x + F F x F (x, f(x)).

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "x + F F x F (x, f(x))."

Transkript

1 I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných popisů je ten, že funkce je dná jko řešení rovnice či soustvy rovnic. Tkovou funkci nzýváme implicitně zdnou. Uvedeme podmínky, kdy má tková rovnice jediné řešení ukážeme jké vlstnosti tohoto řešení umíme nlézt. Probereme si tři zákldní možnosti pro implicitní zdání funkce. 1. Funkce je řešením rovnice F (x, y) = 0. Hledáme funkci y = f(x), která je řešením rovnice F (x, y) = 0, tedy funkci, která splňuje rovnici ( ) F (x, f(x)) = 0. Je-li bod (, b) D F tkový, že F (, b) = 0 funkce F má spojité prciální derivce v okolí bodu (, b) (, b) 0, pk existují kldná čísl ε, δ tková, že rovnice F (x, y) = 0 má jediné řešení y (b ε, b + ε) pro x ( δ, + δ). Řešení rovnice F (x, y) = 0 je v okolí ( δ, +δ) (b ε, b+ε) funkcí y = f(x), x ( δ, +δ). Funkce y = f(x) má v uvedeném intervlu spojité derivce tkového řádu, jkého řádu má spojité prciální derivce funkce F (x, y). Její derivce spočteme derivováním rovnice ( ) podle proměnné x, kde derivujeme podle vzorce (3) z odstvce 7 pro derivci složené funkce. Ve vzorci volíme g(x) = x, h(x) = f(x) dostneme pro derivci funkce y = f(x) rovnici + f (x) = + f (x) = 0. Odtud dostneme pro hodnotu derivce funkce y = f(x) vzorec ( ) f (x) = (x, f(x)) (x, f(x)). Vzorec pro derivci 2. vyšších řádů dostneme derivováním vzorce ( ). Všimněme si, že vzorec ( ) má jednu neznedbtelnou nevýhodu. Abychom mohli pomocí něj určit derivce funkce y = f(x), musíme ji znát. To ovšem v tomto přípdě není splněno. Známe ovšem hodnotu f() = b neboť F (, b) = 0. Můžeme ze vzorce ( ) určit derivci v bodě tedy lineární proximci funkce y = f(x) v okolí bodu. Je tedy f () = (, b) (, b) f(x). = b + f ()(x ), x ( δ, + δ). Výpočet druhé vyšší derivce proximci funkce f pomocí Tylorov polynomu vyššího stupně ukážeme v úlohách. Řešené úlohy. 58

2 1. Úloh: Určete první druhou derivci funkce y = f(x), která je řešením rovnice x 2 + 2xy y 2 = 4. Funkce F (x, y) = x 2 + 2xy y 2 4 má spojité prciální derivce tk uvžovná rovnice má řešení tvru y = f(x) v okolí kždého bodu, který rovnici splňuje, pokud budeme moci spočítt její derivci. Rovnici pro derivci hledné funkce získáme derivováním zdné rovnice, pokud budeme respektovt postup v odstvci 1, když předpokládáme, že je řešení do rovnice doszeno. Řešení y = f(x) splňuje rovnici ( ) x 2 + 2xf(x) f 2 (x) = 4 jejím derivováním podle proměnné x dostneme vzth Odtud dostneme, že pokud je ovšem f(x) x 0. 2x + 2f(x) + 2xf (x) 2f(x)f (x) = 0. ( ) f (x) = x + f(x) f(x) x, Derivci f (x) dostneme derivováním vzthu ( ) nebo derivujeme rovnici pro první derivci, kde z derivci f (x) dosdíme vyjádření ( ). Dostneme rovnici f (x) = (1 + f (x))(f(x) x) (x + f(x))(f (x) 1) (f(x) x) 2 = 2(x 2 + 2xf(x) f 2 (x)) (x f(x)) 3 = když při poslední úprvě použijeme rovnici ( ). 8 (x f(x)) 3, Poznámk. Zápis je dosti nepřehledný. Při výpočtu volíme obvykle toto zjednodušení. Místo symbolu f(x) používáme pouze písmeno y, le nesmíme při derivování zpomenout, že y je funkce tedy její derivce podle proměnné x jsou y = f (x), y = f (x) td. V této symbolice je tedy y = x + y y x y = 8 (x y) 3. V dlším textu této kpitoly budeme již tento zkrácený zápis používt. 2. Úloh: Určete první dvě derivce funkce y = f(x), která je řešením rovnice x 3 + y 3 3xy 1 = 0 npište proximci tohoto řešení v okolí bodu x 0 = 0 pomocí Tylorov polynomu druhého stupně, je-li y(0) = 1. Funkce F (x, y) = x 3 + y 3 3xy 1 má spojité derivce všech řádů tudíž vzth pro derivci hledného řešení získáme derivováním zdné rovnice, kde respektujeme skutečnost, že y je funkce proměnné x. Dostneme rovnici 3x 2 + 3y 2 y 3y 3xy = 0. 59

3 Odtud získáme, že y = y x2 y 2 x y (0) = 1, když použijeme skutečnosti, že y(0) = 1. Poznmenejme, že sndno ověříme, že bod (0, 1) splňuje dnou rovnici. Pro derivci druhého řádu dostneme y = (y ) = (y 2x)(y 2 x) (y x 2 )(2yy 1) (y 2 x) 2 = 6x 2 y 2 2xy 4 2xy + 2x 3 2x 4 2y 4 (y 2 x) 3 y (0) = 0. Přibližné vyjádření řešení v okolí bodu x 0 = 0 dostneme ze vzorce y(x). = y(0) + y (0)x y (0)x 2 = 1 + x. 3. Úloh: Určete první dvě derivce funkce y = f(x), která je řešením rovnice ln x 2 + y 2 rctg( y x ) = 0 vyčíslete jejich hodnoty v bodě x 0 = 1, je-li y(1) = 0. Derivováním dné rovnice získáme rovnici pro derivci jejího řešení, pokud lze výpočet provést. Dostneme Po úprvě dostneme 1 2x + 2yy x2 + y 2 x2 + y xy y = 0, x 0. 2 x 2 + y2 x + yy xy + y = 0 y = x + y, pro x y. x y Derivováním tohoto vzthu dostneme pro druhou derivci rovnici y = (1 + y )(x y) (x + y)(1 y ) (x y) 2 = Pro x = 1 dostneme doszením hodnoty y(1) = 0, y (0) = 1, y (0) = 2. 2x (x y) 2, x y. 60

4 4. Úloh: Určete první dvě derivce funkce y = f(x), která je řešením rovnice je-li y(π) = 0. sin y + e x xy 2 = e π, Ověříme, že bod (π, 0) splňuje dnou rovnici. Jejím derivováním získáme vzth pro derivci řešení. Je y cos y + e x y 2 2xyy = 0 odtud plyne y = y2 e x cos y 2xy, cos y 2xy. Doszením x = π, y(π) = 0 dostneme y (π) = e π. Derivováním vzorce pro y dostneme y = (2yy e x )(cos y 2xy) (y 2 e x )( y sin y 2y 2xy ) (cos y 2xy) 2. Po doszení hodnot x = π, y(π) = 0 y (π) = e π dostneme odtud y (π) = 2πe 2π e π. 5. Úloh: Npište rovnici tečny normály v bodě (1, 2) ke křivce popsné rovnicí x 4 + y 4 x 3 y 3 = 9. Pomocí věty o derivci implicitně zdné funkce vypočteme derivci funkce y = f(x), která je řešením dné rovnice v okolí bodu x 0 = 1, pro které je f(1) = 2. Tím zároveň ověříme, že dná rovnice má řešení v předpokládném tvru. Pro derivci dostneme rovnici 4x 3 + 4y 3 y 3x 2 y 3 3x 3 y 2 y = 0. Dosdíme hodnty x = 1, y = 2 dostneme odtud, že y (1) = 1. Rovnice tečny ke grfu funkce v dném bodě je y 2 = x 1 x y + 1 = 0 rovnice normály ke grfu v tomto bodě má tvr y 2 = (x 1) x + y 3 = Úloh: Určete lokální extrémy funkce y = f(x), která je definovná implicitně rovnicí y 3 2xy + x 2 = 0. Hledáme body, ve kterých dná rovnice definuje funkci y = f(x), ve kterých má tto funkce stcionární body, tj. f (x) = 0. Derivci hledné funkce opět získáme derivováním zdné rovnice. Pro derivci dostneme podmínku 3y 2 y 2y 2xy + 2x = 0, 61

5 odtud získáme vzth ( ) y = 2(y x) 3y 2 2x, pokud 3y2 2x 0. Hledáme bod, který splňuje zdnou rovnici v němž je součsně derivce rovn nule. Souřdnice tohoto bodu tedy splňují soustvu rovnic y x = 0, y 3 2xy + x 2 = 0. Tto soustv má dvě řešení x 1 = 1, y 1 = 1 x 2 = y 2 = 0. Druhé řešení nesplňuje podmínku ( ), budeme tudíž uvžovt jediný bod x = y = 1, tedy x = 1, y(1) = 1. O druhu lokálního extrému v tomto bodě rozhodneme podle znménk druhé derivce. Vzth pro druhou derivci získáme opětovným derivováním vzthu pro první derivci. Je tedy 6y(y ) 2 + 3y 2 y 2y 2y 2xy + 2 = 0 odkud vypočteme hodnotu y (1) když do rovnice dosdíme x = 1, y = 1, y = 0. Dostneme, že y (1) = 2 < 0 tudíž má funkce y = f(x) v bodě x = 1 lokální mximum. Neřešené úlohy Úloh: Určete derivci funkce y = f(x), která je řešením dné rovnice vypočtěte její hodnotu v uvedeném bodě. 1. x y + e x+y 2 = 0, x 0 = 1, y(1) = sin (xy) e xy x 2 y + 1 = 0, x 0 = 1, y(1) = 0. [y = ex+y +yx y 1 x y lnx+e x+y, y (1) = 0] [y = 2xy+yexy y cos (xy) x cos (xy) xe xy x 2, y (1) = 0] 3. x 4 y + xy 4 2x 2 y 2 = 32, x 0 = 2, y(2) = 2. [y = y4 +4xy 2 4x 3 y x 4 +4xy 3 4x 2 y, y (2) = 1] 2. Funkce je řešením rovnice F (x, y, z) = 0. Hledáme funkci z = f(x, y), která je řešením uvedené rovnice, tedy pltí ( ) F (x, y, f(x, y)) = 0 v nějkém okolí bodu z definičního oboru funkce F = F (x, y, z). O funkci F = F (x, y, z) předpokládáme, že má spojité prciální derivce v definičním oboru D F dále, že známe bod (, b, c) D F, pro který je splněn rovnice ( ), tedy F (, b, c) = 0 (, b, c) 0. Potom existují kldná čísl ε, δ tková, že pro x ( δ, + δ) y (b δ, b + δ) má rovnice ( ) jediné řešení z (c ε, c + ε). Toto řešení je funkcí z = f(x, y) 62

6 má v uvedeném intervlu spojité derivce tkového řádu jké má spojité derivce funkce F (x, y, z). Prciální derivce funkce z = f(x, y) vypočteme derivováním rovnice ( ), kde prciální derivce počítáme obdobně jko ve vzorci 1 z odstvce 3. Pro prciální derivce řešení dostneme rovnice + + f = + f = f = + f = 0. Odtud získáme jejich vyjádření ve tvru ( ) pro f (x, y, f(x, y)) = (x, y, f(x, y)) (x, y, f(x, y)) x ( δ, + δ), y (b δ, b + δ). f (x, y, f(x, y)) = (x, y, f(x, y)) (x, y, f(x, y)) Řešené úlohy. 1. Úloh : Určete prciální derivce diferenciál prvního řádu funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice x 2 + y 2 + z 2 + 4xz = 2 nejdříve v obecném potom v bodě (1, 2), jestliže je f(1, 2) = 1. Jestliže dosdíme bod (1, 2, 1) do dné rovnice, zjistíme, že je rovnice splněn. Derivce hledného řešení získáme derivováním zdné rovnice podle proměnných x y. Pokud můžeme obě derivce vypočítt, jsou splněny předpokldy věty o implicitně dné funkci získáme její derivce v okolí bodu (x, y). Funkce F (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 4xz 2 má spojité prciální derivce všech řádů v R 3 tudíž pro derivce hledné funkce dostneme podmínky: 2x + 2z + 4z + 4x = 0 + 2z = x, z + 2x 0. 2x + z Obdobně dostneme podmínku pro derivci podle druhé proměnné. Je 2y + 2z + 4x = 0 = y, z + 2x 0. 2x + z Protože jsou obě derivce spojité je v obecném bodě dz = 1 ( (x + 2z)dx ydy). 2x + z Po doszení hodnot x = 1, y = 2, z = 1 dostneme (1, 2) = 1, (1, 2) = 2, dz(1, 2) = dx 2dy. 63

7 2. Úloh: Určete prciální derivce diferenciál funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice z 3 + 3xyz = 2, v obecném bodě npište lineární proximci této funkce v bodě (1, 1), jestliže f(1, 1) = 2. Postupem, který jsme popsli v odstvci 2 vypočteme derivce hledné funkce zároveň ověříme, zd řešení předepsného tvru existuje. Derivováním zdné rovnice postupně získáme: 3z 2 + 3yz + 3xy = 0 Z těchto rovnic vypočteme, že Je tedy = 3z 2 + 3xz + 3xy = 0. yz z 2 + xy, dz = = xz z 2 + xy, z2 + xy 0. z (ydx + xdy). z 2 + xy Po doszení hodnot x = 1, y = 1, z = 2 dostneme (1, 1) = 2 3, (1, 1) = 2 3, dz(1, 1) = 2 (dx dy). 3 Lineární proximcí funkce z = f(x, y) v okolí bodu (1, 1) je Tylorův polynom prvního stupně v bodě (1, 1). Protože je f(1, 1) = 2 je z = f(x, y). = (1(x 1) 1(y + 1)) = x 2 3 y. 3. Úloh: Určete prciální derivce funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice x z ln(z y ) = 0 nejprve v obecném bodě potom v bodě (0, 1), jestliže je f(0, 1) = 1. K výpočtu použijeme nyní vzorce ( ), kde F (x, y, z) = x ln( z ). Dostneme z y 1 = z x y z 2 z 1 y = z x + z, y z z y 2 = x y z 2 z 1 y = z2 x + z, z + x 0. Doszením hodnot x = 0, y = 1, z = 1 dostneme (0, 1) = 1, (0, 1) = 1. 64

8 4. Úloh: Určete diferenciál funkce z = f(x, y) v bodě (1, 2), je-li x 3 + y 3 + z 4 = x + z + 6 z = f(1, 2) = 2. K výpočtu derivcí funkce z = f(x, y) použijeme opět vzorec ( ), kde F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 4 x z 6. Dostneme = 1 3x2 4z 3 1, = 3y2 4z 3 1, 4z Doszením hodnot x = 1, y = 2, z = 2 získáme hodnoty prciálních derivcí v bodě (1, 2) je dz(1, 2) = 1 ( 2dx 12dy) Úloh: Určete diferenciál prvního druhého řádu funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice x yz + e z = 0 v obecném bodě v bodě ( 1, 2), jestliže je f( 1, 2) = 0. K výpočtu derivcí funkce z = f(x, y) použijeme opět vzorec ( ), kde F (x, y, z) = x yz + e z. Dostneme = 1 y e, z = z y e z, y ez 0. Prciální derivce druhého řádu získáme derivováním uvedených vyjádření, kde respektujeme, že z je funkcí proměnných x y z její derivce dosdíme dříve vypočítné vyjádření. Je tedy 2 z 2 = Je tedy ez (y e z ) = e z 2 (y e z ), 2 z 3 = (y ez ) z(1 e z ) = z2 e z 2 (y e z ) 2 (y e z ) 3 d 2 z = 2 z = ez (y e z ) 2 = ze z (y e z ) 3. dz = 1 (dx + zdy) y ez e z (y e z ) 3 (dx2 + 2zdxdy + z 2 dy 2 ). Dosdíme do obecného vyjádření hodnoty x = 1, y = 2, z = 0 dostneme dz( 1, 2) = dx, d 2 z( 1, 2) = dx 2. 65

9 6. Úloh: Určete rovnici tečné roviny ke grfu funkce z = f(x, y), která je definovná jko řešení rovnice 6xy x 2 + 4y 2 4zx 1 = 0 která je kolmá n přímku p : X = (2, 3, 4) + t(2, 1, 2). Hledáme bod, který je řešením dné rovnice v němž je normálový vektor ke grfu funkce násobkem směrového vektoru zdné přímky, tedy pltí (,, 1) = k(2, 1, 2), kde k je nějké číslo prciální derivce jsou dány vzorcem ( ), kde F (x, y, z) = 6xy x 2 + 4y 2 4xz 1. Odtud plyne, že ( ) 6y 2x 4z 4x = 2k, 6x + 8y 4x 6xy x 2 + 4y 2 4xz 1 = 0. = k, 1 = 2k. Jestliže dosdíme hodnotu k = 1 do prvních dvou rovnic v soustvě, dostneme 2 rovnice x + 3y 2z = 0, x + y = 0 y = x, z = x. Dosdíme tyto podmínky do poslední rovnice dostneme podmínku Získli jsme dvě řešení celé soustvy, x 2 = 1 x = 1, nebo x = 1. (x, y, z) = (1, 1, 1) (x, y, z) = ( 1, 1, 1), to znmená, že grf funkce, která je implicitně definovná rovnicí má tečné roviny poždovných vlstností v bodech (1, 1), ( 1, 1) f(1, 1) = 1, f( 1, 1) = 1. Rovnice tečných rovin tedy jsou τ 1 : 2(x 1) + (y + 1) + 2(z + 1) = 0 2x + y + 2z + 1 = 0 τ 2 : 2(x + 1) + (y 1) + 2(z 1) = 0 2x + y + 2z 1 = 0. Neřešené úlohy. 1. Úloh: Určete prciální derivce funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice x 2 + z 2 zx + xy 4 9 = 0 v obecném bodě v bodě (2, 1), jestliže je f(2, 1) = 3. [ = z 2x y4 2z x, = 4xy3 2z x, 2z x 0, (2, 1) = 1 2, (2, 1) = 2.] 66

10 2. Úloh: Určete prciální derivce funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice e z xyz = e v obecném bodě v bodě (1, 1), jestliže je f(1, 1) = 2. [ = yz e z xy, = xz, e z xy ez xy 0, (1, 1) = 2 e 2 +1, 2 (1, 1) =.] e Úloh: Určete diferenciál funkce z = f(x, y), která je řešením rovnice v bodě (0, 2), jestliže je f(0, 2) = 1. [ = yz(x+z) z 3 z 2 (x+z)ln(x+z)+z 3 +xy(x+z), zln(x + z) xy z = 0 = xz(x+z) z 2 (x+z)ln(x+z)+z 3 +xy(x+z), dz(0, 2) = dx] 3. Funkce je řešením soustvy rovnic F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0. Hledáme funkce y = f(x), z = g(x), které jsou řešením uvedené soustvy, tedy pltí ( ) F (x, f(x), g(x)) = 0 G(x, f(x), g(x)) = 0 v nějkém okolí bodu z definičního oboru funkcí F (x, y, z) G(x, y, z). Předpokládáme, že funkce F G mjí spojité prciální derivce v okolí bodu (, b, c), který je řešením soustvy ( ). Jestliže je determint G (, b, c), G (, b, c), (, b, c) (, b, c) různý od nuly, pk v okolí bodu (, b, c) má soustv ( ) jediné řešení poždovného tvru y = f(x), z = g(x), x ( ε, + ε) pro nějké číslo ε > 0. Toto řešení má spojité derivce tkového řádu, jkého řádu mjí spojité prciální derivce funkce F G. Tyto derivce vypočteme z derivovné soustvy ( ). Pro derivce prvního řádu tedy pltí + f (x) + g (x) = 0 G + Gf (x) + G g (x) = 0. Vyjádření pro derivce f (x) g (x) získáme jko řešení uvedené soustvy. Podmínk poždující nenulovost determinntu zručuje, že tto soustv má jediné řešení. Derivce vyšších řádů dostneme opětovným derivováním této soustvy, nebo derivujeme vzth pro derivce prvního řádu. Pro ilustrci uvedeme příkld tkového výpočtu. Pro jednoduchost budeme opět znčit f(x) = y(x) g(x) = z(x). Řešené úlohy. 67

11 1. Úloh : Určete derivce prvního druhého řádu funkcí y = y(x), z = z(x) která jsou řešením soustvy rovnic x 2 + 2xy 4y 2 + z + 16 = 0, x + y 2z + 1 = 0 nejdříve v obecném bodě potom v bodě ( 1), jestliže je y( 1) = 2 z( 1) = 1. Uvžujeme soustvu tvru ( ) x 2 + 2xy 4y 2 + z + 6 = 0, x + y 2z + 1 = 0. Funkce mjí spojité prciální derivce všech řádů v R 3 jejím derivováním podle proměnné x získáme vzthy pro drivce hledných funkcí. Je tedy Tto soustv má jediné řešení 2x + 2y + 2xy 4yy + z = 0, 1 + y 2z = 0. ( ) y (x) = 4x 4y 1 4x 16y + 1 z (x) = 10y 4x 16y + 1, pokud je 4x 16y Dosdíme hodnoty x = 1, y = 2, z = 1 dostneme y ( 1) = 1 7, z ( 1) = 4 7. Pro derivce druhého řádu získáme derivováním vzthů ( ) vzorce y (x) = ( 4 4y )(4x 16y + 1) + (4x + 4y + 1)(4 16y ) (4x 16y + 1) 2, z (x) = 10y (4x 16y + 1) + 10y(4 16y ) (4x 16y + 1) 2. Po doszení odpovídjících hodnot v bodě x = 1 dostneme y ( 1) = = 0, 138 z ( 1) = = Úloh: Určete derivce funkcí y = y(x), z = z(x), které jsou řešením soustvy rovnic x 2 + y 2 + z 2 = 3, x 2 + y 2 2z = 0 v obecném bodě v bodě x = 1, jestliže je y(1) = 1 z(1) = 1. Derivováním soustvy dostneme pro derivce řešení soustvu rovnic Tto soustv má řešení 2x + 2yy + 2zz = 0, 2x + 2yy 2z = 0. y (x) = x y, z (x) = 0, y 0. Pro derivce řešení v zdném bodě dostneme hodnoty y (1) = 1, z (1) = 0. 68

12 3. Úloh: Určete první druhou derivci funkcí y = y(x), z = z(x), které jsou řešením soustvy rovnic x 2 + y 2 + z 2 = 169, 2x + y z + 2 = 0 v obecném bodě v bodě x = 3, jestliže je y(3) = 4 z(3) = 12. Derivováním řešené soustvy získáme podmínky pro derivce řešení ve tvru soustvy 2x + 2yy + 2zz = 0, 2 + y z = 0. Tto soustv má řešení pokud je y + z 0. ( ) y (x) = x 2z y + z, z (x) = 2y x y + z, Po doszení souřdnic dného bodu dostneme, že y (3) = 27 16, z (3) = Derivováním vzthů z ( ) dostneme vyjádření pro druhé derivce řešení. Je y (x) = ( 1 2z )(y + z) + (x + 2z)(y + z ) (y + z) 2, z (x) = (2y 1)(y + z) (2y x)(y + z ) (y + z) 2. Po doszení z ( ) úprvě získáme, že y (x) = z (x) = 2x2 5y 2 5z 2 + 4xy 4xz 2yz (y + z) 3. Po doszení souřdnic dného bodu dostneme, že y (3) = z (3) = = 0,

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

f k nazýváme funkční řadou v M.

f k nazýváme funkční řadou v M. 6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité): Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou MATMATIKA (NJN) PRO KRAJINÁŘ A NÁBYTKÁŘ Robert Mřík 26. říjn 2012 KAT. MATMATIKY FAKULTA LSNICKÁ A DŘVAŘSKÁ MNDLOVA UNIVRZITA V BRNĚ -mil ddress: mrik@mendelu.cz URL: user.mendelu.cz/mrik ABSTRAKT. Předkládný

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Vzorová řešení čtvrté série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

I. termodynamický zákon

I. termodynamický zákon řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho

Více

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501

( ) 1.5.2 Mechanická práce II. Předpoklady: 1501 1.5. Mechnická práce II Předpokldy: 1501 Př. 1: Těleso o hmotnosti 10 kg bylo vytženo pomocí provzu do výšky m ; poprvé rovnoměrným přímočrým pohybem, podruhé pohybem rovnoměrně zrychleným se zrychlením

Více

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA

ZOBRAZOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO ZRCADLA OBRAOVACÍ ROVNICE OKY A KULOVÉHO RCADLA vtšení optického zobrzení pedešlých kpitol již víme, že pi zobrzení okmi nebo kulovými zrcdly mohou vznikt zvtšené nebo zmenšené obrzy pedmt. Pro jejich mtemtický

Více