ZÁKLADY TEÓRIE GRAFOV

Transkript

1 ZÁKLAY EÓRIE GRAFOV PRÍKLA : Minimálna kostra grafu v zadanom grafe určite minimálnu kostru grafu 9 Riešenie: Kostra grafu je taký podgraf, ktorý obsahuje všetky vrcholy pôvodného grafu a neobsahuje uzavretý cyklus. Je to vlastne strom, ktorý obsahuje všetky vrcholy pôvodného grafu. Minimálna kostra kostra grafu, ktorej súčet ohodnotení hrán je minimálny. Aplikácie: optimálne spojenie miest (spojenie ciest telefónnej siete tak, aby sme spotrebovali minimum kábla, rozvody elektrickej energie, plynu, teplárenstvo a pod.). Algoritmus :. zoradíme hrany vzostupne podľa kij (veľkosti hodnôt hrán),. vyberieme dve hrany s min kij a vyznačíme ich v grafe,. postupne vyberáme ďalšie hrany kij tak, aby netvorili s vybranými hranami cyklus,. takto postupujeme dovtedy, pokiaľ nenájdeme (n ) hrán, kde n edstavuje počet vrcholov,. celkovú dĺžku zistíme sčítaním označených kij hrán h = h = h = h = h = 9 h = h = h = h = h = 0 h = h = 0 h = h = h = MI MAX (n-) = - = hrán Celková dĺžka L min = = L max = = 0

2 PRÍKLA : Minimálna okružná cesta v grafe - v zadanom grafe (úplný, neorientovaný) určite minimálnu okružnú cestu z vrcholu V. Aplikujte i tom : (a) metódu rozhodovacieho stromu, (b) metódu najbližšieho suseda, (c) metódu vetvenia a hraníc [Branch and Bound]. Riešenie : (a) Metóda rozhodovacieho stromu : Je potrebné eskúmať všetky alternatívy, rozvoj a zápis ostredníctvom stromovej štruktúry a určenie hodnoty súčtu hrán zaradených do okružnej cesty. 0 Min (OC) = V V V V V V = = 9 Max (OC) = V V V V V V = = V V V V V V = = 0 = 9 = 0 0 = = 0 = = = 9 = 0 = =

3 (b) Metóda najbližšieho suseda : Z východiskového vrcholu hľadáme vždy ípustnú hranu, ktorá je najkratšia. Možnosť riešiť iamo v grafe alebo incidenčnej matici. () () () ( 0 Incidenčná matica : Východiskový vrchol V: V V V V V V= = 9 () Graf: e východiskový vrchol - V Vrchol = VV - () - () - () 0 - () () sc 0 - Východiskový vrchol V : V V V V V V = = 9 Vrchol - () () - = VV () - 0 ( ) sc - 0 () - (c) Metóda vetvenia a hraníc: (-) (-) 0-0 (-) 0-0 (-) (-) (-) (-) Po vykonaných úavách dostaneme matice redukovaných sadzieb r = r = 0 - r = 0-0 r = r = r = r = r = r = r =

4 a základe hodnôt ri vyberieme tzv. perspektívne hrany: max (ri) určuje riadok resp. stĺpec, v ktorom políčka s nulovými redukovanými sadzbami identifikujú perspektívne hrany. Platí : perspektívne hrany ( ), ( ), ( ). Vyberieme na. (-) a (-) ( ) - ( ) - ( ) - ( ) - ( ) V - V - V - V - V - V = 9 na. (-) a (-) ( ) - ( ) - ( ) - ( ) - ( ) V - V - V - V - V - V = 9 PRÍKLA : Minimálna cesta z vrcholu do vrcholu - IJKROV POUP Pre graf zadaný na obrázku: () apíšte incidenčnú maticu, () nájdite minimálnu cestu z vrcholu V do vrcholu V, () nájdite minimálnu cestu z vrcholu V do všetkých ostatných vrcholov. Riešenie:. Incidenčná matica : Vrchol Minimálna cesta z V do V použitie ijkstrovho algoritmu VP = VK = = VP = V = V

5 Legenda : vektor hodnôt minimálnych ciest z východiskového vrcholu ku všetkým ostatným, VP vektor vrcholov edchodcov, vektor stavov vrcholov. 0 = VP = 0 0 V = V 0 = VP = 0 V =V 0 = VP = 0 (V-V) = Minimálna cesta: z vrcholu V do V je = a echádza vrcholmi grafu V V V V. -P -K. Minimálna cesta z vrcholu V do všetkých ostatných ijkstrov algoritmus VP = VK = i (e i =,,,) 0 0 = VP = V = V 0 = 0 V = V 0 resp. = 0 V = V

6 0 = 0 V = V 0 resp. = 0 V = V 0 = 0 V = V 0 resp. = 0 V = V 0 0 = 0 resp. = 0 Interetácia výsledkov : Minimálne cesty z vrcholu V do všetkých ostatných vrcholov grafu sú : (V V) = - (V - V -V) (V V) = - (V - V) (V V) = - (V - V) (V V) = - (V - V)

7 Príklad : Cesty v grafoch - ijkstrov algoritmus V grafe zadanom incidenčnou maticou určte: () minimálnu cestu z vrcholu V do V, () minimálnu cestu z vrcholuv do všetkých ostatných vrcholov Vrchol Riešenie: () VV = V, KV = V it. Vekt Vj V V V V V V V V V 0. 0 V. V. V. V. V. 9 V. 9 V Interetácia výsledkov : na. (V V) = a echádza vrcholmi (V V V V V) (V V) = a echádza vrcholmi (V V V V)

8 () VV = V, KV = všetky it. Vekt Vj V V V V V V V V V 0. 0 V. 0 V. V. V. V. V. V. Interetácia výsledkov : (V V) = - (V V V) (V V) = - (V V) (V V) = - (V V) (V V) = - (V V) (V V) = - (V V) (V V) = - (V V V) (V V) = - (V V V V)

9 Príklad : Minimálne cesty medzi všetkými vrcholmi grafu - metóda sčítania v matici V zadanom grafe nájdite metódou sčítania v matici minimálne cesty medzi vrcholmi grafu: (A) z vrcholu V do vrcholu V, (B) z vrcholu V do všetkých ostatných, (C) medzi všetkými vrcholmi navzájom. 9 0 Riešenie: utný počet iteračných krokov: Platí : ph n (PIK) (n ) (PIK) kde ph maximálny počet hrán, n počet vrcholov grafu, PIK - počet iteračných krokov Postup výpočtu :. určenie počtu potrebných iteračných krokov,. sacovanie, tzv. nultej iterácie = úplnej iteračnej matice úlohy,. transformácia 0. iterácie na iteráciu nasledujúcu,. za nový vok nasledujúcej iterácie cij (n) sa zapíše minimálna hodnota zo súčtov cik c kj n n n tzn. matematicky zapísané cij min c ij ckj,avšak iba za podmienky, že platí c k ij cij, n tzn. vtedy, ak hodnota cij je menšia, ako vok pôvodný.. výpočet opakujeme dovtedy, pokiaľ nebude vykonaný určený počet iteračných krokov podľa bodu. 9

10 0.iteračný krok.iteračný krok j j i i i j. iteračný krok -,,,, 9, - 0 9,,, ,, 0 -,, 9 0 -,,, 9-9,,,,, - 0

11 . iteračný krok i j -,,,, 9,,, - 0 9,,, ,, 0 -,, 9 0 -,,, 9-9,,,,,,, - Interetácia výsledkov :. (V V) = - (V V V V V). na. (V V) = - (V V V) (V V) = - (V V) (V V) = - (V V V) (V V) = - (V V V V). na. (V V) = - (V V V V V V) (V V) = - (V V V V) (V V) = - (V V V V)