Gymnázium Sob slav, Dr. Edvarda Bene²e 449/II. Matematická indukce. Ivana Stefanová.

Transkript

1 Gymnázium Sob slav, Dr. Edvarda Bene²e 449/II Mgr. Ivana Stefanová Matematicá induce Ivana Stefanová Sou ástí st edo²olsého u iva matematiy je taé seznámení se záladními druhy d az matematicých tvrzení, mimo jiných i s matematicou inducí. Následující odstavce si ladou za cíl uázat, ºe tato metoda je v²estrann j²í, neº se z b ºného výladu p i hodinách m ºe zdát. Úvod Pomocí metody matematicé induce se p i výuce oby ejn doazují n terá tvrzení z teorie ísel, nap. d litelnost ur itých ísel nebo jednoduché vztahy pro one né íselné ady. Pouºitý postup bychom mohli stru n shrnout tato. Matematicá induce Chceme doázat tvrzení T (n) pro v²echna p irozená ísla n. Postupujeme ve dvou rocích: Záladní ro Libovolným zp sobem doáºeme tvrzení T (1). Indu ní ro P edpoládáme platnost tvrzení T () pro libovolné p irozené a na zálad tohoto p edpoladu ov íme platnost T (+1) pro jeho následnía, na onrétním zp sobu op t nezáleºí. Tvrzení T dle záladního rou platí pro n = 1. Podle indu ního rou z toho vyplývá, ºe platí i pro jeho následnía, tj. pro n = 2. Znovu z indu ního rou dovozujeme, ºe platí i pro následovnía 2, tedy pro n = 3. P irozená ísla tvo í neone nou posloupnost, proto dal²ím opaovaným pouºitím indu ního rou ov ujeme platnost pro n = 4, 5, 6,... a postupn tedy pro v²echna p irozená ísla. Záv re ná reapitulace nezávisí na onrétním tvrzení T ani na zp sobu d azu záladního i indu ního rou. Proto se v onrétních p ípadech asto explicitn neuvádí. P esto ale je nedílnou sou ástí celého postupu a je t eba mít ji stále na mysli! Následující text sestává z d az n olia tvrzení metodou matematicé induce, na terých bychom cht li praticy uázat její r zné varianty i dal²í moºnosti pouºití. Jednotlivé p ílady jsou podle pot eby dopln ny vysv tlujícími omentá i. P ílad 1 Na rozeh átí a pro p ípadné p ipomenutí metody matematicé induce doaºme pro aºdé p irozené n tento vztah 1.1! + 2.2! + 3.3! + + n.n! = (n + 1)! 1.

2 D az V záladním rou d azu pomocí matematicé induce pro n = 1 máme 1.1! = (1 + 1)! 1 = 2! 1 = 2 1 = 1, taºe pro n = 1 vztah platí. Nyní pro provedení indu ního rou budeme upravovat levou stranu p epsanou pro n = ! + 2.2! + 3.3! + +.! + ( + 1)( + 1)!. Za prvních s ítanc dosadíme na zálad p edpoladu platnosti pro výraz ( + 1)! 1 ( + 1)! 1 + ( + 1)( + 1)! = ( + 2)( + 1)! 1 = ( + 2)! 1. Poslední výraz je sute n pravá strana doazovaného vztahu pro n = + 1, ímº je indu ní ro a tím i celý d az doon en. Tento d az je naprosto standardní a nem l by znamenat ºádné p evapení. V n terých jiných p ípadech doazované tvrzení platí pro v²echna nezáporná celá ísla (pa záladní ro provádíme pro n = 0), jindy aº pro p irozená n n 0 (nap. pro nerovnost 2 n > n 2 je n 0 = 5). Taová modiace záladního schematu v²a nep edstavuje ºádný problém. P ílad 2 ƒleny Fibonacciho posloupnosti F n denujeme reurentním vztahem F n = F n 1 + F n 2 pro n 3, za první dva leny povaºujeme F 1 = 1 a F 2 = 1. Prvních n oli len posloupnosti tedy je 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,.... Pomocí matematicé induce doáºeme, ºe n-tý len posloupnosti lze vyjád it taé p ímo F n = ϕn ψ n ϕ ψ, p i emº hodnota ϕ = (1 + 5)/2 je asto ozna ována jao zlatý ez a ψ = (1 5)/2. D az V záladním rou nejprve ov íme platnost vztahu pro n = 1 a n = 2. První p ípad je velmi snadný, nebo itatel i jmenovatel zlomu je stejný a tedy platí F 1 = 1. Není obtíºné ov it, ºe ψ = 1 ϕ = ϕ 1 a jmenovatele m ºeme vyjád it ϕ ψ = 5. Pro n = 2 máme F 2 = ϕ2 (1 ϕ) 2 5 = ϕ2 (1 2ϕ + ϕ 2 ) 5 = 2ϕ 1 5 = 1, taºe vztah taé platí. Indu ní ro budeme provád t za p edpoladu, ºe pro F a F 1 vztah platí ( 2). Pomocí reurentního vzorce denujícího posloupnost pa budeme vyjad ovat F +1 F +1 = F + F 1 = ϕ ψ ϕ ψ + ϕ 1 ψ 1 ϕ ψ = (ϕ + ϕ 1 ) (ψ + ψ 1 ). ϕ ψ První závoru v itateli upravíme pomocí vý²e uvedených vztah pro ϕ a ψ ϕ + ϕ 1 = ϕ (1 + ϕ 1 ) = ϕ (1 (1 ϕ)) = ϕ.ϕ = ϕ +1 a podobn naloºíme i s druhou závorou itatele (platí totiº taé 1 ψ = ψ 1 ) ψ + ψ 1 = ψ (1 + ψ 1 ) = ψ (1 (1 ψ)) = ψ.ψ = ψ +1.

3 Po dosazení jiº máme F +1 = ϕ+1 ψ +1, ϕ ψ coº je sute n vyjád ení lenu Fibonacciho posloupnosti pro n = + 1. Podle záladního rou je vyjád ení správné pro n = 1 a n = 2. Za t chto p edpolad ov íme pomocí indu ního rou platnost pro n = 3. Indu ní ro pro n = 4 m ºeme provést za p edpoladu, ºe je správné vyjád ení pro F 3 a F 2. To ale spln no je, taºe pro n = 4 vztah taé platí. Následn p i ov ení tvrzení pro F 5 vyuºijeme v indu ním rou platnost pro F 4 a F 3, atd. Opaováním indu ního rou postupn proáºeme platnost vztahu pro libovolné p irozené n. Podstatnou novinou v tomto d azu je sute nost, ºe p i provedení indu ního rou musíme p edpoládat platnost tvrzení pro dva p edch dce. Proto taé záladní ro musíme provést pro n = 1 i n = 2, jina by první provedení indu ního rou nebylo moºné! Význam Existence vztahu pro p ímý výpo et hodnoty F n je významná zvlá²t pro velá n, p ípadn i pro studium asymptoticého chování. V t chto p ípadech by výpo et pomocí reurentní formule mohl být zna n zdlouhavý. Uv domíme-li si navíc, ºe ψ < 1, pa je z ejmé, ºe pro velá n se ψ n oproti ϕ n stává zanedbatelné a platí F n ϕn 5. Po zaorouhlení na nebliº²í celé íslo lze tento p ibliºný vztah pouºít pro v²echna p irozená ísla n. P ílad 3 Doáºeme, ºe poud pro n jaé θ lze hodnotu cos θ zapsat jao zlome cos θ = p/q pro n jaá celá ísla p a q 0 (tj. jedná-li se o racionální íslo), pa hodnota V (n) = q n cos nθ je celé íslo pro aºdé p irozené n. D az Záladní ro provedeme ov ením pro n = 1 V (1) = q cos θ = q p q = p Z a s vyuºitím cos 2α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α (1 cos 2 α) = 2 cos 2 α 1 taé pro n = 2 V (2) = q 2 cos 2θ = q 2 (2 cos 2 θ 1) = q 2 (2 p2 q 2 1) = 2p2 q 2 Z. Indu ní ro budeme provád t za p edpoladu, ºe pro i 1 tvrzení platí ( 2). Pro úpravu výrazu q +1 cos(+1)θ pouºijeme sou tový vzorec cos(α+β)+cos(α β) = 2 cos α cos β. Z n j vyjád íme cos(α + β) a dosadíme α = θ a β = θ Hodnota doazovaného výrazu pro + 1 je cos( + 1)θ = 2 cos θ. cos θ cos( 1)θ. V () V (1) V ( 1) { }} { { }} { { }} { V ( + 1) = q +1 cos( + 1)θ = 2q cos θ. q cos θ q 2 q 1 cos( 1)θ,

4 de sloºenou závorou jsou vyzna eny výrazy postupn pro argument n =, 1 a 1. Pro n = 1 tvrzení platí dle záladního rou a pro dva p edch dce dle p edpoladu indu ního rou. V²echny tyto ásti jsou celá ísla, tudíº i celý výraz je n jaé celé íslo. V záladním rou jsme tvrzení doázali pro n = 1 a 2. Pro n = 3, 4 a následující m ºeme provád t indu ní ro, protoºe pro dva p edch dce tvrzení jiº bylo ov eno. Provedený d az je jen malou modiací p edchozího p ípadu. Pro provedení indu ního rou jsme rom platnosti pro dva p edch dce vyºadovali i platnost tvrzení pro n = 1. V n terých dal²ích p ípadech m ºe být d azu T ( + 1) pomocí indu ního rou vyºadován p edpolad platnosti tvrzení T (i) pro aºdé i spl ující 1 i. P íladem taového postupu je d az existence prvo íselného rozladu 1 pro libovolné p irozené íslo n 2. D slede Hodnota cos 1 je iracionální íslo. D az provedeme sporem. Budeme p edpoládat, ºe cos 1 je racionální. Potom dle práv doázané v ty jsou racionální ísla taé v²echny hodnoty osinu pro celo íselné násoby 1, mimo jiné i pro 45. Dob e v²a víme, ºe cos 45 = 2/2, coº je ve sporu s p edpoladem íslo iracionální. Z toho vyplývá, ºe taé cos 1 musí být iracionální. P ílad 4 Nyní zam íme svoji pozornost na následující tvrzení. Pro libovolná p írozená ísla m a n, de 1 m n, platí ( ) m < 1 + m n n + m2 n. 2 D az V záladním rou snadno ov íme platnost pro m = 1 budeme provád t inducí podle m, p i emº n je libovolné, p edem pevn zvolené n < n + 1 n 2. Indu ní ro budeme provád t za p edpoladu platnosti tvrzení pro a zárove za podmíny < n. Úpravou levé strany nerovnosti pro m = + 1 máme ( 1 + n) 1 +1 ( = )( ( < 1 + n n) 1 )(1 + n ) n 2 +, n 2 de roznásobíme závory a slou íme leny se stejným jmenovatelem. Dostaneme n + ( + 1) n n = ( + 1) n n 2 n n 2 První t i s ítance jiº mají poºadovaný tvar pravé strany pro m = + 1, zbývá doázat, ºe rozdíl posledních dvou zlom je záporný a ta neohrozí doazovanou nerovnost. Chceme tedy uázat, ºe 2 < n( + 1). To ale nepochybn platí, protoºe díy podmínce indu ního rou platí tento sled impliací < n 2 < n 2 < ( + 1)n. Tím jsme proázali ( ) +1 < ( + 1)2 +. n n n 2 1 Jedná se vlastn o jednu ást d azu tzv. záladní v ty aritmetiy, terý zájemci naleznou nap. na

5 Shr me nyní dosaºené výsledy. Zvolili jsme pevné n a následn jsme doázali tvrzení pro m = 1 pomocí záladního rou a pro v²echna dal²í m n na zálad indu ního rou. Zvolené n v²a bylo libovolné, proto tvrzení platí pro v²echna p irozená m a n, terá spl ují 1 m n. Tento p ílad p inesl dv záleºitosti, teré stojí za pov²imnutí. První je zp sob práce s dv ma prom nnými, teré se v doazované nerovnosti objevují. Druhá spo ívá v tom, ºe opaování indu ního rou je omezeno dal²í podmínou (v na²em p ípad < n), taºe neprobíhá do neone na. Omezení není p itom sryto v tom, ºe by nás tvrzení pro dal²í leny jiº nezajímalo, ale tato podmína byla pro provedení d azu nezbytná. Vidíme tedy, ºe d az n jaého tvrzení pomocí matematicé induce se m ºe týat taé pouze omezeného po tu len. P ílad 5 Do zcela jiné oblasti matematiy mí í následující tvrzení, by i tentorát budeme doazovat matematicou inducí. P edstavme si hrací desu (²achovnici) veliosti n n, de n je n jaá mocnina 2, tj. n = 2, 4, 8,.... Dále si p edstavme hrací ameny, tzv. trimina, teré vypadají jao t i sousední pole uspo ádaná do L (viz obr. 1 níºe). Doáºeme, ºe hrací desu lze beze zbytu porýt hracími ameny aº na jedno libovoln p edem vybrané pole. D az Záladní ro pro ²achovnici 2 2 provedeme snadno dle obr. 1. Vybereme libovolné pole (na obrázu mod e), v aºdém p ípad to bude n terý roh tvercové hrací plochy. Její zbyte má tvar a veliost práv jednoho trimina, coº znamená, ºe p ípad 2 2 je doázán. Obráze 1: Tvar hracího amene (vlevo) a e²ení úlohy pro n = 2 (vpravo). Indu ní ro budeme provád t za p edpoladu, ºe hrací desu s výjimou p edem vybraného pole umíme porýt hracími ameny, a budeme se snaºit o totéº pro desu 2 2. Rozd líme hrací desu vodorovným a svislým ezem na ty i stejné ásti, aºdá z nich má rozm r. Vybrané pole leºí práv v jedné z nich. Ve t ech ostatních ástech nalezneme pole, teré leºí nejblíºe st edu hrací desy p ed rozd lením a ozna íme je. Tato t i pole by p ed rozd lením poryl práv jeden hrací ámen. Nejlépe to uvidíme na obr. 2, vlevo je hrací Obráze 2: Provedení indu ního rou. desa 2 2 s mod e vyzna eným vybraným polem, erven ozna eným hracím amenem dle

6 p ede²lého popisu a ervenými liniemi budoucího ezu. Ve stejném obrázu vpravo je situace po rozd lení na ty i desy. Podle p edpoladu indu ního rou úlohu veliosti umíme vy e²it pro libovoln vybrané pole, nevyjímaje speciální p ípad, dy vybrané pole je jednou ze t í ástí roz íznutého hracího amene. Tím je indu ní ro proveden a zárove doon en d az celého tvrzení. Tento p ílad názorn demonstruje, ºe matematicé d azy nemusejí sestávat pouze z výpo t, úprav výraz a e²ení rovnic i nerovnic. M ºe mít taé názornou geometricou podobu. Zárove jsme vid li, ºe indu ní ro nemusí znamenat pouze zv t²ení n jaého indexu, m ºe mít i podobu zdvojnásobení strany hrací desy. D slede Pov²imn te si, ºe jsme zárove doázali taé (slab²í) tvrzení, ºe íslo 2 2n 1 je pro v²echna p irozená n d litelné 3. Strana hrací desy je dle p edpoladu tvrzení n jaou mocninou 2, lze ji tedy zapsat jao 2 n. Celá hrací desa má 2 2n polí, jedno vybrané z nich ale z stane prázdné. Zbyte desy poryjí hrací ameny, p i emº aºdý z nich zabírá 3 pole. Algoritmus Jist stojí za pozornost, ºe na zálad postupu d azu lze odvodit, ja porytí hracími ameny provést (samotný d az pouze tvrdí, ºe to je moºné). Úlohou je tedy nalézt porytí hrací desy n n ameny ta, aby z stalo prázdné pouze jedno p edem vybrané pole. Algoritmus (postup e²ení) zísáme ta, ºe si celý pr b h d azu p ehrajeme pozpátu. Metodou popsanou v indu ním rou a vyobrazenou na obr. 2 rozd líme desu na ty i ásti, p i emº jedním hracím amenem p eryjeme rohové pole t í z nich (tím bylo zárove v t chto tvercích ur eno pole, teré nebude v následujících rocích poryto), tvrtá ást obsahuje p - vodní vybrané pole. Nyní provedeme stejnou proceduru s aºdou tvrtinou a celý postup opaujeme, doud d lením nedosáhneme veliosti 2 2. Tuto úlohu umíme e²it podle záladního rou d azu vloºením jednoho trimina. Postupn ta celou hrací plochu (aº na vybrané pole) poryjeme ameny, coº vidíme na obr. 3. Pro men²í rozm ry hrací desy lze úlohu vy e²it Obráze 3: Celové e²ení úlohy pomocí tuºy a papíru, v ostatních p ípadech je lep²í algoritmus naprogramovat a p enechat d inu po íta i. Matematicá induce má po íta ovým algoritm m obecn velmi blízo. Podobn jao v tomto p íladu d az asto posytne návod, ja úlohu rozd lit na men²í ásti, teré se zpracují snadn ji. Vºdy taé sám princip matematicé induce je ve své podstat algoritmus, terý nám íá, teré roy a za jaých podmíne máme provád t.

7 P ílad 6 P i výuce zálad statistiy jsme se seznámili taé s aritmeticým a geometricým pr m rem n olia hodnot. Pro n ladných reálných hodnot a i (1 i n) denujeme aritmeticý pr m r a geometricý pr m r µ A = a 1 + a a n n µ G = n a 1.a 2..a n. Pro libovolné p irozené n 2 a libovolnou n-prvovou mnoºinu ladných reálných ísel platí µ A µ G. D az V záladním rou pro n = 2 má tvrzení tvar a 1 + a 2 2 a 1.a 2. Po umocn ní obou stran (díy ladnosti obou stran se zachová i znaméno nerovnosti) máme coº dává a a 1 a 2 + a 2 2 4a 1 a 2, a 2 1 2a 1 a 2 + a 2 2 = (a 1 a 2 ) 2 0. Z tohoto vyjád ení je platnost nerovnosti z ejmá. Nyní inducí doáºeme za p edpoladu platnosti nerovnosti pro její platnost pro 2. Budeme upravovat aritmeticý pr m r 2 hodnot µ A,2 = a 1 + a a 2 2 = 1 2 ( a1 + a a + a ) +1 + a a 2. Kaºdý zlome v závorce je n jaé ladné reálné íslo, taºe na pravou stranu m ºeme pohlí- ºet taé jao na aritmeticý pr m r dvou hodnot, aºdá z nich je tvo ena jedním zlomem v závorce. Dle záladního rou pouºijeme nerovnost pro dv hodnoty µ A,2 a1 + a a + a a 2 a+1. Kaºdý ze zlom pod odmocninou p edstavuje aritmeticý pr m r hodnot, terý dle p edpoladu indu ního rou m ºeme zdola odhadnout pomocí geometricého pr m ru µ A,2 a1.a 2..a. a +1.a +2..a 2 = 2 a 1.a 2..a 2 = µ G,2. Opaováním indu ního rou ov íme platnost tvrzení pro n = 4, 8, 16,... hodnot. Co ale s ostatními mezilehlými po ty? Pouºijeme, ja jina, op t matematicou induci! Pousíme se z platnosti tvrzení pro dostate n velé doázat tvrzení pro 1, tj. pro jeho p edch dce. Jao vhodné pro záladní ro pouºijeme n jaou mocninu 2, pro níº jsme platnost jiº doázali vý²e. Indu ní ro budeme provád t pro 3, z platnosti µ A, µ G, budeme chtít odvodit µ A, 1 µ G, 1. Tvrzení tedy dle p edpoladu platí pro libovolných ladných reálných ísel. Tedy i pro speciální p ípad, dy vezmu libovolná taová ísla a 1, a 2,..., a 1 a poslední íslo jao jejich aritmeticý pr m r a = a 1 + a a 1. 1

8 Vyjád ení pro µ A, lze upravit na tvar µ A, = a 1 + a a a 1 1 = a 1 + a a 1 1 = a. Díy platnosti nerovnosti µ A, µ G, máme a a 1.a 2..a a po vyjád ení a a 1 a 1.a 2..a 1. Na obou stranách nerovnice vyjád íme ( 1)-tou odmocninu (znovu p ipomínáme, ºe na obou stranách nerovnosti máme ladná ísla) a dosadíme za a a = a 1 + a a a 1.a 2..a 1, coº je ale p esn poºadovaná nerovnost µ A, 1 µ G, 1 pro libovolná ladná reálná ísla a 1 aº a 1. Tím je doázána i druhá induce, samoz ejm indu ní ro lze provád t pouze pro 3. Chceme-li ov it platnost pro n jaé ur ité n, teré není mocninou 2, pa pomocí první induce doáºeme platnost pro n teré m > n a následn se pomocí druhé induce vrátíme zp t n. Nap ílad pro T (14) je postup: T (2) 1 T (4) 1 T (8) 1 T (16) 2 T (15) 2 T (14). Tímto zp sobem doáºeme platnost tvrzení pro libovolné n 2. Tento p ílad byl trochu del²í a náro n j²í, ale du²e aºdého milovnía matematicé induce se musela p ímo zatetelit blahem. V d azu byla induce pouºita hned dvarát, poaºdé v jiném provedení. Jednou pro vzr stající indexy s násobením dély rou, podruhé pro indexy lesající s roem onstantním, jednou neomezená, podruhé one ná. Zráta praticy v²e, co jsme si dosud p edvedli, zde bylo pouºito naráz. Za tento rásný d az vd íme francouzsému matematiovi A. L. Cauchymu. Dodate D az nerovnosti pro dva leny má velmi názornou geometricou interpretaci, viz obr. 4. Nad úse ou dély a 1 + a 2 narýsujeme Thaletovu ruºnici. Její polom r je (a 1 + a 2 )/2, Obráze 4: Aritmeticý a geometricý pr m r pro dva leny. coº se rovná práv µ A. Poud ve spole ném bod obou ástí úse y vzty íme olmici, pa její pr se í s ruºnicí a dva rajní body celové úse y vytvá ejí pravoúhlý trojúhelní. V n m platí Euleidova v ta o vý²ce a 1.a 2 = µ 2 G, taºe tato vý²a má sute n význam geometricého pr m ru µ G = a 1.a 2. Nerovnost µ A µ G je evidentní, rovnost nastává práv p i a 1 = a 2.

9 P ílad 7 V posledním p íladu doáºeme p evapivé tvrzení. Vybereme-li libovolnou n-prvovou mno- ºinu reálných ísel (n 0, tj. mnoºina není prázdná), pa v²echny její prvy jsou stejné. D az V záladním rou pro n = 1 je tvrzení triviáln spln no, nebo mnoºina má pouze jeden prve. Indu ní ro provedeme za p edpoladu, ºe pro libovolnou -prvovou mnoºinu je tvrzení spln no. Máme nyní mnoºinu + 1 libovolných reálných ísel {a 1, a 2,..., a, a +1 }. Vytvo íme z ní dv mnoºiny o prvcích následovn : {a 1, a 2,..., a } a {a 2,..., a, a +1 }. Podle p edpoladu jsou v²echny prvy první mnoºiny stejné, to samé platí i pro druhou mnoºinu. První mnoºina v²a mimo jiné obsahuje i prve a 2, terý je zárove prvem druhé mnoºiny. V²echny prvy obou mnoºin jsou tedy stejné jao a 2, tudíº jsou stejné i v²echny navzájem. Indu ní ro a následn celý d az je tím doon en. Na první pohled je z ejmé, ºe tady n co není v po ádu. Vybereme-li nap. mnoºinu ty reálných ísel { 2, 8, π, e 3}, ta její leny v rozporu s tvrzením stejné nejsou. To znamená, ºe d az musí obsahovat chybu. Uº jste ji nalezli? Problém tví v indu ním rou. P i p echodu od = 1 následníovi vytvo íme dvouprvovou mnoºinu {a 1, a 2 }, terou dle poyn rozd líme na dv {a 1 } a {a 2 }. V tomto p ípad nemají mnoºiny ºádný spole ný prve, na jehoº zálad bychom mohli provést srovnání. Pro 2 je provedení indu ního rou jiº oretní, pro = 1 v²a nioliv. Tím je v²a celý d az neplatný. Pou ení D az matematicou inducí se sládá z n olia ástí. Pro platnost celého postupu jsou d leºité v²echny jeho ásti, ºádnou nelze zanedbat ani podcenit. Platí to pro ro záladní i pro ro indu ní za v²ech p ípustných oolností. Celý d az bychom mohli p ipodobnit e stavb cihlové zdi, dy na betonové zálady (záladní ro) postupn p idáváme vrstvy cihel (opaování indu ního rou). Poud jsou ²patné zálady nebo n terá vrstva cihel je nevalitní, celá ze se zbo í. Záv r Spole n jsme pro²li e²ením n olia p ílad pomocí matematicé induce. V pr b hu na²í cesty jsme potali tuto metodu v r zných podobách, teré se od popisu zv ejn ného v úvodu v r zné mí e odli²ují. P irozen se nabízí otáza, ja popis atualizovat ta, aby zahrnul v²echny studované p ípady. Odpov by mohla znít up íladu následovn. Matematicá induce Máme mnoºinu A a pro v²echny její prvy a n chceme doázat tvrzení T. Poud se nám poda í se adit v²echny prvy mnoºiny do posloupnosti {a n }, m ºeme provést d az pomocí matematicé induce. Postupujeme ve dvou rocích: Záladní ro Libovolným zp sobem doáºeme tvrzení T (a 1 ). Indu ní ro Poud má prve a v mnoºin A následnía, pa za p edpoladu platnosti tvrzení T (a i ) pro v²echna 1 i ov íme platnost T (a +1 ) pro jeho následnía, na onrétním zp sobu op t nezáleºí. Tvrzení T dle záladního rou platí pro a 1. Podle indu ního rou z toho vyplývá, ºe platí i pro jeho následnía, tj. pro a 2. Z platnosti T (a 1 ) i T (a 2 ) m ºeme indu ním roem doázat platnost T (a 3 ). Nyní jiº víme, ºe tvrzení platí pro a 1, a 2 a a 3, indu ním roem doáºeme

10 T (a 4 ). Opaováním indu ního rou postupn ov íme platnost tvrzení pro v²echny prvy mnoºiny A. Zásadní podmínou pro pouºití matematicé induce na n jaé mnoºin je moºnost uspo ádání jejich prv do posloupnosti, tj. musí existovat první len a taé n jaá relace ur ující po adí v²ech ostatních prv 2. Mnoºina A p itom m ºe být one ná i neone ná. Na úplný záv r lze sotva pop át n co jiného, neº mnoho úsp ch p i v²ech budoucích d azech metodou matematicé induce. Pouºitá literatura Zdroje jsou uvedeny v abecedním po adí dle jména autora nebo jména eletronicého zdroje. Ericson, Jeff: Proof by induction, eletronicy na ~jeffe/teaching/algorithms/notes/98-induction.pdf Nevinda, Ale²: Matematicá induce, materiály MO, 2008 Wiipedia: internetová encylopedie, eletronicy na v angli tin, na v e²tin Sepsáno v Sob slavi v únoru 2015, poslední revize 19. února Matematici íají, ºe na zadané mnoºin existuje dobré uspo ádání.