Slovní úlohy vedoucí na kvadratické rovnice

Transkript

1 4..0 Slovní úlohy vedoucí na kvadratické rovnice Předpoklady: S druhou mocninou souvisí plochy, proto se mnoho slovních úloh vedoucích na kvadratické rovnice týká ploch. Př. : Obdélníková garáž má plochu rozměry garáže. 4 m, jedna její strana je o m delší než druhá. Urči Označíme si délky stran: první strana... druhá stran... + (je o m delší) S ab 4 Plocha = = ( + ) = získali jsme rovnici + = 4 / 4 + = = 0 ( + 6)( 4) = 0 rovnice má dvě řešení = 6 (zřejmě nemá reálný význam), = 4 m délka druhé strany + = 6 m Garáž má rozměry 4 m 6m. Př. : Obdélníkový pozemek má jednu stranu o polovinu delší než druhou. Urči jeho rozměry, jestliže má plochu 96 a. První strana... Druhá strana...,5 (o polovinu delší než první strana) Plocha pozemku... S = ab =, 5 = 9600,5 = 9600 / 3 = 9 00 / : 3 = a = 9600 m = 6400 m = 80 m = 6400 m = 80 m v realitě nemá význam. Druhá strana:,5 =,5 80 m = 0 m. Obdélníkový pozemek má rozměry 80 m 0 m. Př. 3: Jedna ze základen lichoběžníku je pětinu větší než jeho výška, druhá je větší o cm. Urči rozměry lichoběžníku, pokud je jeho plocha 5 cm. Velikost výšky v První základna 6 v + v = v 5 5 Druhá základna v +

2 6 v + v + v ( a + c) v 5 Obsah lichoběžníku: S = = = 5 / 30 5 v + v = 30 / 30 5 v + v = 30 0 / 5 5 v + v = v + 5v 50 = 0 b ± b ac 5 ± ± ± 4 5 5, a = = = 0 = = = Rozměry lichoběžníku jsou a = cm, c = cm, v = 0 cm. Př. 4: Pravoúhlý trojúhelník má obvod 4 cm a přeponu o délce 0 cm. Urči délku jeho odvěsen. Zapíšeme délky stran: přepona... 0 cm. odvěsna.... odvěsna = 4. Trojúhelník je pravoúhlý pro délky stran platí Pythagorova věta Dosadíme: + 4 = = 00 / = 0 / : = 0 b ± b 4ac 4 ± ± 4 4 ±, a = = = 8 druhá strana: 4 = 4 8 cm = 6 cm. 4 = = = 6 druhá strana: 4 = 4 6 cm = 8 cm. Odvěsna trojúhelníka mají délky stran 8 cm a 6 cm, a + b = c. Dodatek: Při řešení předchozího příkladu jsme nerozlišovali větší a menší stranu, proto nám vyšly obě varianty už z kvadratické rovnice.

3 Př. 5: Když jsme poloměr kruhu zvětšili o cm, zvětšil se jeho obsah o poloměr kruhu před zvětšením. 40 π cm. Urči Původní kruh: poloměr r obsah Zvětšený kruh: poloměr S = π r r + obsah S = ( r + ) Obsah kruhu se zvětšil o 40 π S = S + 40π r r π + = π + 40π π r + 4r + 4 = π r + 40π π r + 4rπ + 4π = π r + 40 π / π r 4π 4rπ = 36 π / : 4π 36π r = = 9 cm 4π Poloměr kruhu před zvětšením byl 9 cm. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad záměrně nevede na kvadratickou rovnici. Jde v něm i o pro žáky nezvyklé počítání s násobky π. v v π Př. 6: Cena pamětí do počítače během roku dvakrát klesla o stejné procento tak, že se z 500 Kč snížila na 3757 Kč. O kolik procent se cena snižovala? Původní cena 500 Cena po snížení o % 500( ) Cena pro druhém snížení 500 = 3757 / : = 3757 = 075 / (víme, že obě strany jsou kladné číslo) = 0,85 / + 0,85 0,5 = Cena byla dvakrát snížena o 5 %, Dodatek: Příklad je také možné řešit substitucí: 500 = y = 3757, případně tím, že neurčujeme hodnotu o kolik procent se cena snížila, ale kolik procent původní ceny tvoří nová cena (tedy přímo číslo y). Ve všech případech zabráníme roznásobení závorky v původní rovnici, které vede na dost obtížnou kvadratickou rovnici = 0. Př. 7: Cena litru benzínu vzrostla během roku o tolik procent, kolik korun stál litr na začátku roku. Urči původní cenu benzínu, jestliže na konci roku stál 39 Kč. Původní cena... Kč. 3

4 nová cena po zvýšení ceny o procent Po zvýšení ceny stál benzín 39 Kč: + = = = / = 3900 / = 0 b ± b ac 00 ± ± ± , a = = = 30 = = = 30 nemá reálný význam. Původní cena benzínu byla 30 Kč za litr. Př. 8: Počet úhlopříček n-úhelníku je možné vypočítat podle jednoduchého vzorce. Zkus vzorec odvodit. Řešení v následujícím příkladu. Př. 9: Pokud se ti nepodařilo vzorec v předchozím příkladu odvodit, pokus se o to ještě jednou podle následující nápovědy.. Kolik má n-úhelník vrcholů?. Kolik úhlopříček jde z každého vrcholu? 3. Kolik úhlopříček má n-úhelník, když známe hodnoty podle předchozích dvou bodů? (POZOR: Kolikrát jsme každou úhlopříčku počítali?). Kolik má n-úhelník vrcholů? n-úhelník má n vrcholů.. Kolik úhlopříček jde z každého vrcholu? Z každého vrcholu vychází n 3 úhlopříček (úhlopříčky nevychází do sousedních vrcholů a do vrcholu samotného). 3. Kolik úhlopříček má n-úhelník, když známe hodnoty podle předchozích dvou bodů? (POZOR: Kolikrát jsme každou úhlopříčku počítali?) 3 n n 3 úhlopříček, ale Z každého z n bodů vychází ( n ) úhlopříček celkem jde o každou jsme započítali dvakrát (z obou krajních bodů) úhlopříček je ve skutečnosti jen n( n 3) polovina n-úhelník má úhlopříček. 4

5 Př. 0: Počet k úhlopříček n-úhelníku je dán vzorcem úhelník se 44 úhlopříčkami? ( 3) n n k = Kolik vrcholů má n- Známe vzorec i počet úhlopříček ( 3) n n = 44 / n 3n = 88 / 88 n 3n 88 = 0 n n + 8 = 0 ( 3) n n n = n = 8 - nemá reálný význam. 44 úhlopříček má jedenáctiúhelník. = 44 - rovnice k řešení. Shrnutí: Slovní úlohy vedoucí na kvadratické rovnice se řeší úplně stejně jako jiné slovní úlohy. 5