e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody

Transkript

1 e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou. V tomhle letáku si vysv tlíme jak e²it systém lineárních rovníc pomocí t í metod: s ítací, dosazovací a srovnávací. S ítací metoda Základem s ítací metody je s ítat dv rovnice tak, aby vypadla jedna prom nná (nebo i více prom nných). Tematický p íklad. M jme následujíci dv rovnice 4x + 2y = 10 3x 2y = 4. e²ení. Jejich s ítáním (se teme spolu levé strany a pak pravé strany) získáme jednu rovnici o jedné neznáme, kterou umíme jednodu²e e²it: 4x + 3x + 2y 2y = x = 14 x = 2. Potom z jedné z rovnic vyjád íme y, 4x + 2y = 10 y = 10 (4 2) 2 = 1. N kdy je ov²em situace sloºitej²í a pouhé s ítání rovnic nevede k odstránení prom nné. Tematický p íklad. S ítací metodou e²me systém 4x + 3y = 1 5x + 2y = 4. e²ení. Kdyº se teme tyto dv rovnice dostaneme novou rovnici 4x + 5x + 3y + 2y = x + 5y = 3, která nám nepom ºe, protoºe i nadále jsou v ni ob prom nné. Proto je pot eba ob rovnice pred s ítaním nejd íve vynásobit vhodnou konstantou 4x + 3y = 1 / 2 5x + 2y = 4 / ( 3) 1 Matematika 1

2 a teprve pak je s ítat 8x 15x + 6y 6y = x = 14 x = 2. Potom z jedné z rovnic vyjád íme y, 4x + 3y = 1 y = D leºité tvrzení 1: S ítací metoda 1 (4 2) 3 = 7 3. Základem s ítací metody je s ítat dv rovnice tak, aby vypadla alespo jedna prom nná. Je-li to nutné, m ºeme p ed s ítáním ob rovnice vynásobit vhodnými konstantami. Tuto metodu lze vyuºít p i libovolném po tu rovnic a prom nných. Tematický p íklad. e²me systém t í rovnic 3x + 2y z = 1 (1) 2x 2y + 3z = 5 5x + 2y z = 3. e²ení. Se tením první a druhé rovnice odstraníme prom nnou y Podobn m ºeme se íst druhou a t etí rovnici x + 2z = 4. (2) 3x + 2z = 8. Dostávame systém dvou rovnic o dvou neznámých, který uº umíme e²it x + 2z = 4 3x + 2z = 8 2x = 4 x = 2. / ( 1) Dosazením tohoto výsledku do (2) spo ítáme 2 + 2z = 4 z = 1. Poslední neznámou vypo ítáme z rovnice (1) y 1 = 1 y = 3. Handout 2 Matematika 1

3 D leºité tvrzení 2: Postup s ítací metody Máme-li více neº dv neznámé, s ítáme rovnice tak, aby nám nejd íve vypadla ze v²ech rovnic jedna zvolená neznámá. Postup opakujeme dokud nezískáme pouze jednu neznámou. Tu jiº umíme vypo ítat a jejím dosazením do p ede²lých rovnic vypo ítáme i zbylé prom nné. Dosazovací metoda Dosazovací metoda se také uºívá k výpo tu neznámých v systému lineárních rovnic. e²ením jedné rovnice ze systému si umíme vyjád it, emu se rovná jedna z prom nných. Tuto prom nnou pak dosadíme do zbylých rovnic. Tematický p íklad. 2x + y = 1 x 2y = 8. e²ení. Z první rovnice si vyjád íme y = 1 2x (3) a dosadíme do druhé rovnice x 2 (1 2x) = 8 5x = 10 x = 2. Z rovnice (3) vidíme, ºe y = = 3. P i v t²ím po tu rovnic a neznámych je postup podobný. Z jedné rovnice si vyjád íme libovolnou neznámou a dosadíme do zbylých rovnic. Pak z n které dal²í rovnice vyjád íme dal²í prom nnou, dosadíme do ostatních rovnic a tak dále, dokud se nedopracujeme k jediné neznámé. Tematický p íklad. e²me systém rovnic e²ení. Vyjád íme si z rovnice (4) prom nnou z x + y z = 4 (4) x 2y + 3z = 6 (5) 2x + 3y + z = 7. (6) z = x + y 4. (7) Handout 3 Matematika 1

4 Dosadíme ji do rovnic (5) a (6) x 2y + 3 (x + y 4) = 6 2x + 3y + (x + y 4) = 7 z eho po úprav dostaneme A postupujeme dál v dosazování. Z rovnice (8) vyjád íme y 4x + y = 6 (8) 3x + 4y = 11. (9) a dosadíme do rovnice (9) y = 6 4x (10) 3x + 4 (6 4x) = 11 13x = 13 x = 1. Pak uº sta í jenom dosadit do rovnic (10) a (7) a máme výsledek y = 6 4 = 2 z = = 1. D leºité tvrzení 3: Postup dosazovací metody e²ení soustavy dosazovací metodou spo ívá ve vyjád ení libovolné neznámé z jedné rovnice a následném dosazení tohoto vyjád ení za onu neznámou do zbylých rovnic. Srovnávací metoda Tato metoda se hodn podobá metod dosazovací. Ze v²ech rovnic si vyjád íme jednu a tu samou neznámou a tyto vyjád ení porovnáme mezi sebou. Tematický p íklad. Uvaºujme následující systém rovnic 3x 2y = 2 7x + 3y = 43. Handout 4 Matematika 1

5 e²ení. Z obou rovnic si vyjád íme prom nnou y a porovnáme je mezi sebou y = 3x x y = 3 (11) 3x x = 2 3 9x 6 = 86 14x 23x = 92 x = 4. / 6 Výsledek nyní m ºeme dosadit do rovnice (11) y = = 5. D leºité tvrzení 4: Postup srovnávací metody Srovnávací metoda spo ívá v tom, ºe si z kaºdé rovnice vyjád íme stejnou prom nnou a pak je vhodným zp sobem porovnáme. Která z metod je lep²í? V²echny metody jsou rovnocenné. To znamená, ºe k e²ení m ºeme pouºít libovolnou z nich, vºdy dosp jeme ke stejnému výsledku. Je ov²em pot eba zváºit, která z nich bude jednodu²²í. Metody m ºeme taky kombinovat. Máme-li systém t í rovnic o t ech neznámých, m ºeme t eba v prvním kroku pouºít s ítací metodu, vylou it jednu prom nnou a pak e²it dál systém dvou rovnic srovnávací nebo dosazovací metodou. Tematický p íklad. Uvaºujme následující systém rovnic 2x + y z = 1 x y z = 2 x + y z = 4. (12) e²ení. Nejd íve pouºijeme s ítací metodu, druhou rovnici p i ítáme k první a t etí 3x 2z = 3 2x 2z = 6. Handout 5 Matematika 1

6 Vidíme, ºe v obou rovnicích máme výraz 2z. Vyjád íme si ho z obou rovnic a pouºime srovnávací metodu 2z = 3x 3 (13) 2z = 2x 6 3x 3 = 2x 6 x = 3. Nyní sta í pouze zp tným dosazením zjistit zbylé dv neznámé. T eba dosazením do rovnice (13) a pak do rovnice (12) 2z = 3 ( 3) 3 = 12 z = y ( 6) = 4 y = 1. D leºité tvrzení 5: Výb r metody V²echny metody vedou ke stejným výsledk m. P i výpo tech m ºeme pouºívat libovolnou z nich a také je m ºeme kombinovat. Handout 6 Matematika 1