Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Transkript

1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump function, seřezávcí funkce) se definuje jko { 0 x ϕ(x) = exp ( ) x < x 2 Zákldní vlstnosti ϕ: ϕ(x) 0 v R ϕ(x) = 0 pro x, ϕ(x) > 0 pro x < ϕ(x) C (R) Seřezávcí funkce nulová mimo ( ɛ, + ɛ) se dostne jko ( ) x ϕ,ɛ (x) = ϕ. ɛ Lemm 9.. [Slbá formulce diferenciální rovnice.]. Nechť u C([, b]). Potom u 0 v [, b], právě když u(x)h(x) dx = 0 h C0 ([, b]). 2. Nechť w C ([, b]), v C([, b]). Potom w + v 0 v [, b], právě když w(x)h (x) + v(x)h(x) dx = 0 h C 0([, b]).

2 Opkování. X se nzve normovný prostor, jestliže X je vektorový prostor (nd R), kždému x X je přiřzen norm x tk, že pltí: (i) x = 0 právě když x = 0, (ii) x = x, (iii) x + y x + y ; pro kždé x, y X, R. Definujeme okolí U(x 0, δ) = { x X; x x 0 < δ } P (x 0, δ) = U(x 0, δ) \ {x 0 } Funkcionál Φ(x) : M X R je spojitý, pokud ( x0 M )( ε > 0 )( δ > 0 )[ x U(x 0, δ) M = Φ(x) Φ(x 0 ) < ε] Definice. Nechť Φ(x) : M X R, kde X je normovný prostor.. Nechť x 0, h X. Limit (pokud existuje) lim t 0 t [Φ(x 0 + th) Φ(x 0 )] se nzývá Gâteuxův diferenciál Φ v bodě x 0 ve směru h. Znčí se DΦ(x 0 ; h). Ekvivlentně je DΦ(x 0 ; h) = ϕ (0), kde ϕ(t) : R R je definován ϕ(t) = Φ(x 0 + th). 2. Nechť x 0 X. Existuje-li spojité lineární zobrzení A : X R, splňující Φ(x 0 + h) = Φ(x 0 ) + A(h) + o( h ), h 0, podrobněji ( ε > 0 )( δ > 0 ) [ h P (0, δ) = Φ(x 0 + h) Φ(x 0 ) A(h) ] h < ε, nzývá se Fréchetův diferenciál Φ v bodě x 0. Znčí se Φ (x 0 ). Poznámky. pro X = R n je Gâteuxův diferenciál totéž co derivce ve směru; Fréchetův diferenciál totéž co totální diferenciál. pltí: Φ (x 0 ) existuje = DΦ(x 0 ; h) existuje pro kždé h X, pltí 2

3 DΦ(x 0 ; h) = [Φ (x 0 )](h). pltí: Φ (x 0 ) existuje = Φ je spojitý v bodě x 0. důležité: k existenci Φ (x 0 ) je nutné, by množin M (=definiční obor Φ) obshovl nějké okolí x 0 dosti silný předpokld. Existence DΦ(x 0 ; h) předpokládá pouze, že x 0 + th M pro t dosti mlé. Definice. Nechť Φ(x) : M X R. Bod x 0 M se nzve:. globální minimum, jestliže ( x M) [ ] Φ(x) Φ(x 0 ) ; 2. lokální minimum, jestliže ( δ > 0)( x U(x 0, δ) M) [ ] Φ(x) Φ(x 0 ) ; 3. ostré lokální minimum, jestliže ( δ > 0)( x P (x 0, δ) M) [ ] Φ(x) > Φ(x 0 ). Anlogicky se definuje mximum. Souhrnný název pro minimum/mximum je extrém. Lemm 9.2. Nechť Φ(x) : M X R má v x 0 M lokální extrém. Nechť h X je tkové, že DΦ(x 0 ; h) existuje. Potom DΦ(x 0 ; h) = 0. Zákldní úloh vričního počtu. Nlezení extrémů funkcionálu Φ(y) : M X R, kde X = C ([, b]), Φ(y) = f(x, y(x), y (x)) dx M = { y C ([, b]) : y() = A, y(b) = B }. (U) { Prostor C ([, b]) je optřený normou y = sup x [,b] y(x) + y (x) }. Klíčovou roli ndále hrje funkce f = f(x, y, z) : R 3 R, která funkcionál vytváří. Budeme znčit f y = f, f y z = f. z Vět 9.. Je dán úloh (U). Nechť y 0 M, h C 0([, b]) jsou libovolná. Předpokládejme, že f C. Potom existuje DΦ(y 0 ; h) pltí DΦ(y 0 ; h) = f y (x, y 0 (x), y 0 (x))h(x) + f z((x, y 0 (x), y 0 (x))h (x) dx. 3

4 Vět 9.. [Euler-Lgrnge.] Je dán úloh (U). Nechť y M je lokální extrém. Předpokládejme nvíc, že y C 2, f C 2. Potom y splňuje v [, b] rovnici d ( fz (x, y(x), y (x)) ) + f y (x, y(x), y (x)) = 0. (E.L.) dx Definice. Předchozí rovnice se nzývá Euler-Lgrngeov rovnice funkcionálu Φ. Kždé její řešení, náležící do M (tj. splňující okrjové podmínky y() = A, y(b) = B), nzýváme extremálou úlohy (U). Příkld. Φ(y) = π 0 (y + y) 2 + 2y sin x dx, M = {y C ([0, π]); y(0) = 0, y(π) = }. E.L. rovnice je y y = sin x, jediná extremál y 0 (x) = sinh x sinh π 2 sin x. Elementárně lze dokázt, že y 0 je globální minimum. Lemm 9.3. Nechť v(x) : R R je spojitá v bodě x 0. Potom lim ε 0+ 2ε x 0 ε x 0 +ε v(x) dx = v(x 0 ). Vět 9.3.[Legendre.] Je dán úloh (U). Nechť y M je C 2, f C 2. Potom. je-li y lokální minimum, je f zz (x, y(x), y (x)) 0 pro x (, b); 2. je-li y lokální mximum, je f zz (x, y(x), y (x)) 0 pro x (, b). Poznámk. Souvisí s tvrzením: má-li ϕ(t) : R R v bodě t = 0 lokální minimum, je ϕ (0) 0. V průběhu důkzu se odvodí druhý Gâteuxův diferenciál D 2 Φ(y; h, h) = f yy (x, y, y )h 2 + 2f yz (x, y, y )hh + f zz (x, y, y )[h ] 2 dx. Lemm 9.4. Nechť f nezávisí explicitně n x, tj. f = f(y, z). Potom kždé řešení E.L. rovnice řeší tké rovnici kde K je vhodná konstnt. y f z (y, y ) + f(y, y ) = K, 4

5 Definice. Nechť y M je extremál úlohy (U). Oznčme Rovnice P (x) = f zz (x, y(x), y (x)) Q(x) = f yy (x, y(x), y (x)) [f yz (x, y(x), y (x))] [P (x)u (x)] Q(x)u(x) = 0 (J) (pro neznámou funkci u = u(x)) se nzývá Jcobiho rovnice, příslušná dné extremále. Bod x (, b] se nzve konjugovný bod rovnice (J), pokud existuje netriviální (tj. ne identicky nulové) řešení u(x) tkové, že u() = u( x) = 0. Vět 9.4. [Jcobiho.] Nechť y C 2 ([, b]) je extremálou úlohy (U), nechť f C 3 (R 3 ). Nechť (J) je příslušná Jcobiho rovnice, přičemž P (x) > 0 v [, b].. Je-li y lokální minimum, pk rovnice (J) nemá v intervlu (, b) konjugovný bod. 2. Jestliže rovnice (J) nemá v intervlu (, b] konjugovný bod, je y ostré lokální minimum. Zrcdlová verze: P (x) < 0 v [, b], mximum místo minimum. Vriční úloh s vzbou. Hledáme extrémy funkcionálu Φ n množině M, kde Φ(y) = f(x, y(x), y (x)) dx M = { y C0 ([, b]) : Ψ(y) = c} Ψ(y) = g(x, y(x), y (x)) dx. (V ) Vět [Lgrngeův multiplikátor.] Nechť y M je lokální extrém úlohy (V). Předpokládejme, že y C 2, f, g C 2, nvíc DΨ(y; h) 0 lespoň pro jedno h C0 ([, b]). Potom existuje λ R tkové, že Bez důkzu. 2 Bez důkzu. DΦ(y; h) λdψ(y; h) = 0 h C0 ([, b]) (L) 5

6 Použití n úlohu (V). (L) tvrdí nulovost Gâteuxov diferenciálu pro funkcionál χ(y) = f(x, y, y ) λg(x, y, y ) dx, tedy extrémy (V) řeší odpovídjící E.L. rovnici d ( fz (x, y, y ) λg z (x, y, y ) ) + f y (x, y, y ) λg y (x, y, y ) = 0 dx Poznámk. Srovnej s větou v R n : nechť x je lokální extrém F : R n R n množině M = {x R n ; G(x) = c}. Nechť vektor G(x) je nenulový. Potom existuje λ R tkové, že F (x) λ G(x) = 0. 6