2. Souvislé prostory. A:= M N, B:= N Moddělené. Důkaz. Abychomukázali,že A B=,pišme

Transkript

1 2. Souvislé prostory Definice2.1.Říkáme,žemnožiny A P, B Pjsouoddělené,je-li A B= =A B. Poznámka2.1.Je-lijednazmnožin A,Bprázdná,jsoumnožiny A,Boddělené.Každýprostormá protorozkladnadvěoddělenémnožiny;rozkladytvaru P= P ap= Psenazývajítriviální. Definice 2.2. Říkáme, že prostor P je souvislý, má-li jen triviální rozklad na dvě oddělené množiny. Říkáme, že prostor P je nesouvislý, není-li souvislý. Nesouvislý je tedy takový prostor, který má aspoň jeden netriviální rozklad na dvě oddělené části. Poznámka2.2.Je-li P= A B,jsoumnožiny A,Boddělené,právěkdyžjsoudisjunktníabuďobě otevřené,nebooběuzavřené. 1 ) Věta2.1.Jsou-limnožiny M P, N P buďoběuzavřené,nebooběotevřené,jsoumnožiny A:= M N, B:= N Moddělené. Důkaz. Abychomukázali,že A B=,pišme A B= M (P N) N (P M) M P N N (P M). Je-limnožiny M,Nuzavřené,je M= Mavýrazza jeroven M P N N (P M)=.Jsou-li množiny M,Notevřené,jemnožina P Nuzavřenáavýrazza jerovenm (P N) N (P M)=. Podobněsedokážerovnost A B=. Předpokládám,žečtenářznázákladnívětyosouvislýchprostorech(viznapř.[6]nebo[7])auvedu proto jen některá tvrzení, která se v běžných učebnicích obvykle nevyskytují. Věta2.2.Nechť Cjesouvislápodmnožinasouvisléhoprostoru P.Je-li P C= A B,kde A, B jsouoddělenémnožiny,jsoumnožiny A C, B Csouvislé.Je-li Cnavícuzavřená,jsouimnožiny A C, B Cuzavřené. Důkaz. Protožepřípad C= jetriviální,předpokládejme,že C,adokažmetvrzenívěty např.promnožinu A C;promnožinu B Cjedůkazzcelaanalogický.Nejdřívesouvislost:Nechť A C= D E, kde D, Ejsouoddělenémnožiny.Protože Cjesouvislá,jeobsaženabuďvD,nebovE;bezújmyna obecnostilzepředpokládat,že C D.Pakje D ae A,aprotožemnožiny A, Bjsouoddělené, platítotéžomnožinách E, B,atedyiomnožinách E, B D.Protože P= A B C= B D E, protožeprostor Pjesouvislýaprotože B D,je E=. A Cjetedysouvislámnožina. Předpokládejme nyní navíc, že množina C je uzavřená. Potom je C A=C A=C A=(C A) (A B C)=[(C A) (C A)] [(C A) B]=C A, cožukazuje,že C Ajeuzavřenámnožina. Věta2.3.Nechť P = M N anechťmnožiny M, N jsoubuďoběuzavřené,nebooběotevřené. Jsou-lioběmnožiny M Na M Nsouvislé,jsousouvisléimnožiny Ma N. Důkaz. Vevětě2.2položme A=M N, B= N Ma C= M N.Množiny A, Bjsoupak podlevěty2.1oddělené,takžemnožiny A C= M, B C= Njsoupodlevěty2.2souvislé. Definice 2.3. Oblastí prostoru P se nazývá každá jeho souvislá otevřená podmnožina. Příklady.VRjsouoblastmijenotevřenéintervalyaprázdnámnožina.OblastmivR 2 jsounapř. otevřený kruh a otevřený(dvojrozměrný) interval,(otevřená) polorovina,(otevřený) pás(mezi dvěma rovnoběžkami),(otevřený)úhel,(otevřené)mezikruží,množina R 2 Z,atd.VR 3 jsouoblastminapř. 1 )Je-li P = A Bamnožinyvpravojsoudisjunktní,jsouoběotevřené(uzavřené),právěkdyžjsouoběuzavřené (otevřené). Prostor P je tedy nesouvislý, právě když má netriviální rozklad na dvě obojetné množiny. 12

2 (otevřená)koule,krychle,poloprostorneboanuloid(torus),alenapř.imnožinar 3 A,kdeAjesjednocení všech přímek rovnoběžných s osou z a protínajících rovinu xy v bodech s celočíselnými souřadnicemi. Definice 2.4. Komponentou prostoru P nazýváme každou maximální souvislou podmnožinu prostoru P(tj.souvisloumnožinu M P,pronižplatí:Je-li M N Paje-li Nsouvislá,je N= M). Poznámka 2.3. Snadno nahlédneme, že platí tato tvrzení: 1. Pojem komponenty je(stejně jako pojem oblasti) topologický. 2. Dvě různé komponenty prostoru P jsou disjunktní a prostor P je sjednocením všech svých komponent. 3.Každásouvislámnožina A Pječástíněkterékomponentyprostoru P. 4. Komponenty prostoru P jsou vždy uzavřené množiny(neboť je-li M souvislá, je i M souvislá). 5. Komponenty obecně nejsou otevřené.(příklad. Komponentami prostoru Q všech racionálních čísel jsou právě všechny jeho jednobodové části; žádná z nich však v něm není otevřená.) 6.Je-li Gnapř.otevřenápodmnožinaprostoru R n,jsouvšechnyjejíkomponentytakéotevřené v G,tedyivR n.(důkaz.je-li Hkomponentouotevřenémnožiny G R n aje-li x H,existuje ε >0 tak,že U(x,ε) G.Protožetotookolíjesouvislé,jesouvisláimnožina H U(x,ε) G;protože Hje maximálnísouvisláčástmnožiny G,je U(x,ε) H.) Označení.Prokaždé x Poznačímekomp x Pkomponentuprostoru Pobsahujícíbod x. Definice2.5.Je-li ε >0,nazýváme ε-řetězemvp každoukonečnouposloupnostbodů a i P, 0 i n, n N,pronižje ρ(a i 1,a i ) < εpro i=1,...,n;je-li p=a 0, a n = q,říkáme,žetentořetěz body p,q(v P)spojuje.Říkáme,žeprostor Pje ε-sřetězený,jestližeprokaždédvabody p P, q P existuje ε-řetězspojující p, qvp.prostorsenazývásřetězený,je-li ε-sřetězenýprokaždé ε >0. Příklad 2.1. Množina všech celých čísel je ε-sřetězená pro každé ε > 1. Množina Q všech racionálních číseljesřetězená.množina {n 2 ; n N}není ε-sřetězenáprožádné ε >0. Věta 2.4. Souvislý prostor je sřetězený. Kompaktní sřetězený prostor je souvislý. Důkaz. 1.Snadnonahlédneme,žeje-li p P, ε >0,jemnožinavšechbodů x P,kterélze spojitsbodem p Pnějakým ε-řetězembodůzp,obojetná;je-liprostor Psouvislý,jetedyrovna P. 2.Je-li P kompaktníanesouvislý,je P = A B,kde A, Bjsoukompaktníneprázdnémnožiny. Potomvšakje ε:= ρ(a,b) >0aprostor Pzřejměnení ε-sřetězený. Věta2.5.Nechť Pjekompaktníprostor,nechť A n Pjsou ε n -sřetězenémnožinyanechť ε n 0. Existuje-liLim A n,jetosouvislámnožina.obecněji:je-lili A n,jels A n souvislámnožina. Důkaz. 1.Předpokládejme,žemnožina A:=Lim A n nenísouvislá;protožeje(podlevěty 1.1)kompaktní,existujíneprázdné,disjunktníakompaktnímnožiny M,Ntak,že A=M N.Pakje r:= ρ(m,n) >0amnožina U:= U(M, 1 3 r) U(N,1 3r)jeokolímmnožiny A;zvěty1.2vyplývá,žepro skorovšechna nje A n U.Zpodmínky A=Lim A n dáleplyne,žeproskorovšechna nje A n U(M, 1 3 r) A n U(N, 1 3 r). Vopačnémpřípaděbytotižexistovalavybranáposloupnost {A nk },jejížvšechnyčlenybybylydisjunktní např.su(m, 1 3 r),atotéžbypakplatiloipromnožinu A=Lim A n k.ztohobyvšakplynulo,že M= spor.protoževzdálenostmnožin U(M, 1 3 r), U(N,1 3 r)je 1 3 r,musíproskorovšechna nbýtiε n 1 3 r, takže není splněn jeden z předpokladů věty. 2. Podle poznámky 1.11 je Ls A n = Lim A nk, kdevpravosesjednocujepřesvšechnykonvergentníposloupnostivybranéz{a n }.Každýsčítanecjepodle toho,cojsmejiždokázali,souvislý,aprotožekaždýobsahujeneprázdnoumnožinuli A n (vizpoznámku 1.2), je i celé sjednocení vpravo souvislé. Definice 2.6. Říkáme, že prostor P jenesouvislýmezimnožinami A P, B P, je-li P = M N,kde M, N jsouoddělenémnožiny,přičemž A M, B N.Vopačnémpřípaděříkáme,že 13

3 prostor P jesouvislýmezi A,B.Říkáme,žemnožina D Proztíná Pmezimnožinami A,B,je-lipodprostor P Dnesouvislýmezi A,B.Říkáme,že D Proztíná P,existují-lineprázdnémnožiny A P, B Ptak,žeprostor Pjemezimnožinami A,Bsouvislýajehopodprostor P Dnesouvislý. Příklad 2.2. Souvislý prostor P je souvislý mezi kterýmikoli svými body p, q. Jednotková kružnice D roztínárovinur 2,protožejiroztínánapř.mezipočátkem pakterýmkolibodem q,pronějžje ρ(p,q) >1. Podprostor R 2 Djemezitakovýmidvěmabodynesouvislý. Věta2.6.Roztíná-li D P prostor P mezimnožinami A,B,existujeuzavřenámnožina D D, kterátéžroztíná Pmezi A,B. Důkaz. Je Položíme-li P D=M N, kde M N= =M N, A M, B N. M = {x P; ρ(x,m) < ρ(x,n)}, N = {x P; ρ(x,m) > ρ(x,n)}, D = P (M N ), jem M,N NamnožinyM,N jsoudisjunktníaotevřené 2 ),takžemnožinad Djeuzavřená. Poznámka2.4.Roztíná-liuzavřenámnožina Dprostor Paje-limnožina QhustávP,existujíbody p Q, q Qtak,že Droztíná Pmezi paq. Důkaz. Podlepředpokladuexistujíneprázdnémnožiny A,B,mezinimižjepodprostor P D nesouvislý,takže P D=M N,kde M N = M N =, A M, B N.Množiny M,N jsou neprázdnéaotevřené;protožemnožina QjehustávP,existujíbody p Q M, q Q N,aDzřejmě roztíná Pmezi p,q. Věta2.7.Nechť Pjesouvislýprostorsespočetnoubázíanechť a P, b P.Nechť Sjedisjunktní systémsouvislýchuzavřenýchpodmnožinprostorup,znichžkaždároztínápmezibody a,b.je-li C S, buď (1) P C= M(C) N(C), kdemnožiny M(C)aN(C)jsouoddělené, a M(C), b N(C). 3 )Položíme-lipak A(C):= C M(C), platí tato tvrzení: I.Je-li C S, D S, C D,je M(C) M(D)abuď A(C) M(D) IntA(D), nebo A(D) M(C) IntA(C). II.Množinám C Slzepřiřaditindexyležícímivintervalu(0,1)tak,abyprokaždoudvojici x,y užitých indexů platila implikace (2) x < y A(C x ) M(C y ) IntA(C y ) A(C y ). Píšeme-lipakkrátce A x = A(C x ), M x = M(C x ), N x = N(C x ),platíprotéměřvšechnyindexy y tyto identity: (3) IntA y = x<y IntA x = x<ya x = M y, (4) A y = x<ya x = M y =IntA y, (5) A y = IntA z = z. z>y z>ya III.Protéměřvšechna C Splatí: 2 )Otevřenostplynezespojitostifunkcí ρ(x,m)aρ(x,n). 3 )Takovýchrozkladůmnožiny P Cnadvěoddělenémnožinymůžebýtvíce;vyberemelibovolně,alepevnějednu dvojici.vzhledemktomu,žemnožina Cjeuzavřená,jsoumnožiny M(C),N(C)otevřené(votevřenémnožině P C,tedy ivp). 14

4 a)inta(c)=m(c), H(A(C))=C; b) C= H(M(C))=H(N(C)); c)existujerostoucíposloupnostmnožin D n Saklesajícíposloupnostmnožin E n Stak,že (6) C= M(D n ) N(E n )= A(D n ) P A(E n ); n=1 d)množiny M(C)aN(C)jsousouvislé. Důkaz. I.Je-li C S, D S, C D,jebuď D M(C),nebo D N(C),neboť Djesouvislá podmnožinasjednocení M(C) N(C)oddělenýchmnožin M(C), N(C).Ukažmenejdříve,že n=1 (7) D M(C) A(D) M(C). Zinkluze D M(C)azrovností (8) P= C M(C) N(C)=D M(D) N(D) plyne, že (9) P=(C M(C) M(D)) (N(C) N(D)). Protože C P D= M(D) N(D),jebuď C M(D),nebo C N(D);kdybyvšakbylo C M(D), byloby P=(M(C) M(D)) (N(C) N(D)),cožnenímožné,protožeprostor Pjesouvislýamnožiny M(C) M(D), N(C) N(D)jsouneprázdnéaoddělené. Jetedy C N(D);ztétoinkluze,zpremisyimplikace(7)azidentit(8)plyne,že (10) P= C D M(C) N(D) (M(D) N(C))=(M(C) N(D)) (M(D) N(C)), kdemnožiny M(C) N(D), M(D) N(C)jsouoddělené,přičemž a M(C) N(D),takžetatomnožina neníprázdná.zesouvislostiprostoru P plyne,že M(D) N(C) =,tedy M(D) P N(C) = M(C) C;protože C N(D) C M(D)=,jedokonce M(D) M(C).Protože D M(C),je A(D)=D M(D) M(C),cožjezávěrimplikace(7). Protožemnožina M(C) A(C)jeotevřená,ječástíIntA(C);dokázalijsmetedyimplikaci (11 ) D M(C) A(D) M(C) IntA(C). Podobně se dokáže implikace (11 ) C M(D) A(C) M(D) IntA(D). Protožepremisajednéztěchtoimplikacíplatí,platíipříslušnýzávěr.Rovnost M(C)=M(D)by spolus(11 )vedlakinkluzi A(D) M(D),spolus(11 )kinkluzi A(C) M(C),tedyvoboupřípadech kesporu.tímječástivěty2.7dokázána. II.Zvolmepevněnějakouspočetnoubázi Bprostoru Pasestavmejejíprvkydoposloupnosti {U n } tak,abyprokaždé U Bbylo U= U n pronekonečněmnohoindexů n.prokaždoumnožinu C Stvoří pakindexy n,proněžje U n M(C),jistourostoucíposloupnost {n k };číslo (12) x:= 1 2 n k k=1 lzenapsatijakodyadickýzlomektvaru0.α 1 α 2...α n...,kde α n jerovno1,nebo0podletoho,zdalije U n M(C),nebone.Protožeprožádné C Sneníani M(C)=,ani M(C)=P,existuje U Btak, že U M(C),aU Btak,že U M(C);ztohoplyne,ževdyadickémzlomkujenekonečněmnoho ciferrovných1anekonečněmnohociferrovných0.jetedy x (0,1)acifryzlomku0.α 1 α 2...α n... jsoujehohodnotou xurčenyjednoznačně.dálejepatrné,žeposloupnosti {n k }, {n k }odpovídajícídvěma různýmmnožinám C S, D Sjsourůzné,protože C D M(C) M(D)a U nk = M(C) M(D)= k=1 k=1 U n k ; 15

5 vdůsledkutohoječíslo(12)různéodčísla (12 ) x = 1 2 n k k=1 Je-li C S,je-li M(C)= k=1 U n k aplatí-li(12),budememnožinu C značit C x ;označeníje korektní, protože podle toho, co jsme řekli, index x za uvedených podmínek množinu C jednoznačně identifikuje.položmeještě M x = M(C x ), A x = A(C x )an x = N(C x ). Jsou-li x,ydvarůznéindexy,jepodlečástiibuď A x M y IntA y,nebo A y M x IntA x. Zinkluze A x M y plyne,že M x M y M x.každé U n obsaženévm x jeobsaženoivm y,posloupnost {n k }příslušnákc x jevybránazposloupnosti {n k }příslušnékc y;protože M x jepravoučástímnožiny M y,existuje U n M y tak,že U n M x,atakovýindex njerovennekonečněmnohaindexům n k,ale nenírovenžádnémuzindexů n k.ztohozřejměplyne,že x < y.zinkluzí A y M x IntA x byse obdobně odvodila nerovnost y < x. Je-litedy x < y,je A x M y IntA y ;protožeinkluzeinta y A y jezřejmá,jetímimplikace(2) dokázána. Užívejmezavedenáoznačeníamějmenapaměti,žemnožiny M x,n x jsoudisjunktníaotevřené, zatímcomnožiny A x jsouuzavřené.protože. (13) jetéž (14) (15) x < y IntA x A x M y IntA y A y, y < z IntA y A y M z IntA z A z, IntA x x<ya x M y IntA y A y, x<y IntA y A y M z IntA z z. z>y z>y z>ya Je-liIntA y x<y IntA x,zvolmevtétomnožiněbod wapaknajděmečíslo n(y) Ntak,že w U n(y) IntA y ;protože x < y w / IntA x,platíimplikace x < y U n(y) IntA x. Ukažme,žepřiřazeníčísla n(y)indexu yjeprosté.je-li n(y )číslopřiřazenépopsanýmzpůsobem indexu y y,prokterýjeinta y x<y IntA x,jebuď y > y,nebo y < y.vprvnímpřípaděje U n(y) IntA y,zatímco U n(y ) IntA y,vedruhémpřípaděje U n(y ) IntA y,zatímco U n(y) IntA y ; voboupřípadechjeproto U n(y) U n(y ),tedyin(y) n(y ). Získali jsme tedy prosté zobrazení indexů y, pro něž neplatí rovnost (16) IntA y = x<y IntA x, do množiny N; takových indexů je tedy jen spočetně mnoho. Jinými slovy: Rovnost(16) platí pro téměř každýindex y.vzhledemkinkluzím(14)jezřejmé,žezníplynourovnosti (16 ) IntA y = M y = x<ya x ; tím je dokázáno(3). Podle(14)je x<y A x A y ;protože A y jeuzavřenámnožina,jedokonce x<y A x A y.neplatí-li tedy(pro některé y) rovnost (17) A x = A y, x<y existuje n(y) Ntak,že U n(y) A y =U n(y) x<ya x ; 16

6 tímspíšepakje U n(y) A x = provšechna x < y. Podobně jako nahoře dokážeme, že přiřazení čísel n(y) indexům y, pro něž neplatí(17), je prosté: Je-li y yindex,prokterýneplatírovnostanalogická(17),jebuď y > y,načež U n(y ) A y = U n(y) A y, neboje y < y,načež U n(y) A y = U n(y ) A y.zestejnýchdůvodůjakonahořeztohoplyne,že rovnost(17) platí pro téměř všechny indexy y. Protožepodle(14)a(17)je platí(4)taképrotéměřkaždýindex y. x<ya x M y IntA y = A y = x<y Předpokládejme nyní, že pro některý index y neplatí rovnost (18) A y = z>ya z ; A x, protože výraz vlevo je podle(15) obsažen v průniku vpravo, znamená to, že existuje bod w tohoto průniku, kterýneležíva y.protože A y jeuzavřenámnožina,existuje n(y) Ntak,že U n(y) jedisjunktnísa y ; toto U n(y) všakprotínákaždouzmnožin A z,kde z > y. Přiřazeníčísel n(y)indexům y,proněžneplatí(18),jeopětprosté:je-li y yindex,pronějž neplatírovnostanalogická(18),jebuď y > y,načež U n(y) A y =U n(y ) A y,neboje y < y,načež U n(y) A y = U n(y ) A y. Podobnějakonahořeztohoplyne,žerovnost(18)platíprotéměřvšechnyindexy y.z(15)a(18) jeihnedpatrné,žei(5)platíprotéměřkaždýindex y.tímjedokončendůkazčástiiivěty2.7. III a).podle(3)je IntA(C) = M(C)protéměřvšechna C S; vdůsledkutohoplatí totéž orovnostech H(A(C))=A(C) IntA(C)=(C M(C)) M(C)=C. IIIb).Podle(4)je M(C)=A(C)protéměřkaždé C S;ztohoplyne,že H(M(C))=M(C) M(C)=A(C) M(C)=C.Protožekaždámnožinamátoužhranicijakojejídoplněkaprotože N(C)= P A(C),jeiH(N(C))=Cprotéměřkaždé C. IIIc).Podle(3) (5)jenejen (19) C y = H(A y )=A y IntA y = z>y M z A x = M z (P N x )= x<y z>y x<y z>y M z x<yn x protéměřkaždýindex y,aletaké (20) C y = A z IntA x = z>y x<y z>y A z (P P A x )= x<y z>y A z x<yp A x. Vmnožině Y všechindexůtvoříindexy y,knimžneexistujerostoucíposloupnostindexů x n tak,že x n y,spočetnoumnožinu,protože1)kekaždémutakovému yexistujeinterval(a,y)disjunktnísy, 2) intervaly přiřazené různým indexům jsou disjunktní a 3) každý systém disjunktních jednorozměrných intervalů je spočetný. Zcela analogicky se zjistí, že indexy y, k nimž neexistuje klesající posloupnost indexů z n tak,že z n y,tvoříjenspočetnoumnožinu. Protéměřkaždýindex yexistujetedyrostoucíposloupnostindexů x n tak,že x n y,aklesající posloupnostindexůz n tak,že z n y.vzhledemk(13)jsoupakoběposloupnosti{m zn }, {N xn }klesající, takže (21) ztohoaze(17)a(18)plyne,že M z = M zn, z>y k=1 N x = N xn ; x<y k=1 (22) C y = M zn N xn = A zn P A xn. k=1 k=1 17

7 Položíme-li tedy (23) D n := C zn, E n := C xn, dostaneme tvrzení III c). AbychomdokázalitvrzeníIIId),zvolmeindex ytak,abyplatilatvrzeníiiia) c),adokažmenapř. souvislostmnožiny M y ;souvislostmnožiny N y sedokážezcelaanalogicky. 4 ) Předpokládejme,že M y = M M,kde M,M jsouoddělenémnožiny,anechťnapř. a M. Pakjsouoddělenéimnožiny M N y,m,takžesjednocení M N y C y jepodlevěty2.2souvislé; podobnějeim N y C y souvislámnožina.protože a b M N y C y aprotožekaždázmnožin E n roztíná P mezi aab,je E n (M N y C y ).Protože E n = C xn,kde x n < y,je E n M y, takže E n (C y N y )= ;vdůsledkutohoje E n M.Protožemnožina E n M y = M M je souvislá,protožemnožiny M,M jsouoddělenéaprotože E n M,je E n M,tedy E n M =. Protože P C y = M (M N y ),kdemnožinyvpravojsouoddělené,jemnožina M C y souvislá; protožejedisjunktníse n (atedyobsaženávesjednoceníoddělenýchmnožin M(E n ),N(E n ))aprotože podle(22)je C y N(E n ),je M C y N(E n ),atímspíšeje M N(E n ).Protože z n > y,je M M y A y M(D n )(prokaždé n),takže M n=1 M(D n) N(E n )=C y (podle(6)).protože C y M =,je M = ;tímjesouvislostmnožiny M y dokázána. Spolustímjedokázánaicelávěta2.7. Věta 2.8. Nechť S je disjunktní systém souvislých uzavřených podmnožin souvislého separabilního prostoru P.Pakprotéměřkaždouzmnožin C Sjemnožina P Csjednocenímdvoudisjunktních oblastí M,N,jejichžspolečnouhranicíje C. Důkaz. Nechťmnožinavšechčlenůposloupnosti {p n }jehustávp.prokaždé C Sje P C= M N,kde M,Njsouneprázdnéotevřenédisjunktnímnožiny;existujítedyindexy i,jtak,že p i M, p j N; Cpakroztíná P mezibody p i,p j.prokaždoudvojiciindexů i,jnechť S i,j znamená systémvšechmnožin C S,kteréroztínají Pmezibody p i,p j ;systém Sjepakzřejměsjednocenívšech systémů S i,j. PodlečástíIIId)aIIIb)věty2.7mátéměřkaždázmnožin C S i,j oběvlastnostiuvedenévtvrzení věty;protožepodsystémůs i,j jejenspočetněmnoho,majíuvedenédvěvlastnostitéměřvšechnymnožiny C S. Označení.Je-li Pseparabilnísouvislýprostoraje-li a P, b P,označíme S(a,b)množinuvšech bodů x P,kteréroztínají P mezi a,b. 5 ) Zřejmýmdůsledkemvět2.7a2.8jetototvrzení: Věta2.9.Nechť a,bjsoudvarůznébodyseparabilníhosouvisléhoprostoru P;pakplatítatodvě tvrzení: 1.Bodům p S(a,b)lzepřiřaditindexyz(0,1)tak,žeprokaždétřiindexy x < y < zroztínábod p y prostor Pmezibody p x a p z. 2.Definujeme-li S 1 jakomnožinuvšechbodů p P,kteréneroztínají P,aS 2 jakomnožinuvšech bodů p P,proněžje P psjednocenímdvoudisjunktníchoblastí M(p),N(p),jejichžspolečnouhranicí je p,je P (S 1 S 2 )spočetnámnožina. Věta2.10.(Lennes.)Je-li Psouvislýseparabilníprostoraplatí-liprodvabody a bzprovnost (24) P= S(a,b) a b, existuje prosté spojité zobrazení f prostoru P na interval 0, 1. Důkaz.Přiřaďmekaždémubodu p S(a,b)indexpodlečástiIIvěty2.7,označme α,βinfimum a supremum množiny všech těchto indexů a užívejme tamější označení. Dokažme(sporem),žežádnýindex xnenírovenani α,ani β:předpokládejme,že x=α;pakje M(p α ) p α = A(p α ) M(p y ) provšechna y α, 4 )Vpůvodnímrozkladu P C= M Nnenížádnýpodstatnýrozdílmezimnožinamivpravo. 5 )Množiny S(a,b), S(a,b) a bjsouzřejměinvariantnívůčihomeomorfnímzobrazením. 18

8 tj.provšechna p y S(a,b) p α.protožeprožádnýindex ynení p y / M(p y ),plyneztoho,žeprožádný index ynení p y M(p α ),tj.že M(p α ) S(a,b)=.Podle(24)jetedymnožina M(p α )částídvoubodové množiny {a, b}, což není možné, protože je neprázdná a otevřená(a prostor P je souvislý). Podobněsedokáže,žežádnýindex xneníroven β. Definujeme-lifunkci g: P α,β podmínkami g(a):= α, g(p x ):= x prokaždýindex x, g(b):= β, jezřejmé,žefunkce gjeprostá.ktomu,abychomdokázali,žejespojitá,stačíukázat,ževzoryintervalů α,γ)a(γ,β jsouprokaždé γ (α,β)množinyotevřenévp.tovšakplynezidentit g 1 ( α,γ))=m(p γ ), g 1 ((γ,β )=P A(p γ )=N(p γ ). Protožezobrazení gjespojitéaprotožeprostor Pjesouvislý,je g(p)souvisláčástintervalu α,β obsahujícíbody α,β,takže g(p)= α,β.složíme-lizobrazení gsfunkcí h(x):=(x α)/(β α),získáme prostéspojitézobrazení f:= h gprostoru Pnainterval 0,1. Definice 2.7. Obloukem nazveme každou množinu homeomorfní s intervalem 0, 1. Poznámka2.5.Jsou-li f,gdvěhomeomorfnízobrazeníintervalu 0,1 natýžoblouk L,je g 1 f homeomorfní zobrazení intervalu 0, 1 na sebe, tedy spojitá ryze monotónní funkce. Z toho je patrné, že {f(0),f(1)}={g(0),g(1)};obrazmnožiny {0,1}krajníchbodůintervalu 0,1 nezávisítedynavolbě homeomorfního zobrazení intervalu 0, 1 na L. Je proto korektní tato definice: Definice2.8aoznačení.Krajnímibodyoblouku Lnazvemebody f(0),f(1),kde f je(jakékoli) homeomorfnízobrazeníintervalu 0,1 na L.Obloukskrajnímibody a,bbudemeznačit ab. 6 ) Věta2.11.Ktomu,abykompaktníasouvislýprostor P bylobloukem ab,jenutnéastačí,aby platila rovnost (25) P= S(a,b) a b. 7 ) Důkaz. Je-li P = a,b,rovnost(25)zřejměplatí;protožemnožinavpravojeinvariantem homeomorfních zobrazení, platí rovnost i pro každý oblouk ab. Obrácené tvrzení plyne ihned z věty 2.10 a z toho, že spojité prosté zobrazení kompaktního prostoru je homeomorfní. Následující příklad ukazuje, že ve větě 2.11 nelze vynechat předpoklad kompaktnosti. Příklad2.3.Nechť Pjegraffunkcesin(1/x),0<x 1,kněmužjepřidánbod a=(0,0).množina Pjepaksouvislá,aleneníobloukem,aklademe-li b=(1,sin1),je P= S(a,b) a b. Tento příklad zároveň ukazuje, že zobrazení f ve větě 2.10 nemusí být homeomorfní. 6 )Totooznačeníoblouksamozřejměneidentifikuje;jejenzkratkouslovníhospojení obloukskrajnímibody a,b. Jistějepatrné, žeoblouky ijehokrajníbodyjsouinvariantyhomeomorfníchzobrazení. Vliteratuřese krajníbody nazývajíspíše koncovýmibody (end-points);tatoterminologiesenámnehodí,protožeuintervaluatzv.orientovaného oblouku potřebujeme mluvit o jeho počátečním a koncovém bodě(což ovšem nejsou topologické pojmy). 7 )Obloukyjsoutedymezisouvislýmikompaktnímiprostory P charakterizoványtím,ževnichexistujítakovédva body a,b,žekaždýjinýbodzp roztíná P mezinimi. 19