Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Transkript

1 Přednáška MATEMATIKA č Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

2 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 f(x) B s f(a) A 0 a x x k t = lim x a k s k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

3 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 f(x) B s f(a) A 0 a x x k t = lim x a k s k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

4 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 y t f(x) f(a) A B s f(x) f(a) A ϕ α x a B s f(x) f(a) 0 a x x k t = lim x a k s 0 a x x k s = tg α = f (x) f (a) x a k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

5 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 y t f(x) f(a) A B s f(x) f(a) A ϕ α x a B s f(x) f(a) 0 a x x k t = lim x a k s 0 a x x k s = tg α = f (x) f (a) x a k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

6 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 y t f(x) f(a) A B s f(x) f(a) A ϕ α x a B s f(x) f(a) 0 a x x k t = lim x a k s 0 a x x k s = tg α = f (x) f (a) x a k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

7 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 2 Průměrná rychlost bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) za časový úsek t t 0 je rovna s s 0 = f (t) f (t 0) = f (t 0). t t 0 t t 0 t Okamžitá rychlost v 0 bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) v okamžiku t 0 je rovna v 0 = lim t t0 f (t) f (t 0 ) t t 0.

8 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 2 Průměrná rychlost bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) za časový úsek t t 0 je rovna s s 0 = f (t) f (t 0) = f (t 0). t t 0 t t 0 t Okamžitá rychlost v 0 bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) v okamžiku t 0 je rovna v 0 = lim t t0 f (t) f (t 0 ) t t 0.

9 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita f (x) f (a) lim, (1) x a x a nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1 Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná. 2 Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována.

10 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita f (x) f (a) lim, (1) x a x a nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1 Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná. 2 Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována.

11 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita f (x) f (a) lim, (1) x a x a nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1 Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná. 2 Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována.

12 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní. 2 Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x a, právě když h 0. Pak platí f f (a + h) f (a) (a) = lim. (2) h 0 h 3 Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v 0 = ḟ (t 0).

13 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní. 2 Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x a, právě když h 0. Pak platí f f (a + h) f (a) (a) = lim. (2) h 0 h 3 Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v 0 = ḟ (t 0).

14 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní. 2 Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x a, právě když h 0. Pak platí f f (a + h) f (a) (a) = lim. (2) h 0 h 3 Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v 0 = ḟ (t 0).

15 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť D 1 D(f ) je množina všech bodů, v nichž má funkce f : y = f (x) derivaci. Pak zobrazení, které ke každému bodu a D 1 přiřazuje číslo f (a), je funkcí s definičním oborem D 1. Tato funkce se nazývá (první) derivací funkce f a značí se f. Poznámka f (a) je reálné číslo f (x) pro x D 1 je funkcí na D 1

16 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť D 1 D(f ) je množina všech bodů, v nichž má funkce f : y = f (x) derivaci. Pak zobrazení, které ke každému bodu a D 1 přiřazuje číslo f (a), je funkcí s definičním oborem D 1. Tato funkce se nazývá (první) derivací funkce f a značí se f. Poznámka f (a) je reálné číslo f (x) pro x D 1 je funkcí na D 1

17 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (c) = 0, kde c je reálná konstanta: Užitím vztahu (1) dostaneme (c) c c = lim x a x a = lim 0 x a x a = lim 0 = 0. x a

18 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (c) = 0, kde c je reálná konstanta: Užitím vztahu (1) dostaneme (c) c c = lim x a x a = lim 0 x a x a = lim 0 = 0. x a

19 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 2 ) = 2x : Užitím vztahu (1) dostaneme f f (x) f (a) x 2 a 2 (a) = lim = lim x a x a x a x a = (x a)(x + a) = lim = lim (x + a) = 2a. x a x a x a

20 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 2 ) = 2x : Užitím vztahu (1) dostaneme f f (x) f (a) x 2 a 2 (a) = lim = lim x a x a x a x a = (x a)(x + a) = lim = lim (x + a) = 2a. x a x a x a

21 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 3 ) = 3x 2 : Užitím vztahu (2) dostaneme f (a + h) 3 a 3 a 3 + 3a 2 h + 3ah 2 + h 3 a 3 (a) = lim = lim = h 0 h h 0 h = lim h 0 (3a 2 + 3ah + h 2 ) = 3a 2.

22 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 3 ) = 3x 2 : Užitím vztahu (2) dostaneme f (a + h) 3 a 3 a 3 + 3a 2 h + 3ah 2 + h 3 a 3 (a) = lim = lim = h 0 h h 0 h = lim h 0 (3a 2 + 3ah + h 2 ) = 3a 2.

23 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (sin x) = cos x : Užitím vztahu (1) dostaneme f sin x sin a (a) = lim = lim x a x a x a sin x a 2 cos x+a 2 x a 2 = sin x a 2 x a x a 2 = lim lim cos x + a = 1 cos a = cos a. x a 2

24 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (sin x) = cos x : Užitím vztahu (1) dostaneme f sin x sin a (a) = lim = lim x a x a x a sin x a 2 cos x+a 2 x a 2 = sin x a 2 x a x a 2 = lim lim cos x + a = 1 cos a = cos a. x a 2

25 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici k t = f (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f (a) 0 směrnici k n a platí k t k n = 1 k n = 1 f (a) f (a) 0 tečna : y f (a) = f (a)(x a) normála: y f (a) = 1 f (a)(x a) f (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a

26 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici k t = f (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f (a) 0 směrnici k n a platí k t k n = 1 k n = 1 f (a) f (a) 0 tečna : y f (a) = f (a)(x a) normála: y f (a) = 1 f (a)(x a) f (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a

27 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici k t = f (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f (a) 0 směrnici k n a platí k t k n = 1 k n = 1 f (a) f (a) 0 tečna : y f (a) = f (a)(x a) normála: y f (a) = 1 f (a)(x a) f (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a

28 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Grafické znázornění tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A y f t f(a) A n 0 a x f (a) 0

29 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Grafické znázornění tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A y f t y n f f(a) A n 0 a x f(a) t A 0 a x f (a) 0 f (a) = 0

30 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

31 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

32 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

33 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

34 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

35 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

36 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

37 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

38 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Derivaci zprava funkce f v bodě a značíme f +(a) a definujeme vztahem f +(a) f (x) f (a) = lim, x a + x a derivaci zleva funkce f v bodě a značíme f (a) a definujeme vztahem f (a) f (x) f (a) = lim. x a x a Věta Derivace f (a) existuje, právě když existují derivace f +(a) a f (a) a platí f +(a) = f (a) = f (a).

39 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Derivaci zprava funkce f v bodě a značíme f +(a) a definujeme vztahem f +(a) f (x) f (a) = lim, x a + x a derivaci zleva funkce f v bodě a značíme f (a) a definujeme vztahem f (a) f (x) f (a) = lim. x a x a Věta Derivace f (a) existuje, právě když existují derivace f +(a) a f (a) a platí f +(a) = f (a) = f (a).

40 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

41 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

42 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

43 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

44 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. y f : y = x : { y = x pro x 0 y = x pro x < 0 0 x f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu):

45 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. y f : y = x : { y = x pro x 0 y = x pro x < 0 0 x f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu):

46 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. y f : y = x : { y = x pro x 0 y = x pro x < 0 0 x f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu):

47 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Výpočet pomocí definice f +(0) x 0 = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = lim x x 0 + x = lim 1 = 1 x 0 + f (0) x 0 = lim x 0 x 0 = lim x x 0 x = lim x x 0 x f (0) neexistuje = lim x 0 ( 1) = 1

48 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Výpočet pomocí definice f +(0) x 0 = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = lim x x 0 + x = lim 1 = 1 x 0 + f (0) x 0 = lim x 0 x 0 = lim x x 0 x = lim x x 0 x f (0) neexistuje = lim x 0 ( 1) = 1

49 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Výpočet pomocí definice f +(0) x 0 = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = lim x x 0 + x = lim 1 = 1 x 0 + f (0) x 0 = lim x 0 x 0 = lim x x 0 x = lim x x 0 x f (0) neexistuje = lim x 0 ( 1) = 1

50 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D 1 je množina všech x D, pro něž má f derivaci f. Na D 1 je tedy definována funkce f (1) = f. Nechť D 2 je množina všech x D 1, pro něž existuje derivace funkce f (1). Pak je na D 2 D 1 definována funkce f (2) = (f (1) ), kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f. Je-li D n D n 1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n 1), pak je na D n definována funkce f (n) = (f (n 1) ), kterou nazýváme n-tou derivací funkce f.

51 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D 1 je množina všech x D, pro něž má f derivaci f. Na D 1 je tedy definována funkce f (1) = f. Nechť D 2 je množina všech x D 1, pro něž existuje derivace funkce f (1). Pak je na D 2 D 1 definována funkce f (2) = (f (1) ), kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f. Je-li D n D n 1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n 1), pak je na D n definována funkce f (n) = (f (n 1) ), kterou nazýváme n-tou derivací funkce f.

52 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D 1 je množina všech x D, pro něž má f derivaci f. Na D 1 je tedy definována funkce f (1) = f. Nechť D 2 je množina všech x D 1, pro něž existuje derivace funkce f (1). Pak je na D 2 D 1 definována funkce f (2) = (f (1) ), kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f. Je-li D n D n 1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n 1), pak je na D n definována funkce f (n) = (f (n 1) ), kterou nazýváme n-tou derivací funkce f.

53 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

54 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

55 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

56 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

57 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

58 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

59 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

60 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

61 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

62 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

63 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v) (x) = (c) v(x) + c v (x) = c v (x) Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c 1 f 1 + c 2 f c n f n ) (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c n f n(x) (f 1 f 2...f n ) (x) = f 1 (x) f 2(x)...f n (x) + f 1 (x) f 2 (x)f 3(x)...f n (x) f 1 (x) f 2 (x)...f n 1 (x) f n(x)

64 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v) (x) = (c) v(x) + c v (x) = c v (x) Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c 1 f 1 + c 2 f c n f n ) (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c n f n(x) (f 1 f 2...f n ) (x) = f 1 (x) f 2(x)...f n (x) + f 1 (x) f 2 (x)f 3(x)...f n (x) f 1 (x) f 2 (x)...f n 1 (x) f n(x)

65 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v) (x) = (c) v(x) + c v (x) = c v (x) Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c 1 f 1 + c 2 f c n f n ) (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c n f n(x) (f 1 f 2...f n ) (x) = f 1 (x) f 2(x)...f n (x) + f 1 (x) f 2 (x)f 3(x)...f n (x) f 1 (x) f 2 (x)...f n 1 (x) f n(x)

66 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

67 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

68 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

69 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

70 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

71 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci složené funkce Nechť F = g f, tj F : y = F (x) = g[f (x)], je funkce definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Jestliže funkce f má v bodě a derivaci f (a) a funkce g má v bodě α = f (a) derivaci g (α), pak složená funkce F = g f má v bodě a derivaci F (a) a platí F (a) = (g f ) (a) = g [f (a)] f (a). Poznámka Složená funkce F = g f má v obecném bodě x derivaci F (x) = (g f )(x) = g (u) f (x), kde u = f (x).

72 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci složené funkce Nechť F = g f, tj F : y = F (x) = g[f (x)], je funkce definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Jestliže funkce f má v bodě a derivaci f (a) a funkce g má v bodě α = f (a) derivaci g (α), pak složená funkce F = g f má v bodě a derivaci F (a) a platí F (a) = (g f ) (a) = g [f (a)] f (a). Poznámka Složená funkce F = g f má v obecném bodě x derivaci F (x) = (g f )(x) = g (u) f (x), kde u = f (x).

73 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin 3 x: u = sin x, y = u 3 (u 3 ) = 3u 2, (sin x) = cos x y = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x cos x pro každé x R y = sin(x 2 + 1): u = x 2 + 1, y = sin u (sin u) = cos u a (x 2 + 1) = 2x y = (cos u) 2x = 2x cos(x 2 + 1) pro každé x R

74 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin 3 x: u = sin x, y = u 3 (u 3 ) = 3u 2, (sin x) = cos x y = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x cos x pro každé x R y = sin(x 2 + 1): u = x 2 + 1, y = sin u (sin u) = cos u a (x 2 + 1) = 2x y = (cos u) 2x = 2x cos(x 2 + 1) pro každé x R

75 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka u = f (x), v = g(u), y = h(v) F = h g f : y = h{g[f (x)]} V obecném bodě x platí F (x) = (h g f ) (x) = h (v) g (u) f (x), kde u = f (x) a v = g(u).

76 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka u = f (x), v = g(u), y = h(v) F = h g f : y = h{g[f (x)]} V obecném bodě x platí F (x) = (h g f ) (x) = h (v) g (u) f (x), kde u = f (x) a v = g(u).

77 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklad f : y = sin 3 (x 2 + 5) : u = x 2 + 5, v = sin u, y = v 3 y = 3 v 2, v = cos u, u = 2x y = 3v 2 (cos u) 2x = 6x sin 2 u cos u = 6x sin 2 (x 2 + 5) cos(x 2 + 5) pro každé x R

78 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci inverzní funkce Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci f (a) 0, pak inverzní funkce f 1 : x = f 1 (y) má v bodě α = f (a) derivaci (f 1 ) (α) = 1 f (a).

79 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklad f : y = arcsin x, x 1, 1 f 1 : x = sin y, y π 2, π 2, (sin y) = cos y y = (arcsin x) = pro každé x ( 1, 1) 1 (sin y) = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2

80 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

81 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

82 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

83 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

84 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = x 6 + 3x 4 6x 2 + 5x y = 6x x 3 6 2x + 5 = 6x x 3 12x + 5 pro všechna x R y = 1 x 3 5 x 2 y = (x 3 5x 2 ) = 3x 4 5 ( 2)x 3 = 3 x x 3 pro všechna x R, x 0

85 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = x 6 + 3x 4 6x 2 + 5x y = 6x x 3 6 2x + 5 = 6x x 3 12x + 5 pro všechna x R y = 1 x 3 5 x 2 y = (x 3 5x 2 ) = 3x 4 5 ( 2)x 3 = 3 x x 3 pro všechna x R, x 0

86 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = (x 3 + 6x) 7 : u = x 3 + 6x, y = u 7 y = (u 7 ) (x 3 + 6x) = 7u 6 (3x 2 + 6) = 7(x 3 + 6x) 6 (3x 2 + 6) pro všechna x R y = 1 x pro všechna x R y = (1) (x 4 + 1) 1 (x 4 + 1) (x 4 + 1) 2 = 4x 3 (x 4 + 1) 2

87 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = (x 3 + 6x) 7 : u = x 3 + 6x, y = u 7 y = (u 7 ) (x 3 + 6x) = 7u 6 (3x 2 + 6) = 7(x 3 + 6x) 6 (3x 2 + 6) pro všechna x R y = 1 x pro všechna x R y = (1) (x 4 + 1) 1 (x 4 + 1) (x 4 + 1) 2 = 4x 3 (x 4 + 1) 2

88 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

89 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

90 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

91 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

92 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

93 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin x cos x y = (sin x) cos x + sin x(cos x) = cos 2 x sin 2 x = cos 2x pro všechna x R y = sin x 1 cos x y = (sin x) (1 cos x) sin x(1 cos x) (1 cos x) 2 = = cos x (1 cos x) sin x sin x 1 (1 cos x) 2 = cos x 1 pro každé x R, pro něž je cos x 1

94 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin x cos x y = (sin x) cos x + sin x(cos x) = cos 2 x sin 2 x = cos 2x pro všechna x R y = sin x 1 cos x y = (sin x) (1 cos x) sin x(1 cos x) (1 cos x) 2 = = cos x (1 cos x) sin x sin x 1 (1 cos x) 2 = cos x 1 pro každé x R, pro něž je cos x 1

95 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = 5 cos 2 x : u = cos x, y = 5u 2 y = (5u 2 ) (cos x) = 10u ( sin x) = 10 cos x sin x. pro všechna x R y = tg(2x π 2 ) : u = 2x π 2, y = tg u y = (tg u) ( 2x π 2 pro všechna x, pro něž je cos ( 2x π 2 ) 0 ) 1 = cos 2 u 2 = 2 cos ( ) 2 2x π 2

96 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = 5 cos 2 x : u = cos x, y = 5u 2 y = (5u 2 ) (cos x) = 10u ( sin x) = 10 cos x sin x. pro všechna x R y = tg(2x π 2 ) : u = 2x π 2, y = tg u y = (tg u) ( 2x π 2 pro všechna x, pro něž je cos ( 2x π 2 ) 0 ) 1 = cos 2 u 2 = 2 cos ( ) 2 2x π 2

97 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

98 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

99 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

100 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

101 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

102 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = arccos 2 x: u = arccos x, y = u 2 y = (u 2 ) (arccos x) 1 = 2u 1 x 2 = 2 arccos x 1 x 2 pro všechna x ( 1, 1) y = arctg(x 3 1): u = x 3 1, y = arctg u pro všechna x R y = (arctg u) (x 3 1) = u 2 3x 2 = 3x 2 = 1 + (x 3 1) 2 = 3x 2 x 6 2x 3 + 2

103 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = arccos 2 x: u = arccos x, y = u 2 y = (u 2 ) (arccos x) 1 = 2u 1 x 2 = 2 arccos x 1 x 2 pro všechna x ( 1, 1) y = arctg(x 3 1): u = x 3 1, y = arctg u pro všechna x R y = (arctg u) (x 3 1) = u 2 3x 2 = 3x 2 = 1 + (x 3 1) 2 = 3x 2 x 6 2x 3 + 2

104 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

105 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

106 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

107 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

108 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

109 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

110 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = e 3x 9 : u = 3x 9, y = e u y = (e u ) (3x 9) = e u 3 = 3 e 3x 9 pro všechna x R y = e x 1: u = e x 1, y = u = u 1 2 y = ( ) u 1 2 (e x 1) = 1 2 u 1 2 e x = ex 2 u = e x 2 e x 1 pro každé x R, pro něž je e x 1 > 0 neboli x > 0

111 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = e 3x 9 : u = 3x 9, y = e u y = (e u ) (3x 9) = e u 3 = 3 e 3x 9 pro všechna x R y = e x 1: u = e x 1, y = u = u 1 2 y = ( ) u 1 2 (e x 1) = 1 2 u 1 2 e x = ex 2 u = e x 2 e x 1 pro každé x R, pro něž je e x 1 > 0 neboli x > 0

112 Příklady y = ln 3 x: u = ln x, y = u 3 pro každé x R + Obecná pravidla pro derivování funkcí y = (u 3 ) (ln x) = 3u 2 1 x = 3 ln2 x x y = ln x 2 x + 2 : u = x 2 x + 2, y = ln u ( ) x 2 y = (ln u) = 1 (x 2) (x + 2) (x 2)(x + 2) x + 2 u (x + 2) 2 = = 1 u x + 2 x + 2 (x + 2) 2 = x + 2 x 2 4 (x + 2) 2 = 4 (x 2)(x + 2) = 4 x 2 4 pro každé x (, 2) (2, + )

113 Příklady y = ln 3 x: u = ln x, y = u 3 pro každé x R + Obecná pravidla pro derivování funkcí y = (u 3 ) (ln x) = 3u 2 1 x = 3 ln2 x x y = ln x 2 x + 2 : u = x 2 x + 2, y = ln u ( ) x 2 y = (ln u) = 1 (x 2) (x + 2) (x 2)(x + 2) x + 2 u (x + 2) 2 = = 1 u x + 2 x + 2 (x + 2) 2 = x + 2 x 2 4 (x + 2) 2 = 4 (x 2)(x + 2) = 4 x 2 4 pro každé x (, 2) (2, + )

114 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = 5 x 1 3 x 2 y = (5x 1 2 pro každé x R + x 2 3 ) = 5 1 ( 2 x ) x = 3 = 5 2 x x 5 3 = x x 5

115 Obecná pravidla pro derivování funkcí Přehled vzorců pro derivování (c) = 0 (x n ) = nx n 1 (sin x) = cos x (arcsin x) = 1 1 x 2 (cos x) = sin x (tg x) = 1 cos 2 x (cotg x) = 1 sin 2 x (arccos x) 1 = 1 x 2 (arctg x) = x 2 (arccotg x) = x 2 (e x ) = e x (ln x) = 1 x (a x ) = a x ln a (log a x) = 1 x ln a

116 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Definice Nechť funkce f : y = f (x) je spojitá v okolí U(a, δ) bodu a a nechť existuje f (a). Pak diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz df (a) = f (a) h, kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ). Poznámka Jestliže místo pevného bodu a uvažujeme obecný bod x z intervalu I, v němž existuje f, pak diferenciál funkce f v bodě x pro přírůstek h je funkcí dvou proměnných x I a h R. Zapisujeme ho ve tvaru df (x) = f (x) h.

117 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Definice Nechť funkce f : y = f (x) je spojitá v okolí U(a, δ) bodu a a nechť existuje f (a). Pak diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz df (a) = f (a) h, kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ). Poznámka Jestliže místo pevného bodu a uvažujeme obecný bod x z intervalu I, v němž existuje f, pak diferenciál funkce f v bodě x pro přírůstek h je funkcí dvou proměnných x I a h R. Zapisujeme ho ve tvaru df (x) = f (x) h.

118 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklady f : y = 2x 2 2, a = 3, h = 0,01: y = 4x, y (3) = 12 df (3) = f (3)h = 12 0,01 = 0,12 f : y = x sin x, y = sin x + x cos x df (x) = (sin x + x cos x) h, pro x, h R

119 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklady f : y = 2x 2 2, a = 3, h = 0,01: y = 4x, y (3) = 12 df (3) = f (3)h = 12 0,01 = 0,12 f : y = x sin x, y = sin x + x cos x df (x) = (sin x + x cos x) h, pro x, h R

120 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

121 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

122 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

123 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

124 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

125 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

126 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

127 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

128 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu y f(x) f t f(a) f(a) A h df(a) 0 a x x

129 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Přibližné vyjádření funkce pomocí diferenciálu Pro dostatečně malá h platí f (a) df (a). Přibližný výpočet funkčních hodnot provádíme pomocí rovnice f (x) = f (a + h) = f (a) + f (a) f (a) + df (a), odkud f (a + h) f (a) + df (a).

130 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Přibližné vyjádření funkce pomocí diferenciálu Pro dostatečně malá h platí f (a) df (a). Přibližný výpočet funkčních hodnot provádíme pomocí rovnice f (x) = f (a + h) = f (a) + f (a) f (a) + df (a), odkud f (a + h) f (a) + df (a).

131 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

132 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

133 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

134 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

135 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

136 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,