Model epidemickej choroby (SIR model)

Transkript

1 Slovenská technická univerzita v Bratislave Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra matematiky Študentská Vedecká a Odborná Činnosť Model epidemickej choroby (SIR model) autor: konzultant: Pavol Gašpierik Doc. RNDr. Ľubomír r Marko, PhD. Bratislava, 2006

2 Úvod z histórie všeobecná charakteristika modelu predpoklady diferenciálne rovnice a parametre modelu podmienky pre šírenie epidémie rovnováha a stabilita 2 Úvod

3 Z histórie jeden z najznámej mejších príkladov populačnej epidémie prípad pad Veľkého moru v Londýne (vypukol v rokoch ) zo záznamov z znamov úmrtnosti obyvateľstva môžeme zostrojiť epidemickú krivku (jej charakteristický tvar opísali A. G. McKendrick a W. O. Kermack) Fotografia záznamu z znamu úmrtnosti obyvateľstva ( ) - úmrtnosť na mor (5533) bola viac ako 37- krát t väčšia v jako pôrodnosť (146) Z histórie 3

4 Z histórie Anderson Gray McKendrick ( ) William Ogilvy Kermack ( ) propagovali využitie matematických metód d v epidemiológii v rokoch 1927 a 1932 vydali dva dôležit ité dokumenty, týkajúce sa matematickej teórie šírenia epidémie, na ktoré sa odvolávame vame dodnes Z histórie 4

5 Všeobecná charakteristika modelu Model populácie je rozdelený do troch skupín: citliví jednotlivci S (susceptible individuals) infikovaní jednotlivci I (infected individuals) odolní (imúnni) jednotlivci R (re-infection individuals) s(t) as(t)i(t) i(t) bi(t) r(t) citliví jednotlivci infikovaní jednotlivci odolní (imúnni) jednotlivci Celková populácia je rovná: N=S+ I + R (1) Všeobecná charakteristika modelu 5

6 Predpoklady jednotlivci sús zaradení do jednej z kategórii (citliví,, infikovaní,, odolní) populácia je veľká,, so stabilným počtom jednotlivcov ignorujeme prírastok rastok populácie (narodenie a smrť) ) v priebehu epidémie ignorujeme nejaké ďalšie rozdelenia obyvateľstva vekom, pohlavím, mobilitou alebo inými faktormi (tieto rozdiely by mohli v realite zohráva vať dôležit itú úlohu) každý jednotlivec prichádza denne do kontaktu s takým istým pomerom ľudí z každej kategórie pre jednoduchosť uvažujeme, ujeme, že e odolní jednotlivci R sús permanentne imúnni Predpoklady 6

7 Diferenciálne rovnice a parametre modelu Základné diferenciálne rovnice sús nasledujúce: Platí: s(t) = S / N i(t) = I / N r(t) = R / N kde s(t) - podiel citlivej populácie i(t) - podiel infikovanej populácie r(t) - podiel odolnej populácie S - počet citlivých jednotlivcov I - počet infikovaných jednotlivcov R -počet odolných jednotlivcov N -celkovápopulácia Diferenciálne rovnice a parametre modelu 7

8 Diferenciálne rovnice a parametre modelu Parametre chrakteristické pre každú chorobu: a - priepustnosť (počet kontaktov schopných preniesť chorobu) [deň -1 ] b - regeneračná rýchlosť (denný počet zotavených) [deň -1 ] - priemerné trvanie infekcie [deň] - počet kontaktov (5) Pre rovnice (2, 3, 4) existuje určit itá invarianta systému: čo o dokážeme k - konštanta Diferenciálne rovnice a parametre modelu 8

9 Diferenciálne rovnice a parametre modelu Po dosadení z rovníc c (2, 3) dostaneme: z čoho vyplýva, že e uvedený výraz je rovný konštante. Uvažujeme prípad pad bez nových infikovaných,, takže e rovnica (3) sa zredukuje na tvar: (6) potom. Počet infikovaných jednotlivcov i(t), ktorí sa uzdravia za čas (t, t + dt): Diferenciálne rovnice a parametre modelu 9

10 Diferenciálne rovnice a parametre modelu Priemerné trvanie infekcie t pr je potom rovné: Diferenciálne rovnice a parametre modelu 10

11 Podmienky pre šírenie epidémie V epidemiológii mám slovo "epidémia" formálny význam- je to stav, v ktorom počet infikovaných jednotlivcov i(t) stúpa z počiato iatočnej hodnoty. Podmienky pre sledovanie šírenia epidémie vyplývajú priamo z rovnice (3): musí byť vždy kladné, z čoho vyplýva (7) Ak s 0 je počiato iatočný počet s(t),, potom podmienka pre šírenie epidémie je Infikovaní jednotlivci i(t) budú priemerne nákazlivn kazliví počas doby. Počet citlivých jednotlivcov s(t) nakazených jedným infikovaným jednotlivcom i(t) za jednotku času je potom as(t). Podmienky pre šírenie epidémie 11

12 Podmienky pre šírenie epidémie Potom celkový počet ľudí,, nakazených jedným infikovaným je. Parameter označovaný ovaný ako, sa nazýva miera reprodukcie epidémie mie. Aby mohol byť stav kvalifikovaný ako epidemický, toto číslo musí byť väčšie ako 1 ( ). Z rovnice (3) vidieť, že e vrchol (maximum) epidémie nastane, keď. To je vtedy, keď miera reprodukcie R 0 je rovná 1. Začiato iatočný počet infikovaných jednotlivcov i(t) nehrá úlohu v určovan ovaní, či i nastala epidémia. Obzvláš ášť od neho závisz visí čas vrcholu epidémie. Podmienky pre šírenie epidémie 12

13 Podmienky pre šírenie epidémie špička epidémie Graf č.1 Priebeh infikovanej populácie v čase (príklad pre chrípku a=0.47, b=0.33) a.) nastáva šírenie epidémie (R 0 =1.33) b.) špička epidémie (R 0 =1.00) c.) nenastáva šírenie epidémie (R 0 =0.7) Podmienky pre šírenie epidémie 13

14 Podmienky pre šírenie epidémie Graf č.2 Priebeh citlivej, infikovanej a odolnej populácie v čase (príklad pre chrípku a=0.47, b=0.33) Podmienky pre šírenie epidémie 14

15 Rovnováha a stabilita rovnovážne ne stavy z rovníc c (2, 3, 4) sús tie, v ktorých i(t)=0 a s(t)=c,, kde c je ľubovoľná kladná konštanta formálnou analýzou stability dostávame dve charakteristické čísla 0 a ac b pri vhodných podmienkach pre šírenie epidémie, nadobúda da charakteristické číslo ac b kladnú hodnotu a bod rovnováhy je nestabilný ak charakteristické číslo ac b má zápornú hodnotu, nedá sa vyvodiť záver stability Rovnováha a stabilita 15

16 Rovnováha a stabilita Graf č.3 Fázový F portrét a.) rubeola (a=0.62, b=0.09) b.) chrípka (a=0.47, b=0.33) Rovnováha a stabilita 16

17 Rovnováha a stabilita Graf č.4 Fázový F portrét zmena priepustnosti a (rozsah , krok 0.1) a Rovnováha a stabilita 17

18 Rovnováha a stabilita Graf č.5 Fázový portrét zmena regeneračne nej j rýchlosti b (rozsah , krok 0.1) b Rovnováha a stabilita 18

19 Poďakovanie Ďakujem Vám V m za pozornosť... Historické zobrazenie lekára moru Poďakovanie 19