7 Algebraické a nealgebraické rovnice a nerovnice v C. Numerické e²ení rovnic

Transkript

1 7 Algebrické nelgebrické rovnice nerovnice v C. Numerické (typy lgebrických rovnic zákldní metody jejich e²ení lineární, kvdrtické, reciproké rovnice rovnice vy²²ích ád, rovnice nerovnice nelgebrické s neznámou ve jmenovteli, s bsolutními hodnotmi, ircionální, lineární kvdrtické nerovnice, zákldní metody numerického e metod p lení intervlu, metod te en, se en, iter ní metod) Rovnice nerovnice Rovnice s jednou neznámou je zápis rovnosti dvou výrz, v nichº se vyskytuje neznámá (ozn ená písmenem). Kºdé íslo, jehoº doszení do rovnice dostneme pltnou rovnost, se nzývá e ko en rovnice. Vy e²it rovnici znmená njít mnoºinu ko en. Nerovnice s jednou neznámou je zápis nerovnosti dvou výrz, v nichº se vyskytuje neznámá (ozn ená písmenem). Ko enem nerovnice nzýváme kºdé íslo, jehoº doszením z neznámou dostneme pltnou nerovnost. Vy e²it nerovnici znmená njít mnoºinu ko en. Algebrické rovnice nerovnice Polynomické (lineární, kvdrtické, vy²²ích stup ) Nelgebrické rovnice nerovnice V podílovém tvru S bsolutní hodnotou Ircionální Úprvy rovnic Exponenciální, logritmické, goniometrické Ekvivlentní úprvy jsou úprvy, jimiº se mnoºin ko en nem ní (s ítání, od ítání, násobení). Po t chto úprvách není zkou²k nutnou sou ástí e²ení. Neekvivlentní úprvy jsou úprvy, jimiº se mnoºin ko en m ní (umoc ování). Po t chto úprvách je nutné provést zkou²ku. 1

2 Lineární rovnice Rovnice x + b = 0, kde, b R, se nzývá lineární rovnice. Mezi ekvivlentní úprvy pt í: p i tení stejného výrzu obshující neznámou (denovného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny ísel, v nichº rovnici e²íme) k ob m strnám rovnice, vynásobení rovnice nenulovým íslem ekvivlentní úprvy výrz n obou strnách. 0 jediným ko enem je x = b = 0 b = 0 kºdé reálné íslo x je ko enem = 0 b 0 rovnice nemá e²ení Lineární nerovnice Nerovnice x + b > 0 x + b 0 x + b < 0 x + b 0 kde, b R se nzývjí lineární nerovnice. Mezi ekvivlentní úprvy pt í: p i tení stejného výrzu obshující neznámou (denovného pro v²echny hodnoty neznáme z mnoºiny ísel, v nichº nerovnici e²íme) k ob m strnám nerovnice, vynásobení nerovnice kldným íslem, vynásobení nerovnice záporným íslem sou sné obrácení znku nerovnosti, ekvivlentní úprvy výrz n obou strnách. > 0 x > b < 0 x < b = 0 b > 0 kºdé reálné íslo x je ko enem = 0 b 0 rovnice nemá e²ení Grcké e²ení lineárních rovnic nerovnic Levou i prvou strnu rovnice si vyjád íme jko funkci nrýsujeme grfy. Pr se ík grfu funkcí je ko en rovnice. Pokud jsou grfy rovnob ºné r zné p ímky, rovnice nemá e²ení. Pokud grfy splynou v jedné p ímce, má rovnice nekone n mnoho e²ení. U nerovnic postupujeme stejn, hledáme intervly, v nichº je grf první funkce nd (pod) grfem druhé. 2

3 Kvdrtická rovnice Rovnice x 2 + bx + c = 0 kde, b, c R, 0 se nzývá kvdrtická rovnice; x 2 je její kvdrtický len, bx je lineární len c bsolutní len. c = 0 Rovnice bez bsolutního lenu b 0 x 1 = b, x 2 = 0 b = 0 x 12 = 0 b = 0 Ryze kvdrtická rovnice c x 12 = ± Obecná kvdrtická rovnice b 2 4c > 0 x 12 = b ± b 2 4c 2 b 2 4c = 0 x 12 = b 2 b 2 4c < 0 x 12 = b ± b 2 4c i 2 = 1 Normovný tvr kvdrtické rovnice Viètovy vzthy Mezi ko eny kvdrtické rovnice jejími koecienty pltí následující vzthy: x 1 + x 2 = b x 1 x 2 = c Rovnice vy²²ích stup Rovnice vy²²ích stup e²íme rozloºením n sou inový tvr (np. Hornerovo schém). Poté se sou in n kolik ísel rovná nule práv tehdy, kdyº lespo jeden z initel se rovná nule. (x + 1 ) (x + 2 ) (x + 3 )... (x + n ) = 0 x 1,2,...,n = 1,2,...,n 3

4 Reciproké rovnice Je-li ko enem reciproké rovnice n x n + n 1 x n x + 0 = 0 hodnot x, je i 1 x ko enem rovnice. Reciproká rovnice I. druhu: n = 0 ; n 1 = 1 ;... Rovnice lichého stupn jedním z ko en je hodnot 1, proto rovnici vyd líme hodnotou x + 1, ímº dostneme rovnici sudého stupn Rovnice sudého stupn rovnici vyd líme neznámou v tolikáté mocnin, v jké je u koecientu n (ov íme, zd jsme ned lili nulou). Povytýkáme stejné 2 koecienty zvedeme Lgrngeovu substituci x + 1 = b rovnici do e²íme. x Reciproká rovnice II. druhu, lichého stupn : n = 0 ; n 1 = 1 ;... Jedním z ko en je hodnot 1, proto rovnici vyd líme výrzem x 1, ímº dostneme reciprokou rovnici I. druhu sudého stupn. Binomické rovnice Binomická rovnice x n = 0, kde x C; n N; = (cos α + i sin α), má v oboru komplexních ísel práv n r zných ko en ve tvru: x k = n ( cos α + 2kπ + i sin α + 2kπ ) ; k = {0; 1;... ; n 1} n n Ko eny této rovnice leºí pro n > 2 v Gusov rovin ve vrcholech prvidelného n-úhelníku vepsného do kruºnice se st edem v po átku polom rem n. Trinomická rovnice Rovnici ve tvru x 2n + bx n + c = 0 e²íme zvedením substituce x n výslednou kvdrtickou rovnici dále zbylé binomické rovnice. = y. Vy e²íme Nerovnice vy²²ích stup Nerovnice vy²²ích stup e²íme jejich p evedením n sou inový tvr. Sou in dvou ísel je v t²í neº nul práv tehdy, kdyº jsou bu ob initelé v t²í neº nul, nebo ob men²í neº nul. Zvedením t chto podmínek vy e²íme dnou nerovnici. Nerovnici v sou inovém tvru m ºeme tké e²it metodou nulových bod. Sou in n kolik nenulových ísel je záporný práv tehdy, kdyº lichý po et initel je záporný, jink je sou in kldný. 4

5 Rovnice v podílovém tvru Ekvivlentní úprv: vynásobení obou strn rovnice stejným výrzem obshujícím neznámou, který je denován pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny ísel, v níº rovnici e²íme. Moºnosti e²ení: Ode teme prvou strnu. Zlomek je roven nule, pokud je roven nule ittel. Stnovíme podmínky e²itelnosti potom rovnici vynásobíme jmenovtelem. Nerovnice v podílovém tvru Ekvivlentní úprvy: vynásobení obou strn nerovnice stejným výrzem obshujícím neznámou, který je denován kldný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny ísel, v níº nerovnici e²íme; vynásobení obou strn nerovnice stejným výrzem obshujícím neznámou, který je denován záporný pro v²echny hodnoty neznámé z mnoºiny ísel, v níº nerovnici e²íme sou sné obrácení znku nerovnosti. Metody e²ení: Ode teme prvou strnu, zlomek je nezáporný práv tehdy, kdyº bu je ittel nezáporný jmenovtel kldný nebo ittel nekldný jmenovtel záporný. Ode teme prvou strnu nerovnici vy e²íme metodou nulových bod : je-li lespo jeden z initel ve jmenovteli nulový, nemá zlomek smysl; jsou-li v²ichni initelé ve jmenovteli nenuloví lespo jeden initel v itteli nulový, je zlomek roven nule; jsou-li v²ichni initelé v itteli i ve jmenovteli nenuloví, je zlomek záporný práv tehdy, kdyº je lichý po et initel záporný, jink je zlomek kldný. Stnovíme podmínky, vynásobíme nerovnici jmenovtelem diskutujeme, zd je kldný nebo záporný. Rovnice s bsolutními hodnotmi Rovnici s bsolutní hodnotou x + = b m ºeme e²it t mito zp soby: Vyuºijeme geometrického význmu bsolutní hodnoty (vzdálenost dvou ísel n íselné ose). x ( ) = b x 12 = ± b Vyuºijeme denici bsolutní hodnoty: pokud x + 0 p ímo odstrníme bsolutní hodnotu, pokud x + < 0 odstrníme bsolutní hodnotu její vnit ek vynásobíme 1. Tuto metodu si uleh íme sestvením tbulky. 5

6 Nerovnice s bsolutními hodnotmi e²íme st jn jko rovnice s bsolutními hodnotmi s tím rozdílem, ºe v záv ru e²íme nerovnici, jejíº obor e²itelnosti je omezen ur itým intervlem. Ircionální rovnice Ircionální rovnice jsou rovnice s neznámou pod odmocninou. e²íme umocn ním obou strn n druhou, coº je d sledková úprv, proto musíme provézt zkou²ku. Pokud jsou ob strny nezáporné nebo nekldné, je umocn ní ekvivlentní úprv. Ircionální nerovnice e²íme stejn jko ircionální rovnice, s tím rozdílem, ºe pokud umoc ujeme, musíme si dát pozor, zd jsou ob strny nerovnice nezáporné, pokud jsou záporné, musíme zm nit znk nerovnosti. Pltí:, b R + 0 : < b 2 < b 2 c, d R 0 : c < d c 2 > d 2 Numerické M jme funkci f spojitou n intervlu ; b, pro kterou pltí f() f(b) < 0, coº nám zru uje, ºe n intervlu ; b má lespo jeden nulový bod. Metod p lení intervl Intervl ; b rozp líme bodem c = + b. Mohou nstt tyto moºnosti: 2 f(c) = 0 výpo et ukon íme, bod c je e²ením rovnice f() f(c) < 0 pokr ujeme dále n intervlu ; c f(c) f(b) < 0 pokr ujeme dále n intervlu c; b Pokr ujeme tk dlouho dokud b < ε p esnost výpo tu. e²ením rovnice je c. Metod te en (Newtonov metod) Newtonov metod vyuºívá k p esn j²ímu nlezení ko ene rovnici te ny k funkci v bod c. Pr se ík te ny s osou x je nový bod c. Pro výpo et bodu c m ºeme pouºít jednoduchý vzorec: c k+1 = c k f(c k) f (c k ) Algoritmus opkujeme tk dlouho, dokud f(c k ) = 0 nebo dokud nedosáhneme poºdovné p esnosti: c k+1 c k < ε. 6

7 Metod t tiv (se en) Tuto metodu vyuºíváme p edev²ím v p ípd, kdy derivce f (x) je dán p íli² sloºitým vzthem. Z krjních bod intervlu vedeme se nu, která protne osu x v bod c, který m ºeme ur it následujícím vzthem: c = b f() f(b) f() f(b) Dále mohou nstt tyto moºnosti: f(c) = 0 výpo et ukon íme, e²ením je bod c f() f(c) < 0 pokr ujeme dále n intervlu ; c f(c) f(b) < 0 pokr ujeme dále n intervlu c; b Výpo et opkujeme stále dokol do té doby, dokud nedosáhneme poºdovné p esnosti: c n c n 1 < ε. Iter ní metod V této metod rovnici f(x) = 0 nhrdíme rovnocenou rovnicí x = F (x). Funkci F (x) nzýváme iter ní funkcí. N po átku zvolíme proximci ko ene x 0 dále provádíme proximce podle následujícího vzorce: x n+1 = F (x n ) Algoritmus op t provádíme dokud nedosáhneme poºdovné p esnosti x n+1 x n < ε. P i pouºití této metody je vhodné správn zvolit iter ní funkci F (x). Funkce F (x) musí být n dném intervlu spojitá musí pro ni pltit: F (x) < 1. 7