Přepsal Petr Baudiš v ak. roce 2004/2005

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přepsal Petr Baudiš v ak. roce 2004/2005"

Transkript

1 Přepsal Petr Baudiš v ak roce 2004/2005 IfIamgivenaformula,andIamignorantofitsmeaning,itcannotteachmeanythingButif Ialreadyknowit,whatdoestheformulateachme? ST AUGUSTINE c 2004/2005 Jiří Fiala, Petr Baudiš Verze /L:1616 Tato verze není garantována, nemusí být kompletní a může obsahovat chyby Aktuální verzi vždy najdete na Sazba v programu TEX

2 !"# $%&'$( Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Permutacemnožiny {1,,n}jebijektivnízobrazení {1,,n} {1,,n} S n značímemnožinuvšechpermutacína nprvcích( S n =n!) Znaménkopermutace p S n definujeme: sgn(p) def =( 1) #inverzívp kdedvojiceindexů(i,j)tvoříinverzi,pokud i < j,ale p(i) > p(j) Cvičení: Definujte znaménko pomocí cyklů permutace a pomocí transpozic )*$'#+ Nechť Aječtvercovámaticeřádu nnadtělesem TPotomdeterminantmatice Ajedánvýrazem: det(a)= p S n sgn(p) n a i,p(i) (Jdevlastněozobrazení T n n T) ukázky Lze si rozmyslet, že determinat trojúhelníkové matice je součin všech prvků na hlavní diagonále Permanent: Determinant, ovšem bez použití sgn permutace,-"!$%!' /!'$"$! Pozorování: det(a T )=det(a) det(a T )= = p S n sgn(p) p S n sgn(p) n (A T ) i,p(i) = n a p(i),i =det(a) Poslednírovnostdokážitak,žepodle pzvolím q, q= p 1,tedy p(i)=i q(i )=itedy i < j p(i) > p(j)znamená,že q(i ) < q(j ) i > j,tedysgn(p)=sgn(q) Pozorování: Přerovnání sloupců matice A podle permutace q nezmění determinant, pokud sgn(q) = +1, v opačném případě determinant změní pouze znaménko Abuďpůvodnímatice, A pakmaticespřerovnanýmisloupci Sloupecč 1matice Ase octneva napozici q(1)apod a i,j = a i,q(j) = a i,j= a i,q 1 (j) det(a )= n sgn(p) (A ) i,p(i) = p S n = n sgn(p) p S n a i,q 1 (p(i))= 1

3 Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Nechť h(i)=q(p(i))(sgn q=sgn q 1 ): =sgn(q) n sgn(q)sgn(p) a } {{ } i,h(i) = p S n =sgn(q) h S n sgn(h) sgn(h) n a i,h(i) =sgn(q) det(a) Důsledek: Má-li matice A dva sloupce shodné, det(a) = 0(platí i pro stejné řádky) 012$3+ Determinant je lineární funkcí každého řádku i každého sloupce matice Tedynapř: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det = b i1 + c i1 b i2 + c i2 b in + c in a n1 a n2 a nn b 11 b 12 b 21 b 22 =det b i1 b i2 b n1 b n2 b 1n b 2n b in b nn c 11 c 12 c 21 c 22 +det c i1 c i2 c n1 c n2 c 1n c 2n c in c nn + Linearitavůčinásobení t T: Abuďpůvodnímatice, A mávynásobený i-týřádek det(a )= sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) (t a i,p(i) ) a n,p(n) ) = } {{ } p S n n (A ) i,p(i) = t p S n sgn(p) n a i,p(i) = tdet(a) Linearitavůčesčítání, a i,j = b i,j + ci,j: det(a )= sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) (b i,p(i) + c i,p(i) ) a n,p(n))= } {{ } p S n = a i,p(i) p S n sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) b i,p(i) a n,p(n) ) + p S n sgn(p) (a 1,p(1) a 2,p(2) c i,p(i) a n,p(n) )= =det(b)+det(c) Důsledek: Elementární řádková úprava součtu řádků nemění determinant 2

4 ,45%6! /!'$"$! Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Převedením na trojúhelníkový tvar pomocí přičítání t-násobků ostatních řádků podobně jako Gaussova eliminace Nesmímeměnitpořadířádkůaninásobitřádek t T(resp můžeme,alemusímesipamatovat, jak to ovlivní diskriminant) Zato můžeme používat sloupcové operace 71'6$3+ Spočtěte determinant Vandormondovy matice:,8!%%19 %:"-( 1 x 1 x 2 1 x n x n x 2 n x1 n 1 Druhyobalůmnožinyvektorů v 1,,v n v R α : Lineárníobal L(v 1,,v n )={a 1 v 1 + a 2 v 2 + +a n v n : a i R} Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pak L(v 1,v 2 )=R 2 Afinníobal {a 1 v 1 + +a n v n : a i R, n a } Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pakafinníobalbudepřímkaprocházejícíjejichkoncovýmibody Konvexníobal {a 1 v 1 + +a n v n : a i R, n a, a i [0,1]} Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pakkonvexníobalbudeúsečkaspojujícíjejichkoncovébody Rovnoběžnostěn {a 1 v 1 + +a n v n : a i R, a i [0,1]} Mějme R 2 avektory v 1,v 2,pakrovnoběžnostěnbudemnožinabodůuzavřenákosodélníkem skrajnímibody0,v 1,v 2,v 1 + v 2 (včetněúsečekjespojujících) ;% 1'-%! %:<(!=- Jdeogeometrickývýznamdeterminantu,jsmetedyvR n Mějmematici A R n n,rozložímjejí řádkynavektory a 1,,a n (tybudoutvořenysloupcimatice) diagramla1 %2%%1>$3+ det(a) udáváplochu(objem)rovnoběžnostěnuurčenéhovektory a 1,,a n Důkaz: diagram LA2 (jakýkoliv rovnoběžník můžeme převést beze změny objemu(tedy i determinantu) na n-rozměrný obdélník či kvádr, který má nenulové prvky jen na diagonále, tedy determinant spočteme a ověříme snadno) Důsledek:Je-li flineárnízobrazení R n R n a Fjematicetohotozobrazení,potomseobjemy těles mění podle předpisu vol(f(t))= det(f) vol(t) (kdevolznačíobjemvr d ) Viz diagramla3 (kolikrátsečtverečekvejdedo F, tolikrátse zdeformovaný čtvereček vejde do zdeformovaného f(t)) VĚTA (o součinu determinantů): Nechť AaBjsoučtvercovématiceřádu nnadtělesem TPotomplatí det(a B)=det(A) det(b) 3

5 Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Když A nebo B jsou singulární, nějaký řádek je lineární kombinací ostatních, tudíž je determinantnulový Je-li Anebo Bsingulární, A Bjetakésingulární Tedydostanemerovnici 0=0 Předpokládejmetedy,že AiBjsouregulární Toznamená,že Alzerozložitjakosoučin elementárních matic: A=E 1 E 2 E k Tedy: det(a B)=det(E 1 E 2 E k B)=det(E 1 ) det(e 2 E k B)= neboť víme, jak se mění determinant elementárními úpravami přičtení násobku jiného řádku znamenádet(e 1 )=1,násobenířádkučíslem tznamenádet(e 1 )=t =det(e 1 ) det(e 2 ) det(b)=det(e 1 E k ) det(b)=det(a) det(b) VĚTA (o regularitě podle determinantu): Čtvercovámatice Ajeregulární,právěkdyždetA 0 )?-/8 -'$"'!( /!'$"$! Nechť A ij značímatici,kterávzniknezmatice Avypuštěním i-téhořádkuaj-téhosloupce(někdy také nazýváme minor matice určený souřadnicemi i, j) Potom pro libovolné i platí tzv rozvoj determinantu podle i-tého řádku: det(a) = (Stejnou věc mohu udělat i pro sloupce) n a ij ( 1) i+j det(a ij ) j=1 Můžeme vzít definici determinantu det(a)= p S n sgn(p) n k=1 a k,p(k) avytýkatprvky a ij z i-téhořádku Alternativní(jednodušší) cesta: můžeme využít linearity a i-tý řádek si rozložit jako lineární kombinacivektorůkanonickébáze(e i ): (a i,1,a i,2,,a i,n )=a i,1 (1,0,,0)+a i,2 (0,1,0,,0)+ +a i,n (0,,0,1) Determinant det(a) si pak rozložíme na součet n determinantů, kde v i-tém řádku je vektor kanonickébáze e j (takovámaticebuďnapř B i,j ): det(a)=a i,1 det(b i,1 )+ +a i,n det(b i,n ) Posuneme si náš jednotkový řádek na nejvyšší pozici: det(b i,j )=( 1) i 1 det(b 1,j ) Nyní si sloupec s jedničkou posuneme do prvního sloupce: det(b 1,j )=( 1) i 1 ( 1) j 1 det(b 1,1 ) 4

6 Jiří Fiala Lineární algebra II Determinant matice Inuaodmyslíme-lisiprvnířádekaprvnísloupec,zbudenámmatice A ij : )*$'#+ det(b 1,j )=( 1) i+j det(a ij ) Pro čtvercovou matici A definujeme adjungovanou matici adj(a) předpisem (Pozornaobrácenépořadí A ji!) (adj(a)) ij =( 1) i+j det(a ji ) VĚTA (o vztahu inverzní a adjungované matice): Pro každou regulární matici A nad tělesem T platí A 1 = 1 det(a) adj(a) Podívejmesenasoučin A adj(a),konkrnasoučinřádků: A i adj(a) i = n a ij ( 1) i+j det(a ij )=det(a) j=1 Neboť determinant matice A, kde i-tý řádek je nahrazen j-tým, je nula(jde o singulární matici), platí: A j adj(a) i =0 A adj(a)=det(a) I n A 1 det(a) adj(a)=i n VĚTA (Cramerovo pravidlo): Nechť A je regulární matice, potom každé řešení soustavy Ax = b lze zapsat jako x i = det(a i b) det(a) kde A i b jematice,kterávzniknezmatice Anahrazením i-téhosloupcevektorem b x i = Ax=b= x=a 1 b= 1 det(a) (adj(a) b) 1 i= det(a) = 1 det(a) adj(a) b n adj(a) ij b j = j=1 1 det(a) det(a i b) 5

7 @ABC DCBA EABC EFGH IJKLM KNOPQRSTUVJ WNWXUQY Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Zaveďme si jednoduchý(abstraktní) model dynamického systému Systém budeme reprezentovat jako vektorovýprostor V nad T Dynamikupakreprezentujemejakolineárnízobrazení f:v V,které popisuje přechod mezi dvěma stabilními stavy Stabilní stavy mohou být buď pevné body zobrazení f,nebo skoropevné body(pevnéažnaskalárnínásobek) Z38-"/(+ (i) OsovásouměrnostvR 2 :mějmetakovézobrazení f,pakjehomaticeje [f] kk = ( ) (osa půlí druhý a čtvrtý kvadrant) Ptáme se: Které vektory se zachovávají? Které vektory zachovávají směr?(tedy až na skalár, včetně záporného, který vytvoří směr opačný) (ii) Čísla vlastní populacím králíků: Mějme Fibonacciho posloupnost(viz Lineární algebra I nebo kdekoliv jinde) Ptámese:Jaksevyvíjípoměr F t /F t 1?Mátentotrendlimitu?Osciluje,nebopronějakou volbu velikosti populací zůstává stabilní? Vřečimaticavektorovýchprostorů: Uvažmeprostor R 2 alineárnízobrazení f: R 2 R 2 dané rekurencí ( ) ( )( ) F1 1 1 Ft 1 = 1 0 F t 1 F t 2 Stabilnípoměr F t /F t 1 majínetriviálnívektory x= f(x)= ( ) 1 1 x=λx 1 0 ( Ft F t 1 ) takové, že pronějaké λ R(vektory xaλxmajízřejmětentopoměrstejný) [MPWXO\ ]\WMP )*$'#+ Nechť V jevektorovýprostornadtělesem T a f:v V jelineárnízobrazení Potom λ T senazývávlastní číslo zobrazení f,existuje-linenulovývektor x V takový,že f(x)=λx Vlastnívektorpříslušnývlastnímučíslu λjelibovolné x,pronějžplatí f(x)=λx Je-li dim(v) konečná, lze zobrazení f reprezentovat maticí(vůči nějaké bázi), tedy lze pojem vlastníchčíselavektorůrozšířitipromatice A T n n Vlastníčíslomatice λjetakové,pro které x 0takové,že Ax=λxVlastnívektor xpříslušný λjetakový,že Ax=λxMnožina všech vlastních čísel matice se nazývá stopa 6

8 Z38-"/(+ Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla (i) Osová souměrnost: λ 1 =1 x 1 =( 1,1) λ 2 = 1 x 2 =(1,1) (ii) Králíci: λ 1 = 1+ 5 ( 2 1+ ) 5 x=,1 2 (vektor při každé iteraci narůstá) λ 2 = 1 5 ( 2 1 ) 5 x=,1 2 (vektor mění znaménko ablížíseknulovémuvektoru) Pozorování: Je-li x vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ, je i libovolný skalární násobek x VĚTA (o lineární nezávislosti vlastních vektorů): Mějmelineárnízobrazení f:v V,navzájemrůznávlastníčísla λ 1,λ 2,,λ k apříslušnévlastní vektory x 1,x 2,,x k (x i přísluší λ i )Potomvektory x 1,,x k jsoulineárněnezávislé Indukcí a sporem: Nechť v 1,,v k dávajínejmenšíprotipříklad,tedylibovolná(k 1)-ticejelineárněnezávislá, ale x 1,,x k jelineárnězávislá: a 1,,a k Tnetriviálnítaková,že a 1 x 1 + +a k x k =0 ( k k k 0=f(0)=f a i x i )= a i f(x i )= a i λ i x i ( k 0=λ k 0=λ k a i x i )= k a i λ k x i 0=0 0= k a i λ i x i k a i λ k x i = k k 1 a i (λ i λ k )x i = a i (λ i λ k )x i Toaleznamená,žebuďje x k =0,nebo x 1,,x k 1 jsoulineárnězávisláobojíje Spor Důsledek: Čtvercovámaticeřádu nmánejvýše nrůznýchvlastníchčísel,protože T n má nejvýše n lineárně nezávislých vektorů 7

9 [MPWXO\ ]\WMP QPXRS Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla matic Vztah zobrazení f matice A není jednoznačný, neboť různé matice A, B mohou odpovídat stejnému zobrazení f(vůcirůznýmbázím X,Y): A=[f] XX,B=[f] Y Y [f] XX =[id] Y X [f] Y Y [id] XY Matice[id]jsoupřitomregulární,navíc[id] XY =[id] 1 Y X Označme[id] XY = R,pak A=R 1 BR Definice: Čtvercové matice A, B stejného řádu se nazývají podobné, pokud existuje regulární matice Rtaková,že A=R 1 BR VĚTA (o vlastních číslech podobných matic): Nechť AaBjsoupodobnématice(tj R:A=R 1 BR), λjevlastníčíslomatice Aaxje příslušný vlastní vektor Potom λ je i vlastní číslo matice B a y = Rx je příslušný vlastní vektor By=(RAR 1 )(Rx) = RAx=R(λx)=λ(Rx)=λy } {{ }}{{} B y Pozorování: Vlastní čísla diagonální matice vlastnívektor e i =(0,,0,1,0,,0)) ^&'!3 /'"_%$"-'2%1"!-$4#` "!'# a 1 0 jsou prvky na diagonále(příslušný 0 a n Definice: Matice A je diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici Mějmediagonalizovatelnoumatici A=R 1 DR (a) Výpočet vlastních čísel a vektorů: Pokud a i je i-týprveknadiagonálevd,potom a i jeii-tévlastníčíslo D,Aai-týsloupec R=(R e i )jevlastnívektormatice A (b) Výpočet mocnin matic: A k = R } 1 DRR 1 DR {{ R 1 DR } = R 1 D k R k 8

10 Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Vlastní čísla matic VĚTA (o vztahu vlastních čísel a diagonalizovatelnosti): Má-limatice A T n n nnavzájemrůznýchvlastníchčísel,potomjediagonalizovatelná Mějme λ 1,λ 2,,λ n různýchvlastníchčíselax 1,x 2,,x n lineárněnezávislýchvlastních vektorůdálemějmeregulárníčtvercovoumatici T n n : R=(x 1 x 2 x n ) Všimněmesi,že Ax i = λ i x i Pak A Rjevšakmatice,kde i-týsloupecje λ i x i Platínavíc, že A R=R D,kde Djediagonálnímaticemajícínadiagonále λ 1,λ 2,,λ n Tedy R 1 AR=D,aproto Ajepodobnádiagonální D(R 1 jsemtomohlvynásobit,neboť R je regulární, tedy vektory jsou nezávislé) VĚTA (o vztahu vlastních vektorů a diagonalizovatelnosti): Matice A T n n jediagonalizovatelná,právěkdyžmá nlineárněnezávislýchvlastníchvektorů Existujeregulární R,tedy R 1 AR=D AR=RD,sloupce Rtvořívlastnívektory Protože R je regulární, vektory jsou lineárně nezávislé Zvlastníchvektorůsestavím R,pak R 1 AR=D 9

11 avpbptxlbrwxrstc QOJVJ]MLO )*$'#+ Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický mnohočlen Nechť A je čtvercová matice řádu n nad tělesem T, potom charakteristický mnohočlen (v proměnné t) je definován předpisem Vždyjdeopolynomvtstupně n p A (t)=det(a ti) VĚTA (o vztahu charakteristických mnohočlenů a vlastních čísel): Prokaždoučtvercovoumatici Aplatí,že λjevlastníčíslomatice A,právěkdyž λjekořenem charakteristického mnohočlenu matice A λjevlastníčíslomatice A,právěkdyžexistujenetriviální x:ax=λx,tedy: Ax λx=0 (A λi)x=0 Toplatí,právěkdyžmaticetétosoustavy A λijesingulární,cožovšemznamená,že det(a λi)=0 Z38-"/(+ p A (λ)=0 ( 0 1 (i) Mějme osovou souměrnost A = 1 0 p A (t)=det (ii) Mějme Fibonacciho posloupnost A = (iii) Mějmematiciotočení(o90 ) A= ) : ( t 1 1 t λ 1,2 = ±1 ( ) 1 1 : 1 0 p A (t)=t 2 t 1 λ 1,2 = 1 ± 5 2 ( ) p A (t)=t 2 +1 ) = t 2 1 ŘešenímnejsoužádnávlastníčíslavR,zatovCexistujívlastníčísla λ 1,2 = ±i 10

12 Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický mnohočlen VĚTA (o charakteristických polynomech podobných matic): Podobné matice mají shodné charakteristické polynomy(silnější vlastnost, než že matice mají stejná vlastní čísla) A=R 1 BR p A (t)=det(a ti)=det(r 1 BR tr 1 IR)=det(R 1 (B ti)r)= neboťdet(r 1 )det(r)=det(i)=1 %2%%1>$3+ =det(r 1 )det(b ti)det(r)=det(b ti)=p B (t) Mějme I,J,K,L,P,Q,R,S T n n : ( ) ( ) I J P Q K L R S } {{ } } {{ } T 2n 2n ( ) IP+ JR IQ+JS = KP+ LR KQ+LS VĚTA (o vztahu řádu matice a vlastních čísel součinů matic): Pro čtvercové matice A a B stejného řádu mají matice AB a BA stejná vlastní čísla Cvičení: Dokažte, že toto jednoduše platí, je-li A nebo B regulární (Nyní dokazujeme větu i pro singulární A, B) ( )( ) ( ) AB 0 I A AB ABA = B 0 0 I B BA ( )( ) ( ) I A 0 0 AB ABA = 0 I B BA B BA ( ) I A Dále víme, že je regulární, tudíž matice 0 I ( ) AB 0 B 0 a ( ) 0 0 B BA si jsou podobné a mají tedy stejný charakteristický polynom: ( ) AB ti 0 det =( t) n det(ab ti)=( t) n p B ti AB (t) První rovnost platí, neboť jeden kvadrant je nulový, tedy si musíme brát prvky z kvadrantu s ti(tojeono( t) n ),aostatnínutněmusímebrátzab ti,abychomzachovalipermutaci 11

13 Jiří Fiala Lineární algebra II Vlastní čísla a vlastní vektory Charakteristický mnohočlen Stejně i pro druhou matici ( ) ti 0 det =( t) n det(ba ti)=( t) n p B BA ti BA (t) Tedy díky rovnosti oněch matic platí ( t) n p AB (t)=( t) n p BA (t) VĚTA (Cayley Hamilton): Nechť A T n n a p A (t)=( 1) n t n + a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0 je její charakteristický polynom Potom platí ( 1) n A n + a n 1 A n 1 + +a 1 A+a 0 I=0 Cvičení: Ukažte, že tato věta platí pro diagonalizovatelné matice Využijme faktu, že Madj(M)=det(M)I adosaďmeza M= A ti Pakprvkymaticeadj(A ti)jsoupolynomystupně n 1vt (plyne z definice adj(m) pomocí minorů) adj(a ti)=t n 1 B n 1 + t n 2 B n 2 + +tb 1 + B 0 B n 1,,B 0 T n n (A ti)(t n 1 B n 1 + t n 2 B n 2 + +tb 1 + B 0 )=det(a ti)i= =p A (t)i=( 1) n t n I+ a n 1 t n 1 I+ +a 1 ti+ a 0 I Jaké dostaneme koeficienty? t n B n 1 =( 1) n I / A n zleva t i,1 i n 1 AB i B i 1 = a i I / A i zleva t 0 (absčlen) AB 0 = a 0 I Sečteme: A n B n 1 + A n 1 (AB n 1 B n 2 )+A n 2 (AB n 2 B n 3 )+ +A(AB 1 B 0 )+AB 0 = =( 1) n A n + a n 1 A n 1 + +a 1 A+a 0 I Ale zároveň se vše vzájemně vykrátí tak, že: A n B n 1 + A n 1 (AB n 1 B n 2 )+ +A(AB 1 B 0 )+AB 0 =0 12

14 [MPWXO\ ]\WMP P QPXRSL d a JiříFiala LineárníalgebraII C je algebraicky uzavřené těleso, tedy se dají nalézt kořeny polynomů e>8-"/$3 1=!" "-_:( Každýpolynomstupně 1má 1kořenvtělese C )?-/8+ Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Každýpolynom p(t)stupně n 1nad Clzerozložitnasoučit nmonomů p(t)=a n (t λ 1 )(t λ 2 ) (t λ n ) kde λ 1,,λ n jsoukořeny Pročbytoměloplatit? p(t)/(t λ)musíbýtnutněpolynomstupně n 1aλ i jekořen p(t), jehož existenci dává základní věta algebry Postupnětaktodělíme,apokudbynakoncizůstaloněcojinéhonež0,taknemohlybýt λ i kořeny f>!'$ /?8"2 Mějme p(t)=a n t n + a n 1 t n 1 + +a 1 t+a 0 abezújmynaobecnostipředpokládejme a n 0, a 0 0 Jakse p(t)chová? (i) t 0:p(t) = a 1 t+a 0 (předpokládáme-li a 1 0) (ii) t :p(t) = a n t n Jakgrafickyvypadáobrazkomplexníkružniceopoloměru r:d r := {t: t =r}? (i) t 0:p(D r )jemalýkomplexníkroužekokolo a 0 (ii) t :p(d r )obrazse n-krátovineokolonuly Topologickýargument: Pro t jepočátekuvnitřobrazukružniceapro t 0jevně Tedy pokud spojitě přechází z extrému do extrému, tak tu nulu někdy musí trefit Důsledek: Nechť A je komplexní čtvercová matice řádu n Potom lze psát p A (t)=(λ 1 t) r1 (λ 2 t) r2 (λ k t) r k kde λ 1,,λ k jsourůznávlastníčíslaar i jetzvalgebraickánásobnostvlastníhočísla: k r i= n %2%%1>$3+ (i) a 0 =deta= k λ ri i Dosaďme t = 0 do charakteristického polynomu a do jeho alternativního zápisu z předchozího důsledku: p A (t)=det(a ti) 13

15 JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC (ii) a n =( 1) n a n 1 =( 1) n (r 1 λ 1 + r 2 λ 2 + +r k λ k )=(A 1,1 + A 2,2 + A 3,3 + +A n,n ) (1) p A (t)=(λ 1 1) r1 (λ 2 t) r2 (λ k t) r k Ztohotorozvojemohuurčitkoeficient t n 1 :z n 1závorekvždyvezmu taztézbývající λ (2) p A (t)=det(a ti) Jedině permutace, která je identitou(tedy provede vynásobení po diagonále), může dát polynomvtstupně n 1 Tatopermutacedásoučin(A 1,1 t)(a 2,2 t) (A n,n t)akoeficienttedybudeopět (stejným způsobem jako v(1)) součet prvků na diagonále 012$3+ Čtvercová komplexní matice A je diagonalizovatelná, právě když λ i :rank(a λ i I)=rank(A) r i Ajediagonalizovatelná,tedyexistujebáze C n složenázvlastníchvektorů Tutobázivšak můžemerozložitna kbázívprostoruker(a λ i ),kdekaždájeodimenzi r i Z38-"/+ Matice, která nelze diagonalizovat: A= ( ) λ 1,2 =1 g%/"$?1 $%>-$3!1" "!'# Každá komplexní čtvercová matice je podobná matici T-O-D-O: nakreslit Čtvercovéoblasti,kterémajínadiagonálevlastníčíslo λ i obklopenéjedničkami,nazývámejordanovy buňky h'!%18> "!'# )*$'#+ Nechť AjekomplexníčtvercovámaticePotommatici A H,prokterouplatí (A H ) ij = a ji nazýváme hermitovská transpozice matice A Pozn: Někdyseznačítaké Aaktomuseještěněkdynazývákonjugovanámatice %2%%1>$3+ (AB) H = B H A H (Důkaz je obdobný jako pro obyčejnou transpozici) 14

16 %2%%1>$3+ JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Pro standardní skalární součin nad C platí x y = n x i y i = y H x Vezměmeprostornad Ckonečnédimenze n = C n aorthonormálníbázi u i vůčistandardnímu skalárnímu součinu: A=(u 1 u 2 u n ) Potom nutně platí A H A=I Definice: Komplexníčtvercovámatice Asenazýváhermitovská,platí-li A H = A,aunitární, platí-li A H A=I Pozn: InterpretacevR: Hermitovskámaticeodpovídásymetrickématici A T = A,zatímco unitárnímaticeodpovídáorthogonálnímatici A T = A 1 VĚTA (o diagonalizaci hermitovské matice): Každá hermitovská matice A má všechna vlastní čísla reálná a dokonce existuje unitární matice Rtaková,že R 1 ARjediagonální Pozn: Podobnávětaplatíiproširšítřídumatic,tzvnormálnímatice A H A=AA H Indukcí podle n řádu matice Pro n = 1 triviálně platí, nechť tedy platí pro 1,2,,n 1: Víme,žeexistujevlastníčíslo λapříslušnývlastnívektor x CPodleSteinitzovyvěty ovýměněmůžemedoplnit xnaorthonormálníbáziprostoru C n Bezújmynaobecnosti tedynechť x =1 Z vektorů této báze vytvoříme matici P n, obsahující ve svém sloupcovém prostoru ortonormálníbázi C n P n jeunitární,poněvadžstandardnískalárnísoučindvourůzných vektorů z orthonormální báze je nulový a součin dvou stejných vektorů je 1 Platí: (P H n A n P n ) H = P H n A H n(p H n) H = P H n A H n P n Tedy Pn H A H n P n jehermitovskámatice Dálemějmematici: ( ) λ 0 0 A n 1 Protožetatomaticejerovnasvéhermitovskétranspozici,musíplatit λ=λ,tudíž λ R Zindukčníhopředpokladuexistujeunitárnímatice R n 1 taková,že Rn 1 1 A n 1R n 1 = D n=1 Vezměme ( ) 1 0 S= 0 R n 1 R n = P n S Si P n jeunitární jeunitárníijejichsoučin? R H n R n =(P n S) H P n S= S H P H n P n S= I Tedy R n jeunitárníjetoonamatice,kteroujsmehledali? R 1 n A n R n =(P n S) H AP n S= S H Pn H AP n S= ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 λ λ 0 = 0 Rn 1 H = = D 0 A n 1 0 R n 1 0 D n 1 15

17 JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Alternativní cesta k důkazu (i) Snadnoseukáže,že λ R: Ax=λx (Ax) H =(λx) H (λx) H = λx H = x H A H x H x(λ λ)=x H (λ λ)x=x H Bx x H B H x=0 Tedynutně λ=λ (ii) Různá vlastní čísla znamenají, že příslušné vektory jsou na sebe kolmé Nechť λ 1,λ 2 jsoudvěrůznávlastníčíslamatice Aax 1,x 2 jsoupříslušnévlastní vektoryvíme,že A H x 1 = λx 1 Potom λ 1 x H 1 x 2 =(λ 1 x H 1 x 2 =(A H x 1 ) H x 2 = x H 1(Ax 2 )=λ 2 x H 1 x 2 avíme,že λ 1 λ 2,proto x H 1 x 2 =0ajsoutedyortogonální (iii) Obtížnéjealeukázat,žedim(Ker(A λ i I))=r i )?-/8+ Pro každou symetrickou matici A platí, že všechna její vlastní čísla jsou reálná a navíc existuje orthogonálnímatice Rtaková,že R 1 ARjediagonalizovatelná Pozor, ne každá matice je orthogonální Je nutno ukázat, že příslušný vlastní vektor x lze vzít reálný To naštěstí lze: (A λi)x=0 To je soustava lineárních rovnic s reálnou singulární maticí, tedy musí existovat netriviální řešeníatakmůžemezůstatvtělese R Z38-"/+ A= ( ) 1 1+i 1 i 2 p A (t)=t 2 3t λ 1 =0, λ 2 =3 R= ( 1+i i 3 ) unitární R H = R 1 = R 1 AR=R H AR= ( 1 i ) i 3 3 ( )

18 ,2!"` `'!%189!"$5%2'# " 8"->$3`% % 6'$ %2%%1>$3+ JiříFiala LineárníalgebraII Vlastníčíslaavlastnívektory VlastníčíslaamaticevC Nechť V jevektorovýprostorseskalárnímsoučinemkonečnédimenzeax= {x 1,x 2,,x n } je jeho orthogonální báze Potom: u,v V : u v = n u x i x i v =[v] H x[u] x n u= α i x i n v= β i x i α i = u x i =([u] x ) i β i = v x i =([v] x ) i 012$3+ x i v =β i u v = n n n n α i x i β j x j = α i β j x i x j j=1 j=1 i j x i x j =0 i=j x i x j =1 Nechť V jevektorovýprostorseskalárnímsoučinemkonečnédimenzeax= {x 1,x 2,,x n } jejehoorthonormálníbázenechťdále f:v V jelineárnízobrazení Potom platí, že f zachovává skalární součin, tj u v = f(u) f(v) ato,právěkdyžjematicezobrazení[f] XX unitární u v =[v] H X[u] X f(u) f(v) =[f(v)] H X[f(u)] X =([f] XX [v] X ) H [f] XX [u] X =[v] H XX[f] H XX[f] XX [u] X Tovšakmůžeplatit,pouzepokud[f] H XX [f] XX= I,jinak u,v Vtakové,žeserovnost porušítedy[f] XX musíbýtunitární 17

19 igjek lmc Jiří Fiala Lineární algebra II Pozitivně definitní matice Jak se chová skalární součin vůči orthonormální bázi víme Otázka však zní, jak se chová vůči libovolné bázi Odpověď? Překvapivě i v tomto případě lze vyjádřit maticovým součinem %2%%1>$3+ Nechť V = C n jeprostorseskalárnímsoučinem Potomexistujematice Etaková,že u v = v H Euprolibovolnéaritmetickévektory u,v C Vezměmekanonickoubázi C n : e 1,e 2,,e n u:=(u 1,u 2,,u n ) v:=(v 1,v 2,,v n ) u v = n n n n u i e i v j e j = u i v j e i e j j=1 Definujmetedymatici(E) ij = e i e j : %2$>8(+ n j=1 j=1 n u i v j e i e j =v H Eu Pokud u v = u v, matice E musí být hermitovská Pokud u u 0a u u =0 u=0,matice Emusíbýtpozitivnědefinitní )*$'#+ Splňuje-li hermitovská matice A řádu n podmínku x C n, x 0:x H Ax >0 potom řekneme, že matice A je pozitivně definitní Pokud je splněna alespoň podmínka x C n : x H Ax 0 tak nazveme matici A pozitivně semidefinitní Obdobně máme matice negativně(semi)definitní a indefinitní(neplatí-li ani jedno) Pozn: Pozitivně definitní matice indikují lokální minimum, v matematické analýze se proto uplatňují při vyšetřování extrémů funkce více proměnných VĚTA (hermitovská matice a pozitivní definitnost): Pro hermitovskou matici A jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) A je pozitivně definitní (ii) A má všechna vlastní čísla kladná (iii) k Aexistujeregulárnímatice Utaková,že A=U H U 18

20 Jiří Fiala Lineární algebra II Pozitivně definitní matice (1 2) Mějmevlastníčíslo λapříslušnývlastnívektor x: Ax=λx x H Ax=x H λx x H Ax=λx H x Zpředpokladuvíme,že Ajepozitivnědefinitní(x H Ax >0),tedy x H xjesoučinkomplexně sdružených nenulových čísel, což musí být kladné reálné číslo, a proto nutně λ >0 (2 3) Matice Ajehermitovská,tedy R:R H DR kde RjeunárníaDdiagonálníNadiagonálemápřitomvlastníčísla,kterájsoukladná Zvolme Dtak,že D ii = D ii Potom D= D H D A=R H DH DR U= DR a Ujeregulární,neboť Ri Djsouregulární (3 1) Snadnoodvodíme: x H Ax=x H U H Ux=(Ux) H (Ux) >0 } {{ }} {{ } $3 n7`%-89`% %28-"/o+ Pro pozitivně definitní matici A existuje trojúhelníková matice U taková, že A=U H U Vynecháme Důkaz by byl jen adaptací důkazu tvrzení, že A je hermitovská existuje unitární R:A=R H DR Jenbysemuselověnovattrochuúsilípřisestavovánímaticetak, aby byla trojúhelníková a dalšími operacemi se tento stav neporušil p-_%'! 5% $"-2$3 %28-"/ Vstup: Hermitovská matice A Výstup: Choleskéhorozklad U: U H U= Aneboodpověď,že Anenípozitivnědefinitní (i) Pro až nproveď i 1 u ii = aii u ki u ki k=1 (pokud u ii Rneexistuje, Anenípositivnědefinitní) 19

21 Jiří Fiala Lineární algebra II Pozitivně definitní matice (ii) Pro j= i+1až nproveď u ij = 1 u ii ( ) i 1 a ij u kj u ki k=1 Není složitý, lze poměrně snadno zpětně odvodit z násobení matic 012$3 ng"#%:'`% 5"1'/-%o+ Hermitovskámatice Ařádu njepozitivnědefinitníprávětehdy,kdyždeterminantymatic A 0, A 1, A 2,, A n 1 jsoukladné(a i značímaticivzniklouzaumazánímposledních iřádkůasloupců) Důkaz: Složitý, neuveden 012$3+ Mějme blokovou matici A definovanou jako α a H A= a à Blokovámatice Ajepozitivnědefinitní,právěkdyž α >0aà 1 α a ah jepozitivnědefinitní Nechť x C n (libovolnýnetriviální): α a H x 1 x H Ax=(x 1 x H ) a à x = = αx 1 x 1 + x 1 x H a+x 1 a H x+ x H à x x H1 α aah x+ x H1 α aah x= = αx 1 x 1 + x 1 x H a+x 1 a H x+ x H1 α aah x+ x H ( à 1 α aah ) x= komplexně sdružená čísla ( { = x H à 1 ( }} { αx1 ) x+ α aah + 1 )( αx1 α x H a + 1 a H x ) >0 α } {{ } vždyjejedenzvýrazů >0,neboť xjenetriviální Ukáže se stejně volbou x 1 = 1 α ah x ( cvičení ) 20

22 qgh Jiří Fiala Lineární algebra II Formy Mějmelineárnízobrazení f:v V,kdedimV < Paksedánajítmaticezobrazenítaková,že volbou vhodné báze získáme diagonální matici Mějmedáleskalárnísoučin V V C(neboobecně T),kdedimV < Paksedánajít matice součinu (pozitivně definitní matice) taková, že volbou vhodné báze získáme pěknou matici )*$'#+ Nechť V jevektorovýprostornadtělesem Ta f:v V Tjezobrazenítakové,kteréjelineární v první složce: u,v V, α T: f(αu,v)=αf(u,v) ivedruhésložce: u 1,u 2,v V : f(u 1 + u 2,v)=f(u 1,v)+f(u 2,v) u,v V, β T: f(u,βv)=βf(u,v) u,v 1,v 2 V : f(u,v 1 + v 2 )=f(u,v 1 )+f(u,v 2 ) Potom fnazývámebilineárníformouna V Bilineární forma je symetrická, platí-li u,v V : f(u,v)=f(v,u) Zobrazení g:v T nazývámekvadratickouformou,pokud g(v)=f(v,v)pronějakoubilineárníformu fna V )*$'#+ Nechť V jevektorovýprostornadtělesem T konečnédimenzeax= {v 1,,v n }jejehobáze Potomprokvadratickouformu g:v Tdefinujemematici Bformy gpředpisem b ij = f(v i,v j ) kde f je symetrická(tzv polární) bilineární forma vytvořující formu g %2%%1>$3+ Pro každou kvadratickou formu existuje polární forma, která ji definuje Bilineární formy na vektorových prostorech konečné dimenze se počítají jako maticové součiny (kde A je čtvercová matice) Jaksesmaticíformypočítá? )*$'#+ v T Au u V, [u] X =(α 1,α 2,,α n ):u= ( g(u)=f(u,u)=f αi v i, ) α j v j = n j=1 n α i u i n α i α j f(v i,v j )=[u] T X B [u] X Analytickévyjádřeníkvadratickéformy g:v Tvůčikonečnébázi Xjefunkce g:t n T n n g(x 1,x 2,,x n )= a ij x i x j j=i kdekoeficienty a ij jsouodvozenyzmatice Bformy gvůčibázi Xpředpisem a ij =2b ij i j a ii = b ii 21

23 Z38-"/(+ Jiří Fiala Lineární algebra II Formy (i) Kvadratickáforma g 1 : R 2 Rdanámatici B= Analytické vyjádření téže formy: ( ) 0 3 vůči kanonické bázi K 3 3 g 1 (x 1,x 2 )=6x 1 x 2 3x 2 2 (ii) Kvadratickáforma g 2 : R 3 Rdanámatici B= vůči kanonické bázi K Analytické vyjádření téže formy: g 2 (x 1,x 2,x 3 )=x 2 1+4x 1 x 3 2x 2 x 3 +3x 2 3 LEMMA: Nechť Bjematicekvadratickéformy g:v Tvůčibázi X,potom B =[id] T Y X B [id] Y X jematicíformy gvůčibázi Y [u] X =[id] Y X [u] Y g(u)=[u] T X B [u] X =([id] Y X [u] Y ) T B [id] Y X [u] Y = =[u] T Y [id] T Y X B [id] Y X } {{ } maticeformy gvůči Y [u] Y VĚTA (Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem): Platípouzepro T= R! Nechť V jevektorovýprostorkonečnédimenzenad Rag:V Rjekvadratickáforma Potom existujebáze Xprostoru V taková,žematice Bformy gvůči Xjediagonální,anavíc i:b ii { 1,0,1} Navícpočetkladnýchprvkůnadiagonálenezáležínavolbě X(ajeprovšechnytakovévhodnébáze stejný) Pozn: Vektoru(#+1,# 1,#0) se říká signatura formy Zákon setrvačnosti tedy říká, že signatura formy dané formy je stejná a nelze změnit volbou jiné báze 22

24 Jiří Fiala Lineární algebra II Formy (a) existence:mámlibovolnoubázi X 0 asymetrickoumatici B 0 Pak unitární R:R 1 B 0 Rjediagonální (unitárníjetaková R,že R 1 = R T ) R 1 B 0 R=R T B 0 R=D Nadefinuji Ddiagonální: d ii = α ii D= D T B D Hledaná matice bude mít: nadiagonále0,pokudvdbylovlčíslo=0 nadiagonále1,pokudvdbylovlčíslo >0 nadiagonále 1,pokudvDbylovlčíslo <0 Z38-"/+ ( ) T B 0 = D R T B D R T kde D R T jeregulárnímatice,konkrétněmaticepřechoduodbáze X 0 k X (b) jednoznačnost: Nezkouší se Bez újmy na obecnosti nechť B je regulární Dokazuji fakt, že pro libovolnou symetrickou Balibovolnouregulární Rmajímatice Ba R T B Rstejnousignaturu(stačístejnýpočet kladných vlastních čísel) Mámdanou R=R 0 ProveduGramm Smidthovuortogonalizaciazískám R 1 unitární Tosivšakpředstavímjakospojitýproces získám R s pro s=[0,1]všechnytytomatice jsou regulární, vlastní čísla se však mění spojitě; nikdy proto nemohou projít nulou, a tedy počet kladných a záporných čísel se tímto procesem nezmění Diagonalizace kvadratickéformy:mějmekvadratickouformu g 1 : R 2 Rdanoumaticí B= ( ) vůči kanonické bázi K Maticetéžeformyvůčibázi X= {(2/3,1/3) T,( 1/3,1/3) T }: B =[id] T XK B [id] XK = Analytickévyjádření B jepak: ( )( )( ) ( ) 2/3 1/ /3 1/3 1 0 = 1/3 1/ /3 1/3 0 1 g(x 1,x 2 )=x 2 1 x

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.

7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n. 7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Obecná úloha lineárního programování

Obecná úloha lineárního programování Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 8 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Diferenciální rovnice študenti MFF 15. augusta 2008 1 7 Diferenciální rovnice Požadavky Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu lineární

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární Algebra I. Adam Liška 8. prosince 2014. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární Algebra I. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, zimní semestr, ak. rok 2007/2008 Adam Liška 8. prosince 2014 http://kam.mff.cuni.cz/~fiala http://www.adliska.com 1 Obsah 1 Soustavy lineárních

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly

pozor - zkrácený zápis se shoduje (graficky) se zápisem rozkladem na cykly 060221 1 1 060221 1.1 Permutace Definice 1. Permuntací množiny {1, 2,, n} rozumíme zobranení p: {1, 2,, n} {1, 2,, n}, které je prosté a na. zápis permutace tabulkou: x 1 2 3 4 5 6 p(x) 4 1 3 2 6 5 zkrácený

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry

Teorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

1. Algebraické struktury

1. Algebraické struktury 1. Algebraické struktury Definice 1.1 : Kartézský součin množin A,B (značíme A B) je množina všech uspořádaných dvojic [a, b], kde a A, b B. N-tou kartézskou mocninou nazveme A n. Definice 1.2 : Nechť

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více