TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "TROJÚHELNÍK. JAN MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. sin α = b a."

Miroslav Kolář
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 TROJÚHELNÍK JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. 1. Zn ení. Uvºujme trojúhelník ABC, jeho strny i jejih délky jsou,,, úhly α, β, γ. Osh trojúhelník zn íme P. Vý²k spu²t ná z odu C n strnu se zn í v její pt je C 0. Bod, který p lí strnu, se zn í C 1. Úse k AC 0 se zn í A úse k BC 0 je B. Podon se zvádí zn ení v, A 0, td. Uv domte si, ºe kºdý vzore má t i formy, krom uvedené formy dl²í dv vzniknou yklikou zám nou. Np íkld z identity 2P sin γ dostáváme yklikou zám nou postupn 2P sin α, 2P sin β. 2. Sinová v t. Sndno nhlédneme 1 sin β v sin α. To je tzv. sinová v t, kterou m ºeme téº p epst ve tvreh neo 3. Cosinová v t. sin α sin β sin β sin α. 2 os γ D kz. 2 os γ 2 osπ γ 2 osα + β 2 os α os β 2 sin β sin α 2 os β os α v 2 + v 2 2 A B 2 2 B A 2 A B A + B Osh trojúhelník. Z 1 dostáváme Tedy po ykliké zám n 2P v sin β. 4P sin 2 γ os 2 γ. Pouºijeme osinovou v tu máme 4P

Uv domte si, ºe kºdý vzore má t i formy, krom uvedené formy dl²í dv vzniknou yklikou zám nou. Np íkld z identity 2P sin γ dostáváme yklikou zám nou postupn 2P sin α, 2P sin β. 2. Sinová v t.

2 2 JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. Po úprv 16P Odtud dostáváme Heron v vzore 4P Úloh. Dokºte: otg α otg β + otg β otg γ + otg γ otg α 1 e²ení. Pouºijeme sinovou v tu k úprv n stejné jmenovtele. Máme os α os β + os β os γ sin β sin γ + os γ os α sin γ sin α 1 os α os β os β os γ + sin β sin γ + os γ os α sin γ sin α os α os β os β os γ os γ os α + + sin β sin α 1 os γ os β + os γ os α + osα + β 1 B os γ + A os γ os γ Klkulus plnimetrie. Intuitivn, rozdíl mezi vektorem odem je v tom, ºe vektory se djí s ítt, m it td., kdeºto ody mjí jen polohu vzpírjí se klkulu. P esto n které ritmetiké opere s ody dávjí smysl, t e se m ºeme smí it s tím, ºe 1 2 A + B je st ed úse ky AB. Kºdému odu X leºíí n p íme AB jednozn n odpovídá reálné íslo t tk, ºe X A + tb A 1 ta + tb, np. A 0, B 1. Uvºujme nyní ABC oený od M. P ímk M C protíná p ímku AB v od Y. Njdeme reálná ísl s, t tk, ºe Y 1 sa + sb, M 1 ty + tc. Potom 2 M 1 t 1 sa + sb + tc 1 s1 ta + s1 tb + tc. Trojie koeient 1 s1 t, s1 t, t má tu vlstnost, ºe 1 s1 t + s1 t + t 1 t + t 1. Oen, výrz j t ja j, kde t j jsou reálná ísl A j jsou ody má smysl jko vektor, kdyº j t j 0, jko od, kdyº j t j 1. Speiáln od od je vektor, od+vektor je od. Tento klkulus nám umoº uje sndno z dit plnimetrii do oeného ráme, v n mº mtemtik se zývá mnoºinmi, n nihº je zdán struktur, np. lgeriké opere. Cest p es Eukleidovy xiomy je trnitá hodn odli²ná od

Máme os α os β + os β os γ sin β sin γ + os γ os α sin γ sin α 1 os α os β os β os γ + sin β sin γ + os γ os α sin γ sin α os α os β os β os γ os γ os α + + sin β sin α 1 os γ os β + os γ os α + osα

3 TROJÚHELNÍK 3 lgeriké struktury. Oproti tomu ztotoºn ní roviny s prostorem R 2 zvedením krtézskýh sou dni vná²í do plnimetrie izí prvky. Ayhom neyli omezováni podmínkmi n sou et koeient p i lgerikém kominování od, m ºeme zvést hyperprostor. To je trojrozm rný vektorový prostor, v n mº uvºujeme dvourozm rný lineární podprostor V to udou n²e vektory s ním rovno ºný dvourozm rný nní podprostor P to udou n²e ody. N prostoru V máme nví dný sklární sou in, který nám umoº uje denovt normu délku, velikost vektoru u jko 3 u u u úhel ξ mezi vektory u v pomoí vzore 4 os ξ u v u v. Výhod hyperprostoru spo ívá v tom, ºe s ítání od m ºeme zvést jko inární operi, podon násoení sklárem, p i výpo tu np. T 1 3 A B C se nemusíme d sit toho, ºe výrzy 1A, A + 1 3B, které vznikjí po est, nemjí smysl. N ázi klkulu v hyperprostoru m ºeme korektn od z átku vyudovt elou plnimetrii, tento postup v²k p esko íme v dl²ím udeme vyházet z ºnýh st edo²kolskýh znlostí ez ohledu n to, jkým zp soem yly získány. 7. Bryentriké sou dnie. Vzhledem k dnému trojúhelníku ABC, kºdý od M roviny se dá jednozn n vyjád it v tzv. ryentrikýh sou dniíh jko M xa + yb + zc, kde x, y, z jsou reálná ísl. Cest k d kzu vede p es formuli 2. Bod M leºí v ABC práv kdyº v²ehny jeho ryentriké sou dnie jsou P íkld t ºi²t. Ukºte, ºe T T : 1 3 A B C. e²ení. Musíme ukázt, ºe podez elý od T leºí n spojnii CC 1, tj. njít t tk, ºe T C + tc 1 C C + t 1 2 A + B C. Vyhovuje t 2. Cyklikou zám nou dostneme, ºe T 3 leºí i n spojniíh AA 1 BB 1. Uv domme si, ºe jsme vlstn téº dokázli, ºe t ºnie se protínjí v jednom od! 9. P íkld st ed kruºnie vepsné. Dokºte, ºe S S : + + A B C e²ení. Musíme ukázt, ºe podez elý od S leºí n ose úhlu ACB. Podívejme se n její geometrikou konstruki. Uvºujme kruºnii k o st edu C polom ru 1. Bu A pr se ík k s polop ímkou CA B pr se ík k s polop ímkou CB. Potom pom r délky CA ku CA je : 1, pom r délky CB ku CB je : 1, tedy A C A C, B C B C.

To je trojrozm rný vektorový prostor, v n mº uvºujeme dvourozm rný lineární podprostor V to udou n²e vektory s ním rovno ºný dvourozm rný nní podprostor P to udou n²e ody.

4 4 JAN MALÝ UK v Prze UJEP v Ústí n. L. Se teme-li vektory A C B C, dostneme vrhol D rovno ºník, který leºí n hledné ose úhlu, D C + A C + B C C + A C + B C. Tedy os úhlu má rovnii C + td C, t R, hledáme, zd existuje t R tk, y pltilo Vyhovuje t. ++ S C + td C C + t A C + t B C. 10. P íkld. Spo t te délku úse ky SC, kde S je st ed kruºnie vepsné. e²ení. Nejprve vypo teme vektor S C: S C + + A + A C B C C B C. + + Nyní pouºijeme klkulus sklárního sou inu. Uv domme si, ºe podle vzor 3 4 je A C A C A C 2 2, Tedy B C B C B C 2 2, A C B C os γ. S C 2 S C S C ++ A C + ++ B C ++ A C + ++ B C 2A C A C A C B C B C + B C os γ os γ Nyní m ºeme vyjád it γ podle osinové v ty dostneme S C

Nejprve vypo teme vektor S C: S C + + A + A C + + + + + B + + + C C B C. + + Nyní pouºijeme klkulus sklárního sou inu.

5 11. P íkld pr se ík vý²ek. Dokºte, ºe TROJÚHELNÍK 5 V Ṽ : otg β otg γ A + otg γ otg α B + otg α otg β C. e²ení. Uv domme si, ºe sou et koeient je skute n 1 podle úlohy 5. Musíme ukázt, ºe podez elý od Ṽ leºí n vý²e v CC 0. Víme, ºe C 0 os β A + os α B. Hledáme t tk, ºe Ṽ C + tc 0 C 1 tc + t os β A + t os α B. Vyhovuje t os γ. 12. Cvi ení st ed kruºnie opsné. Dokºte, ºe O Õ : os α sin β sin γ A + os β sin γ sin α B + os γ C. Návod. St ed kruºnie opsné je pr se ík vý²ek trojúhelník A 1 B 1 C 1, který je podoný ABC. Tedy podle p edhozího p íkldu O otg β otg γ A 1 + otg γ otg α B 1 + otg α otg β C 1. Nyní dosdíme A B + C, B C + A, C A + B.

Hledáme t tk, ºe Ṽ C + tc 0 C 1 tc + t os β A + t os α B. Vyhovuje t os γ. 12. Cvi ení st ed kruºnie opsné.

Podobné dokumenty

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit