Semestralni prace ze KMA/MM Modelovani sireni onemocneni - epidemiologicke modely

Transkript

1 Semestralni prace ze KMA/MM Modelovani sireni onemocneni - epidemiologicke modely Pavel Jirasek March 1,

2 Contents 1 Uvod 3 2 Znaceni 3 3 Predpoklady 3 4 Modely 4 5 Teoreticky rozbor 6 6 Ockovaci strategie Stale ockovani Pulsni ockovani Model SIR s pulsnim ockovanim Porovnani ockovani Ukazka modelu 10 2

3 1 Uvod V teto praci bych chtel ctenare seznamit se zakladnimi teoretickymi znalostmi z oblasti epidemiologie a modelovani. Modely je mozne pouzit i k modelovani principialne blizkych procesu, jako je napriklad sireni ohne, invaze rostlin do neobsazeneho prostoru, dynamika potravinoveho retezce. Cast prace se bude tykat i moznym strategiim ockovani. 2 Znaceni skupina S (susceptible): obsahuje tu cast populace, ktera je nachylna k onemocneni; tito jedinci netrpi chorobou, mohou vsak byt infikovani pri styku s nemocnymi. skupina I (infected): obsahuje cast populace tvorenou infikovanymi jedinci; tito jedinci vykazuji znamky onemocneni a rozsiruji nemoc mezi cleny skupiny S. skupina R (removed): obsahuje tu cast populace, ktera je tvorena jedinci, kteri byli drive infikovani, ale nyni jiz nemohou sirit chorobu; jsou zde jedinci, kteri se uzdravili a zustali trvale imunni, jedinci, kteri byli trvale izolovani, a v pripade smrtelne nemoci jedinci, kteri uhynuli. 3 Predpoklady Predpokladame populaci citajici N jedincu bez vitalni dynamiky, tj. budeme predpokladat, ze celkovy pocet jedincu se nemeni v case (jde o uzavrenou, autonomni, populaci). Veliciny S, I, R jsou obecne funkcemi casu. V libovolnem casovem okamziku t plati (tzv. podminka autonomity systemu): Dale predpokladame: S(t) + I(t) + R(t) = N. nemoc se siri kontaktem mezi infikovanymi a zdravymi jedinci choroba nema latentni obdobi populace je homogenni, tj. vsichni ohrozeni jedinci jsou ohrozeni stejne, vsichni infikovani jedinci jsou stejne infekcni atd. populace je autonomni, tj. nepredpokladame narozeni novych jedincu ani migraci a vsichni zemreli jsou zahrnuti ve skupine R(t) 3

4 rychlost presunu jedincu ze skupiny S do skupiny I je umerna poctu setkani infikovanych jedincu s jedinci nachylnymi k onemocneni; tato rychlost je tedy umerna soucinu S I rychlost presunu jedincu ze skupiny I do skupiny R je umerna poctu infikovanych jedincu jedinci, kteri se ocitli ve skupine R v teto skupine trvale zustavaji Pocatecni podminky: Predpokladame, ze v pocatecnim case t = 0 existuje pocet S 0 jedincu, kteri jsou nachylni k onemocneni, dale ze se v populaci vyskytuje pocet I 0 jedincu, kteri jsou nemoci infikovani a jsou prenaseci infekce a pocet R 0 vylecenych (imunitnich) jedincu (pokud je tato skupina populace v modelu zahrnuta). 4 Modely Model SIR Model, jez vychazi z existence vsech tri vyse uvedenych skupin S(t), I(t) a R(t), nazyame modelem SIR. S (t) = r S(t) I(t), I (t) = r S(t) I(t) a I(t), R (t) = a I(t), S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, R(0) = R 0 = 0, r > 0, a > 0. Parametr r nazyvame koeficient sireni nakazy, ktery vyjadruje soucin cetnosti vzajemnych kontaktu v populaci a pravdepodobnosti, s jakou pri vzajemnem kontaktu jedince ze skupiny S(t) s jedincem ze skupiny I(t) dojde k nakazeni. Parametr r se da interpretovat take jako mira infekcnosti choroby a kvalita prevence proti dalsimu sireni. Parametr a nazyvame koeficientem leceni, ktery popisuje rychlost, s jakou se infikovany jedinec ze skupiny I(t) dostane do skupiny jedincu 4

5 R(t), kteri jiz nejsou chorobou ohrozeni. Parametr a se da interpretovat take jako mira vaznosti choroby a schopnost (spolecnosti ci jedince) se s chorobou vyporadat. Model SI Tento model se pouziva u pocatecnich stadii nekterych onemocneni, kdy nas zajima dynamika pocatku infekce. Skupina R(t) je zcela vynechana. S (t) = r S(t) I(t), I (t) = r S(t) I(t), S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, r > 0. Parametr r nazyvame, stejne jako u modelu SIR, koeficient sireni nakazy. Model SIS V modelu SIS je zavedena zpetna vazba ze skupiny infikovanych jedincu I(t) do skupiny vnimavych jedincu S(t). Tento model se pouziva u onemocneni, ktera nejsou smrtelna a pri kterych nevznika na danou nemoc imunita. To znamena, ze jedinci, kteri se vyleci, prechazeji zpet do skupiny nemoci ohrozenych. Jedna se tedy o bezne nemoci, jako je napriklad chripka ci angina. S (t) = r S(t) I(t) + a I(t), I (t) = r S(t) I(t) a I(t), S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, r > 0, a > 0. Parametry r a a interpretujeme stejne, jako v pripade SIR modelu. 5

6 Model SEIR Az dosud uvedene modely nezahrnovaly inkubacni dobu, ktera uplyne od nakazy do okamziku, kdy se stane infekcni. Je-li ovsem inkubacni doba nemoci pomerne dlouha, je nezbytne model modifikovat napriklad zavedenim nove dilci skupiny: skupina E(t): popisuje tu cast populace, ktera je infikovana, ale zatim neni infekcni, nachazi se tedy v inkubacni dobe. S (t) = r S(t) I(t), E (t) = r S(t) I(t) b E(t), I (t) = b E(t) a I(t), R (t) = a I(t), S(0) = S 0 > 0, E(0) = E 0 0, I(0) = I 0 > 0, R(0) = R 0 = 0, r > 0, b > 0, a > 0. Parametry r a a interpretujeme stejne, jako v pripade SIR modelu. Parametr b urcuje miru, s jakou se nakazeni jedinci stavaji infekcnimi. 5 Teoreticky rozbor V tomto odstavci se omezime na nasleduji model typu SIR. S(t) + I(t) + R(t) = 1. S (t) = m m S(t) r S(t) I(t), I (t) = m I(t) + r S(t) I(t) a I(t), (1) R (t) = m R(t) + a I(t), Velikost populace je jednotkova a tedy hodnoty promennych predstavuji kolik procent z celkove populace do dane skupiny patri. Znaceni parametru 6

7 odpovida predchozim kapitolam. Novy parametr m popisuje porodnost a umrtnost (cislo 1/m odpovida stredni delce zivota). Nove narozeni jedinci jsou zarazeni do skupiny S(t). Pro spalnicky muzeme brat nasledujici hodnoty: m = 0.02, a = 100, r = Nejprve si muzeme vsimnout, ze dany system ma dva rovnovazne stavy. Prvni je S 0 = 1, I 0 = 0. a odpovida stavu, kdy neni nikdo nakazen tj. neexistuje zadna nakaza.(hodnotu R muzeme vypocitat z podminky S+I+R=1.) Druhy je kde S1 = m + a, r I1 = m(r 0 1), r R 0 = r m + a. V tomto rovnovaznem stavu existuje nenulova skupina nakazenych jedincu. Tento stav budeme nazyvat epidemicka rovnovaha. Dale plati, ze pokud R 0 > 1, tak kazdy infikovany jedinec v prumeru nakazi vice nez jednoho dalsiho clena populace. Skupina I(t) se tedy bude rozsirovat. V tomto pripade je rovnovazny stav (S0, I 0 ) nestabilni, ale (S1, I 1 ) je lokalne stabilni. Pokud R 0 < 1, tak kazdy infikovany jedinec v prumeru nakazi mene nez jednoho dalsiho clena populace. Tedy v tomto pripade se skupina nemocnych bude zmensovat. (S0, I 0 ) je lokalne stabilni a (S1, I 1 ) je nestabilni. 6 Ockovaci strategie 6.1 Stale ockovani Predpokladame, ze kazdy nove narozeny jedinec bude ockovan. Ockovani ma uspesnost p, kde 0 < p < 1. Prvni a treti rovnice soustavy (1) se zmeni 7

8 na S (t) = (1 p) m m S(t) r S(t) I(t), R (t) = p m m R(t) + a I(t). Pokud nyni vysetrime stabilitu rovnovaznych stavu modelu se stalym ockovacim, zjistime, ze existuje kriticka hodnota p c = 1 R 0. Pokud p > p c, potom je stav, kdy neexistuji nakazeni jedinci, stabilni a ma nove souradnice (S0 = 1 p, I 0 = 0). Pro relativne slabsi ockovani p < p c je stav epidemicke rovnovahy stabilni a ma souradnice S1 = S1, I1 = I1 m m + g p. Vidime, ze zvysovani uspesnosti ockovani p linearne snizuje pocet infikovanych v rovnovaznem stavu. Pro spalnicky plati zhruba p c = To znamena, ze pro stavilizaci stavu bez nemocnych musi byt uspesne ockovano 95% narozenych deti. 6.2 Pulsni ockovani Namisto staleho ockovani vsech narozenych deti bude ockovana cast skupiny S(t) kazdych T let. Predpokladame, ze ockovani dava celozivotni imunitu a tedy ockovani v modelu presunuti ze skupiny S(t) do skupiny R(t). Po kazdem ockovani se system vyvyji z noveho pocatecniho stavu az do dalsiho pulsu. Myslenkou tohoto zpusobu ockovani je delat tak casto, aby byla splnena podminka I (t) < 0, z cehoz vyplyva, ze I(t) je klesajici funkce. Tato podminka bude splnena, pokud S(t) < S c, kde je epidemicky prah. S c = m + a r 8

9 6.3 Model SIR s pulsnim ockovanim Upravou modelu (1) pomoci teorie z predchoziho odstavce dostavame S (t) = m m S(t) r S(t) I(t) S(nT )δ(t nt ), n=0 I (t) = m I(t) + r S(t) I(t) a I(t), R (t) = m R(t) + a I(t) + S(nT )δ(t nt ), n=0 S(t) + I(t) + R(t) = 1, kde S(nT ) je levostranna limita limita S(t) v bode (nt ) a δ je Diracova delta funkce. Vakcinace probiha v casech nt, n = 0, 1, Aby byl splnen pozadavek I (t) < 0 nesmi doba mezi ockovnimi T presahnout hodnotu T max 6.4 Porovnani ockovani a p r m(1 p/2 a/r). Zavedeme funkci N, ktera bude ukazovat, kolik lidi je rocne ockovano. Tato funkce zhruba odpovida cene daneho ockovani. Pro konstantni ockovani N = N(p) = m p. Pro pulsni ockovani N = N(p, T ) = pm p + mt. Pro dane p nabyva tato funkce minima v T = T max. Pro spalnicky muzeme upravit na N = N(p, T max ) m ma r(1 p/2) m. Je videt, ze stale ockovani je vyhodnejsi, ale u spalnicek musi platit p > p c 0.95, aby byla epidemie kontrolovana. Rozdil mezi strategiemi ockovani tedy neni velky. Vyhoda pulsniho ockovani je ta, ze dokaze stabilizovat stav bez infikovanych jedincu i pro p < p c. V praxi muze byt jednodussi ockovat mensi procento k nemoci nachylne populace kazdych nekolik let nez drzet stale velmi vysoke procento ockovanych deti. 9

10 7 Ukazka modelu Model typu SEIR pro spalnicky: S (t) = m N m S(t) r S(t) I(t) ν S(t), E (t) = r S(t) I(t) + ν S(t) m E(t) b E(t), I (t) = b E(t) m I(t) a I(t), R (t) = a I(t) m R(t), N = 1, S(0) = 0.49, E(0) = 0.01, I(0) = 0.01, R(0) = 0.49, m = 0.02, a = 55, b = 50, ν = , r = r 0 (1 + r 1 cos(2πt)), r 0 = 1200, r 1 = Znaceni odpovida predchozim kapitolam. Parametr ν popisuje pravdepodobnost nakazy z prostredi tj. ne kontaktem s nakazenym. Infekcnost choroby je v case promenna tj. r = r(t). t je cas v letech. Grafy reseni: Levy graf ukazuje vyvin pocatku nakazy, pravy nakazu vdelsim casovem meritku. Modre je znazornena skupina S(t), zelene E(t), cervene I(t) a zlute 10

11 R(t). Je videt, ze se v kratkem casovem obdobi nakazi vetsina populace a pote se system ustali. Nyni do modelu pridame konstatni vakcinaci s uspesnosti p = Grafy reseni: Levy graf ukazuje vyvin systemu v delsim casovem obdobi. V pravem grafu je skupina R(t) rozdelena na cast, ktera se nakazila a vylecila (cerne), a na cast, ktera byla uspesne ockovana (zlute). References [1] bacaer/oldsars/sars.html [2] T. Ryba: Modelovani sireni venerickych onemocneni [3] B. Shulgin, L. Stone, Z. Agur: Pulse Vaccination Strategy in SIR Epidemic Model [4] J. Ma, Z. Ma: Epidemic treshold conditions for seasonally forced SEIR models [5] X.Meng, L.Chen: The dynamics of a new SIR epidemic model concerning pulse vaccination strategy [6] glenn/mathmod/seir.pdf 11