Cvičení 1 Elementární funkce

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvičení 1 Elementární funkce"

Transkript

1 Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = = > =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =. Definiční obor dané funkce je celá reálná osa R. Daná funkce není na svém definičním oboru prostá. Proto k této funkci inverzní funkce neeistuje. Příklad 4. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční obor je D f =, +. Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =, + a obor hodnot H f =, +, je inverzní funkce dána předpisem f = +, D f = H f =, + a H f = D f =, +. Příklad 5. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční je D f =,,. Typeset by AMS-TEX

2 Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, 3, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =,, a obor hodnot H f =, 3, +, je inverzní funkce dána předpisem { + pro 3, + f = + pro, D f = H f =, 3, + a H f = D f =,,. Příklad 6. Nalezněte definiční obor funkce f = ln ln Definiční obor nalezneme z nerovností ln > >. Z nich plyne ln < 3 > = = < e, 3, + = = e 5 + 4e <, 3, + = 5 + 4e =, e, 3, + = 5 + 4e = D f =, 3, e. Příklad 7. Naleznete definiční obor funkce f = 9 + ln 3. Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů 9 3 > = ±3 + > = =,, 3 3, + = D f =,, 3 3, +. Příklad 8. Nalezněte inverzní funkci k funkci f = e +.

3 Definiční obor této funkce je D f = R a její obor hodnot je H f =, +. Funkce je prostá, a proto k ní inverzní funkce y = f eistuje. Najdeme ji jako řešení rovnice = e y +. Z ní snadno dostaneme vztah y = + ln. Tedy inverzní funkce je f = + ln. Její definiční obor je D f = H f = + a její obor hodnot je H f = D f = R. Příklad 9. Nalezněte definiční obor funkce f = ln cos 3 /3. Definiční obor dané funkce najdeme z podmínky cos 3 /3 ekvivalentní vztahu cos 3. Čili cos 3 Tedy D f = k Z = cos 3 ± = 3 π 4 + kπ k π, k + π., k Z = + k >. To je π, k Z. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = arcsin Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů + + Z nich plyne + = = + > + < = = = D f =,. Příklad. Vyjádřete funkce f = argsinh pomocí logaritmů. Funkce y = argsinh je inverzní funkcí k funkci f = sinh = e e. Tedy je řešením rovnice = ey e y. Z této rovnice dostaneme e y e y = = e y = + = e y = ± +. Protože e y >, musíme v posledním vztahu vzít pouze znaménko +. Pak snadno dostaneme y = argsinh = ln

4 Cvičení Číselné množiny arccos Příklad. Najděte definiční obor funkce f =. + Funkce f je dána předpisem f = ep její definiční obor dán nerovnostmi ln + arccos. Proto je + > + = =,, + = =, = D f =,. Příklad. Najděte supremum a infimum množiny M = { R ; < }. Množina M je dána nerovnostmi nebo = < = < = < =. Tedy množina M je interval M = /, +. Protože množina M není shora omezená, neeistuje v R supremum. inf M =. Příklad 3. Nech Q značí množinu všech racionálních čísel. Najděte supremum a infimum množiny M = { Q ; } : a v množině Q; b v množině R. Množina M obsahuje všechna racionální čísla, pro která je. Protože není racionální číslo, neeistuje v množině Q supremum ani infimum této množiny. Naproti tomu v množině reálných čísel R je sup M = a inf M =. Příklad 4. Dokažte, že pro každé n N platí nerovnost n n < n +. 4

5 Dané tvrzení lze dokázat matematickou indukcí. Nejprve ukážeme, že tvrzení platí pro n =. To znamená, že <, což je pravda. 3 V dalším kroku předpokládáme, že uvedené tvrzení platí pro n N, a za tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Tedy předpokládáme, že platí n n a musíme ukázat, že z toho plyne vztah Podle předpokladu platí nerovnost < n n n + n n + <. n n n + n n + < n + n + n + = n + n +. Ze vztahu n + n + 3 = 4n + 8n + 3 < 4n + 8n + 4 = n + získáme n + nerovnost n + <. Z toho a předchozí nerovnosti již plyne požadovaná n + 3 nerovnost. Příklad 5. Mezi členy aritmetické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = a n + d, kde d je konstanta. Dokažte, že pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah n s n = a k = a + a + + a n = n k= a + a n. Tvrzení dokážeme indukcí. Pro n = dostaneme s = a = a + a. Tedy pro n = naše tvrzení platí. Dále předpokládáme, že pro n N platí s n = n a + a n. Z tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Pro s n+ dostaneme s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = n a + a n + an+. Pro n tý člen aritmetické posloupnosti platí a n = a + n d. Toto tvrzení dokážeme opět indukcí. Je zřejmé pro n = tvrzení platí. Předpokládejme, že platí pro n N. Člen a n+ je dán vztahem a n+ = a n + d = a + n d + d = a + nd. Tím je vztah a n = a + n d dokázán pro všechna n N. 5

6 Z výše odvozené relace pro s n+ dostaneme s n+ = n a + a + n d + a + nd = n + a + = n + a + a + nd = n + a + a n+. nn + d = Tím je uvedené tvrzení dokázáno pro všechna n N. Příklad 6. Mezi členy geometrické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = qa n, kde q je konstanta. Dokažte, že když q platí pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti vztah s n = n k= a k = a + a + + a n = a q n q. Důkaz provedeme matematickou indukcí. Pro n = má naše tvrzení tvar s = a = q a, a tedy platí. q Nyní předpokládáme, že tvrzení platí pro n N a z tohoto předpokladu dokážeme jeho platnost pro n +. Protože pro n + ní člen geometrické posloupnosti platí a n+ = a q n, dostáváme q n s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = a q + a q n q n+ = a. q Příklad 7. Nechť f = arccotg a M =,. Najděte obraz množiny M při zobrazení f, tj. množinu fm. Funkce f = arccotg je inverzní funkcí k funkci cotg. Protože je funkce cotg klesající, je také funkce f = arccotg klesající. Navíc je funkce arccotg spojitá na celé, R. Proto je obraz intervalu M =, interval. Protože platí arccotg = π a pro velká záporná se hodnota funkce f = arccotg blíží k π, je obraz 4 množiny M roven fm = π/4, π. Příklad 8. Nechť má funkce f tvar f = a + b a platí f = a f3 = 5. Najděte f a f. 6

7 Nejprve určíme konstanty a a b. Z rovností f = b = a f3 = 3a + b = 5 dostaneme a = 7 3 a b =. Tedy f = 7 3. Odtud plyne f = 3 a f = 8 3. Příklad 9. Najděte funkci f tvaru f = a + b c, jestliže je f = 5, f = 3 a f4 = 9. Konstanty a, b a c musí splňovat soustavu rovnic f = a + b = 5, f = a + b c = 3, f4 = a + b c 4 = 9. Z této soustavy rovnic plyne a = 5 b, b c = 5, b c 4 = 75 = c4 c = c + = 5 = = c = 4 = c = ± c = c =, b = 5, a = = f = + 5. Příklad. Nechť má funkce f definiční obor D f =,. Najděte definiční obor funkce g = fln. Definiční obor funkce g určíme z podmínky < ln <. To znamená, že D g =, e. Příklad. Najděte z jako funkci a y, jestliže platí arctg z = arctg + arctg y. Podle definice platí pro každé R rovnost tg arctg =. Pro jednoduchost označme α = arctg a β = arctg y. Pak platí tg α = a tg β = y. Z definiční rovnice dostaneme z = tg arctg z = tgα + β = tg α + tg β tg α tg β = + y y. Příklad. Nechť je ϕ = sgn a ψ =. Najděte funkce ϕ ϕ = ϕ ϕ, ψ ψ = ψ ψ, ϕ ψ = ϕ ψ a ψ ϕ = ψ ϕ. V případě ϕ ϕ dostaneme pro > rovnost sgn sgn = sgn = ; pro = dostáváme sgn sgn = sgn = a pro < rovnost sgn sgn = sgn =. Tedy ϕ ϕ = ϕ. 7

8 V případě ψ ψ dostaneme ψ ψ = =,. / V případě ϕ ψ dostáváme pro > vztah ϕ ψ = sgn / = a pro < vztah ϕ ψ = sgn / =. Tedy ϕ ψ = sgn a definiční obor této funkce je R \ {}. V případě ψ ϕ je pro > ψ ϕ = a pro < je ψ ϕ =. Tedy ψ ϕ = sgn s definičním oborem R \ {}. Příklad 3. Najděte f, jestliže platí f =. + Označme y =. Pak je = y. Po dosazení do daného vztahu dostaneme + y y fy =. Tedy f = y. Příklad 4. Je funkce f = ln sudá nebo lichá? + Platí f = ln + = ln + = f. Funkce je lichá. Příklad 5. Najděte nejmenší periodu funkce f = sin + sin + 3 sin 3. Funkce f je součtem tří periodických funkcí f = sin, f = sin a f 3 = 3 sin 3. Jejich nejmenší periody jsou po řadě L = π, L = π a L 3 = 6π. Nejmenší perioda je nejmenší společný násobek těchto tří period. Tedy nejmenší perioda je L = 6π. Příklad 6. Najděte nejmenší periodu funkce f = cos + sin. Funkce f je součtem dvou periodických funkci f = cos a f = sin. Jejich nejmenší periody jsou L = π a L = π. Protože je iracionální číslo, neeistují přirozená čísla p a q taková, že p = q. Daná funkce není periodická. 8

9 Příklad. Najděte limitu lim n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 lim n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = lim n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že lim n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte lim n n n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy lim n n n 3 = 4. n + 4 n 4 n n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte lim n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy lim n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 9

10 n n Příklad 5. Určete lim n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme lim n n n 3 /3 n + n+8 = lim 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je lim, kde a >? n + an Pro a > je lim n an = +. Proto je pro a > lim n a n + a n = lim n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy lim 3 n Pro < a < je lim n an =. Proto je lim n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte lim n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! lim n n + =. lim n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte lim n 3n + 7. Tato limita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že lim n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá limitu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte limitu lim 4 n. n n

11 Jak by měl každý vědět, je tato limita rovna lim 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je lim? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že lim = e 6. n n Příklad. Najděte lim n ln +. n n Protože víme, že lim + n = e, dostaneme lim n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť lim α n = a lim β n = ±. n n βn Pak je lim + αn = ep lim α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale lim n + αn βn = ep lim n βn α n lim n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí lim n α n lim n βn + αn = ep lim α nβ n. n

12 Příklad 3. Najděte lim + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít lim lim + n n +3 n n 3 = e. + n n n n =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou lim n posloupnosti a n jsou body a. n = a lim n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má limitu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,.

13 Příklad. Najděte limitu lim n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 lim n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = lim n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že lim n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte lim n n n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy lim n n n 3 = 4. n + 4 n 4 n n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte lim n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy lim n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 3

14 n n Příklad 5. Určete lim n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme lim n n n 3 /3 n + n+8 = lim 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je lim, kde a >? n + an Pro a > je lim n an = +. Proto je pro a > lim n a n + a n = lim n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy lim 3 n Pro < a < je lim n an =. Proto je lim n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte lim n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! lim n n + =. lim n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte lim n 3n + 7. Tato limita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že lim n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá limitu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte limitu lim 4 n. n n 4

15 Jak by měl každý vědět, je tato limita rovna lim 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je lim? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že lim = e 6. n n Příklad. Najděte lim n ln +. n n Protože víme, že lim + n = e, dostaneme lim n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť lim α n = a lim β n = ±. n n βn Pak je lim + αn = ep lim α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale lim n + αn βn = ep lim n βn α n lim n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí lim n α n lim n βn + αn = ep lim α nβ n. n 5

16 Příklad 3. Najděte lim + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít lim lim + n n +3 n n 3 = e. + n n n n =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou lim n posloupnosti a n jsou body a. n = a lim n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má limitu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,. 6

17 Cvičení 5 Derivace Příklad. Najděte derivaci funkce f = Funkci f lze zapsat ve tvaru f = Podle věty o linearitě derivace a známého vztahu n = n n je f = Příklad. Najděte derivaci funkce f = +. Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f =, snadno dostaneme + f = 4 +. Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = + ln. Pomocí věty o derivaci podílu získáme f = + ln = ln. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f =. Když napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln = + ln. Příklad 5. Najděte derivaci funkce f =. 7

18 Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln + = ln +. Příklad 6. Najděte derivaci funkce f = ln arctg. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = arctg +. Příklad 7. Najděte derivaci funkce f = log + +. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = ln = + ln +. Příklad 8. Najděte derivaci funkce f = ln lnln. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = lnln ln. Příklad 9. Najděte derivaci funkce f = arcsin. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = arccotg tg. 8

19 Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = + tg cos = cos + sin =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln. Funkci f přepíšeme do tvaru f = e ln. Podle věty o derivaci složené funkce dostaneme f = e ln ln = +ln ln. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln tg Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = = tg/ cos / sin3 sin cos sin 4 4 sin/ cos/ sin cos sin 3 = sin + cos sin 3 = sin 3. = cos sin. = sin + sin + cos sin 3 = Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = cotg + ln sin. Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = cotg + sin + cos sin = sin sin = = cos sin = cotg. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f = arctg + ln +. 9

20 Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = arctg = arctg + + = arctg = + + = arctg +. + = Příklad 5. Najděte derivaci f funkce f = + arcsin +. V některých případech když hledáme derivaci funkce f v daném bodě, není třeba hledat derivaci v obecném bodě, ale určit derivaci pomocí definice. Například v tomto případě je f =. Tedy podle definice derivace je f = lim h [ + h + h + h arcsin h + h = + lim h arcsin ] = + h + h = + arcsin = + π 4. Jinak lze výpočet zjednodušit i jiným způsobem. Podle věty o derivaci součtu a součinu je f = + arcsin + + [ arcsin Protože v bodě = je + rovno a derivace funkce v tomto bodě omezená je f = + arcsin [ + arcsin + + ]. [ arcsin ] = = + π 4. + ] je Příklad 6. Nechť je D tzv. Dirichletova funkce, která je definována předpisem { pro iracionální D = pro racionální.

21 Najděte derivaci funkce f = D v bodě =. Protože funkce D není spojitá dokonce v žádném bodě, musíme se pokusit najít derivaci f pomocí definice. Podle ní je f = lim h fh f h = lim h h Dh h = lim h hdh. Protože platí hdh h, je tato limita rovna nule. Tedy f =. Příklad 7. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = e v bodě =. Pro je f = e = e. Tedy f + =. Pro je f = e = e. Tedy f =. Příklad 8. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = 3 v bodě =. Derivace funkce f = 3 je v obecném bodě různém od nuly dána vztahem f = 3 /3. V bodě = není tato derivace definována. Proto raději určíme jednostranné derivace přímo z definice. Pro platí 3 f + h = lim = lim h /3 = +. h + h h + Pro platí f + = lim h 3 h h = lim h h /3 =. Příklad 9. Najděte derivaci f funkce f = sin pro a f =. Protože je lim f =, je funkce f v bodě = spojitá. Lze se tedy pokusit najít její derivaci. Derivace funkce f v obecném bodě je f = sin cos. Tato funkce ale nemá limitu v bodě =. Přesto je [ f = lim h sin h ] h h = lim h sin =. h h Tedy derivace funkce f = sin v bodě = eistuje a je rovna nule. Uvědomte si, že derivace této spojité funkce není v bodě = spojitá.

22 Cvičení 6 Diferenciály a geometrický význam derivace Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = cosh +e a =. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = + e = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh Tedy f = a df; h = h. + e. Příklad 3. Najděte diferenciál df ; h, kde f = =. cosh e + e 3 a Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = e + e 3 = e cosh lne + e 3, je f = e cosh sinh lne + cosh Tedy f = 3 a df, h = 3h. e 3e 3. Příklad 4. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π.

23 Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad 5. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu.3. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = a = =.3. Potom je f = f = a f = ln. Tedy f = f = ln. Protože ln. =.6935 dostaneme.3 + ln.3. =.4. Příklad 6. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu ln.. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f = ln, = a = =.. Potom je f = f = a f =. Tedy f = f =. Tedy ln... Příklad 7. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 8. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = 8 a = =. Potom je f = f8 = 9 a f =. Tedy f = f 8 = 8. Tedy =

24 Příklad 8. Pro měření gravitačního zrychlení pomocí kyvů kyvadla se používá vztah g = 4π l, kde l je délka kyvadla, T je perioda kyvu kyvadla. Jak se odrazí T na hodnotě g relativní chyba δ při měření: a délky l; b periody T? Předpokládejme, že l a T jsou přesné hodnoty délky kyvadla a jeho periody. Pak je přesná hodnota gravitačního zrychlení g = 4π l. Jestliže měřením zjistíme délku kyvadla l = l + l, resp. periodu T = T + T l = l l a T = T T se nazývají absolutní chyba a veličiny δl = l a δt = T jsou relativní chyby, l T najdeme z daného vzorce zrychlení g = 4π l, resp. g = 4π l T T. Absolutní chyba nalezeného gravitačního zrychlení je g = g g = 4π l l, resp. g = g g = T T 4π l T 4π l T. Relativní chybu měření g pak definujeme jako δg = g. pomocí g diferenciálů pak dostaneme v prvním případě g = 4π T l tj. δg = δl. Ve druhém případě je g = 4π l T + T 4π l T 8π l T 3 T, tedy δg = δt. Obecně jestliže je znám vztah mezi dvěmi veličinami y = f a z měření veličiny určujeme pomocí tohoto vztahu veličinu y, dostaneme pro absolutní a relativní chyby vztahy y = f f = f + f f a δy = y y f f. Příklad 9. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = arccotg ln + ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = arccotg = π 4 a protože f = ln + + ln + ln / ln / + ln, 4

25 je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y π 4 =, neboli y = + π 4. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože f = ln, je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y =, neboli y = +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = sin v bodě M = [ π;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = fπ = a protože platí f = e sin ln, je f = cos sin ln + sin. Tedy f π = lnπ. Rovnice hledané tečny je y = lnπ π, neboli y = lnπ + π lnπ +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = cos cosh +3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané tečny je y = 3, neboli y = 3 +. Příklad 3. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = v bodě M = [ ;? ]. cosh + e 5

26 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh + e. Tedy f =. Rovnice hledané normály je y =, neboli y = +. Příklad 4. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = + π a protože platí f = 4 e lnsin +, je f = sin lnsin + cos +. sin Tedy f π/ = π. Rovnice hledané normály je π y π = π 4, neboli y = π + π Příklad 5. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = cos cosh + 3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané normály je 3y =, neboli y = 3 +. Příklad 6. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = ln bodě M = [ /;? ]. v 6

27 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f/ = ln 3. Protože f = +, je f / = 8 3. Tedy rovnice hledané normály je 8 3 y = ln 3. y + ln 3 =, neboli Příklad 7. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + 3 cos v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = a protože platí f = e lnsin + 3 cos, je f = sin lnsin + cos 3 sin. sin Tedy f π/ = 3. Rovnice hledané normály je 3y = π, neboli y = 3 + π 6. Příklad 8. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = 4 sin + 3 cos v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = 4 a protože platí f = e sin ln4 + 3 cos, je f = 4 sin cos ln4 4 sin 3 sin. Tedy f = ln 4. Rovnice hledané normály je ln 4 y 4 =, neboli y = ln Příklad 9. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4. 7

28 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být rovnoběžná s danou přímkou, jejíž směrnice je k = 4, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body [ ; y ], ve kterém je f = 3 + = 4. Z této rovnice najdeme = ±. Proto jsou body dotyku [; ] nebo [ ; 4]. Rovnice hledané tečny tedy jsou y = 4 nebo y + 4 = 4 +. Hledaná rovnice tečny je y = 4, která se grafu funkce dotýká ve dvou bodech [; ] a [ ; 4]. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = , která je kolmá na přímku 6y + =. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být kolmá na danou přímkou, jejíž směrnice je k =, budeme hledat na grafu funkce 3 y = body [ ] ; y, ve kterém je f = = 3. Z této rovnice najdeme =. Proto je bod dotyku [ ; 3]. Rovnice hledané tečny tedy je y + 3 = 3 +, neboli y = 3 6. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá na přímku y =. Směrnice dané přímky je k p =. Protože hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být její směrnice rovna k t =. Protože směrnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je k t = f, musí pro platit rovnice f = =. Tedy bod dotyku je [; ln ]. Rovnice hledané tečny je tedy y ln =, neboli y = + ln. Příklad. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou + 4y =. Daná přímka má směrnici k p = 4. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály rovnoběžné s danou přímkou, musí pro bod platit f = 4 = 4. Z toho plyne = 4 a y = f = 5. Rovnice hledané normály je tedy y 5 = 4, neboli 4 y =

29 Příklad 3. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá na přímkou y = + 4. Daná přímka má směrnici k p =. Přímka kolmá na tuto přímku má směrnici k =. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály kolmé danou přímkou, musí pro bod platit f = =. Z toho plyne = a y = f =. Rovnice hledané normály je tedy y =, neboli y =. Příklad 4. Ke grafu funkce y = + 9 veďte tečny, které procházejí bodem [; ]. + 5 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ] ; y tak, aby přímka y y = f procházela bodem [; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je y = a f 4 =, budeme hledat + 5 řešení rovnice = 4 + 5, čili =. Její řešení jsou = 3 nebo = 5. Hledané body dotyku proto jsou [ 3; 3] nebo [ 5; 3/5]. Protože je f 3 = a f 5 =, dostáváme dvě tečny y 3 = + 3, neboli 5 y =, a y =, neboli y = 5 5. Příklad 5. Ke grafu funkce y = veďte tečny, které procházejí bodem [ ; ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ; y ] tak, aby přímka y y = f procházela bodem [ ; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je f =, musí splňovat rovnici =, čili =. Její řešení jsou = ±. Tedy hledané body dotyku jsou [ + ; ] a [ ; ]. Protože je f + = 3 + a f = 3, jsou rovnice hledaných tečen 9

30 y + = 3 +, neboli y = 3 + +, a y + + = 3 +, neboli y = 3. Příklad 6. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 =. Směrnice dané přímky je k p =. Proto musí být směrnice tečny rovna k t =. Budeme tedy na hyperbole hledat body [ ; y ] takové, aby y = f =. Předpokládejme, že jsme našli řešení y = y rovnice 7 y = 4. Jestliže derivujeme tuto rovnice, dostaneme v bodě vztah 4 4y y =. Hledané body dotyku [ ; y ] tedy musí proto splňovat vztahy 4 8y = a 7 y = 4. Řešení této soustavy rovnice nám dá dva body dotyku [4; 7] a [ 4; 7]. Eistují tedy dvě tečny s danými vlastnostmi: y 7 = 4, neboli y =, a y + 7 = + 4, čili y = +. 3

31 Cvičení 7 L Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů Příklad. Dokažte nerovnost sin sin y y. Uvažujme funkci f = sin. Protože je f = a f = cos, eistuje podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě číslo ξ,, pro které platí rovnost f f = sin = cos ξ. Protože je cos ξ dostaneme pro > nerovnost sin. Tedy pro platí nerovnost sin. Pomocí vztahu sin sin y = cos + y sin y dostaneme sin sin y = cos + y protože cos + y a sin y sin y y. sin y y, cosh cos Příklad. Najděte lim. Jde o limitu výrazu typu. Protože čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné funkce, lze použít l Hospitalovo pravidlo. Pomocí něj dostaneme cosh cos lim sinh + sin = lim. Limita je opět typu. Proto použijeme l Hospitalovo pravidlo ještě jednou a dostaneme cosh cos lim = lim sinh + sin = lim cosh + cos =. tg Příklad 3. Najděte lim sin. Jde o limitu typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Pomocí něj dostaneme lim tg sin = lim cos cos = lim cos cos lim cos = lim +cos =. 3

32 Příklad 4. Najděte lim cotg. Nejprve najdeme limitu lim cotg. Ta je typu. Ale lze psát lim cotg = lim cos sin = lim cos lim sin =. Proto je daná limita typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Proto je cotg lim cotg = lim sin sin cos = lim sin sin cos = lim 3 lim sin = lim = lim sin 6 = 3. = cos sin 6 = Příklad 5. Najděte lim cos sin. Jde o limitu typu. Protože jsou splněny všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla, je jej pro výpočet této limity možné použít. Ale při podrobnějším zkoumání daného výrazu, zjistíme, že se v něm proměnná vyskytuje pouze ve tvaru. Proto je možné zavést pomocnou proměnnou t = a zkoumat limitu cos t lim, pro kterou je použití l Hospitalova pravidla jednodušší. Dostaneme t + t sin t cos lim sin = lim cos t t + t lim t + t sin t = lim sin t t + t =. Příklad 6. Najděte lim arcsin arcsin 3. Jde o limitu typu. Všechny předpoklady l Hospitalova pravidla jsou splněny. 3

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel.

MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 2008/2009 Autor: Mati neučitel. MATEMATIKA ZIMNÍ SEMESTR 008/009 Autor: Mati neučitel. Kdo se matiku pilně učil, a jen si není jistý zadanými příklady, tomu stačí ty kousky podbarvené oranžově. Kdo najde nějakou mou chybu, o které ještě

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +)

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016

Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04.1.03/3.2.15.1/0016 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ. strana ze 36 Šárka Hošková Jaromír Kuben Pavlína Račková Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 0 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY

ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY ZMĚNY VE VÝUCE MATEMATIKY JAKO DŮSLEDEK POČÍTAČEM PODPOROVANÉ VÝUKY Marie Polcerová Fakulta chemická, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: Zavedení nového samostatného povinného předmětu Počítačová

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Organic Search Traffic

Organic Search Traffic http://forum.matweb.cz http://forum.matweb.cz Matematické forum [DEFAULT] Organic Search Traffic Jan 1, 2012 Dec 31, 2012 % of visits: 86.15% Explorer Site Usage Visits 10,000 5,000 April 2012 July 2012

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více