V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320.

Transkript

1 Domácí úkol č. 3 Řešení Pozn.: úhly, které se zdají být pravé, jsou ve všech obrázcích opravdu pravé. 1. Z kartonu je třeba vyříznout čtverce v rozích, viz obr. 1 a přehnout podle přerušovných čar. Krabice tak bude mít objem V = abc, přičemž platí b + c = 30 a a + c = 50. Chceme zjistit při jakém odřezku bude objem výsledné krabice maximální, proto se budeme snažit vyjádřit objem V jako funkci rozměru odřezku c. Vyjádříme tedy a a b a dosadíme: V (c) = (30 c)(50 c)c = 1500c 160c + c 3. Zderivujeme a položíme rovno 0: Řešením této kvadratické rovnice je: V (c) = c + 1c = 0. c 1, = 0 ± Ani jeden z kořenů není záporný, takže oba dva vypadají použitelně. Prověřme je druhou derivací: V (c) = c 30. Po dosazení dostaneme (i bez kalkulačky!), že v c 1 má V minimum (což nechceme!) a v c maximum. Je tedy třeba vyříznout čtverce, každý o obsahu c =36, 83 (tady už kalkulátor použít můžete). Obrázek 1: Úloha 1 1

2 Obrázek : Úloha. Románské okno se skládá z obdélníku a půlkruhu, jehož průměr je roven základně obdélníku. (viz obr. ). Rám bude tvořit obvod takového útvaru, potáhne se tedy po třech stranách obdélníku a po půlkružnici. Plocha okna bude součtem obsahu obdélníku a půlkruhu. 00 = o = b + a + π a ) = ab + π a S = ab + 1 ( a π 8 Chceme zjistit při jaké šířce a bude obsah S maximální, proto vyjádříme S jako funkci a. Z obvodu snadno vyjádříme a dosadíme do obsahu: b = 100 a π a S(a) = 100a a π a + π a a = 100a 8 π a 8. Zderivujeme a položíme rovno 0: S (a) = 100 a π a = 0.

3 Řešením této rovnice je a = 100 π =56, Druhá derivace je konstantní a hlavně záporná, takže se opravdu jedná o maximum. Požadovaná šířka okna je tedy přibližně 56,01 palců. 3. Objem a povrch válce jsou V = 50π = πr v, S = πr + πrv. Chcem zjistit pro jaké rozměry (v a r) bude mít plechovka nejmenší povrch. Můžeme tedy vyjádřit povrch S jako fukci v nebo funkci r. Já jsem zvolil r, protože v se ze vzorce pro objem vyjádří snadněji: v = 50 r, kterou dosadíme do vzorce pro povrch, zderivujeme a položíme rovno 0: S (r) = πr 500πr = 0. Řešením této rovnice je r = 5. Druhá derivace povrchu je S (r) = π πr 3, což je v r = 5 kladné a jedná se tedy o minimum. Zbývá dopočítat výšku plechovky: v = 10. Požadovaná plechovka má tedy výšku 10 a poloměr podstavy 5 cm (do ruky dost nepraktická).. Nejkratší cesty vedou po přímkách a proto i náš vrabec poletí po přímkách, i když hrozí, že si trochu natluče (viz obr. 3). Jeho dráha s má tedy dvě části v z větve k žížale a p od žížaly na plot. Obě dvě časti tvoří přepony pravoúhlých trojúhelníků a proto je můžeme k jejich vyjádření pomocí x použít Pythagorovu větu: v = 3 + (15 x) = 3 30x + x, p = 1 + x. Sečtením obou dílčích vzdáleností dostaneme: s(x) = v + p = 3 30x + x x. Chceme zjistit, při jaké vzdálenosti sezobnuté žížaly od plotu (x) bude celková dráha (s) co nejkratší. Funkce s(x) je tedy přesně to, co potřebujeme a můžeme derivovat a položit rovno 0: s x 30 (x) = 3 30x + x + x 1 + x = x 15 + x = x + x 1 + x 3

4 Obrázek 3: Úloha Kladným řešením této rovnice je x = 15/ = 3, 75. Druhá derivace s 9 (x) =... = (3 30x + x ) (1 + x ) 3 je všude kladná, tedy i v našem x, které je tak opravdu minimum. Vrabec tedy sezobne žížalu ve vzdálenosti 3,75 m od plotu. 5. Mokrá část kanálu je v obr. vyznačena tučně. Označme ji o. Máme zjistit při jakém úhlu φ (v obrázku vyznačen obloučky) bude o minimální. Proto se budeme snažit o vyjádřit jako funkci závislou na ϕ. Známe obsah a hloubku (výšku) kanálu. Pokud si základny lichoběžníku označíme a a b a ramena c, pak platí: o = c + a, (a + b)v S = = a c = = a + b v sin ϕ = sin 1 ϕ. Poslední rovnost platí díky tomu, že c je přepona pravoúhlého trojúhelníku s úhlem ϕ proti odvěsně v = 1. Vyjádřené c můžeme rovnou dosadit do vztahu pro o, zbývá nám ještě nahradit a něčím s ϕ. Obrázek : Úloha 5

5 Všimněte si, že základna b je delší než základna a jen o dva cancoury, které jsou zároveň odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku. Tyto cancoury mají tedy délku vcotg ϕ = cotg ϕ. Můžeme tedy za b dosadit a + cotg ϕ, vyjádřit a ze vzorce pro S a dosadit do o: = Zdrivujme a položme rovno 0: a + cotg ϕ a = cotg ϕ, = a + cotg ϕ, o(ϕ) = sin 1 ϕ + cotg ϕ. o (ϕ) = sin ϕ cos ϕ + sin ϕ = 1 cos ϕ sin ϕ = 0. Zlomek může být nulový pouze, když je nulový čitatel máme tedy rovnici cos ϕ = 1/, jejímž řešením je ϕ 1 = π/3 + kπ a ϕ = π/3 + kπ neboli ϕ 1 = 60 + k360 a ϕ = 60 + k360 = k360. Ověřme druhou derivací, zda se opravdu jedná o minima. o (ϕ) = sin ϕ sin ϕ (1 cos ϕ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ sin ϕ Do znaménka druhé derivace tedy promlouvá pouze sinus a ten je ve ϕ 1 kladný a ve ϕ záporný. Požadovaný úhel je tedy 60 (úhly s přičtenou periodou jsou vlastně tytéž). Obrázek 5: Úloha 6 6. Zbytek po vyříznutí kruhové výseče o úhlu α (obr. 5) stočíme do pláště kuželu (obr. 6). Potřebujeme vyjádřit objem tohoto kuželu jako funkci 5

6 Obrázek 6: Úloha 6 úhlu α. Délka obvodu podstavy vzniklého kuželu je o = (π α)r = 10(π α). Poloměr podstavy kuželu s je tedy roven: s = o (1 π = 10 α ) = 10 5α π π. Výšku kuželu spočteme z Pythagorovy věty: v = ( 100 s = α ) α = 5 π π α π Dosad me do vzorce pro objem: V (α) = 1 3 πs v = 1 3 π ( 10 5α π V (α) = 5π ( α ) ( 5 ) α 3 π ) π α + 5π 3 ( 10 5α π α π π α π ) 5 π α π + 50 = 3 + 5π 6 ( 10 5α 3 ( 10 5α π Tato rovnice se dá upravit na: ( 10 5α ) ) (3 α π π 1α π + α π α π = 0. ) α π α π + ) π α π α π α π = 0 Z prvního činitele dostaneme kořen α 1 = π, který je ovšem nesmyslný (proč?) a proto nás nezajímá. V druhém činiteli si všimněte, že π je má všech členech shodný exponent s neznámou α. Řešení této rovnice budeme proto hledat ve tvaru πp (provedeme substituci α = πp, navíc by to šlo i bez substituce, jen by se počítalo i s π). Takže řešíma snadnou kvadratickou rovnici 3p 1p + = 0. 6

7 Jejím řešením jsou p 1, = ± /3 6. Takže α,3 = ( ± /3 6)π. Úhel α je větší než π a proto také nevyhovuje. Ověřit extrémy doporučuju spíše z nerovnice než z druhé derivace. Nicméně α 3 = ( /3 6)π je opravdu maximum. Je tedy třeba vystřihnout výseč o úhlu ( /3 6)π. Obrázek 7: Úloha 7 7. Chceme vědět jaké rozměry bude mít obdélník s nejmenším obsahem. Takže chceme vyjádřit obsah S jako funkci některého z rozměrů a nebo b. Z obr. 7 vidíme, že můžeme použít Pythagorovu větu na pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a/ a b a přeponou r odtud vyjádříme libovolný z rozměrů a či b. Já jsem vyjádřil b: b = r a. Dosad me do vzorce pro obsah: S(a) = a r a, zderivujme (r je konstantní, takže se zderivuje na 0) a položme rovno 0: S (a) = r a + a a = r a r a = 0. a r a Rovnice vypadá hrůzně, ale po několika elementárních úpravách dostaneme: a = r, což je radost hračka: a = r (záporný kořen nevyhovuje). Zbývá ověřit, že se opravdu jedná o maximum a dopočítat b. a r a S a + a q a r (a) = a r a 16(r a ) 7

8 Obrázek 8: Úloha 8 Po dosazení a = r (vlastně ani není nutné oba sčítance jsou jasně záporné) vyjde záporný výsledek, takže se opravdu jedná o maximum. Požadovaný obdélník má tedy rozměry a = r a b = r/. 8. Potřebujeme vyjádřit objem válce V jako funkci libovolného z jeho rozměrů r či v. Na obr 8 vidíme, že k tomu můžeme opět použít Pythagorovu větu, podobně jako v minulé úloze. Tentokrát máme dokonce na výběr, který trojúhelník použít lze požít také (nevyznačený) trojúhleník se stranami R-r-v/. Vyjádřeme tedy jeden z rozměrů, já jsem si vybral poloměr r, protože ten (narozdíl od výšky) nebudu potřebovat odmocnit. r = R v Dosad me do objemu, zderivujme (R je konstanta číslo) a položme rovno nule. V (v) = π(r v )v = πr v π v3 V (v) = πr 3 πv = 0 Řešením rovnice je v = 3R (záporný kořen nevyhovuje). Ověřme, že se opravdu jedná o maximum: V (v) = 3πv. Po dosazení dostaneme záporné číslo, takže se opravdu jedná o maximum. Rozměry požadovaného válce jsou tedy v = 3 R r = 3 R. 8

9 Obrázek 9: Úlohy 9 a Potřebujeme vyjádřit obsah lichoběžníka jako funkci (délky) základny b (a konstanty a), jinými slovy vyjádřit výšku v pomocí b (a a). To se nám podaří z pravoúhlého trojúhelníka u jednoho z ramen (viz obr. 9): S(b) = S (b) = 1 a v = (a + b)v (b a) a (b a). = 1 (a + b) a + (a + b) = 1 a (b a) (b a) a (b a) (b a) = + b a = 0 a (b a) Tato rovnice se podobně jako rovnice v úloze 7 dá upravit na mnohem hezčí tvar: b a b a = 0. Řešením této rovnice je b = a (druhý kořen opět nevyhovuje) a je to opravdu maximum (ověřte!). Požadovaný lichoběžník musí mít tedy větší základnu dvojnásobnou. 10. Tentokrát vyjádříme totéž (obsah lichoběžníka) ale pro změnu jako funkci úhlu ϕ (který je v obr. 9 vyznačen obloučkem). Potřebujeme pomocí tohoto úhlu vyjadřit délku základny b a výšku v pomůže nám v tom opět tentýž trojúhelník jako v předchozí úloze. S(ϕ) = (a + b)v v = a sin ϕ b = a + a cos ϕ = 1 (a + a + a cos ϕ) a sin ϕ = a sin ϕ(1 + cos ϕ) S (ϕ) = a cos ϕ(1 + cos ϕ) a sin ϕ sin ϕ = a ( cos ϕ + cos ϕ 1) = 0 9

10 Obrázek 10: Úloha 11 Rovnici řešíme substitucí t = cos ϕ, vyjdou t 1 = 1/ a t = 1. Pro t 1 vyjde ϕ 1 = π/3(+kπ) a ϕ = π/3(+kπ). Pro t vyjde ϕ 3 = π(+kπ). Body ϕ a ϕ 3 nevyhovují a můžeme je vyloučit už ted (proč nevyhovují). Je třeba ověřit, jestli ve ϕ má S opravdu maximum S (ϕ) = a ( cos ϕ sin ϕ + sin ϕ) V bodě ϕ 1 vyjde druhá derivace záporná, vše je tedy v pořádku. Hledaný úhel je π/ Potřebujeme vyjádřit obsah S jako funkci jeho libovolného rozměru b či c. Všimněte si, že pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a/ a v a pravoúhlý trojúhelník se odvěsnami (a b)/ a c jsou si podobné (podle věty uu). To nám pomůže vyjádřit závislost rozměrů obdélníka. a b c v = a c = (a b)v a (a b)v S(b) = bc = b = bv b v a a S (b) = v bv a = 0 Tato rovnice má řešení b = a/. Druhá derivace obsahu je záporná konstanta, takže je to opravdu maximum. Rozměry požadovaného obdélníka jsou b = a/ a c = v/. 10