Cvičení 1 Elementární funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvičení 1 Elementární funkce"

Transkript

1 Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = = > =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =. Definiční obor dané funkce je celá reálná osa R. Daná funkce není na svém definičním oboru prostá. Proto k této funkci inverzní funkce neeistuje. Příklad 4. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční obor je D f =, +. Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =, + a obor hodnot H f =, +, je inverzní funkce dána předpisem f = +, D f = H f =, + a H f = D f =, +. Příklad 5. Nalezněte inverzní funkci k funkci f =, jejíž definiční je D f =,,. Typeset by AMS-TEX

2 Funkce f je prostá. Proto inverzní funkce eistuje. Obor hodnot této funkce je množina H f =, 3, +. Pro inverzní funkci y = f platí = y = y = + = y = ± +. Protože definiční obor D f =,, a obor hodnot H f =, 3, +, je inverzní funkce dána předpisem { + pro 3, + f = + pro, D f = H f =, 3, + a H f = D f =,,. Příklad 6. Nalezněte definiční obor funkce f = ln ln Definiční obor nalezneme z nerovností ln > >. Z nich plyne ln < 3 > = = < e, 3, + = = e 5 + 4e <, 3, + = 5 + 4e =, e, 3, + = 5 + 4e = D f =, 3, e. Příklad 7. Naleznete definiční obor funkce f = 9 + ln 3. Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů 9 3 > = ±3 + > = =,, 3 3, + = D f =,, 3 3, +. Příklad 8. Nalezněte inverzní funkci k funkci f = e +.

3 Definiční obor této funkce je D f = R a její obor hodnot je H f =, +. Funkce je prostá, a proto k ní inverzní funkce y = f eistuje. Najdeme ji jako řešení rovnice = e y +. Z ní snadno dostaneme vztah y = + ln. Tedy inverzní funkce je f = + ln. Její definiční obor je D f = H f = + a její obor hodnot je H f = D f = R. Příklad 9. Nalezněte definiční obor funkce f = ln cos 3 /3. Definiční obor dané funkce najdeme z podmínky cos 3 /3 ekvivalentní vztahu cos 3. Čili cos 3 Tedy D f = k Z = cos 3 ± = 3 π 4 + kπ k π, k + π., k Z = + k >. To je π, k Z. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = arcsin Definiční obor dané funkce najdeme ze vztahů + + Z nich plyne + = = + > + < = = = D f =,. Příklad. Vyjádřete funkce f = argsinh pomocí logaritmů. Funkce y = argsinh je inverzní funkcí k funkci f = sinh = e e. Tedy je řešením rovnice = ey e y. Z této rovnice dostaneme e y e y = = e y = + = e y = ± +. Protože e y >, musíme v posledním vztahu vzít pouze znaménko +. Pak snadno dostaneme y = argsinh = ln

4 Cvičení Číselné množiny arccos Příklad. Najděte definiční obor funkce f =. + Funkce f je dána předpisem f = ep její definiční obor dán nerovnostmi ln + arccos. Proto je + > + = =,, + = =, = D f =,. Příklad. Najděte supremum a infimum množiny M = { R ; < }. Množina M je dána nerovnostmi nebo = < = < = < =. Tedy množina M je interval M = /, +. Protože množina M není shora omezená, neeistuje v R supremum. inf M =. Příklad 3. Nech Q značí množinu všech racionálních čísel. Najděte supremum a infimum množiny M = { Q ; } : a v množině Q; b v množině R. Množina M obsahuje všechna racionální čísla, pro která je. Protože není racionální číslo, neeistuje v množině Q supremum ani infimum této množiny. Naproti tomu v množině reálných čísel R je sup M = a inf M =. Příklad 4. Dokažte, že pro každé n N platí nerovnost n n < n +. 4

5 Dané tvrzení lze dokázat matematickou indukcí. Nejprve ukážeme, že tvrzení platí pro n =. To znamená, že <, což je pravda. 3 V dalším kroku předpokládáme, že uvedené tvrzení platí pro n N, a za tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Tedy předpokládáme, že platí n n a musíme ukázat, že z toho plyne vztah Podle předpokladu platí nerovnost < n n n + n n + <. n n n + n n + < n + n + n + = n + n +. Ze vztahu n + n + 3 = 4n + 8n + 3 < 4n + 8n + 4 = n + získáme n + nerovnost n + <. Z toho a předchozí nerovnosti již plyne požadovaná n + 3 nerovnost. Příklad 5. Mezi členy aritmetické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = a n + d, kde d je konstanta. Dokažte, že pro součet prvních n členů aritmetické posloupnosti platí vztah n s n = a k = a + a + + a n = n k= a + a n. Tvrzení dokážeme indukcí. Pro n = dostaneme s = a = a + a. Tedy pro n = naše tvrzení platí. Dále předpokládáme, že pro n N platí s n = n a + a n. Z tohoto předpokladu musíme ukázat, že tvrzení platí pro n +. Pro s n+ dostaneme s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = n a + a n + an+. Pro n tý člen aritmetické posloupnosti platí a n = a + n d. Toto tvrzení dokážeme opět indukcí. Je zřejmé pro n = tvrzení platí. Předpokládejme, že platí pro n N. Člen a n+ je dán vztahem a n+ = a n + d = a + n d + d = a + nd. Tím je vztah a n = a + n d dokázán pro všechna n N. 5

6 Z výše odvozené relace pro s n+ dostaneme s n+ = n a + a + n d + a + nd = n + a + = n + a + a + nd = n + a + a n+. nn + d = Tím je uvedené tvrzení dokázáno pro všechna n N. Příklad 6. Mezi členy geometrické posloupnosti platí pro každé n N vztah a n+ = qa n, kde q je konstanta. Dokažte, že když q platí pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti vztah s n = n k= a k = a + a + + a n = a q n q. Důkaz provedeme matematickou indukcí. Pro n = má naše tvrzení tvar s = a = q a, a tedy platí. q Nyní předpokládáme, že tvrzení platí pro n N a z tohoto předpokladu dokážeme jeho platnost pro n +. Protože pro n + ní člen geometrické posloupnosti platí a n+ = a q n, dostáváme q n s n+ = a + a + + a n + a n+ = s n + a n+ = a q + a q n q n+ = a. q Příklad 7. Nechť f = arccotg a M =,. Najděte obraz množiny M při zobrazení f, tj. množinu fm. Funkce f = arccotg je inverzní funkcí k funkci cotg. Protože je funkce cotg klesající, je také funkce f = arccotg klesající. Navíc je funkce arccotg spojitá na celé, R. Proto je obraz intervalu M =, interval. Protože platí arccotg = π a pro velká záporná se hodnota funkce f = arccotg blíží k π, je obraz 4 množiny M roven fm = π/4, π. Příklad 8. Nechť má funkce f tvar f = a + b a platí f = a f3 = 5. Najděte f a f. 6

7 Nejprve určíme konstanty a a b. Z rovností f = b = a f3 = 3a + b = 5 dostaneme a = 7 3 a b =. Tedy f = 7 3. Odtud plyne f = 3 a f = 8 3. Příklad 9. Najděte funkci f tvaru f = a + b c, jestliže je f = 5, f = 3 a f4 = 9. Konstanty a, b a c musí splňovat soustavu rovnic f = a + b = 5, f = a + b c = 3, f4 = a + b c 4 = 9. Z této soustavy rovnic plyne a = 5 b, b c = 5, b c 4 = 75 = c4 c = c + = 5 = = c = 4 = c = ± c = c =, b = 5, a = = f = + 5. Příklad. Nechť má funkce f definiční obor D f =,. Najděte definiční obor funkce g = fln. Definiční obor funkce g určíme z podmínky < ln <. To znamená, že D g =, e. Příklad. Najděte z jako funkci a y, jestliže platí arctg z = arctg + arctg y. Podle definice platí pro každé R rovnost tg arctg =. Pro jednoduchost označme α = arctg a β = arctg y. Pak platí tg α = a tg β = y. Z definiční rovnice dostaneme z = tg arctg z = tgα + β = tg α + tg β tg α tg β = + y y. Příklad. Nechť je ϕ = sgn a ψ =. Najděte funkce ϕ ϕ = ϕ ϕ, ψ ψ = ψ ψ, ϕ ψ = ϕ ψ a ψ ϕ = ψ ϕ. V případě ϕ ϕ dostaneme pro > rovnost sgn sgn = sgn = ; pro = dostáváme sgn sgn = sgn = a pro < rovnost sgn sgn = sgn =. Tedy ϕ ϕ = ϕ. 7

8 V případě ψ ψ dostaneme ψ ψ = =,. / V případě ϕ ψ dostáváme pro > vztah ϕ ψ = sgn / = a pro < vztah ϕ ψ = sgn / =. Tedy ϕ ψ = sgn a definiční obor této funkce je R \ {}. V případě ψ ϕ je pro > ψ ϕ = a pro < je ψ ϕ =. Tedy ψ ϕ = sgn s definičním oborem R \ {}. Příklad 3. Najděte f, jestliže platí f =. + Označme y =. Pak je = y. Po dosazení do daného vztahu dostaneme + y y fy =. Tedy f = y. Příklad 4. Je funkce f = ln sudá nebo lichá? + Platí f = ln + = ln + = f. Funkce je lichá. Příklad 5. Najděte nejmenší periodu funkce f = sin + sin + 3 sin 3. Funkce f je součtem tří periodických funkcí f = sin, f = sin a f 3 = 3 sin 3. Jejich nejmenší periody jsou po řadě L = π, L = π a L 3 = 6π. Nejmenší perioda je nejmenší společný násobek těchto tří period. Tedy nejmenší perioda je L = 6π. Příklad 6. Najděte nejmenší periodu funkce f = cos + sin. Funkce f je součtem dvou periodických funkci f = cos a f = sin. Jejich nejmenší periody jsou L = π a L = π. Protože je iracionální číslo, neeistují přirozená čísla p a q taková, že p = q. Daná funkce není periodická. 8

9 Příklad. Najděte limitu lim n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 lim n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = lim n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že lim n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte lim n n n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy lim n n n 3 = 4. n + 4 n 4 n n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte lim n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy lim n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 9

10 n n Příklad 5. Určete lim n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme lim n n n 3 /3 n + n+8 = lim 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je lim, kde a >? n + an Pro a > je lim n an = +. Proto je pro a > lim n a n + a n = lim n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy lim 3 n Pro < a < je lim n an =. Proto je lim n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte lim n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! lim n n + =. lim n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte lim n 3n + 7. Tato limita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že lim n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá limitu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte limitu lim 4 n. n n

11 Jak by měl každý vědět, je tato limita rovna lim 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je lim? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že lim = e 6. n n Příklad. Najděte lim n ln +. n n Protože víme, že lim + n = e, dostaneme lim n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť lim α n = a lim β n = ±. n n βn Pak je lim + αn = ep lim α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale lim n + αn βn = ep lim n βn α n lim n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí lim n α n lim n βn + αn = ep lim α nβ n. n

12 Příklad 3. Najděte lim + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít lim lim + n n +3 n n 3 = e. + n n n n =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou lim n posloupnosti a n jsou body a. n = a lim n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má limitu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,.

13 Příklad. Najděte limitu lim n Daný výraz lze upravit na tvar n + 3n + 3n 8 lim n n 3 n + Cvičení 3 Limity posloupností n + 3n + 3n 8 n 3 n. + + /n3 + /n3 8/n = lim n /n + /n 3 = 8. n Příklad. Podle definice ukažte, že lim n n 3 + =. K danému ε > máme najít n N tak, aby pro každé n > n bylo Platí nerovnosti n n 3 + n n 3 = n n. Proto stačí zvolit n < ε. Tedy lze vzít jakékoliv n > ε. n n 3 + < ε. n + 4 n 4 Příklad 3. Najděte lim n n n 3. Daný výraz lze upravit na tvar n + 4 n 4 Tedy lim n n n 3 = 4. n + 4 n 4 n n 3 = 8n3 + 8n n 3 + 6n. Příklad 4. Najděte lim n n +! + n!. n +! n! Daný výraz lze například napsat ve tvaru n +! + n! n +! n! n +! + n! Tedy lim n n +! n! = n! n + n + n! n + n n = 4n + n + 4n. =. 3

14 n n Příklad 5. Určete lim n n+8 3 n+. Po zkrácení 3 n dostaneme lim n n n 3 /3 n + n+8 = lim 3n+ n 8 /3 n 3 = 3. a n Příklad 6. Kolik je lim, kde a >? n + an Pro a > je lim n an = +. Proto je pro a > lim n a n + a n = lim n Pro a = je daný výraz roven konstantě a n =, a tedy lim 3 n Pro < a < je lim n an =. Proto je lim n a n + a n =. a n + =. a n + a n = 3. 5n sin n! Příklad 7. Najděte lim n n +. Posloupnost sin n! je omezená, protože sin n!. Neboť 5n sin n! lim n n + =. lim n 5n n + =, je 5n cos n Příklad 8. Najděte lim n 3n + 7. Tato limita neeistuje. Je jednoduché ukázat, že lim n 3n + 7 = 5. Ale již není tak 3 snadné ukázat, že posloupnost a n = cos n nemá limitu. Přesto kdybyste se moc snažili, ukážete, že množina hromadných bodů této posloupnosti je celý interval,. Ale spíš si to jen pamatujte. 5n Příklad 9. Najděte limitu lim 4 n. n n 4

15 Jak by měl každý vědět, je tato limita rovna lim 4 n = e n n 4. Nedokazujte to, ale taky si příklady podobného typu spíš pamatujte. 3n+ n + 3 Příklad. Kolik je lim? n n Daný výraz lze upravit ne tvar 3n+ n + 3 = + 4 3n+. n n 3n+ n + 3 Tedy byste měli vědět, že lim = e 6. n n Příklad. Najděte lim n ln +. n n Protože víme, že lim + n = e, dostaneme lim n n n ln + =. n n Příklad. Dokažte, že platí následující věta: Nechť lim α n = a lim β n = ±. n n βn Pak je lim + αn = ep lim α nβ n. n n Daný výraz je typu. Proto jej upravíme na tvar βn + αn = e β n ln +α n = ep β n α n ln + α n. α n Pak je ale lim n + αn βn = ep lim n βn α n lim n ln + α n α n. Ale podle předchozího příkladu lze tušit toto tvrzení dokážeme později, že ln + α n =. Proto platí lim n α n lim n βn + αn = ep lim α nβ n. n 5

16 Příklad 3. Najděte lim + n n +3 n n 3. + Z předcházejícího příkladu plyne, že stačí najít lim lim + n n +3 n n 3 = e. + n n n n =. Tedy + Příklad 4. Určete hromadné body posloupnosti,, 4, 8, 7 8,..., n, n n,.... Tato posloupnost je složena ze dvou podposloupností těchto posloupností jsou lim n posloupnosti a n jsou body a. n = a lim n n a n n. Limity n n =. Tedy hromadné body Příklad 5. Najděte hromadné body posloupnosti a n = cos nπ. 3n Daná posloupnost je součtem dvou posloupností. První posloupnost 3 4 3n má limitu 3. Druhou posloupnost lze napsat ve tvaru cos nπ = n. Tato posloupnost má hromadné body ±. Proto jsou hromadné body dané posloupnosti rovny 5 a Příklad 6. Určete hromadné body posloupnosti, 3, 3, 4, 4, 3 4,..., n, n,..., n n,.... Posloupnost a n obsahuje všechna racionální čísla z intervalu,. Proto je množina hromadných bodů této posloupnosti celý interval,. 6

17 Cvičení 5 Derivace Příklad. Najděte derivaci funkce f = Funkci f lze zapsat ve tvaru f = Podle věty o linearitě derivace a známého vztahu n = n n je f = Příklad. Najděte derivaci funkce f = +. Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f =, snadno dostaneme + f = 4 +. Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = + ln. Pomocí věty o derivaci podílu získáme f = + ln = ln. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f =. Když napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln = + ln. Příklad 5. Najděte derivaci funkce f =. 7

18 Jestliže napíšeme funkci f ve tvaru f = e ln, získáme pomocí věty o derivaci složené funkce f = e ln ln + = ln +. Příklad 6. Najděte derivaci funkce f = ln arctg. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = arctg +. Příklad 7. Najděte derivaci funkce f = log + +. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = ln = + ln +. Příklad 8. Najděte derivaci funkce f = ln lnln. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = lnln ln. Příklad 9. Najděte derivaci funkce f = arcsin. Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = arccotg tg. 8

19 Podle věty o derivaci složené funkce a známých vzorců pro derivace je f = + tg cos = cos + sin =. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln. Funkci f přepíšeme do tvaru f = e ln. Podle věty o derivaci složené funkce dostaneme f = e ln ln = +ln ln. Příklad. Najděte derivaci funkce f = ln tg Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = = tg/ cos / sin3 sin cos sin 4 4 sin/ cos/ sin cos sin 3 = sin + cos sin 3 = sin 3. = cos sin. = sin + sin + cos sin 3 = Příklad 3. Najděte derivaci funkce f = cotg + ln sin. Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = cotg + sin + cos sin = sin sin = = cos sin = cotg. Příklad 4. Najděte derivaci funkce f = arctg + ln +. 9

20 Pomocí vět o derivacích postupně dostaneme f = arctg = arctg + + = arctg = + + = arctg +. + = Příklad 5. Najděte derivaci f funkce f = + arcsin +. V některých případech když hledáme derivaci funkce f v daném bodě, není třeba hledat derivaci v obecném bodě, ale určit derivaci pomocí definice. Například v tomto případě je f =. Tedy podle definice derivace je f = lim h [ + h + h + h arcsin h + h = + lim h arcsin ] = + h + h = + arcsin = + π 4. Jinak lze výpočet zjednodušit i jiným způsobem. Podle věty o derivaci součtu a součinu je f = + arcsin + + [ arcsin Protože v bodě = je + rovno a derivace funkce v tomto bodě omezená je f = + arcsin [ + arcsin + + ]. [ arcsin ] = = + π 4. + ] je Příklad 6. Nechť je D tzv. Dirichletova funkce, která je definována předpisem { pro iracionální D = pro racionální.

21 Najděte derivaci funkce f = D v bodě =. Protože funkce D není spojitá dokonce v žádném bodě, musíme se pokusit najít derivaci f pomocí definice. Podle ní je f = lim h fh f h = lim h h Dh h = lim h hdh. Protože platí hdh h, je tato limita rovna nule. Tedy f =. Příklad 7. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = e v bodě =. Pro je f = e = e. Tedy f + =. Pro je f = e = e. Tedy f =. Příklad 8. Najděte obě jednostranné derivace funkce f = 3 v bodě =. Derivace funkce f = 3 je v obecném bodě různém od nuly dána vztahem f = 3 /3. V bodě = není tato derivace definována. Proto raději určíme jednostranné derivace přímo z definice. Pro platí 3 f + h = lim = lim h /3 = +. h + h h + Pro platí f + = lim h 3 h h = lim h h /3 =. Příklad 9. Najděte derivaci f funkce f = sin pro a f =. Protože je lim f =, je funkce f v bodě = spojitá. Lze se tedy pokusit najít její derivaci. Derivace funkce f v obecném bodě je f = sin cos. Tato funkce ale nemá limitu v bodě =. Přesto je [ f = lim h sin h ] h h = lim h sin =. h h Tedy derivace funkce f = sin v bodě = eistuje a je rovna nule. Uvědomte si, že derivace této spojité funkce není v bodě = spojitá.

22 Cvičení 6 Diferenciály a geometrický význam derivace Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad. Najděte diferenciál df ; h, kde f = cosh +e a =. Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = + e = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh Tedy f = a df; h = h. + e. Příklad 3. Najděte diferenciál df ; h, kde f = =. cosh e + e 3 a Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = cosh f h. Protože platí f = e + e 3 = e cosh lne + e 3, je f = e cosh sinh lne + cosh Tedy f = 3 a df, h = 3h. e 3e 3. Příklad 4. Najděte diferenciál df ; h, kde f = sin + a = π.

23 Diferenciál df ; h funkce f v bodě je definován vztahem df ; h = f h. Protože platí f = sin + = e lnsin +, je Tedy f π/ = a dfπ/; h = h. f = sin lnsin + cos +. sin Příklad 5. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu.3. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = a = =.3. Potom je f = f = a f = ln. Tedy f = f = ln. Protože ln. =.6935 dostaneme.3 + ln.3. =.4. Příklad 6. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu ln.. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f = ln, = a = =.. Potom je f = f = a f =. Tedy f = f =. Tedy ln... Příklad 7. Pomocí diferenciálu najděte přibližně hodnotu 8. Pomocí diferenciálu lze pro hodnotu diferencovatelné funkce f v bodě přibližně psát f f + df ; = f + f = f + f. V našem případě zvolíme f =, = 8 a = =. Potom je f = f8 = 9 a f =. Tedy f = f 8 = 8. Tedy =

24 Příklad 8. Pro měření gravitačního zrychlení pomocí kyvů kyvadla se používá vztah g = 4π l, kde l je délka kyvadla, T je perioda kyvu kyvadla. Jak se odrazí T na hodnotě g relativní chyba δ při měření: a délky l; b periody T? Předpokládejme, že l a T jsou přesné hodnoty délky kyvadla a jeho periody. Pak je přesná hodnota gravitačního zrychlení g = 4π l. Jestliže měřením zjistíme délku kyvadla l = l + l, resp. periodu T = T + T l = l l a T = T T se nazývají absolutní chyba a veličiny δl = l a δt = T jsou relativní chyby, l T najdeme z daného vzorce zrychlení g = 4π l, resp. g = 4π l T T. Absolutní chyba nalezeného gravitačního zrychlení je g = g g = 4π l l, resp. g = g g = T T 4π l T 4π l T. Relativní chybu měření g pak definujeme jako δg = g. pomocí g diferenciálů pak dostaneme v prvním případě g = 4π T l tj. δg = δl. Ve druhém případě je g = 4π l T + T 4π l T 8π l T 3 T, tedy δg = δt. Obecně jestliže je znám vztah mezi dvěmi veličinami y = f a z měření veličiny určujeme pomocí tohoto vztahu veličinu y, dostaneme pro absolutní a relativní chyby vztahy y = f f = f + f f a δy = y y f f. Příklad 9. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = arccotg ln + ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = arccotg = π 4 a protože f = ln + + ln + ln / ln / + ln, 4

25 je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y π 4 =, neboli y = + π 4. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože f = ln, je f =. Tedy rovnice hledané tečny je y =, neboli y = +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = sin v bodě M = [ π;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = fπ = a protože platí f = e sin ln, je f = cos sin ln + sin. Tedy f π = lnπ. Rovnice hledané tečny je y = lnπ π, neboli y = lnπ + π lnπ +. Příklad. Najděte rovnice tečny ke grafu funkce f = cos cosh +3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané tečny je y = 3, neboli y = 3 +. Příklad 3. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = v bodě M = [ ;? ]. cosh + e 5

26 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh ln + e, je f = cosh sinh ln + cosh + e. Tedy f =. Rovnice hledané normály je y =, neboli y = +. Příklad 4. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = + π a protože platí f = 4 e lnsin +, je f = sin lnsin + cos +. sin Tedy f π/ = π. Rovnice hledané normály je π y π = π 4, neboli y = π + π Příklad 5. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = cos cosh + 3 v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = a protože platí f = e cosh lncos + 3, je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3. Tedy f = 3. Rovnice hledané normály je 3y =, neboli y = 3 +. Příklad 6. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = ln bodě M = [ /;? ]. v 6

27 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f/ = ln 3. Protože f = +, je f / = 8 3. Tedy rovnice hledané normály je 8 3 y = ln 3. y + ln 3 =, neboli Příklad 7. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = sin + 3 cos v bodě M = [ π/;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = fπ/ = a protože platí f = e lnsin + 3 cos, je f = sin lnsin + cos 3 sin. sin Tedy f π/ = 3. Rovnice hledané normály je 3y = π, neboli y = 3 + π 6. Příklad 8. Najděte rovnice normály ke grafu funkce f = 4 sin + 3 cos v bodě M = [ ;? ]. Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě je f y y =, kde y = f. V našem případě je y = f = 4 a protože platí f = e sin ln4 + 3 cos, je f = 4 sin cos ln4 4 sin 3 sin. Tedy f = ln 4. Rovnice hledané normály je ln 4 y 4 =, neboli y = ln Příklad 9. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4. 7

28 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být rovnoběžná s danou přímkou, jejíž směrnice je k = 4, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body [ ; y ], ve kterém je f = 3 + = 4. Z této rovnice najdeme = ±. Proto jsou body dotyku [; ] nebo [ ; 4]. Rovnice hledané tečny tedy jsou y = 4 nebo y + 4 = 4 +. Hledaná rovnice tečny je y = 4, která se grafu funkce dotýká ve dvou bodech [; ] a [ ; 4]. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = , která je kolmá na přímku 6y + =. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je dána rovnicí y y = f, kde y = f. Protože f je směrnice hledané tečny, která má být kolmá na danou přímkou, jejíž směrnice je k =, budeme hledat na grafu funkce 3 y = body [ ] ; y, ve kterém je f = = 3. Z této rovnice najdeme =. Proto je bod dotyku [ ; 3]. Rovnice hledané tečny tedy je y + 3 = 3 +, neboli y = 3 6. Příklad. Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá na přímku y =. Směrnice dané přímky je k p =. Protože hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být její směrnice rovna k t =. Protože směrnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je k t = f, musí pro platit rovnice f = =. Tedy bod dotyku je [; ln ]. Rovnice hledané tečny je tedy y ln =, neboli y = + ln. Příklad. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou + 4y =. Daná přímka má směrnici k p = 4. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály rovnoběžné s danou přímkou, musí pro bod platit f = 4 = 4. Z toho plyne = 4 a y = f = 5. Rovnice hledané normály je tedy y 5 = 4, neboli 4 y =

29 Příklad 3. Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá na přímkou y = + 4. Daná přímka má směrnici k p =. Přímka kolmá na tuto přímku má směrnici k =. Normála ke grafu funkce y = f v bodě má směrnici k n = f. Protože hledáme rovnici normály kolmé danou přímkou, musí pro bod platit f = =. Z toho plyne = a y = f =. Rovnice hledané normály je tedy y =, neboli y =. Příklad 4. Ke grafu funkce y = + 9 veďte tečny, které procházejí bodem [; ]. + 5 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ] ; y tak, aby přímka y y = f procházela bodem [; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je y = a f 4 =, budeme hledat + 5 řešení rovnice = 4 + 5, čili =. Její řešení jsou = 3 nebo = 5. Hledané body dotyku proto jsou [ 3; 3] nebo [ 5; 3/5]. Protože je f 3 = a f 5 =, dostáváme dvě tečny y 3 = + 3, neboli 5 y =, a y =, neboli y = 5 5. Příklad 5. Ke grafu funkce y = veďte tečny, které procházejí bodem [ ; ]. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě je y y = f, kde y = f. Naším úkolem je na grafu funkce y = f najít bod [ ; y ] tak, aby přímka y y = f procházela bodem [ ; ], tj. bod, pro který platí y = f. Protože je f =, musí splňovat rovnici =, čili =. Její řešení jsou = ±. Tedy hledané body dotyku jsou [ + ; ] a [ ; ]. Protože je f + = 3 + a f = 3, jsou rovnice hledaných tečen 9

30 y + = 3 +, neboli y = 3 + +, a y + + = 3 +, neboli y = 3. Příklad 6. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 =. Směrnice dané přímky je k p =. Proto musí být směrnice tečny rovna k t =. Budeme tedy na hyperbole hledat body [ ; y ] takové, aby y = f =. Předpokládejme, že jsme našli řešení y = y rovnice 7 y = 4. Jestliže derivujeme tuto rovnice, dostaneme v bodě vztah 4 4y y =. Hledané body dotyku [ ; y ] tedy musí proto splňovat vztahy 4 8y = a 7 y = 4. Řešení této soustavy rovnice nám dá dva body dotyku [4; 7] a [ 4; 7]. Eistují tedy dvě tečny s danými vlastnostmi: y 7 = 4, neboli y =, a y + 7 = + 4, čili y = +. 3

31 Cvičení 7 L Hospitalovo pravidlo, derivace vyšších řádů Příklad. Dokažte nerovnost sin sin y y. Uvažujme funkci f = sin. Protože je f = a f = cos, eistuje podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě číslo ξ,, pro které platí rovnost f f = sin = cos ξ. Protože je cos ξ dostaneme pro > nerovnost sin. Tedy pro platí nerovnost sin. Pomocí vztahu sin sin y = cos + y sin y dostaneme sin sin y = cos + y protože cos + y a sin y sin y y. sin y y, cosh cos Příklad. Najděte lim. Jde o limitu výrazu typu. Protože čitatel i jmenovatel jsou diferencovatelné funkce, lze použít l Hospitalovo pravidlo. Pomocí něj dostaneme cosh cos lim sinh + sin = lim. Limita je opět typu. Proto použijeme l Hospitalovo pravidlo ještě jednou a dostaneme cosh cos lim = lim sinh + sin = lim cosh + cos =. tg Příklad 3. Najděte lim sin. Jde o limitu typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Pomocí něj dostaneme lim tg sin = lim cos cos = lim cos cos lim cos = lim +cos =. 3

32 Příklad 4. Najděte lim cotg. Nejprve najdeme limitu lim cotg. Ta je typu. Ale lze psát lim cotg = lim cos sin = lim cos lim sin =. Proto je daná limita typu. Všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla jsou splněny. Proto je cotg lim cotg = lim sin sin cos = lim sin sin cos = lim 3 lim sin = lim = lim sin 6 = 3. = cos sin 6 = Příklad 5. Najděte lim cos sin. Jde o limitu typu. Protože jsou splněny všechny předpoklady pro použití l Hospitalova pravidla, je jej pro výpočet této limity možné použít. Ale při podrobnějším zkoumání daného výrazu, zjistíme, že se v něm proměnná vyskytuje pouze ve tvaru. Proto je možné zavést pomocnou proměnnou t = a zkoumat limitu cos t lim, pro kterou je použití l Hospitalova pravidla jednodušší. Dostaneme t + t sin t cos lim sin = lim cos t t + t lim t + t sin t = lim sin t t + t =. Příklad 6. Najděte lim arcsin arcsin 3. Jde o limitu typu. Všechny předpoklady l Hospitalova pravidla jsou splněny. 3

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Matematika II: Pracovní listy do cvičení

Matematika II: Pracovní listy do cvičení Matematika II: Pracovní listy do cvičení Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Příklady Integrální počet funkcí

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více