16. Goniometrické rovnice

Transkript

1 @ Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny úhly v obloukové nebo stupňové míře, které zadané rovnici vyhovují. Poznámka: Příklady goniometrických rovnic cos x = / sin x = 3,5 sinx - sin4x = sin6x Rovnice x + 3 = sin je lineární, rovnice sin x = x je transcendentní. Poznámka: Jako u všech rovnic je i u goniometrických rovnic nedílnou součástí řešení zkouška. Vzhledem k technickým problémům ji nebudeme v této části kurzu provádět. Neznamená to ale, že by neměla být provedena. Poznámka: Goniometrické rovnice z hlediska řešení můžeme rozdělit do pěti skupin. Následující text probere jednotlivé skupiny zvlášť. Úmluva: Budeme-li chtít zformulovat nějaké tvrzení o goniometrických rovnicích, které nebude závislé na konkrétní goniometrické funkci, budeme ji nahrazovat jedním písmenem. Například: I. Základní typ f(x) = a, a R znamená některou rovnici z těchto sin x = a, cos x = a, tg x = a, cotg x = a Příklad: Řešte rovnice sin x = 0, cos x = 0 Řešení: Z průběhu grafů obou funkcí víme, že sin x = 0 <=> x = k resp. x = k180 o kde k C (k je libovolné celé číslo) cos x = 0 <=> x = / + k resp. x = 90 o + k180 o, kde k C pokračování

2 @01 Řešte rovnice a) sin x = - / pomocný úhel = /4 známe zpaměti partikulární řešení 3 = + /4 = 5 /4 sin je záporný v 3. kv. 4 = - /4 = 7 /4 a ve 4. kv. obecné řešení x 1 = 5 /4 + k přidáme jen k násobek periody x = 7 /4 + k b) cos x = 3/ pomocný úhel = /6 známe zpaměti partikulární řešení 1 = 5 /4 cos je kladný v 1. kv. 4 = - /6 = 11 /6 a ve 4. kv. obecné řešení x 1 = /6 + k přidáme jen k násobek periody x = 11 /6 + k c) cotg x = - 3/3 pomocný úhel = /3 známe zpaměti partikulární řešení = - /3 = /3 tg je záporný ve. kv. obecné řešení x 1 = /3 + k přidáme jen k násobek periody d) cos x = - nemá řešení pokračování

3 @04 III. typ af (x) + bf(x) + c = 0, a,b,c R a 0 Substitucí z = f(x) převedeme řešení 3. typu na řešení kvadratické rovnice. Její řešení, pokud existuje, označme z 1, z. Zpětná substituce představuje řešení základního typu goniometrických rovnic Příklad: Řešte rovnici cos x - cos x - 1 = 0 Řešení: substituce cos x = z vede k rovnici z - z - 1 = 0 f(x) = z 1 a f(x) = z Řešení kvadratické rovnice je z 1 = 1 a z = - 1/ Zpětná substituce vede ke dvěma základním goniometrickým rovnicím cos x = 1 cos x = -1/ obecné řešení původní rovnice x 1 = k x = /3 + k x 3 = 4 /3 + k Úkol: Řešte rovnici cos x = 3 sin x výsledek

4 @07 Nyní případ, kdy jsou všechny tři koeficienty jsou různé od nuly. B. a cos x + b sin x + c = 0, a,b,c R\{0} Tento typ se řeší substitucí (ano je umělá, ale vede k cíli a tak buďme rádi, že ji někdo kdysi objevil a nám předal): Nejprve hledáme pomocný úhel t (0; ), pro který platí tyto dvě základní rovnice: sin t a a b cost Čísla na pravých stranách jsou mezi -1 a 1, součet jejich druhých mocnin je 1, a tedy úhel t vždy existuje. POZOR NA ZNAMÉNKA Další postup: Rovnici vydělíme (a +b ) 0 a cos x + b sin x + c = 0 a b b a a b cos x a b b a c b Dále použijeme pomocný úhel t a součtový vzorec c sin t cos x cost sin x a b c sin( x t) a b Tím jsme převedli typ IV na typ II, který už umíme řešit. Příklad: Řešte rovnici 3 cosx + sin x = 1 Řešení: a = 3 b = 1 => (a +b ) = Hledáme úhel t sin t = 3/ cos t = 1/ Podle znamének je úhel t v 1. kvadrantu a podle hodnot jde o t = 60 o Zadanou rovnici vydělíme a zavedeme substituci sin 60 o cos x + cos 60 o sin x = 1/

5 Dostali jsme goniometrickou rovnici. typu sin (x + 60 o ) = 1/ substituce obecné řešení řešení zadané rovnice z = x + 60 o z 1 = 30 o + k360 o z = 150 o + k360 o x 1 = -30 o + k360 o = 330 o + K360 o x = 90 o + k360 o Úkol: Řešte rovnici sinx - cosx = 1 výsledek

6 @11 Řešte rovnice a) sin x + sin x + sin 3x + sin 4x = 0 Použijeme dvakrát vzorec pro součet sinů sin(3x/) cos(x/) + sin(7x/) cos(x/) = 0 rovnici podělíme a vytkneme co se dá [sin(3x/) + sin(7x/)] cos(x/) = 0 a na výraz v závorce použijeme opět vzorec pro součet sinů sin(5x/) cos(-x) cos(x/) = 0 Původní úloha se převádí na tři rovnice II.typu sin(5x/) = 0 => x = k cos(-x) = 0 => x = / + k cos(x/) = 0 => x = + k b) (sin x - cos x) = sin x cos x sinx cosx + sin x = sin x cos x sinx cosx = 0 cosx (cosx - sinx) = 0 tedy cos x = 0 => x = 90 o + k180 o tg x = 0,5 => x = 6 o 34' + k180 o c) 3 sin x = sin x sin x - sin x - 1 = 0 kvadratická rovnice má řešení {1; -1/3} sin x = 1 => x = 90 o + k360 o sin x = -1/3 => x = 199 o 8' + k360 o x = 340 o 3' + k360 o Úkol: Řešte rovnice

7 a) (tg x + 1)(tg x + 5) = 1 b) cos x + sin x = 9/8 c) sin x + cos x = 0 výsledek

8 @199 I. Základní typ f(x) = a, a R Řešení tohoto typu goniometrické rovnice můžeme zcela formalizovat (vyrobit kuchařku), a proto je musí umět každý středoškolák řešit. Definice: Definujme pomocný úhel rovnice f(x) = a jako úhel z I.kvadrantu <0; />, pro který platí f( ) = a. Partikulární řešení goniometrické rovnice f(x) = a je takový úhel funkce f, pro který platí f( ) = a. <0; p), kde p je perioda Obecné řešení goniometrické rovnice f(x) = a jsou všechny úhly tvaru x = + kp, kde p je perioda funkce f a k je libovolné celé číslo a jsou postupně všechna partikulární řešení. Obecný postup při řešení základního typu goniometrických rovnic dává následující tabulka. Pro určení pomocného úhlu slouží především hodnoty, které musíme znát zpaměti (uplatní se ve školní praxi), dále pak tabulky a kalkulačky. Základní goniometrické rovnice 1 podmínka řešitelnosti pomocný úhel 0; resp. 0 ;90 sin x a cos x a tg x a cotg x a a 1 řešení neexistuje řešení existuje vždy a 1 řešení existuje sin a cos a tg a cotg a a 0 I I I I 3 partikulární řešení II IV a 0 III II II II IV III

9 a 0 x I k 1 x1 I k x1 I k x1 I k 4 obecné řešení x II k x IV k k - celé číslo a 0 x III k 1 x1 II k x1 II k x1 II k x IV k x III k pokračování

10 @0 II. typ f(ax+b) = c, a,b,c R a 0 Substitucí z = ax+b převedeme řešení. typu na základní typ f(z) = c. Po jeho vyřešení provedeme nou substituci. Příklad: Řešte rovnici sin(3x + /3) = / Řešení: substituce z = 3x + /3 převede zadanou rovnici v rovnici sin(z) = / pomocný úhel = /4 známe zpaměti partikulární řešení 1 = /4 sin je kladný v 1. kv. = - /4 = 3 /4 a ve. kv. obecné řešení z 1 = /4 + k přidáme jen k násobek periody z = 3 /4 + k obecné řešení původní rovnice dostaneme řešením lineárních rovnic 3x 1 + /3 = /4 + k => x 1 = - /36 + k /3 3x + /3 = 3 /4 + k => x = 5 /36 + k /3 Úkol: Řešte rovnice a) sin x = - 3/ b) sin( /3 - x) = 1/ c) tg(x /6) = - 3 d) cotg(3 / - 6x) = 1 výsledek

11 @05 Řešte rovnici cos x = 3 sin x Řešení: protože cos x = 1 - sin x převedem rovnici na sin x + 3 sinx - = 0 substituce t=sinx vede ke kvadratické rovnici s kořeny 1/ a - ná substituce vede ke dvěma základním goniometrickým rovnicím sin x = 1/ sin x = - z nichž druhá řešení nemá. Obecné řešení původní rovnice je x 1 = 30 o + k360 o a x = 150 o + k360 o pokračování

12 @08 Řešte rovnici sinx - cosx = 1 Řešení: a = -1 b = 1 => (a +b ) = Hledáme úhel t sin t = -1/ = - / cos t = 1/ = / Podle znamének je úhel t v 4. kvadrantu a podle hodnot jde o t = 315 o Zadanou rovnici vydělíme a zavedeme substituci sin 315 o cos x + cos 315 o sin x = / Dostali jsme goniometrickou rovnici. typu sin (x o ) = / substituce obecné řešení řešení zadané rovnice z = x o z 1 = 45 o + k360 o z = 135 o + k360 o x 1 = -70 o + k360 o = 90 o + K360 o x = -180 o + k360 o = 180 o + K360 o pokračování

13 @10 Řešte rovnice a) cos x - sinx cosx + sin x = 0 Rovnici buď převedeme na kvadratickou rovnici III. typu nebo poznáme, že jde o známý vzorec (cos x - sin x) = 0 což vede k rovnici tg x = 1 => x = 45 o + k180 o b) cos x + 3 sinx cosx + 3 sin x = 0 totéž jako výše (cos x + 3 sin x) = 0 což vede k rovnici tg x = - 3/3 => x = 150 o + k180 o c) sin( /3 + x) - sin x = 1/ Použijeme součtové vzorce sin( /3) cos x + cos( /3) sin x sin x = 1/ 3/ cos x 1/ sin x = 1/ což je IV.typ a = 3/ b = -1/ => (a +b ) = 1 Hledáme úhel t sin t = 3/ cos t = -1/ Podle znamének je úhel t v. kvadrantu a podle hodnot jde o t = 10 o Zavedeme substituci sin 10 o cos x + cos 10 o sin x = 1/ Dostali jsme goniometrickou rovnici. typu sin (x + 10 o ) = 1/ substituce obecné řešení řešení zadané rovnice z = x + 10 o z 1 = 30 o + k360 o z = 150 o + k360 o x 1 = -90 o + k360 o = 70 o + K360 o x = 30 o + k360 o Úkol: Řešte rovnice a) sin x + sin x + sin 3x + sin 4x = 0 b) (sin x - cos x) = sin x

14 c) 3 sin x = sin x + 1 výsledek

15 @00 Příklad: Řešte rovnice a) cos x = -0,5 b) sin x = 3 c) tg x = 3 Řešení: a) cos x = -1/ pomocný úhel = 60 o známe zpaměti partikulární řešení = 180 o 60 o = 10 o cos je záporný v. kv. 3 = 180 o + 60 o = 40 o a ve 3. kv. obecné řešení x 1 = 10 o + k360 o přidáme jen k násobek periody x = 40 o + k360 o b) sin x = 3 nemá řešení, protože funkční hodnoty jsou pouze v intervalu <-1; 1> c) tg x = 3 pomocný úhel = /3 známe zpaměti partikulární řešení 1 = /3 tg je kladná v I. kv. obecné řešení x = /3 + k Úkol: Řešte rovnice a) sin x = - / b) cos x = 3/ c) cotg x = - 3/3 d) cos x = - výsledek

16 @03 Řešte rovnice a) sin x = - 3/ substituce obecné řešení z = x z 1 = 4 /3 + k z = 5 /3 + k x 1 = /3 + k x = 5 /6 + k b) sin( /3 - x) = 1/ substituce obecné řešení z = /3 - x z 1 = /6 + k z = 5 /6 + k x 1 = / - k = /3 + K x = - /6 - k = -p/6 + K = 11 /6 + L Je jedno jakým písmenkem označíme celé číslo k, K, L, vždy jde o všechny celočíselné násobky periody. c) tg(x /6) = - 3 substituce z = x /6 obecné řešení z 1 = /3 + k x 1 = 5 /1 + k d) cotg(3 / - 6x) = 1 substituce obecné řešení z = 3 / - 6x z 1 = /4 + k x 1 = 5 /4 - k pokračování

17 @06 IV. typ a cos x + b sin x + c = 0, a,b,c R a,b 0 Postup řešení je závislý na tom, je-li c nulové či nikoli. A. a cos x + b sin x = 0, a,b 0 Obecné řešení: Kořeny rovnice x 0 jsou jistě takové, že funkční hodnota cos x 0 je určitě různá od nuly. Kdyby totiž platilo cos x 0 = 0, pak sin x 0 = 1. Zkouška: L = a cos x 0 + b sin x 0 = 1 0 = P ukazuje, že cos x 0 0. Zadanou rovnici podělíme cos x, a zadanou rovnici převedeme do tvaru tg x sin x cos x b a což je základní goniometrická rovnice, jejíž postup řešení byl již popsán. Příklad: Řešte rovnici cos x - sin x = 0 Řešení: cos x = sin x 1 = tg x Obecné řešení x = 45 o + k180 o pokračování

18 @09 V. typ všechny ostatní Postup řešení: Kuchařku, jako v předchozích případech, uvést nemůžeme. Co můžeme je popsat zásady postupu. Tady je prostor pro individuální nápady, umění a trocha štěstí. Zásady: 1) Jsou-li v argumentech různé násobky neznámé, snažíme se pomocí vzorců převést všechny argumenty na jeden z nich. ) Pomocí vzorců se snažíme převést všechno na jednu goniometrickou funkci nebo na jeden z dříve uvedených typů. 3) Snažíme se rovnici rozložit na součin roven nule a pak řešit dvě či více jednodušších rovnic. 4) Vždycky lze převést jakoukoli goniometrickou rovnici pomocí následující substituce na polynomickou rovnici pro t x o t tg x (k 1) 180 kdy dosazujeme za sin x t 1 t cos x 1 1 t t tg x t 1 t cotg x 1 t t Otázkou zůstává, zda-li jsme vzniklou polynomickou rovnici obvykle vyššího řádu schopni vyřešit. Příklad: Řešte rovnici sin x - cos x = cos 3x - sin 3x Řešení: Známe vzorce pro součet a rozdíl sinů resp. kosinů sin x + sin 3x = cos x + cos 3x 5x x 5x sin cos( ) cos cos( x ) Funkce cos je sudá, proto znaménka v argumentech můžeme jednoduše zaměnit. Vše převedeme na jednu stranu a stejné členy vytkneme před závorku. x 5x cos (sin 5x cos ) 0 Součin se rovná nule, právě když se nule rovná některý činitel. Dostáváme tedy dvě rovnice: 1) II.typ cos(x/) = 0 => x = 180 o + k360 o ) IV.typ A sin(5x/) cos(5x/) = 0

19 čili tg(5x/) = 1 => x = 18 o + k7 o Úkol: Řešte rovnice a) cos x - sinx cosx + sin x = 0 b) cos x + 3 sinx cosx + 3 sin x = 0 c) sin( /3 + x) - sin x = 1/ výsledek

20 @1 Řešte rovnice a) (tg x + 1)(tg x + 5) = 1 Roznásobením a úpravou dostaneme kvadratickou rovnici s řešením {1; -7} tg x + 6 tgx - 7 = 0 tg x = 1 => x = 45 o + k180 o tg x = -7 => x = 98 o 08' + k180 o b) cos x + sin x = 9/8 Použijeme vzorec pro dvojnásobný úhel cos x - sin x + sin x = 9/8 a změnu cos na sin 1 - sin x - sin x + sin x = 9/8 16 sin x - 8 sin x + 1 = 0 což vede ke kvadratické rovnici s jedním dvojnásobným kořenem {1/4} sin x = 0,5 => x = 14 o 9' + k360 o x = 165 o 31' + k360 o c) sin x + cos x = 0 změna sin na cos vede ke kvadratické rovnici se dvěma kořeny {1- ; 1+ } cos x cosx - 1 = 0 cos x = 1 + > 0 => neexistuje řešení cos x = 1 - = - 0,4141 => x = 114 o 8' + k360 o x = 45 o 3' + k360 o KONEC LEKCE