Přepsal Petr Baudiš v ak. roce 2004/2005

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přepsal Petr Baudiš v ak. roce 2004/2005"

Transkript

1 Přepsal Petr Baudiš v ak roce 2004/2005 IfIamgivenaformula,andIamignorantofitsmeaning,itcannotteachmeanythingButif Ialreadyknowit,whatdoestheformulateachme? ST AUGUSTINE c 2004/2005 Jiří Fiala, Petr Baudiš Verze /L:1616 Tato verze není garantována, nemusí být kompletní a může obsahovat chyby Aktuální verzi vždy najdete na Sazba v programu TEX

2 !"# $%&'$( Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Permutacemnožiny {1,,n}jebijektivnízobrazení {1,,n} {1,,n} S n značímemnožinuvšechpermutacína nprvcích( S n =n!) Znaménkopermutace p S n definujeme: sgn(p) def =( 1) #inverzívp kdedvojiceindexů(i,j)tvoříinverzi,pokud i < j,ale p(i) > p(j) Cvičení: Definujte znaménko pomocí cyklů permutace a pomocí transpozic )*$'#+ Nechť Aječtvercovámaticeřádu nnadtělesem TPotomdeterminantmatice Ajedánvýrazem: det(a)= p S n sgn(p) n a i,p(i) (Jdevlastněozobrazení T n n T) ukázky Lze si rozmyslet, že determinat trojúhelníkové matice je součin všech prvků na hlavní diagonále Permanent: Determinant, ovšem bez použití sgn permutace,-"!$%!' /!'$"$! Pozorování: det(a T )=det(a) det(a T )= = p S n sgn(p) p S n sgn(p) n (A T ) i,p(i) = n a p(i),i =det(a) Poslednírovnostdokážitak,žepodle pzvolím q, q= p 1,tedy p(i)=i q(i )=itedy i < j p(i) > p(j)znamená,že q(i ) < q(j ) i > j,tedysgn(p)=sgn(q) Pozorování: Přerovnání sloupců matice A podle permutace q nezmění determinant, pokud sgn(q) = +1, v opačném případě determinant změní pouze znaménko Abuďpůvodnímatice, A pakmaticespřerovnanýmisloupci Sloupecč 1matice Ase octneva napozici q(1)apod a i,j = a i,q(j) = a i,j= a i,q 1 (j) det(a )= n sgn(p) (A ) i,p(i) = p S n = n sgn(p) p S n a i,q 1 (p(i))= 1

3 Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Nechť h(i)=q(p(i))(sgn q=sgn q 1 ): =sgn(q) n sgn(q)sgn(p) a } {{ } i,h(i) = p S n =sgn(q) h S n sgn(h) sgn(h) n a i,h(i) =sgn(q) det(a) Důsledek: Má-li matice A dva sloupce shodné, det(a) = 0(platí i pro stejné řádky) 012$3+ Determinant je lineární funkcí každého řádku i každého sloupce matice Tedynapř: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det = b i1 + c i1 b i2 + c i2 b in + c in a n1 a n2 a nn b 11 b 12 b 21 b 22 =det b i1 b i2 b n1 b n2 b 1n b 2n b in b nn c 11 c 12 c 21 c 22 +det c i1 c i2 c n1 c n2 c 1n c 2n c in c nn + Linearitavůčinásobení t T: Abuďpůvodnímatice, A mávynásobený i-týřádek det(a )= sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) (t a i,p(i) ) a n,p(n) ) = } {{ } p S n n (A ) i,p(i) = t p S n sgn(p) n a i,p(i) = tdet(a) Linearitavůčesčítání, a i,j = b i,j + ci,j: det(a )= sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) (b i,p(i) + c i,p(i) ) a n,p(n))= } {{ } p S n = a i,p(i) p S n sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) b i,p(i) a n,p(n) ) + p S n sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) c i,p(i) a n,p(n) )= =det(b)+det(c) Důsledek: Elementární řádková úprava součtu řádků nemění determinant 2

4 ,45%6! /!'$"$! Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Převedením na trojúhelníkový tvar pomocí přičítání t-násobků ostatních řádků podobně jako Gaussova eliminace Nesmímeměnitpořadířádkůaninásobitřádek t T(resp můžeme,alemusímesipamatovat, jak to ovlivní diskriminant) Zato můžeme používat sloupcové operace 71'6$3+ Spočtěte determinant Vandormondovy matice:,8!%%19 %:"-( 1 x 1 x 2 1 x n x n x 2 n x1 n 1 Druhyobalůmnožinyvektorů v 1,,v n v R α : Lineárníobal L(v 1,,v n )={a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a n v n : a i R} Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pak L(v 1,v 2 )=R 2 Afinníobal {a 1 v 1 + +a n v n : a i R, n a } Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pakafinníobalbudepřímkaprocházejícíjejichkoncovýmibody Konvexníobal {a 1 v 1 + +a n v n : a i R, n a, a i [0,1]} Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pakkonvexníobalbudeúsečkaspojujícíjejichkoncovébody Rovnoběžnostěn {a 1 v 1 + +a n v n : a i R, a i [0,1]} Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pakrovnoběžnostěnbudemnožinabodůuzavřenákosodélníkem skrajnímibody0,v 1,v 2,v 1 + v 2 (včetněúsečekjespojujících) ;% 1'-%! %:<(!=- Jdeogeometrickývýznamdeterminantu,jsmetedyvR n Mějmematici A R n n,rozložímjejí řádkynavektory a 1,,a n (tybudoutvořenysloupcimatice) diagramla1 %2%%1>$3+ det(a) udáváplochu(objem)rovnoběžnostěnuurčenéhovektory a 1,,a n Důkaz: diagram LA2 (jakýkoliv rovnoběžník můžeme převést beze změny objemu(tedy i determinantu) na n-rozměrný obdélník či kvádr, který má nenulové prvky jen na diagonále, tedy determinant spočteme a ověříme snadno) Důsledek:Je-li flineárnízobrazení R n R n a Fjematicetohotozobrazení,potomseobjemy těles mění podle předpisu vol(f(t))= det(f) vol(t) (kdevolznačíobjemvr d ) Viz diagramla3 (kolikrátsečtverečekvejdedo F, tolikrátse zdeformovaný čtvereček vejde do zdeformovaného f(t)) VĚTA (o součinu determinantů): Nechť AaBjsoučtvercovématiceřádu nnadtělesem TPotomplatí det(a B)=det(A) det(b) 3

5 Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Když A nebo B jsou singulární, nějaký řádek je lineární kombinací ostatních, tudíž je determinantnulový Je-li Anebo Bsingulární, A Bjetakésingulární Tedydostanemerovnici 0=0 Předpokládejmetedy,že AiBjsouregulární Toznamená,že Alzerozložitjakosoučin elementárních matic: A=E 1 E 2 E k Tedy: det(a B)=det(E 1 E 2 E k B)=det(E 1 ) det(e 2 E k B)= neboť víme, jak se mění determinant elementárními úpravami přičtení násobku jiného řádku znamenádet(e 1 )=1,násobenířádkučíslem tznamenádet(e 1 )=t =det(e 1 ) det(e 2 ) det(b)=det(e 1 E k ) det(b)=det(a) det(b) VĚTA (o regularitě podle determinantu): Čtvercovámatice Ajeregulární,právěkdyždetA 0 )?-/8 -'$"'!( /!'$"$! Nechť A ij značímatici,kterávzniknezmatice Avypuštěním i-téhořádkuaj-téhosloupce(někdy také nazýváme minor matice určený souřadnicemi i, j) Potom pro libovolné i platí tzv rozvoj determinantu podle i-tého řádku: det(a) = (Stejnou věc mohu udělat i pro sloupce) n a ij ( 1) i+j det(a ij ) j=1 Můžeme vzít definici determinantu det(a)= p S n sgn(p) n k=1 a k,p(k) avytýkatprvky a ij z i-téhořádku Alternativní(jednodušší) cesta: můžeme využít linearity a i-tý řádek si rozložit jako lineární kombinacivektorůkanonickébáze(e i ): (a i,1,a i,2,,a i,n )=a i,1 (1,0,,0)+a i,2 (0,1,0,,0)+ +a i,n (0,,0,1) Determinant det(a) si pak rozložíme na součet n determinantů, kde v i-tém řádku je vektor kanonickébáze e j (takovámaticebuďnapř B i,j ): det(a)=a i,1 det(b i,1 )+ +a i,n det(b i,n ) Posuneme si náš jednotkový řádek na nejvyšší pozici: det(b i,j )=( 1) i 1 det(b 1,j ) Nyní si sloupec s jedničkou posuneme do prvního sloupce: det(b 1,j )=( 1) i 1 ( 1) j 1 det(b 1,1 ) 4

6 Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Inuaodmyslíme-lisiprvnířádekaprvnísloupec,zbudenámmatice A ij : )*$'#+ det(b 1,j )=( 1) i+j det(a ij ) Pro čtvercovou matici A definujeme adjungovanou matici adj(a) předpisem (Pozornaobrácenépořadí A ji!) (adj(a)) ij =( 1) i+j det(a ji ) VĚTA (o vztahu inverzní a adjungované matice): Pro každou regulární matici A nad tělesem T platí A 1 = 1 det(a) adj(a) Podívejmesenasoučin A adj(a),konkrnasoučinřádků: A i adj(a) i = n a ij ( 1) i+j det(a ij )=det(a) j=1 Neboť determinant matice A, kde i-tý řádek je nahrazen j-tým, je nula(jde o singulární matici), platí: A j adj(a) i =0 A adj(a)=det(a) I n A 1 det(a) adj(a)=i n VĚTA (Cramerovo pravidlo): Nechť A je regulární matice, potom každé řešení soustavy Ax = b lze zapsat jako x i = det(a i b) det(a) kde A i b jematice,kterávzniknezmatice Anahrazením i-téhosloupcevektorem b x i = Ax=b= x=a 1 b= 1 det(a) (adj(a) b) 1 i= det(a) = 1 det(a) adj(a) b n adj(a) ij b j = j=1 1 det(a) det(a i b) 5

7 @ABC DCBA EABC EFGH IJKLM KNOPQRSTUVJ WNWXUQY Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Zaveďme si jednoduchý(abstraktní) model dynamického systému Systém budeme reprezentovat jako vektorovýprostor V nad T Dynamikupakreprezentujemejakolineárnízobrazení f:v V,které popisuje přechod mezi dvěma stabilními stavy Stabilní stavy mohou být buď pevné body zobrazení f,nebo skoropevné body(pevnéažnaskalárnínásobek) Z38-"/(+ (i) OsovásouměrnostvR 2 :mějmetakovézobrazení f,pakjehomaticeje [f] kk = ( ) (osa půlí druhý a čtvrtý kvadrant) Ptáme se: Které vektory se zachovávají? Které vektory zachovávají směr?(tedy až na skalár, včetně záporného, který vytvoří směr opačný) (ii) Čísla vlastní populacím králíků: Mějme Fibonacciho posloupnost(viz Lineární algebra I nebo kdekoliv jinde) Ptámese:Jaksevyvíjípoměr F t /F t 1?Mátentotrendlimitu?Osciluje,nebopronějakou volbu velikosti populací zůstává stabilní? Vřečimaticavektorovýchprostorů: Uvažmeprostor R 2 alineárnízobrazení f: R 2 R 2 dané rekurencí ( ) ( )( ) F1 1 1 Ft 1 = 1 0 F t 1 F t 2 Stabilnípoměr F t /F t 1 majínetriviálnívektory x= f(x)= ( ) 1 1 x=λx 1 0 ( Ft F t 1 ) takové, že pronějaké λ R(vektory xaλxmajízřejmětentopoměrstejný) [MPWXO\ ]\WMP )*$'#+ Nechť V jevektorovýprostornadtělesem T a f:v V jelineárnízobrazení Potom λ T senazývávlastní číslo zobrazení f,existuje-linenulovývektor x V takový,že f(x)=λx Vlastnívektorpříslušnývlastnímučíslu λjelibovolné x,pronějžplatí f(x)=λx Je-li dim(v) konečná, lze zobrazení f reprezentovat maticí(vůči nějaké bázi), tedy lze pojem vlastníchčíselavektorůrozšířitipromatice A T n n Vlastníčíslomatice λjetakové,pro které x 0takové,že Ax=λxVlastnívektor xpříslušný λjetakový,že Ax=λxMnožina všech vlastních čísel matice se nazývá stopa 6

8 Z38-"/(+ Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla (i) Osová souměrnost: λ 1 =1 x 1 =( 1,1) λ 2 = 1 x 2 =(1,1) (ii) Králíci: λ 1 = 1+ 5 ( 2 1+ ) 5 x=,1 2 (vektor při každé iteraci narůstá) λ 2 = 1 5 ( 2 1 ) 5 x=,1 2 (vektor mění znaménko ablížíseknulovémuvektoru) Pozorování: Je-li x vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ, je i libovolný skalární násobek x VĚTA (o lineární nezávislosti vlastních vektorů): Mějmelineárnízobrazení f:v V,navzájemrůznávlastníčísla λ 1,λ 2,,λ k apříslušnévlastní vektory x 1,x 2,,x k (x i přísluší λ i )Potomvektory x 1,,x k jsoulineárněnezávislé Indukcí a sporem: Nechť v 1,,v k dávajínejmenšíprotipříklad,tedylibovolná(k 1)-ticejelineárněnezávislá, ale x 1,,x k jelineárnězávislá: a 1,,a k Tnetriviálnítaková,že a 1 x 1 + +a k x k =0 ( k k k 0=f(0)=f a i x i )= a i f(x i )= a i λ i x i ( k 0=λ k 0=λ k a i x i )= k a i λ k x i 0=0 0= k a i λ i x i k a i λ k x i = k k 1 a i (λ i λ k )x i = a i (λ i λ k )x i Toaleznamená,žebuďje x k =0,nebo x 1,,x k 1 jsoulineárnězávisláobojíje Spor Důsledek: Čtvercovámaticeřádu nmánejvýše nrůznýchvlastníchčísel,protože T n má nejvýše n lineárně nezávislých vektorů 7

9 [MPWXO\ ]\WMP QPXRS Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla matic Vztah zobrazení f matice A není jednoznačný, neboť různé matice A, B mohou odpovídat stejnému zobrazení f(vůcirůznýmbázím X,Y): A=[f] XX,B=[f] Y Y [f] XX =[id] Y X [f] Y Y [id] XY Matice[id]jsoupřitomregulární,navíc[id] XY =[id] 1 Y X Označme[id] XY = R,pak A=R 1 BR Definice: Čtvercové matice A, B stejného řádu se nazývají podobné, pokud existuje regulární matice Rtaková,že A=R 1 BR VĚTA (o vlastních číslech podobných matic): Nechť AaBjsoupodobnématice(tj R:A=R 1 BR), λjevlastníčíslomatice Aaxje příslušný vlastní vektor Potom λ je i vlastní číslo matice B a y = Rx je příslušný vlastní vektor By=(RAR 1 )(Rx) = RAx=R(λx)=λ(Rx)=λy } {{ }}{{} B y Pozorování: Vlastní čísla diagonální matice vlastnívektor e i =(0,,0,1,0,,0)) ^&'!3 /'"_%$"-'2%1"!-$4#` "!'# a 1 0 jsou prvky na diagonále(příslušný 0 a n Definice: Matice A je diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici Mějmediagonalizovatelnoumatici A=R 1 DR (a) Výpočet vlastních čísel a vektorů: Pokud a i je i-týprveknadiagonálevd,potom a i jeii-tévlastníčíslo D,Aai-týsloupec R=(R e i )jevlastnívektormatice A (b) Výpočet mocnin matic: A k = R } 1 DRR 1 DR {{ R 1 DR } = R 1 D k R k 8

10 Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla matic VĚTA (o vztahu vlastních čísel a diagonalizovatelnosti): Má-limatice A T n n nnavzájemrůznýchvlastníchčísel,potomjediagonalizovatelná Mějme λ 1,λ 2,,λ n různýchvlastníchčíselax 1,x 2,,x n lineárněnezávislýchvlastních vektorůdálemějmeregulárníčtvercovoumatici T n n : R=(x 1 x 2 x n ) Všimněmesi,že Ax i = λ i x i Pak A Rjevšakmatice,kde i-týsloupecje λ i x i Platínavíc, že A R=R D,kde Djediagonálnímaticemajícínadiagonále λ 1,λ 2,,λ n Tedy R 1 AR=D,aproto Ajepodobnádiagonální D(R 1 jsemtomohlvynásobit,neboť R je regulární, tedy vektory jsou nezávislé) VĚTA (o vztahu vlastních vektorů a diagonalizovatelnosti): Matice A T n n jediagonalizovatelná,právěkdyžmá nlineárněnezávislýchvlastníchvektorů Existujeregulární R,tedy R 1 AR=D AR=RD,sloupce Rtvořívlastnívektory Protože R je regulární, vektory jsou lineárně nezávislé Zvlastníchvektorůsestavím R,pak R 1 AR=D 9

11 avpbptxlbrwxrstc QOJVJ]MLO )*$'#+ Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický mnohočlen Nechť A je čtvercová matice řádu n nad tělesem T, potom charakteristický mnohočlen (v proměnné t) je definován předpisem Vždyjdeopolynomvtstupně n p A (t)=det(a ti) VĚTA (o vztahu charakteristických mnohočlenů a vlastních čísel): Prokaždoučtvercovoumatici Aplatí,že λjevlastníčíslomatice A,právěkdyž λjekořenem charakteristického mnohočlenu matice A λjevlastníčíslomatice A,právěkdyžexistujenetriviální x:ax=λx,tedy: Ax λx=0 (A λi)x=0 Toplatí,právěkdyžmaticetétosoustavy A λijesingulární,cožovšemznamená,že det(a λi)=0 Z38-"/(+ p A (λ)=0 ( 0 1 (i) Mějme osovou souměrnost A = 1 0 p A (t)=det (ii) Mějme Fibonacciho posloupnost A = (iii) Mějmematiciotočení(o90 ) A= ) : ( t 1 1 t λ 1,2 = ±1 ( ) 1 1 : 1 0 p A (t)=t 2 t 1 λ 1,2 = 1 ± 5 2 ( ) p A (t)=t 2 +1 ) = t 2 1 ŘešenímnejsoužádnávlastníčíslavR,zatovCexistujívlastníčísla λ 1,2 = ±i 10

12 Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický mnohočlen VĚTA (o charakteristických polynomech podobných matic): Podobné matice mají shodné charakteristické polynomy(silnější vlastnost, než že matice mají stejná vlastní čísla) A=R 1 BR p A (t)=det(a ti)=det(r 1 BR tr 1 IR)=det(R 1 (B ti)r)= neboťdet(r 1 )det(r)=det(i)=1 %2%%1>$3+ =det(r 1 )det(b ti)det(r)=det(b ti)=p B (t) Mějme I,J,K,L,P,Q,R,S T n n : ( ) ( ) I J P Q K L R S } {{ } } {{ } T 2n 2n ( ) IP+ JR IQ+JS = KP+ LR KQ+LS VĚTA (o vztahu řádu matice a vlastních čísel součinů matic): Pro čtvercové matice A a B stejného řádu mají matice AB a BA stejná vlastní čísla Cvičení: Dokažte, že toto jednoduše platí, je-li A nebo B regulární (Nyní dokazujeme větu i pro singulární A, B) ( )( ) ( ) AB 0 I A AB ABA = B 0 0 I B BA ( )( ) ( ) I A 0 0 AB ABA = 0 I B BA B BA ( ) I A Dále víme, že je regulární, tudíž matice 0 I ( ) AB 0 B 0 a ( ) 0 0 B BA si jsou podobné a mají tedy stejný charakteristický polynom: ( ) AB ti 0 det =( t) n det(ab ti)=( t) n p B ti AB (t) První rovnost platí, neboť jeden kvadrant je nulový, tedy si musíme brát prvky z kvadrantu s ti(tojeono( t) n ),aostatnínutněmusímebrátzab ti,abychomzachovalipermutaci 11

13 Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický mnohočlen Stejně i pro druhou matici ( ) ti 0 det =( t) n det(ba ti)=( t) n p B BA ti BA (t) Tedy díky rovnosti oněch matic platí ( t) n p AB (t)=( t) n p BA (t) VĚTA (Cayley Hamilton): Nechť A T n n a p A (t)=( 1) n t n + a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0 je její charakteristický polynom Potom platí ( 1) n A n + a n 1 A n 1 + +a 1 A+a 0 I=0 Cvičení: Ukažte, že tato věta platí pro diagonalizovatelné matice Využijme faktu, že Madj(M)=det(M)I adosaďmeza M= A ti Pakprvkymaticeadj(A ti)jsoupolynomystupně n 1vt (plyne z definice adj(m) pomocí minorů) adj(a ti)=t n 1 B n 1 + t n 2 B n 2 + +tb 1 + B 0 B n 1,,B 0 T n n (A ti)(t n 1 B n 1 + t n 2 B n 2 + +tb 1 + B 0 )=det(a ti)i= =p A (t)i=( 1) n t n I+ a n 1 t n 1 I+ +a 1 ti+ a 0 I Jaké dostaneme koeficienty? t n B n 1 =( 1) n I / A n zleva t i,1 i n 1 AB i B i 1 = a i I / A i zleva t 0 (absčlen) AB 0 = a 0 I Sečteme: A n B n 1 + A n 1 (AB n 1 B n 2 )+A n 2 (AB n 2 B n 3 )+ +A(AB 1 B 0 )+AB 0 = =( 1) n A n + a n 1 A n 1 + +a 1 A+a 0 I Ale zároveň se vše vzájemně vykrátí tak, že: A n B n 1 + A n 1 (AB n 1 B n 2 )+ +A(AB 1 B 0 )+AB 0 =0 12

14 [MPWXO\ ]\WMP P QPXRSL d a JiříFiala LineárníalgebraII C je algebraicky uzavřené těleso, tedy se dají nalézt kořeny polynomů e>8-"/$3 1=!" "-_:( Každýpolynomstupně 1má 1kořenvtělese C )?-/8+ Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Každýpolynom p(t)stupně n 1nad Clzerozložitnasoučit nmonomů p(t)=a n (t λ 1 )(t λ 2 ) (t λ n ) kde λ 1,,λ n jsoukořeny Pročbytoměloplatit? p(t)/(t λ)musíbýtnutněpolynomstupně n 1aλ i jekořen p(t), jehož existenci dává základní věta algebry Postupnětaktodělíme,apokudbynakoncizůstaloněcojinéhonež0,taknemohlybýt λ i kořeny f>!'$ /?8"2 Mějme p(t)=a n t n + a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0 abezújmynaobecnostipředpokládejme a n 0, a 0 0 Jakse p(t)chová? (i) t 0:p(t) = a 1 t+a 0 (předpokládáme-li a 1 0) (ii) t :p(t) = a n t n Jakgrafickyvypadáobrazkomplexníkružniceopoloměru r:d r := {t: t =r}? (i) t 0:p(D r )jemalýkomplexníkroužekokolo a 0 (ii) t :p(d r )obrazse n-krátovineokolonuly Topologickýargument: Pro t jepočátekuvnitřobrazukružniceapro t 0jevně Tedy pokud spojitě přechází z extrému do extrému, tak tu nulu někdy musí trefit Důsledek: Nechť A je komplexní čtvercová matice řádu n Potom lze psát p A (t)=(λ 1 t) r1 (λ 2 t) r2 (λ k t) r k kde λ 1,,λ k jsourůznávlastníčíslaar i jetzvalgebraickánásobnostvlastníhočísla: k r i= n %2%%1>$3+ (i) a 0 =deta= k λ ri i Dosaďme t = 0 do charakteristického polynomu a do jeho alternativního zápisu z předchozího důsledku: p A (t)=det(a ti) 13

15 JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC (ii) a n =( 1) n a n 1 =( 1) n (r 1 λ 1 + r 2 λ 2 + +r k λ k )=(A 1,1 + A 2,2 + A 3,3 + +A n,n ) (1) p A (t)=(λ 1 1) r1 (λ 2 t) r2 (λ k t) r k Ztohotorozvojemohuurčitkoeficient t n 1 :z n 1závorekvždyvezmu taztézbývající λ (2) p A (t)=det(a ti) Jedině permutace, která je identitou(tedy provede vynásobení po diagonále), může dát polynomvtstupně n 1 Tatopermutacedásoučin(A 1,1 t)(a 2,2 t) (A n,n t)akoeficienttedybudeopět (stejným způsobem jako v(1)) součet prvků na diagonále 012$3+ Čtvercová komplexní matice A je diagonalizovatelná, právě když λ i :rank(a λ i I)=rank(A) r i Ajediagonalizovatelná,tedyexistujebáze C n složenázvlastníchvektorů Tutobázivšak můžemerozložitna kbázívprostoruker(a λ i ),kdekaždájeodimenzi r i Z38-"/+ Matice, která nelze diagonalizovat: A= ( ) λ 1,2 =1 g%/"$?1 $%>-$3!1" "!'# Každá komplexní čtvercová matice je podobná matici T-O-D-O: nakreslit Čtvercovéoblasti,kterémajínadiagonálevlastníčíslo λ i obklopenéjedničkami,nazývámejordanovy buňky h'!%18> "!'# )*$'#+ Nechť AjekomplexníčtvercovámaticePotommatici A H,prokterouplatí (A H ) ij = a ji nazýváme hermitovská transpozice matice A Pozn: Někdyseznačítaké Aaktomuseještěněkdynazývákonjugovanámatice %2%%1>$3+ (AB) H = B H A H (Důkaz je obdobný jako pro obyčejnou transpozici) 14

16 %2%%1>$3+ JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Pro standardní skalární součin nad C platí x y = n x i y i = y H x Vezměmeprostornad Ckonečnédimenze n = C n aorthonormálníbázi u i vůčistandardnímu skalárnímu součinu: A=(u 1 u 2 u n ) Potom nutně platí A H A=I Definice: Komplexníčtvercovámatice Asenazýváhermitovská,platí-li A H = A,aunitární, platí-li A H A=I Pozn: InterpretacevR: Hermitovskámaticeodpovídásymetrickématici A T = A,zatímco unitárnímaticeodpovídáorthogonálnímatici A T = A 1 VĚTA (o diagonalizaci hermitovské matice): Každá hermitovská matice A má všechna vlastní čísla reálná a dokonce existuje unitární matice Rtaková,že R 1 ARjediagonální Pozn: Podobnávětaplatíiproširšítřídumatic,tzvnormálnímatice A H A=AA H Indukcí podle n řádu matice Pro n = 1 triviálně platí, nechť tedy platí pro 1,2,,n 1: Víme,žeexistujevlastníčíslo λapříslušnývlastnívektor x CPodleSteinitzovyvěty ovýměněmůžemedoplnit xnaorthonormálníbáziprostoru C n Bezújmynaobecnosti tedynechť x =1 Z vektorů této báze vytvoříme matici P n, obsahující ve svém sloupcovém prostoru ortonormálníbázi C n P n jeunitární,poněvadžstandardnískalárnísoučindvourůzných vektorů z orthonormální báze je nulový a součin dvou stejných vektorů je 1 Platí: (P H n A n P n ) H = P H n A H n(p H n) H = P H n A H n P n Tedy Pn H A H n P n jehermitovskámatice Dálemějmematici: ( ) λ 0 0 A n 1 Protožetatomaticejerovnasvéhermitovskétranspozici,musíplatit λ=λ,tudíž λ R Zindukčníhopředpokladuexistujeunitárnímatice R n 1 taková,že Rn 1 1 A n 1R n 1 = D n=1 Vezměme ( ) 1 0 S= 0 R n 1 R n = P n S Si P n jeunitární jeunitárníijejichsoučin? R H n R n =(P n S) H P n S= S H P H n P n S= I Tedy R n jeunitárníjetoonamatice,kteroujsmehledali? R 1 n A n R n =(P n S) H AP n S= S H Pn H AP n S= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 λ λ 0 = 0 Rn 1 H = = D 0 A n 1 0 R n 1 0 D n 1 15

17 JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Alternativní cesta k důkazu (i) Snadnoseukáže,že λ R: Ax=λx (Ax) H =(λx) H (λx) H = λx H = x H A H x H x(λ λ)=x H (λ λ)x=x H Bx x H B H x=0 Tedynutně λ=λ (ii) Různá vlastní čísla znamenají, že příslušné vektory jsou na sebe kolmé Nechť λ 1,λ 2 jsoudvěrůznávlastníčíslamatice Aax 1,x 2 jsoupříslušnévlastní vektoryvíme,že A H x 1 = λx 1 Potom λ 1 x H 1 x 2 =(λ 1 x H 1 x 2 =(A H x 1 ) H x 2 = x H 1(Ax 2 )=λ 2 x H 1 x 2 avíme,že λ 1 λ 2,proto x H 1 x 2 =0ajsoutedyortogonální (iii) Obtížnéjealeukázat,žedim(Ker(A λ i I))=r i )?-/8+ Pro každou symetrickou matici A platí, že všechna její vlastní čísla jsou reálná a navíc existuje orthogonálnímatice Rtaková,že R 1 ARjediagonalizovatelná Pozor, ne každá matice je orthogonální Je nutno ukázat, že příslušný vlastní vektor x lze vzít reálný To naštěstí lze: (A λi)x=0 To je soustava lineárních rovnic s reálnou singulární maticí, tedy musí existovat netriviální řešeníatakmůžemezůstatvtělese R Z38-"/+ A= ( ) 1 1+i 1 i 2 p A (t)=t 2 3t λ 1 =0, λ 2 =3 R= ( 1+i i 3 ) unitární R H = R 1 = R 1 AR=R H AR= ( 1 i ) i 3 3 ( )

18 ,2!"` `'!%189!"$5%2'# " 8"->$3`% % 6'$ %2%%1>$3+ JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Nechť V jevektorovýprostorseskalárnímsoučinemkonečnédimenzeax= {x 1,x 2,,x n } je jeho orthogonální báze Potom: u,v V : u v = n u x i x i v =[v] H x[u] x n u= α i x i n v= β i x i α i = u x i =([u] x ) i β i = v x i =([v] x ) i 012$3+ x i v =β i u v = n n n n α i x i β j x j = α i β j x i x j j=1 j=1 i j x i x j =0 i=j x i x j =1 Nechť V jevektorovýprostorseskalárnímsoučinemkonečnédimenzeax= {x 1,x 2,,x n } jejehoorthonormálníbázenechťdále f:v V jelineárnízobrazení Potom platí, že f zachovává skalární součin, tj u v = f(u) f(v) ato,právěkdyžjematicezobrazení[f] XX unitární u v =[v] H X[u] X f(u) f(v) =[f(v)] H X[f(u)] X =([f] XX [v] X ) H [f] XX [u] X =[v] H XX[f] H XX[f] XX [u] X Tovšakmůžeplatit,pouzepokud[f] H XX [f] XX= I,jinak u,v Vtakové,žeserovnost porušítedy[f] XX musíbýtunitární 17

19 igjek lmc Jiří Fiala Lineární algebra II Pozitivně definitní matice Jak se chová skalární součin vůči orthonormální bázi víme Otázka však zní, jak se chová vůči libovolné bázi Odpověď? Překvapivě i v tomto případě lze vyjádřit maticovým součinem %2%%1>$3+ Nechť V = C n jeprostorseskalárnímsoučinem Potomexistujematice Etaková,že u v = v H Euprolibovolnéaritmetickévektory u,v C Vezměmekanonickoubázi C n : e 1,e 2,,e n u:=(u 1,u 2,,u n ) v:=(v 1,v 2,,v n ) u v = n n n n u i e i v j e j = u i v j e i e j j=1 Definujmetedymatici(E) ij = e i e j : %2$>8(+ n j=1 j=1 n u i v j e i e j =v H Eu Pokud u v = u v, matice E musí být hermitovská Pokud u u 0a u u =0 u=0,matice Emusíbýtpozitivnědefinitní )*$'#+ Splňuje-li hermitovská matice A řádu n podmínku x C n, x 0:x H Ax >0 potom řekneme, že matice A je pozitivně definitní Pokud je splněna alespoň podmínka x C n : x H Ax 0 tak nazveme matici A pozitivně semidefinitní Obdobně máme matice negativně(semi)definitní a indefinitní(neplatí-li ani jedno) Pozn: Pozitivně definitní matice indikují lokální minimum, v matematické analýze se proto uplatňují při vyšetřování extrémů funkce více proměnných VĚTA (hermitovská matice a pozitivní definitnost): Pro hermitovskou matici A jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A je pozitivně definitní (ii) A má všechna vlastní čísla kladná (iii) k Aexistujeregulárnímatice Utaková,že A=U H U 18

20 Jiří Fiala Lineární algebra II Pozitivně definitní matice (1 2) Mějmevlastníčíslo λapříslušnývlastnívektor x: Ax=λx x H Ax=x H λx x H Ax=λx H x Zpředpokladuvíme,že Ajepozitivnědefinitní(x H Ax >0),tedy x H xjesoučinkomplexně sdružených nenulových čísel, což musí být kladné reálné číslo, a proto nutně λ >0 (2 3) Matice Ajehermitovská,tedy R:R H DR kde RjeunárníaDdiagonálníNadiagonálemápřitomvlastníčísla,kterájsoukladná Zvolme Dtak,že D ii = D ii Potom D= D H D A=R H DH DR U= DR a Ujeregulární,neboť Ri Djsouregulární (3 1) Snadnoodvodíme: x H Ax=x H U H Ux=(Ux) H (Ux) >0 } {{ }} {{ } $3 n7`%-89`% %28-"/o+ Pro pozitivně definitní matici A existuje trojúhelníková matice U taková, že A=U H U Vynecháme Důkaz by byl jen adaptací důkazu tvrzení, že A je hermitovská existuje unitární R:A=R H DR Jenbysemuselověnovattrochuúsilípřisestavovánímaticetak, aby byla trojúhelníková a dalšími operacemi se tento stav neporušil p-_%'! 5% $"-2$3 %28-"/ Vstup: Hermitovská matice A Výstup: Choleskéhorozklad U: U H U= Aneboodpověď,že Anenípozitivnědefinitní (i) Pro až nproveď i 1 u ii = aii u ki u ki k=1 (pokud u ii Rneexistuje, Anenípositivnědefinitní) 19

21 Jiří Fiala Lineární algebra II Pozitivně definitní matice (ii) Pro j= i+1až nproveď u ij = 1 u ii ( ) i 1 a ij u kj u ki k=1 Není složitý, lze poměrně snadno zpětně odvodit z násobení matic 012$3 ng"#%:'`% 5"1'/-%o+ Hermitovskámatice Ařádu njepozitivnědefinitníprávětehdy,kdyždeterminantymatic A 0, A 1, A 2,, A n 1 jsoukladné(a i značímaticivzniklouzaumazánímposledních iřádkůasloupců) Důkaz: Složitý, neuveden 012$3+ Mějme blokovou matici A definovanou jako α a H A= a à Blokovámatice Ajepozitivnědefinitní,právěkdyž α >0aà 1 α a ah jepozitivnědefinitní Nechť x C n (libovolnýnetriviální): α a H x 1 x H Ax=(x 1 x H ) a à x = = αx 1 x 1 + x 1 x H a+x 1 a H x+ x H à x x H1 α aah x+ x H1 α aah x= = αx 1 x 1 + x 1 x H a+x 1 a H x+ x H1 α aah x+ x H ( à 1 α aah ) x= komplexně sdružená čísla ( { = x H à 1 ( }} { αx1 ) x+ α aah + 1 )( αx1 α x H a + 1 a H x ) >0 α } {{ } vždyjejedenzvýrazů >0,neboť xjenetriviální Ukáže se stejně volbou x 1 = 1 α ah x ( cvičení ) 20

22 qgh Jiří Fiala Lineární algebra II Formy Mějmelineárnízobrazení f:v V,kdedimV < Paksedánajítmaticezobrazenítaková,že volbou vhodné báze získáme diagonální matici Mějmedáleskalárnísoučin V V C(neboobecně T),kdedimV < Paksedánajít matice součinu (pozitivně definitní matice) taková, že volbou vhodné báze získáme pěknou matici )*$'#+ Nechť V jevektorovýprostornadtělesem Ta f:v V Tjezobrazenítakové,kteréjelineární v první složce: u,v V, α T: f(αu,v)=αf(u,v) ivedruhésložce: u 1,u 2,v V : f(u 1 + u 2,v)=f(u 1,v)+f(u 2,v) u,v V, β T: f(u,βv)=βf(u,v) u,v 1,v 2 V : f(u,v 1 + v 2 )=f(u,v 1 )+f(u,v 2 ) Potom fnazývámebilineárníformouna V Bilineární forma je symetrická, platí-li u,v V : f(u,v)=f(v,u) Zobrazení g:v T nazývámekvadratickouformou,pokud g(v)=f(v,v)pronějakoubilineárníformu fna V )*$'#+ Nechť V jevektorovýprostornadtělesem T konečnédimenzeax= {v 1,,v n }jejehobáze Potomprokvadratickouformu g:v Tdefinujemematici Bformy gpředpisem b ij = f(v i,v j ) kde f je symetrická(tzv polární) bilineární forma vytvořující formu g %2%%1>$3+ Pro každou kvadratickou formu existuje polární forma, která ji definuje Bilineární formy na vektorových prostorech konečné dimenze se počítají jako maticové součiny (kde A je čtvercová matice) Jaksesmaticíformypočítá? )*$'#+ v T Au u V, [u] X =(α 1,α 2,,α n ):u= ( g(u)=f(u,u)=f αi v i, ) α j v j = n j=1 n α i u i n α i α j f(v i,v j )=[u] T X B [u] X Analytickévyjádřeníkvadratickéformy g:v Tvůčikonečnébázi Xjefunkce g:t n T n n g(x 1,x 2,,x n )= a ij x i x j j=i kdekoeficienty a ij jsouodvozenyzmatice Bformy gvůčibázi Xpředpisem a ij =2b ij i j a ii = b ii 21

23 Z38-"/(+ Jiří Fiala Lineární algebra II Formy (i) Kvadratickáforma g 1 : R 2 Rdanámatici B= Analytické vyjádření téže formy: ( ) 0 3 vůči kanonické bázi K 3 3 g 1 (x 1,x 2 )=6x 1 x 2 3x 2 2 (ii) Kvadratickáforma g 2 : R 3 Rdanámatici B= vůči kanonické bázi K Analytické vyjádření téže formy: g 2 (x 1,x 2,x 3 )=x 2 1+4x 1 x 3 2x 2 x 3 +3x 2 3 LEMMA: Nechť Bjematicekvadratickéformy g:v Tvůčibázi X,potom B =[id] T Y X B [id] Y X jematicíformy gvůčibázi Y [u] X =[id] Y X [u] Y g(u)=[u] T X B [u] X =([id] Y X [u] Y ) T B [id] Y X [u] Y = =[u] T Y [id] T Y X B [id] Y X } {{ } maticeformy gvůči Y [u] Y VĚTA (Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem): Platípouzepro T= R! Nechť V jevektorovýprostorkonečnédimenzenad Rag:V Rjekvadratickáforma Potom existujebáze Xprostoru V taková,žematice Bformy gvůči Xjediagonální,anavíc i:b ii { 1,0,1} Navícpočetkladnýchprvkůnadiagonálenezáležínavolbě X(ajeprovšechnytakovévhodnébáze stejný) Pozn: Vektoru(#+1,# 1,#0) se říká signatura formy Zákon setrvačnosti tedy říká, že signatura formy dané formy je stejná a nelze změnit volbou jiné báze 22

24 Jiří Fiala Lineární algebra II Formy (a) existence:mámlibovolnoubázi X 0 asymetrickoumatici B 0 Pak unitární R:R 1 B 0 Rjediagonální (unitárníjetaková R,že R 1 = R T ) R 1 B 0 R=R T B 0 R=D Nadefinuji Ddiagonální: d ii = α ii D= D T B D Hledaná matice bude mít: nadiagonále0,pokudvdbylovlčíslo=0 nadiagonále1,pokudvdbylovlčíslo >0 nadiagonále 1,pokudvDbylovlčíslo <0 Z38-"/+ ( ) T B 0 = D R T B D R T kde D R T jeregulárnímatice,konkrétněmaticepřechoduodbáze X 0 k X (b) jednoznačnost: Nezkouší se Bez újmy na obecnosti nechť B je regulární Dokazuji fakt, že pro libovolnou symetrickou Balibovolnouregulární Rmajímatice Ba R T B Rstejnousignaturu(stačístejnýpočet kladných vlastních čísel) Mámdanou R=R 0 ProveduGramm Smidthovuortogonalizaciazískám R 1 unitární Tosivšakpředstavímjakospojitýproces získám R s pro s=[0,1]všechnytytomatice jsou regulární, vlastní čísla se však mění spojitě; nikdy proto nemohou projít nulou, a tedy počet kladných a záporných čísel se tímto procesem nezmění Diagonalizace kvadratickéformy:mějmekvadratickouformu g 1 : R 2 Rdanoumaticí B= ( ) vůči kanonické bázi K Maticetéžeformyvůčibázi X= {(2/3,1/3) T,( 1/3,1/3) T }: B =[id] T XK B [id] XK = Analytickévyjádření B jepak: ( )( )( ) ( ) 2/3 1/ /3 1/3 1 0 = 1/3 1/ /3 1/3 0 1 g(x 1,x 2 )=x 2 1 x

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26

2 Vektory a vektorové prostory 23 2.1 Lineární závislost a nezávislost vektorů... 25 2.2 Souřadná soustava a báze... 26 Obsah 1 Matice 3 11 Operace s maticemi 4 12 Soustavy lineárních rovnic 11 13 Maticové rovnice a výpočet inverzní matice 15 14 Elementární matice 19 15 Cvičení 21 16 Řešení 22 2 Vektory a vektorové prostory

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 6. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B01LAG Zvládnutá látka po 6. týdnu 1/8 Slovník základních pojmů Monomorfismus,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů...

[1] Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... [1] Báze Každý lineární (pod)prostor má svou bázi Vzhledem ke zvolené bázi určujeme souřadnice vektorů... a) base, 4, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l. Viz p.

Více

Vlastnosti regulárních jazyků

Vlastnosti regulárních jazyků Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C,

[1] Důkaz: Necht p(x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 = 0 pro všechna x C, Výsledky operací jsou tedy popsány pomocí svých koeficientů algoritmicky. Na vstupu do algoritmu jsou koeficienty polynomů, které sčítáme resp. násobíme. S proměnnou x algoritmy nepracují. Polynomy Polynom

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy

Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Lineární algebra nad obecným Z m, lineární kódy Jiří Velebil: X01DML 19. listopadu 2010: Lineární algebra a kódy 1/19 Minule: soustavy lineárních rovnic nad Z p, p prvočíslo, stejně jako nad R. Dále nad

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi

Masarykova univerzita Brno. Katedra aplikované matematiky. maticemi Masarykova univerzita Brno Fakulta přírodovědecká Katedra aplikované matematiky Lineární systémy se speciálními maticemi Diplomová práce květen 2006 Jaroslava Benáčková Poděkování V úvodu bych ráda poděkovala

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika.

Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Lineární kódy, část 2 Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 3.3 skript Diskrétní matematika. Jiří Velebil: A7B01LAG 22.12.2014: Lineární kódy, část 2 1/12 Dnešní přednáška 1 Analýza Hammingova (7, 4)-kódu.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy)

Cyklickékódy. MI-AAK(Aritmetika a kódy) MI-AAK(Aritmetika a kódy) Cyklickékódy c doc. Ing. Alois Pluháček, CSc., 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha&

Více

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu

Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Co byste měl/a zvládnout po 4. týdnu Zde je uveden naprostý základ. Nejde o úplný výčet všech dovedností. Jiří Velebil: A7B0LAG Zvládnutá látka po 4. týdnu /9 Slovník základních pojmů Množina generátorů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace

15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace @173 15. Soustava lineárních nerovnic - optimalizace Jak jsme se dozvěděli v 3. lekci tohoto kurzu, je obrazem rovnice ax + by + c = 0, a,b,c R (a; b) (0; 0) přímka a obrazem nerovnic ax + by + c 0, a,b,c

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace

Triangulace. Význam triangulace. trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy. příklad triangulace Význam triangulace trojúhelník je základní grafický element aproximace ploch předzpracování pro jiné algoritmy příklad triangulace Definice Triangulace nad množinou bodů v rovině představuje takové planární

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27

Bezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Kapitola 2: Lineární zobrazení

Kapitola 2: Lineární zobrazení Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 2: Lineární zobrazení Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesuesc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesuenter.. p.1/11 Lineární zobrazení

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání

Deset přednášek z teorie statistického a strukturního rozpoznávání Monografie Deset přednášek teorie statistického a strukturního roponávání Michail I. Schlesinger, Václav Hlaváč Praha 1999 Vydavatelství ČVUT 1. přednáška Bayesovská úloha statistického rohodování 1.1

Více

NP-úplnost problému SAT

NP-úplnost problému SAT Problém SAT je definován následovně: SAT(splnitelnost booleovských formulí) Vstup: Booleovská formule ϕ. Otázka: Je ϕ splnitelná? Příklad: Formule ϕ 1 =x 1 ( x 2 x 3 )jesplnitelná: např.přiohodnocení ν,kde[x

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a

ϵ = b a 2 n a n = a, pak b ϵ < a n < b + ϵ (2) < ϵ, což je spor, protože jsme volili ϵ = b a MA 6. cvičení výpočet limit posloupností Lukáš Pospíšil,202 Malý (ale pěkný) důkaz na úvod V dnešním cvičení se naučíme počítat jednoduché limity, nicméně by na začátek bylo vhodné ukázat, že to co hledáme,

Více

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks

5. ročník, 2015 / 2016 Mezinárodní korespondeční seminář iks Řešení 1. série Úloha N1. Existuje nekonečná posloupnost přirozených čísel a 1, a 2,... taková, že a i a a j jsou nesoudělná právě když i j = 1? Řešení. Označme {r i } posloupnost všech prvočísel seřazených

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více