Obsah. Pouºité zna ení 1
|
|
- Kristina Horáková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod Opera ní výzkum a jeho disciplíny Úlohy matematického programování Standardní maximaliza ní úloha lineárního programování Gracké e²ení úloh se dv ma prom nnými Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP i
2
3 Pouºité zna ení Typogracké rozli²ení názv podle typu objektu a, f, x, i (malá písmena) skaláry ( ísla), funkce, prom nné, indexy X, N, B (velká písmena) mnoºiny (krom speciálních, viz níºe) x, b (malá tu ná písmena) vektory (vºdy sloupcové), reálné n-tice A, B (velká tu ná písmena) matice Speciální mnoºiny N p irozená ísla Z celá ísla Z + nezáporná celá ísla R reálná ísla R + nezáporná reálná ísla R ++ kladná reálná ísla R n mnoºina v²ech reálných n-tic (tj. n-rozm rný euklidovský prostor) Matice, vektory A m n matice A typu m n (pouºito v p ípad, ºe je t eba zd raznit typ matice) 0 m n nulová matice typu m n (tj. matice tvo ená samými nulami) I n jednotková matice typu n n A transpozice matice A A determinant matice A Zkratky Zkratky jsou vºdy zavedeny ve vlastním textu, tento seznam pouze slouºí pro rychlej²í orientaci. DP ESR LP MILP O P ÚLP Z dopravní problém ekvivalentní soustava rovnic lineární programování smí²ené celo íselné programování (mixed integer linear programming) optimální e²ení p ípustné e²ení úloha linaárního programování základní e²ení
4
5 Kapitola 1 Úvod 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny Nástroje studované a vyuºívané v rámci opera ního výzkumu: optimalizace, pravd podobnost a statistika, teorie graf, teorie front, simula ní modely. N které typické aplika ní oblasti: optimalizace produk ních systém, optimalizace v logistice, podpora rozhodování p i ízení projekt, modely ízení zásob, modely hromadné obsluhy. 1.2 Úlohy matematického programování Denice 1.1 (úloha matematického programování). Nech jsou dány: mnoºina X, ozna ovaná jako mnoºina p ípustných e²ení, funkce f : X R, ozna ovaná jako ú elová funkce. Úlohou matematického programování (ÚMP) pak ozna ujeme problém nalezení bu minima nebo maxima funkce f na mnoºin X. Mluvíme pak o minimaliza ní, resp. maximaliza ní ÚMP. P edchozí denice je trochu moc obecná, jako úlohu matematického programování lze v této podob formulovat i problémy, které jsou zavedeny velmi podivným zp sobem. Nap íklad úloha hledání královny krásy. V tomto p ípad máme mnoºinu X = ºeny, a funkci f : ºena krása R. Zpravidla proto vyºadujeme, aby X byla... podmnoºina n-rozm rného euklidovského prostoru, tj. X R n, vymezená pomocí soustavy rovnic a/nebo nerovností. P íklad 1.2 (koktejly). Cílem je namíchat co nejvíce koktejl podle recept z tabulky níºe. Záleºí pouze na celkovém po tu namíchaných koktejl, je nám zcela lhostejné, kolik z nich bude Mojito a kolik Cuba Libre.
6 4 Úvod Mojito Cuba libre 4 cl kubánského rumu 8 cl kubánského rumu 1 dl vody 2 dl Coca-coly 8 kostek ledu (t í² ) 2 kostky ledu 1 /2 limetky 1 /4 limetky 1 lºi ka cukru (t tinového) 3 lístky erstvé máty Disponibilní mnoºství surovin jsou následující: 100 cl kubánského rumu, 20 dl Coca-coly, 120 kostek ledu a 8 limetek; vody, cukru a máty je dostatek (nehrozí, ºe dojdou). Celkem vzato, m ºeme úlohu popsat následujícím zp sobem: maximalizovat Mojito + Cuba Libre za podmínek 4 Mojito + 8 Cuba Libre 100, 2 Cuba Libre 20, 8 Mojito + 2 Cuba Libre 120, 1 /2 Mojito + 1 /4 Cuba Libre 8, Mojito, Cuba Libre 0. V tomto p ípad je X mnoºina v²ech kombinací po t koktejl Mojito a Cuba Libre, které jsme schopni p i daných zásobách namíchat ( ili kombinací hodnot prom nných Mojito a Cuba Libre, které sou asn spl ují v²echny vý²e uvedené omezující podmínky). Formáln je tedy X R 2, vymezená pomocí soustavy lineárních nerovnic o dvou prom nných. Denice 1.3 (standardní ÚMP). Nech jsou dána reálná ísla b 1,..., b m a reálné funkce f, g 1,..., g m : R n R. Standardní úlohou matematického programování rozumíme úlohu ve tvaru maximalizovat f(x 1,..., x n ) za podmínek g 1 (x 1,..., x n ) b 1, g 2 (x 1,..., x n ) b 2,. g m (x 1,..., x n ) b m, (x 1,..., x n ) R n, kde p edstavuje zástupný symbol za jedno z rela ních znamének, = nebo. Poznámka (ke zna ení). Matematik m zpravidla p ipadá obecný zápis ÚMP v podob (1.1) p íli² upovídaný. Nabízí se psát: maximalizovat f(x 1,..., x n ) za podmínek g i (x 1,..., x n ) b i, i = 1,..., m, (x 1,..., x n ) R n. Lze také zavést vektor ( i chcete-li, n-tici) x = (x 1,..., x n ) a psát maximalizovat f(x) za podmínek g i (x) b i, i = 1,..., m, x R n. nebo nejstru n ji (ale pon kud mén p ehledn ) max{f(x) x R n, g i (x) b i, i = 1,..., m}. Poznámka (klasikace ÚMP). Podle toho, jaké dodate né poºadavky klademe na funkce f a g i, rozli²ujeme r zné t ídy ÚMP, které se zna n li²í co do sloºitosti pouºívaných výpo etních technik: lineární programování, (1.1)
7 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního programování 5 kvadratické programování, konvexní programování, nelineární programování,... a dal²í. Zdaleka nejjednodu²²í t ídou je lineární programování; spadá sem nap. matematický model pro p íklad Koktejly. Denice 1.4 (lineární reálná funkce). M jme reálnou funkci f : R n R. ekneme, ºe f je lineární, pokud lze f vyjád it na R n p edpisem pro n jaká reálná ísla c 1,..., c n. f(x 1,..., x n ) = c 1 x c n x n Denice 1.5 (úloha lineárního programování). Úlohu ve tvaru (1.1), ve které jsou navíc v²echny funkce f, g 1,..., g m lineární, nazveme (maximaliza ní) úlohou lineárního programování (ÚLP). 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního programování Denice 1.6 (standardní maximaliza ní ÚLP). M jme dány reálné koecienty a ij, b i a c j a prom nné x j pro i = 1,..., m a j = 1,..., n, které budeme p ípadn zapisovat do matice A a vektor b, c a x ve tvaru a 11 a 12 a 1n b 1 c 1 x 1 a 21 a 22 a 2n A =......, b = b 2., c = c 2., x = x 2.. a m1 a m2 a mn b m c n x n Standardní maximaliza ní úlohou lineárního programování rozumíme problém maximalizovat c 1 x 1 + c 2 x c n x n za podmínek a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2,. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, x j 0, j = 1,..., n, (1.2) kde x 1, x 2,..., x n jsou reálné prom nné. Za pouºití suma ního operátoru a indexace omezení lze (1.2) vyjád it ekvivalentn jako maximalizovat za podmínek n j=1 c j x j n j=1 a ij x j b i, i = 1,..., m, x j 0, j = 1,..., n, (1.3) p ípadn v maticovém zápisu je²t úsporn ji jako p íp. zcela krátce jako problém nalezení maximalizovat c x za podmínek Ax b, x 0, (1.4) max{c x Ax b, x 0}.
8 6 Úvod P íklad 1.7. V p íkladu Koktejly bychom zapsali [ ] A = , b = , c =, x = 1 1/2 1/4 8 [ ] Mojito. Cuba Libre P íklad 1.8. K úloze minimalizovat 2u + v 4w za podmínek 5(u v) 2(v w) 6v + 1, 2u + v 2w 2, 3u v + 2w = 3, u, v 0, w R najdeme ekvivalentní ÚLP ve standardním maximaliza ním tvaru. Jedno z moºných e²ení vypadá následovn : maximalizovat 2x 1 x 2 + 4x 3 4x 4 za podmínek 5x 1 x 2 + 2x 3 2x 4 1, 2x 1 x 2 + 2x 3 2x 4 2, 3x 1 x 2 + 2x 3 2x 4 3, 3x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 3, x j 0 pro j = 1,..., 4, p i emº mezi prom nnými obou model je následující vztah: u = x 1, v = x 2 a w = x 3 x 4. Lemma 1.9 (o univerzálnosti standardní maximaliza ní ÚLP). Ke kaºdé ÚLP lze najít ekvivalentní úlohu ve tvaru standardní maximaliza ní ÚLP, tj. úlohu, která je maximaliza ní, má v²echna omezení typu a v²echny její prom nné jsou nezáporné. 1.4 Gracké e²ení úloh se dv ma prom nnými Viz p edná²ky. 1.5 Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP Denice 1.10 (konvexní kombinace v R n ). který lze vyjád it ve tvaru Konvexní kombinací bod x 1,..., x k v R n je bod, α 1 x α k x k, kde α 1,..., α k jsou nezáporná reálná ísla spl ující α α k = 1. P íklad Konvexní kombinaci dvou bod x, y m ºeme zapsat ve tvaru αx + (1 α)y pro n jaké α [0, 1]. Geometricky vzato, konvexní kombinace dvou bod v euklidovském prostoru je bod na úse ce mezi nimi. Obrázek 1.1 ilustruje výsledek r zné hodnoty α. Denice 1.12 (konvexní mnoºina). ekneme, ºe mnoºina X R n je konvexní, je-li uzav ená na konvexní kombinace, tj. pokud libovolná konvexní kombinace libovolných bod x 1,..., x k X leºí v X. P íklad P íkladem konvexních mnoºin v rovin jsou nap íklad tverec, kruh, nebo úse ka. P íklady nekonvexních mnoºin ukazuje obrázek 1.2.
9 1.5 Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP 7 α = 1 x α = 0.75 α = 0.5 α = 0.25 α = 0 y Obrázek 1.1 R zné konvexní kombinace bod x, y. x 1 x 2 X Y Z Obrázek 1.2 P íklady nekonvexních mnoºin X, Y, Z. Úse ka mezi body x 1, x 2 X není obsaºena v mnoºin X, tedy existuje konvexní kombinace t chto bod, která nenáleºí X. Mnoºina Z je tvo ena p ti izolovanými body. Denice 1.14 (konvexní obal). Konvexním obalem mnoºiny X R n rozumíme mnoºinu v²ech konvexních kombinací kone ných podmnoºin X, neboli mnoºinu conv(x) = { k i=1 α ix i xi X, α i 0 pro i = 1,..., k, k i=1 α i = 1, k N }. Poznámka. Snadno nahlédneme, ºe konvexní obal mnoºiny X je nejmen²í konvexní mnoºina, která obsahuje X. (D kaz tohoto tvrzení p enechávám tená i jako cvi ení.) V p ípad, ºe X je konvexní mnoºina, je z ejm conv(x) = X. P íklady konvexních obal nekonvexních mnoºin zachycuje obrázek 1.3. conv(y ) conv(z) Obrázek 1.3 Konvexní obaly mnoºin X, Y, Z z obrázku 1.2. Denice 1.15 (konvexní polyedr, omezený). ekneme, ºe mnoºina X R n je omezený konvexní polyedr (nebo téº polytop), lze-li X vyjád it jako konvexní obal kone né mnoºiny bod z R. Denice 1.16 (krajní bod). Bod x X R n nazveme krajním bodem mnoºiny X, pokud x není konvexní kombinací dvou jiných bod z X, tj. pokud neexistují y 1, y 2 X a α (0, 1) takové, ºe y 1 x y 2 a αy 1 + (1 α)y 2 = x. P íklad Ur ete krajní body p ticípé hv zdy, tverce a kruhu. Které z t chto mnoºin jsou omezené konvexní polyedry?
10 8 Úvod Lemma 1.18 (o extrému lineární funkce na omezeném konvexním polyedru). Lineární funkce nabývá svého extrému na omezeném konvexním polyedru v n kterém z jeho krajních bod. Denice 1.19 (uzav ený poloprostor v R n ). ekneme, ºe mnoºina X R n je uzav ený poloprostor v R n, lze-li X vyjád it jako mnoºinu v²ech e²ení n jaké (netriviální) lineární nerovnice, tj. existují-li reálná ísla a 1,..., a n, ne v²echna nulová, a íslo b, pro n º platí X = { (x 1,..., x n ) R n a1 x a n x n b }. Denice 1.20 (konvexní polyedr, ne nutn omezený). ekneme, ºe mnoºina X R n je konvexní polyedr, lze-li X vyjád it jako pr nik kone n mnoha uzav ených poloprostor. Zdánliv se tato denice velmi li²í od denice omezeného konvexního polyedru uvedené vý²e. Jak ale postupn ukáºeme, mezi ob ma denicemi je t sná souvislost. Zatímco omezený konvexní polyedr lze vyjád it jako konvexní obal jeho vrchol, neomezený kovexní polyedr m ºeme podobn popsat pomocí jeho vrchol a p ípustných sm r (viz níºe). Budeme k tomu ale pot ebovat je²t n kolik pojm. Poznámka (o geometrické interpretaci reálných n-tic). Reálnou n-tici m ºeme chápat bu jako bod v euklidovském prostoru, který pro nás zachycuje n jaký údaj o poloze, nebo jako sm r, který nese informaci o posunu; viz obrázek 1.4. (0, 0) y x y (0, 0) x Obrázek 1.4 Reálné dvojice x = (3, 1) a y = (1, 2) interpretovány jako body (vlevo) a sm ry (vpravo). Denice 1.21 (kónická kombinace, kónický obal). sm r, který lze vyjád it ve tvaru β 1 x β k x k, Kónickou kombinací sm r x 1,..., x k v R n je kde β 1,..., β k jsou nezáporná reálná ísla. Kónickým obalem mnoºiny X R n rozumíme mno- ºinu v²ech kónických kombinací kone ných podmnoºin X, neboli mnoºinu con(x) = { k i=1 β ix i xi X, β i 0 pro i = 1,..., k, k N }. P íklad Obrázek 1.5 ilustruje pojem kónického obalu na p íkladu t í sm r v R 2. x 2 x 3 (0, 0) x 1 (0, 0) Obrázek 1.5 T i sm ry x 1, x 1, x 3 R 2 (vlevo) a jejich kónický obal (vpravo).
11 1.5 Geometrický a algebraický popis mnoºiny p ípustných e²ení ÚLP 9 V ta 1.23 (o reprezentaci konvexního polyedru pomocí vrchol a krajních p ípustných sm r ). Konvexní polyedr X R n lze reprezentovat pomocí kone né mnoºiny bod V = {v 1,..., v k } R n a mnoºiny sm r S = {s 1,..., s l } R n v tom smyslu, ºe libovolný bod z X lze vyjád it jako sou et konvexní kombinace prvk V a kónické kombinace prvk S, tj. X = { k i=1 α iv i + l j=1 β j s j αi 0, β j 0, k i=1 α i = 1 }. Navíc platí, ºe za V lze volit mnoºinu krajních bod (vrchol ) X, a podobn kaºdá mnoºina V spl ující vý²e uvedené tvrzení nutn obsahuje mnoºinu vrchol. Dále, z kaºdé mnoºiny S spl ující vý²e uvedené tvrzení lze vybrat mnoºinu s nejmen²ím po tem prvk (krajní p ípustné sm ry), která je ur ena jednozna n aº na kladné násobky.
Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011
Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
VícePo etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Více5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VíceMatematická logika cvi ení 47
Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceModelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Více2 Trochu teorie. Tab. 1: Tabulka pˇrepravních nákladů
Klíčová slova: Dopravní problém, Metody k nalezení výchozího ˇrešení, Optimální ˇrešení. Dopravní problém je jednou z podskupin distribuční úlohy (dále ještě problém přiřazovací a obecná distribuční úloha).
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
VíceMATEMATIKA I VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ JIŘÍ NOVOTNÝ MATEMATIKA I ZÁKLADY LINEÁRNÍ ALGEBRY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX 2ε, Podpořeno projektem
VíceAplikovaná matematika 1
Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn
Více( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
Více4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceStátní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
Více1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
Vícena za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
VíceTeorie kategorií. Libor B hounek Verze ke dni 12. b ezna 2013.
Teorie kategorií Studijní materiál pro kurs ALGV00051 na FF UK v LS 2012/13 Dal²í informace: www.cs.cas.cz/behounek/teaching/cat12 Libor B hounek behounek@cs.cas.cz Verze ke dni 12. b ezna 2013. Organiza
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Více6. Matice. Algebraické vlastnosti
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 6 Matice Algebraické vlastnosti 1 Algebraické operace s maticemi Definice Bud te A,
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
VíceDigitální modely terénu.
Digitální modely terénu. Polyedrický model. Rastrový model. Plátový model. Plátování. Tomá² Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartograe. P írodov decká fakulta UK. Tomá²
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
VíceLineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
VíceZáludnosti velkých dimenzí
Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel
VíceTeorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceLine rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
VíceTROJFÁZOVÝ OBVOD SE SPOT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU
TROJFÁZOVÝ OBVOD E POT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU Návod do m ení Ing. Vít zslav týskala, Ing. Václav Kolá Únor 2000 poslední úprava leden 2014 1 M ení v trojázových obvodech Cíl m ení:
Více5.2.1 Matematika povinný předmět
5.2.1 Matematika povinný předmět Učební plán předmětu 1. ročník 2. ročník 3. ročník 6. ročník 7. ročník 8. ročník 9. ročník 4 4+1 4+1 4+1 4+1 4 4 3+1 4+1 Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace v
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
Vícep írodní zdroje energie a surovin odpady globální problémy ochrana p írody a krajiny nástroje spole nosti na ochranu životního
charakterizuje p sobení životního prost edí na lov ka a jeho zdraví; charakterizuje p írodní zdroje surovin a energie z hlediska jejich obnovitelnosti, posoudí vliv jejich využívání na prost edí; popíše
Více7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic
7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s
VíceZkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
VíceVýuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce
Výuka matematiky v 21. století na S technického typu Metodika - bude upravena po dokon ení testování modul v p ímé výuce ƒeské Bud jovice, 2014 Obsah 1 Popis problematiky 2 1.1 Úvod..................................
VícePříloha č. 7. ročník 9. 1h 1x za 14 dní. dotace. nepovinný. povinnost
Příloha č. 7 Seminář z matematiky V učebním plánu 2. druhého stupně se zařazuje nepovinný předmět Seminář z matematiky. V tematickém okruhu Čísla a početní operace na prvním stupni, na který navazuje a
VíceDolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
VíceDaniel Velek Optimalizace 2003/2004 IS1 KI/0033 LS PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ
PRAKTICKÝ PŘÍKLAD NA MINIMALIZACI NÁKLADŮ PŘI VÝROBĚ - 1 - Firma zabývající se výrobou světlometů do aut dostala zakázku na výrobu 3 druhů světlometů do aut, respektive do Škody Fabia, Octavia a Superb.
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceFAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE. Modely operačního výzkumu 1. Studijní obor:
FAKULTA INFORMATIKY A MANAGEMENTU UNIVERZITA HRADEC KRÁLOVÉ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Modely operačního výzkumu 1 Vypracoval: Studijní obor: Emailová adresa: Datum vypracování: Jana Pospíšilová IM2-KF Jana.Pospisilova@uhk.cz
Více2. referát (Pruºnost a pevnost I.)
2. referát (Pruºnost a pevnost I.) 1 Zadání. 1 aº 16 Zadána je prutová konstrukce dle obrázku 1 sestávající se ze t í prut. Oba krajní pruty jsou vzhledem k symetrii ozna eny íslem 2, prost ední prut pak
VíceZákladní praktikum laserové techniky
Základní praktikum laserové techniky Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Úloha 4: Zna kování TEA CO 2 laserem a m ení jeho charakteristik Datum m ení: 1.4.2015 Skupina: G Zpracoval: David Roesel Kruh:
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Více1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
VíceMatematická analýza KMA/MA2I 3. p edná²ka Primitivní funkce
Matematická analýza KMA/MAI 3. p edná²ka Primitivní funkce Denice a základní vlastnosti P íklad Uvaºujme následující úlohu: Najd te funkci F : R R takovou, ºe F () R. Kdo zná vzorce pro výpo et derivací
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
VíceVzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
VíceSpecifikace systému ESHOP
Nabídka: Specifikace systému ESHOP březen 2009 Obsah 1 Strana zákazníka 1 1.1 Nabídka produkt, strom kategorií..................... 1 1.2 Objednávka a ko²ík.............................. 1 1.3 Registrace
VíceKvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze Svatopluk Krýsl Matematický ústav Univerzity Karlovy Filozocké problémy informatiky 27. íjen 2015 1 Kvantová fyzika 2 Zachycující struktury -
VíceAplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení
Aplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení 28.4.2016 Obsah 1 Kurzové sázení Tenis Kurz jako odhad pravd podobnosti Hodnocení kvality odhadu pravd podobnosti 2 Predikce pr b hu utkání Základní
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceOperace s maticemi. Studijnı materia ly. Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen.
U stav matematiky a deskriptivnı geometrie Operace s maticemi Studijnı materia ly Pro listova nı dokumentem NEpouz ı vejte kolec ko mys i nebo zvolte moz nost Full Screen. Brno 2014 RNDr. Rudolf Schwarz,
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceSemestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:
Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VíceVYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
Více1 Matematické základy teorie obvodů
Matematické základy teorie obvodů Vypracoval M. Košek Toto cvičení si klade možná přemrštěný, možná jednoduchý, cíl dosáhnout toho, aby všichní studenti znali základy matematiky (a fyziky) nutné pro pochopení
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
VíceCvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce
Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní funkce 3 Princip práce v u Jednoduché modely v u Souhrn Organizace cvi ení webová
Více