6, = + 0, Poznámk: smíšené = 0, = 0 Z posledního řádku předchozího příkladu je vidět, že obě druhé smíšené parciální derivace si jsou rovn Tato rovnost platí obecně, ale pouze v případě, kd smíšené parciální derivace jsou spojité funkce Říkáme, že smíšené parciální derivace v případě spojitosti funkcí nezávisí na pořadí derivování Je zřejmé, že i druhé parciální derivace mohou být funkcemi proměnných a, můžeme je ted dále derivovat, čímž získáme parciální derivace třetího řádu Derivací třetích parciálních derivací dostaneme parciální derivace čtvrtého řádu, atd Příklad 68: Určete parciální derivace a funkce z = + ln + v bodech A[, ] a B[0, ] Řešení: Je zbtečné počítat všechn parciální derivace prvního a druhého řádu Stačí určít pouze = 6 + ln + (derivujeme podle, kdežto považujeme za konstantu), = 6 + ln (první derivaci znovu derivujeme podle, přičemž opět považujeme za konstantu), = ln (druhou derivaci ještě jednou derivujeme podle, přičemž znovu považujeme za konstantu), = = (třetí derivaci nní derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) Teprve do vpočítaných derivací dosadíme souřadnice bodů A[, ] a B[0, ]: ( A) ( A) = ln = 0 = 0, = =, ( B) ( B) 0 = 0ln = 0, = = 0

7 Funkce více proměnných 7 6 Etrém funkce více proměnných Etrém funkce více proměnných jsou definován analogick jako etrém funkce jedné proměnné Stejně jako u funkce jedné proměnné je rozdělujeme na lokální nebo také relativní (v okolí daného bodu) a globální nebo také absolutní (v celém definičním oboru) Podle nutné podmínk eistence etrému funkce = f() (kap 5) nastane lokální etrém v takovém bodě, v němž je tečna rovnoběžná s osou, v němž ted musí platit df = 0 Analogick pro funkci dvou proměnných z = f(, musí být tečná rovina k ploše z d = f(, v bodě, v němž nastane lokální etrém rovnoběžná s rovinou určenou osou a osou To ale znamená, že všechn tečn v tomto bodě musí ležet v rovině rovnoběžné s osou a osou, protože leží v tečné rovině k ploše (, f Pro tečnu rovnoběžnou s osou musí proto platit = = = 0 a (, f pro tečnu rovnoběžnou s osou pak = = = 0 Nutnou podmínkou eistence lokálního etrému funkce z = f(, v bodě S, v jehož okolí má tato funkce spojité parciální derivace, je platnost soustav rovnic (, f (, f = = = 0, = = = 0 (55) Tento bod S se nazývá stacionární bod funkce z = f(, Poznámka: Pro funkci tří a více proměnných analogick musí ve stacionárním bodě platit: parciální derivace podle všech nezávisle proměnných musí být ve stacionárním bodě rovn 0 Příklad 69: Určete lokální etrém funkce z + = f (, = Řešení: Funkce je definována na celé rovině E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace = 6 (derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) a = (derivujeme podle, přičemž považujeme za konstantu) Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted 6 = 0 a = 0 Tato soustava má jediné řešení: stacionární bod S[0, 0] Protože platí + 0 = f ( S) pro [, ] E, znamená to, že daná funkce má v bodě S[0, 0] lokální minimum Příklad 60: Určete lokální etrém funkce z + = f (, =

8 Funkce více proměnných 8 Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E, protože pro výraz pod odmocninou platí: + 0 pro [, ] E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace: = a = + + Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted = 0 a = Tato soustava však nemá řešení, protože v počátku O[0, 0], v němž je čitatel roven nule, nejsou parciální derivace definován (jmenovatel je rovněž roven 0) Daná funkce ted nemá stacionární bod Protože vžd platí + 0 = f ( O) pro [, ] E, znamená to, že daná funkce má v počátku O[0, 0] lokální maimum Příklad 6: Určete lokální etrém funkce z = f (, = Řešení: Funkce je definovaná na celé rovině E K určení stacionárního bodu vpočítáme parciální derivace = 6 a = Pro stacionární bod musí podle (55) platit = 0 a = 0, ted 6 = 0 a = 0 Tato soustava dvou rovnic pro dvě neznámé, má jediné řešení: bod S[0,0] Protože však v okolí bodu S[0, 0] funkce nabývá kladných i záporných hodnot (například pro bod [, 0] platí f(, 0) = 0 = > 0 pro 0 a pro bod [0, ] platí f(0, = 0 = < 0 pro 0), nemá zadaná funkce z = f (, = v počátku lokální etrém Předchozí příklad ukazují, že určení lokálního etrému pomocí znaménka funkce v okolí stacionárního bodu je zdlouhavé Proto zformulujeme postačující podmínku k určení lokálních etrémů K jejímu přehlednějšímu zápisu zavedeme dva determinant, které jsou tvořen druhými parciálními derivacemi: D f =, D f f f f = (56) Postačující podmínka pro eistenci lokálního etrému ve stacionárním bodě S: Nechť bod S je stacionárním bodem funkce z = f(,, která má v tomto bodě spojité parciální derivace druhého řádu

9 Funkce více proměnných 9 Jestliže platí D ( ) > 0 a D ( ) > 0, potom v bodě S nastává lokální minimum S S Jestliže platí D ( ) > 0 a D ( ) < 0, potom v bodě S nastává lokální maimum S S Jestliže platí D ( ) < 0, potom v bodě S nenastává lokální etrém S Jestliže platí D ( S ) = 0, potom o etrému v bodě S musíme rozhodnout na základě chování funkce v okolí bodu S Při určování lokálních etrémů funkce dvou proměnných je vhodné dodržovat následující postup: Určíme první parciální derivace funkce Vpočítáme stacionární bod S, S, funkce podle (55) vřešením soustav: = 0, = 0 Vpočítáme druhé parciální derivace funkce Vpočítáme hodnot determinantů D a D (56) pro první stacionární bod S 5 Na základě postačující podmínk rozhodneme o eistenci a druhu etrému 6 Bod a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod Příklad 6: Určete lokální etrém funkce = f (, = z + Řešení: Funkce je definována na celé rovině E K určení stacionárních bodů vpočítáme parciální derivace = + a = Pro stacionární bod musí platit (55): = 0, = 0, ted + = 0, = 0 Z první rovnice po úpravě vtknutím ( + ) = 0 vplývá řešení = 0 nebo = Dosadíme-li tato řešení do druhé rovnice získáme čtři stacionární bod: 5 S [ 0, 0 ], S 0,, [, ], [, ] S S Vpočítáme druhé parciální derivace: čisté = +, = + 0, smíšené = Vpočítáme hodnot determinantů D a D (56) pro první stacionární bod S [0, 0]: 0 D ( S ) = = 0 a D ( S ) = = 0 0

10 Funkce více proměnných 0 5 Protože oba determinant jsou kladné, nastává podle postačující podmínk v bodě S [0, 0] lokální minimum 6 Postup v bodech a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod 5 S 0, : 0 0 D ( S ) = = a 0 0 D ( S ) = = Protože determinant D ) je kladný a determinant D ) je záporný, nastává podle ( S postačující podmínk v bodě 0 S [, ] : D ( S ) = = 6 ( S 5 S 0, lokální maimum Protože determinant D ) je záporný, nenastává podle postačující podmínk v bodě [, ] ( S S lokální etrém S [, ] : D ( S ) = = Protože determinant D ) je záporný, nenastává podle postačující podmínk v bodě [, ] ( S S lokální etrém Příklad 6: Určete maimální zisk, jestliže poptávková funkce po výrobku je p ( ) = 50 a poptávková funkce po výrobku je p ( = 60 Celkové náklad na výrobu jsou dán funkcí n = n(, = Řešení: Funkce určující výsledný zisk je dána vztahem Π = Π(, = p( ) + p ( n(, = (50 ) + (60 = = Abchom odpověděli na zadaný úkol, musíme určit lokální etrém funkce Π (, : K určení stacionárních bodů vpočítáme parciální derivace Π Π = 50 a = 60 Π Π Pro stacionární bod musí platit (55): = 0 a = 0, ted 50 = 0, 60 = 0 Jestliže od první rovnice odečteme druhou rovnici, dostaneme 0 + = 0 a odtud snadno určíme = 5 Dosazením do první rovnice vpočítáme = 0 S 0, 5 Stacionární bod ted má souřadnice [ ] Musíme ověřit, zda ve stacionárním bodě nastane lokální maimum Vpočítáme druhé parciální derivace:

11 Funkce více proměnných čisté =, =, smíšené = Vpočítáme hodnot determinantů D a D ( S) = = a D ( S) = = D (56) pro stacionární bod [ 0, 5] S : 5 Protože determinant D ( S ) je kladný a determinant D ( S ) je záporný, nastává podle S 0, 5 lokální maimum postačující podmínk v bodě [ ] Maimální zisk určíme vpočítáním funkční hodnot funkce z(, v bodě [ 0, 5] Π (0, 5) = = 650 S : Poznámka: Uvedené lokální etrém funkce více proměnných se nazývají volné lokální etrém Kromě nich se u funkcí více proměnných vsktují ještě vázané lokální etrém, kd kromě zadané funkce více proměnných je navíc určena podmínka, kterou hledané etrém musí splňovat 65 Cvičení Určete a načrtněte definiční obor funkcí: a) z = [ 0 ] b) z= [ ± ] c) z = + 7 [ ] d) z = + 5 [ ] e) z = 5 [ 0, > 0] f) z = [( 0 0) ( 0 0) ] Vpočítejte parciální derivace funkcí: a) z = + 5 [ = +, = + ] b) z = sin + cos [ = + cos, + c) z = e ln = cos [ e = +, d) z = + [ =, + = e sin ] + = ] + ]

12 Funkce více proměnných Vpočtěte parciální derivace funkce z= f (, v daném bodě A: a) z= +, A = [, ] [, ] b) z= ln( + ), A = [0, ] [0, ] c) z = e, A = [-, 0) [0, ] d) z= (5 n, A = [, 5] [0, 0] e) z = 5, A = [, ] [ , ] Vpočítejte parciální derivace druhého řádu funkcí: 5 a) z = + [ z = 6 6, z = 0, z = z = ] b) z = + [ z = 0, z =, z = ] c) z = e sin [ z = e sin, z = e cos, z = e sin] d) z = sin + cos [ z = sin, z = cos sin, z = cos ] 5 Vpočítejte lokální etrém funkcí: a) z= + [nemá etrém] b) z= + + [lokální minimum v bodě [-, ]] c) z= [lokální maimum v bodě [, ]] d) z= 6+ [lokální minimum v bodě [, ]]

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují.

2.1.4 Funkce, definiční obor funkce. π 4. Předpoklady: 2103. Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. .. Funkce, definiční obor funkce Předpoklady: 03 Pedagogická poznámka: Následující ukázky si studenti do sešitů nepřepisují. Uděláme si na tabuli jenom krátký seznam: S = a, y = x, s = vt, výška lidí v

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Přehled matematického aparátu

Přehled matematického aparátu Přehled matematického aparátu Ekonomie je směsí historie, filozofie, etiky, psychologie, sociologie a dalších oborů je tak příslovečným tavicím kotlem ostatních společenských věd. Ekonomie však často staví

Více

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A) Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic

2.3.20 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic .3.0 Grafické řešení soustav lineárních rovnic a nerovnic Předpoklad: 307, 311 Př. 1: Vřeš soustavu rovnic + =. Pokud se také o grafické řešení. = 5 Tak jednoduchou soustavu už jsme dlouho neměli: + =

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014

K přednášce NUFY028 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 01 10. Spojitá prostředí: rovnice struny Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 2014 K přednášce NUFY8 Teoretická mechanika prozatímní učební text, verze 1 1 Spojitá prostředí: rovnice strun Leoš Dvořák, MFF UK Praha, 14 Spojitá prostředí: rovnice strun Dosud jsme se zabývali pohbem soustav

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vsoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2004 Obsah 1. Cvičení č.1 2 2. Cvičení č.2

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

2.1.10 Lineární funkce III

2.1.10 Lineární funkce III ..0 Lineární funkce III Předpoklad: 09 Minulá hodina Lineární funkce je každá funkce, která jde zapsat ve tvaru = a + b, kde a, b R. Grafem lineární funkce je přímka (část přímk), kterou kreslíme většinou

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více