1 Vysvětlete pojem derivace a integrace
|
|
- Ladislava Navrátilová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 Vysvětlete pojem derivace a integrace 1.1 Funkce Pojmy derivace a integrál souvisejí se základním pojmem matematiky, totiž s pojmem funkce. Poněkud zjednodušeně si lze funkci představit jako předpis, který nějakému číslu přiřazuje jiné číslo. Například funkce logaritmus (log) přiřazuje každému reálnému číslu hodnotu jeho logaritmu. Formálních způsobů zápisu obecné funkce f je několik. Zcela obecný způsob, kterým lze zapsat i mnohem obecnější pojem zobrazení: f : D f H f Tento zápis říká, že funkce f přiřazuje každému prvku množiny D f (tzv. definiční obor) nějaký prvek množiny H f (obor hodnot). V případě funkcí jsou těmi (záhadnými;-) ) množinami intervaly a jejich prvky jsou reálná čísla. Funkci lze zadat několika způsoby, nejobvyklejší je analytický předpis, tedy zápis vzorcem, a graf. Funkční předpis se obecně zapíše následujícím způsobem: f : y = f(x) Tento předpis neříká nic jiného, než že když vezmeme nějaké číslo x z definičního oboru a toto číslo předhodíme funkci f, získáme číslo y. Konkrétním příkladem funkce zadané analyticky může být například polynom (mnohočlen): f : y = 5x 4 3x 3 + 4x 2 10x + 25 Funkce může popisovat (modelovat) celou řadu fyzikálních dějů, příkladem může být závislost okamžitého stavu tlaku krve na čase 1 Grafické znázornění takového průběhu pak bude grafem takové funkce. Jiným příkladem může být časová závislost teploty pacienta na čase nebo třeba závislost celkové výšky člověka na délce femuru. Zcela přirozeným způsobem lze rozšířit pojem funkce i na funkce více proměnných. Tak například výpočet BMI 2 lze zapsat jako funkci hmotnosti a výšky: BMI = f(m, h) = m [kg] h 2 [m] 1 V podobných případech je matematicky korektní pojem poněkud kostrbatý, proto se obvykle hovoří spíše o časové závislosti okamžitého krevního tlaku nebo o časovém průběhu krevního tlaku. 2 Body Mass Index 1
2 Graf takové funkce lze pak nakreslit jako dvojrozměrnou plochu ve třírozměrném prostoru: V případě, že jde o funkci tří proměnných, si lze ještě udělat hrubou názornou představu o chování funkčních hodnot, pokud jde ale o funkci více proměnných, nelze si výsledek dost dobře představit. Přitom charakter funkce více proměnných mohou mít například pravděpodobnostní diagnostické modely, které na vstupu dostanou celou řadu klinických a laboratorních paramametrů a jejich výstupem je pravděpodobnost nějaké choroby Derivace V celé řadě případů nás nemusí zajímat jen funkční hodnoty, ale i to, jak rychle se mění. Medicínskou analogií jsou například nádorové markery 4 používané v monitorování relapsu. Jako indikátor rizika relapsu (znovuvzplanutí) se neuvažuje ani tak zvýšení hladiny markeru nad referenční hodnotu, jako spíše to, že jeho hladina se začne zvyšovat s určitou dynamikou. 3 V praxi se takový model používá například při prenatálním screeningu vrozených vývojových vad. Jeho vstupem jsou údaje o matce, hladiny některých analytů, trvání těhotenství a některé rozměry plodu, výstupem je pak pravděpodobnost přítomností vrozené vývojové vady. 4 Jako nádorový marker se označuje po chemické a biologické stránce prakticky libovolný analyt, jehož nárůst může indikovat přítomnost nádorového onemocnění. 2
3 Jako čistě fyzikální příklad lze použít rychlost. Zajímá nás nejen její současná hodnota, ale i to, jak se rychlost mění, tedy zrychlení. 5 Představme si, že máme nějakou funkci f a že nás zajímá, jak rychle funkce roste v bodě x 0. Jednoduchým nápadem je zjistit si funkční hodnotu v bodě, který je od bodu x 0 vzdálen o x a vést přímku (sečnu), která protíná graf funkce f(x) v bodech f(x 0 ) a f(x 0 + x) (modrá přímka na následkujícím obrázku). Pro směrnici, tedy číslo udávající rychlost stoupání, sečny platí: k = f(x 0 + x) f(x 0 ) x Pokud budeme x zmenšovat tak, že se bude skoro nulové, tedy matematicky korektně řekneme, že x se limitně blíží nule. Sečna se tak vlastně stane tečnou (červená přímka na obrázku), protože bude protínat dva prakticky splývající body. Směrnici tečny pak nazveme derivací funkce f v bodě x 0. Formálně lze definovat derivaci v bodě x 0 takto: f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Podle situace lze derivaci zapsat několika ekvivalentními způsoby: f (x) = df dx = d dx f(x) 5 Ostatně bylo to právě studium pohybu, které přivedlo Newtona na cestu vedoucí k derivaci 3
4 Daný zápis čteme vždy stejně, totiž derivace funkce f podle proměnné x. V případě, že se derivuje podle času, někdy se derivace značí tečkou nad symbolem funkce. Protože rozumné funkce lze derivovat v každém bodě definičního oboru 6, lze tak vlastně každé funkci f(x) definované na nějakém internalu I přiřadit funkci f (x) definovanou na intervalu I. Této funkci se říká derivace funkce f na intervalu I. pozn.:lze ukázat, že derivace diferencovatelné funkce je vlastně lineárním zobrazením na vektorovém prostoru diferencovatelných funkcí na intervalu I. V praxi to znamená především to, že lze dobře budovat teorii diferenciálních rovnic. Protože derivací funkce na intervalu I je opět funkce, je celkem na místě ptát se, zda lze i tuto funkci derivovat. Odpověď je kladná, opakováním derivací se získávají derivace vyšších řádů. Otázkou je ještě fyzikálná smysl derivací vyšších řádů. Jestliže například derivací změny dráhy podle času je rychlost, pak druhá derivace dráhy podle času je vlastně první derivací rychlosti podle času, tedy zrychlením. Druhou derivaci lze tedy pokládat za ukazatel toho, jak rychle se mění změna funkce.. Formální zápis n té derivace je: f (n) (x) = dn f dx n = dn dx n f(x) Poslední věcí, kterou by bylo vhodné zmínit, je derivace funkcí více proměnných. Derivaci lze zavést několika způsoby, poměrně názorným způsobem je zavedení obecných směrových derivací. Představme se funkci dvou proměnných, například výše použitý výpočet BMI. Definičním oborem takové funkce je vlastně dvojrozměrná rovina 7. Představme si, že definičním oborem povedeme přímku h a bude nás zajímat jen hodnota funkce nad touto přímkou. Tak vlastně získáme funkci jedné proměnné, kde na vodorovné ose bude vzdálenost od nějakého pevného bodu na přímce h a na svislé ose bude funkční hodnota v tomto bodě. Tuto funkci jedné proměnné (např. nějaké parametrizace přímky h) lze celkem snadno zderivovat. Hodnota derivace v udčitém bodě přímky h pak bude znamenat 6 Takové funkce nazýváme diferencovatelné. Skutečně existuje celá řada funkcí, které nemají derivaci. Jejich význam je však spíše teoretický a jejich případné aplikace jsou hodně netriviální. Existence derivace v každém bodě je mimo jiné i známkou toho, že funkce může popisovat nějaký přírodní děj, při kterém dochází k přesunům energie. Názornou představou toho, že funkce je diferencovatelná, je to, že graf funkce je hladký a neobsahuje ani skoky ani zuby... 7 V případě BMI je definičním oborem spíše obdélník, protože nelze očekávat, že by měl někdo hmotnost menší než 0 kg nebo větší než dejme tomu 300 kg a podobná omezení platí i pro výšku. 4
5 rychlost, s jakou funkce roste nebo klesá ve směru přímky h. Zvláštní postavení pak mají derivace ve směru jednotlivých souřadnicových os. Takové derivace nazýváme parciálními derivacemi podle jednotlivých proměnných. Budeme-li mít například funkci f následující: f : z = f(x, y), můžeme zavést parciální derivace ve směru jednotlivých os. Parciální derivace ve směru osy x se nazývá parciální derivací funkce f podle x. Ve fyzice, technice a obvykle i v matematice se značí následujícím způsobem: f x Méně často se, zejména v matematice, používá následující způsob zápisu: f x Protože derivací funkce na intervalu je opět funkce, lze celkem přirozeným způsobem parciální derivace dále derivovat a získat tak druhé parciální derivace. Zápis druhé parciální derivace funkce f podle y vypadá následovně: 2 f x 2 Funkci lze zderivovat nejprve podle x a pak podle y, výsledkem je druhá smíšená parciální derivace funkce f podle proměnných x a y. I když obecně záleží na pořadí, podle kterého se derivuje, u fyzikálně zajímavých funkcí je výsledek derivace v libovolném pořadí stejný. Zápis smíšené derivace vypadá takto: 2 f x y Pořadí proměnných ve jmenovateli určuje pořadí, podle jakého má derivace probíhat. Tedy výše uvedený příklad znamená, že se nejprve derivuje podle proměnné x a až potom podle proměnné y. Posledními důležitými pojmy, které s parciálními derivacemi souvisejí, jsou diferenciál a gradient. Zhruba řečeno je diferenciál velikost derivace ve směru maximálního spádu grafu funkce a gradient je vektor v definičním oboru, který ukazuje směr nejvyššího spádu. Představíme-li si funkci dvou proměnných jako výšku dejme tomu sjezdovky, pak je gradient směr, kterým má svah největší spád, a diferenciál velikost spádu kvantifikuje (opět jako směrnici tečny). 5
6 Gradient souvisí s parciálními derivacemi podle následujícího vztahu: ( ) f gradf(x, y) = x, f y a diferenciál následujícím vztahem: 1.3 Integrál df(x, y) = f f dx + x y dy Možná jste již někdy slyšeli o několika různých integrálech pojmenovaných po velikánech matematiky, jakými byli např. Newton, Riemann, Leibnitz nebo Lebesgue. Ve skutečnosti jde jen o uchopení téže problematiky na různé míře obecnosti. Integrování, tedy výpočet integrálu, je postup opačný k derivování. Podobně jako rozlišujeme derivaci v bodě a na intervalu, rozlišujeme i integrál určitý a neurčitý Neurčitý integrál Neurčitý integrál je vlastně postupem opačným ke zjištění derivace funkce na intervalu. Základní úloha vedoucí na pojem neurčitého integrálu je následující: Máme funkci jedné proměnné f(x) definovanou na nějakém intervalu I. Ptáme se, zda existuje na intervalu I nějaká funkce F (x), pro kterou platí: F (x) = f(x) Ukazuje se, že taková funkce pro rozumné (tj. spojité) funkce existuje. Funkci F nazýváme primitivní funkcí k funkci f. Vztah se obvykle zapisuje takto: F (x) = f(x) dx Výpočetně snadno lze ověřit, že primitivní funkce F není určena jednoznačně. Z vlastností derivace totiž plyne, že pro libovolnou diferencovanou funkci F a libovolné reálná číslo C platí: (F (x) + C) = F (x) Je-li tedy tato funkce F (x) primitivní funkcí k funkci f(x), je i funkce F (x)+c primitivní funkcí k funkci f(x). Formálně se tedy výpočet primitivní funkce zapisuje následovně: F (x) = f(x) dx + c, tedy že primitivní funkce je určena jednoznačně až na aditivní konstantu c. 6
7 1.3.2 Určitý integrál Určitý integrál je vlastně zobrazením, které funkci f integrovatelné 8 na intervalu I přiřadí nějaké reálné číslo. Toto číslo však není libovolné a má tu hezkou vlastnost, že je rovno obsahu plochy obrazce mezi grafem funkce f a osou x. Plocha nad osou je přitom kladná a plocha pod plochou je záporná. K ilustraci základních úvah vedoucích na (Riemannovu) definici určitého integrálu dobře poslouží následující obrázek: Představme si, že chceme zjistit plochu pod křivkou danou grafem funkce f na intervalu < a, b >. Plochu můžeme odhadnout tak, že interval < a, b > rozdělíme na několik dílů. Jistě bude platit, že plocha pod křivkou bude součtem dílčích ploch na podintervalech < a, x 1 >, < x 1, x 2 >, < x 2, x 3 > a < x 3, b >. Hodnotu plochy můžeme při dostatečně úzkém intervalu odhadnout jako plochu šedého obdélníka. Pro výšku obdélníka lze volit několik hodnot v teoretických úvahách se volí maximální a minimální hodnota funkce na daném podintervalu, při numerických výpočtech se obvykle volí levá nebo pravá funkční hodnota 9. 8 Berte to jako varování, že existuje celá řada funkcí, které integrovatelné nejsou. Funkce, které jsou na daném intervalu spojité, mají své primitivní funkce vždy, bohužel ne vždy lze takovou primitivní funkci nalézt jinak než např. odhadem oklikou přes nekonečné řady. 9 Numerický, tedy číselný, výpočet integrálu je jedna z velmi často řešených úloh počí- 7
8 Hodnotu určitého integrálu funkce f na intervalu < a, b > lze v případě, že známe primitivní funkci F, spočítat celkem snadno. Vztah, který nám to umožňuje, se obvykle nazývá Newtonova formule: b a f(x) dx = F (b) F (a) Vedle výpočtu ploch se určitý integrál uplatňuje i při zavedení některých medicínsky a technicky významných hodnot. Tak například pro periodické veličiny se definuje střední hodnota jako taková neproměnná hodnota, která by měla za jednu periodu stejnou plochu pod křivkou jako zkoumaný periodický průběh 10. Tak například střední arteriální tlak krve (SAT, někdy i MAP ) je při trvání srdečního cyklu T a časovém průběhu tlaku krve p(t) dán vztahem: T SAT = 1 p(t) dt T 0 Následující empirický vztah nebo vztahy jemu podobné nejspíš znáte: SAT = p syst + 2 p diast 3 Takové empirické vztahy však dobře platí jen pokud jsou hodnoty tlaku, tepové frekvence, elastických vlastností cév, reologických vlastností krve a dalších parametrů blízké hodnotám fyziologickým. V případě odchylek se deformuje průběh tlakové křivky a tím se mění i hodnota integrálu. Jinou v medicíně, konkrétně ve farmakologii, často používanou hodnou je hodnota zvaná plocha pod křivkou (AU C), pomocí kterého se počítá např. biologická dostupnost léku z jednotlivých lékových forem. Matematicky jde o plocha pod křivkou danou časovým průběhem koncentrace léku podaného v jedné dávce v čase t = 0: AUC = 0 c(t) dt Parametr AU C je zároveň příkladem nevlastního integrálu, tedy integrálu, jehož integrační meze sahají do nekonečna. Způsobem zcela analogickým úvahám o určitém integrálu se lze dostat i k vícerozměrným integrálům. tačové matematiky. Zde popsaná metoda výpočtu cestou součtu ploch obdélníků je sice teoretickým základem, pro praktické výpočty však obvykle nepostačuje svojí nepřesností. Proto se používají modifikace, které nahrazují výpočet plochy obdélníka výpočtem plochy pod nějakým polynomem. 10 V technice se mnohdy počítá z absolutní hodnoty daného průběhu. Podle definice je například střední hodnota sinusovky nulová, protože velikost plochy pod křivkou v první a druhé polovině periody je stejná, liší se ale znaménkem. 8
9 2 Vysvětlete pojem diferenciálních rovnic, jejich význam, a vysvětlete na popisu některého fyzikálního jevu Diferenciální rovnice je rovnicí, v níž vystupuje neznámá funkce a její derivace, podle typu diferenciální rovnice různě pospojované. Pro mnohé může být překvapující to, že řešením diferenciální rovnice je jedna nebo několik funkcí. Vlastně tou nejjednodušší diferenciální rovnicí je integrování. Máme totiž zadnáno: F (x) = f(x) a máme najít neznámou funkci F (x). Pokud zůstaneme u funkcí jedné proměnné, dostaneme obecný pojem obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejná direfenciální rovnice je takovou rovnicí, ve které vystupují pouze kombinace různých stupňů derivace neznámé funkce a její funkční proměnné. Název obyčejné však nesmí zmást obyčejné diferenciální rovnice nejsou obecně řešitelné. Představme si, že máme funkci y 11 : y = y(x) Vezměměž 12 dále funkcí n + 2 proměnných G a za jednotlivé proměnné dosaďme: G(x, y, y, y,..., y (n 1), y (n) ) Budeme-li se ptát, kdy je tato funkce rovna nule, tedy pro jaké funkce y(x) platí: G(x, y, y, y,..., y (n 1), y (n) ) = 0 dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici. Číslu n říkáme řád diferenciální rovnice. Nebude asi žádným překvapením, že obecné řešení 13 diferenciální rovnice není jednoznačně určené. K výběru z možných řešení je nutné použít okrajové podmínky, tedy další omezující požadavky na řešení, například požadovanou hodnotu výsledné funkce v bodě nula, hodnotu první derivace požadované funkce v bodě nula, symbolika je volena kvůli kompatibilitě s matematickým dodatkem oficiálních skript 12 text neprošel jazykovou korekturou 13 Pokud je diferenciální rovnice řešitelná, vyjde obecné řešení jako kombinace několika různých funkcí a několika libovolných konstant. Řešení tedy není jednoznačně určené, ale přesto není zcela libovolné. Kdo si v tuto chvíli vzpomněl na obecný integrál, tak může být ujištěn, že podobnost není náhodná. 9
10 Vzhledem k tomu, že některé typy diferenciálních rovnic lze celkem snadno nebo pomocí důmyslných fint řešit, je třídění diferenciálních rovnic celkem užitečné. Některé typy diferenciálních rovnic jsou: Separovatelné diferenciální rovnice 1. řádu ekvivalentními úpravami převést na tvar: jsou rovnice, které lze y = f(x) g(y) celkem snadnými úpravami 14 lze ukázat, že řešení má tvar: dy g(y) = f(x) dx (při řešení integrálu na levé straně se na y pohlíží jako na proměnnou) Ještě jednodušší řešení má rovnice tehdy, pokud je g(y) = y, tedy pokud má tvar: y = y f(x) řešení takové rovnice je pak ve tvaru: y(x) = y(0) e x f(t) dt 0, kde y(0) je požadovaná hodnota hledané funkce v počátku (tedy okrajová podmínka). Za povšimnutí stojí proměnná t, která se objevila v exponentu. Nejde o žádné kouzlo, jde pouze o formální přejmenování, protože proměnná x se objevila jako integrační mez a její duplicitní výskyt by byl z matematického hlediska nesmyslným 15. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty jsou takové diferenciální rovnice, které lze zapsat ve tvaru: a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 2 y + a 1 y + a 0 y = f(x) Velkou výhodou těchto rovnic je fakt, že řešení lze celkem snadno převést na řešení algebraické rovnice řádu n, tedy např. u rovnice druhého řádu rovnice kvadratické a u rovnice třetího řádu rovnice kubické. Navíc tyto rovnice mají poměrně velké uplatnění v kybernetice, pomocí nich lze poměrně dobře popsat chování celé řady technicky i biologicky zajímavých soustav. 14 viz matematický dodatek skript 15 Dlužno však poznamenat, že zejména v technické literatuře se i ten nesmyslný tvar používá, protože z kontextu je obvykle čtenáři smysl jasný. 10
11 Ve farmakologii a možná že i ve fyziologii se budete pravděpodobně učit o kompartmentovém modelu farmakodynamiky. Kompartmentový model lze popsat soustavou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu v Cauchyho tvaru, který lze celkem mechanicky převést na jednu lineární diferenciální rovnici vyššího řádu. 2.1 Aplikace dif. rovnic oscilátor Zcela přímočarou aplikací je řešení kminavého pohybu. Představme si například kuličku o hmotnosti m zavěšenou na pružině o tuhosti k. Vychýlíme-li kuličku z rovnovážné polohy o výchylku x z klidové polohy, bude pružina působit na kuličku silou: F = k x Zajímá-li nás časový průběh výchylky, můžeme si pomoci tím, že sestavíme pohybovou rovnici: F = m a vztahy převedeme na jednu stranu a vzpomeneme si, že zrychlení je druhou derivací okamžité polohy: m x F = 0 Síla, kterou pružina působí na kuličku, je vlastně rovna součinu výchylky a tuhosti (viz výše), tedy: m x + k x = 0 podělíme-li obě strany rovnice hmotností kuličky, dostaneme vztah: x + k m x = 0 Což je vlastně lineární diferenciální rovnice s konstatními koeficienty druhého řádu. K řešení je možné použít buď kuchařkový postup, tedy zde metodu výpočtu pomocí charakteristického polynomu. K řešení lze ale použít i úvahu, která by navíc měla doknale ozřejmit to, jak vlastně diferenciální rovnice fungují. Zamyslíme se nad tím, zda neznáme funkci, pro kterou platí, že až na konstantu a znaménko je rovna své druhé derivaci. Takovou funkcí je třeba funkce: x = sin(ωt) pro její derivace platí: x = ω cos(ωt) 11
12 a x = ω 2 sin(ωt) V úpravách budeme pokračovat tak, že dosadíme odhad funkce a její druhou derivaci do diferenciální rovnice: ω 2 sin(ωt) + k m sin(ωt) = 0 Aby rovnost platila pro všechna t, musí zřejmě platit: ω 2 = k m protože všechna čísla jsou kladná, platí: k ω = m hledaným řešením je tedy funkce: x(t) = sin t k m Číslo ω se nazývá kruhová frekvence harmonického oscilátoru a s frekvencí f souvisí vztahem: ω = 2πf Jen pro úplnost je třeba dodat ještě dvě věci. Tou první je poznatek, že i poměrně hezké diferenciální rovnice nejsou obecně analyticky řešitelné. Tato situace je vzhledem k tomu, že diferenciální rovnice vlastně popisují základní vztahy fyziky, chemie i fyziologie, velmi nepříjemná. V praxi se tedy obvykle diferenciální rovnice řeší pomocí metod numerické matematiky, které umožnují hledat řešení metodami hrubé síly 16, nicméně i tak mohou některé rovnice narážet na prohlém stability řešení, tedy na výraznou ovlivnitelnost výsledku malou chybou. Tou druhou věcí, kterou je třeba zmínit, jsou rovnice, ve kterých vystupují funkce více proměnných a jejich parciální derivace. Takové rovnice se pak nazývají parciální diferenciální rovnice a mnohdy jde o velmi důležité rovnice matematické fyziky, např. Schrödingerova rovnice nebo 2. Fickův zákon. Platilo-li, že obyčejné diferenciální rovnice jsou mnohdy obtížně řešitelné, platí to pro parciální diferenciální rovnice ještě větší měrou. 16 Nadsázka je, doufám, jasná. Numerická matematika je sofistikovaná disciplína, studovat lze až jako navazující magisterský obor 12
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceNumerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceFunkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.
Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Víceřešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceMATEMATIKA B 2. Integrální počet 1
metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceBudeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1
ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více