Cvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.

Transkript

1 5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Rudolf Blažek 2011 BI-PST, LS 2010/11 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnos@

2 Prostor elementárních jevů a pravděpodobnost Cvičení Pravděpodobnost Příklad Pro nejvýše spočetnou stačí zadat funkci (hustota pravděpodobnosti, pravděpodobnostní hmota) p :! [0, 1] P tak, že!2 p(!) =1. Pravděpodobnost P je pak dána jako P(A) = P!2A p(!) pro každé A. Intermezzo: Pro nespočetnou však není možné definovat P(A) pro každé A. Věta (Vitali, 1905) Budiž = {0, 1} N. Neexistuje funkce P : P( )! [0, 1] splňující základní axiomy (Nezápornost, Normalizace, Aditivita), a navíc i podmínku Invariance. Pro každé A an 1 je P(T n A)=P(A). Zde T n :! =(! 1,! 2,...)! (! 1,...,! n 1, c! n,! n+1,...), kde b 0 = 1, b 1 = 0, atn (A) ={T n (!) :! 2 A}. RomanRudolf Kotecký, Blažek, Rudolf Ph.D. Blažek (ČVUT) (FIT ČVUT) Základní Pravděpodobnost pojmy pravděpodobnosti a statistika BI-PST, LSBI-PST, 2010/11, LS2010/11 Přednáška 1 9 / 18 2

3 Poznámky k Vitaliho větě Čísla v intervalu (0,1) lze popsat nekonečnou řadou 0 a je možné zapsat v binárním kódu Vitaliho věta se dá chápat i tak, že hovoří o existenci neměřitelných množin např. v intervalu (0,1) V čem je problém: Na intervalu (0,1) uvažujme pravděpodobnost tak, že délka intervalu je jeho pravděpodobností (Lebesgueova míra) Existuje neměřitelná množina U (0,1) v tom smyslu, že ji nesmíme přiřadit pravděpodobnost 3

4 Poznámky k Vitaliho větě Co to znamená, že množině U (0,1) nesmíme přiřadit pravděpodobnost? Pokud přiřadíme P(U) = ε > 0, pak dojdeme k závěru P( (0,1) ) = Pokud přiřadíme P(U) = 0, pak dojdeme k závěru P( (0,1) ) = 0 My ale samozřejmě potřebujeme P( (0,1) ) = 1 Proto potřebujeme opatrně vybrat množiny, kterým smíme přiřadit pravděpodobnost: F je sigma-algebra (sigma-field) všech měřitelných jevů 9 >= >; Vitaliho věta využívá axiom výběru 4

5 Jak bezpečně definovat pravděpodobnosti výsledků experimentu Příklad Pro nejvýše spočetnou stačí zadat funkci (hustota pravděpodobnosti, pravděpodobnostní hmota) p :! [0, 1] P tak, že!2 p(!) =1. Pravděpodobnost P je pak dána jako P(A) = P!2A p(!) pro každé A. Intermezzo: Příklad Borelova sigma-algebra měřitelných množin Pro experiment s výsledky v intervalu, tj. s Ω = (a, b) stačí zadat P( (a, x] ) = F(x) [0, 1] x (a, b) kde F(x) je neklesající funkce s:$ $ F(x) 0 když x a!!!!!!!!!! F(x) 1 když x b. Pak je pravděpodobnost konzistentně definována pro všechny intervaly v (a, b), jejich spočetná sjednocení a průniky... atd... 5

6 Spojité náhodné veličiny Nechť X je náhodná veličina s hustotou f(x): h Najděte hodnotu konstanty h Najděte analytické vyjádření hustoty f(x) Spočtěte střední hodnotu EX Vypočítejte rozptyl Var X 6

7 Spojité náhodné veličiny Uvažujme náhodnou veličinu X Exp( ), t.j. s exponenciálním rozdělením s intenzitou. 1. Najděte EX pomocí definice střední hodnoty. 2. Najděte Var X pomocí definice rozptylu. 3. Dokažte, že X nemá pamět, tj. že P(X s > t X > s) =P(X > t), 8t 0 7

8 Discussion Session Exponenciální rozdělení nemá paměť Chceme dokázat: T ~ Exp(λ) (T s T >s) ~ Exp(λ) Je snadnější použít funkci přežití (the survival function): T Exp( ) právě když P(T > t) =e t, 8t 0. P(T s > t T > s) 8s, t 0 = = P(T > t + s, T > s) P(T > s) P(T > t + s) = e (t+s) P(T > s) e s = e t... Exp( ). 8

9 Rozdělení, která nemají paměť Dokázali jsme, že N ~ Geometrické(p) (N k N > k) ~ Geometrické(p) T ~ Exp(λ) (T s T >s) ~ Exp(λ) Toto jsou jediná taková rozdělení Geometrické(p) je jediné diskrétní rozdělení bez paměti Exp(λ) je jediné spojité rozdělení bez paměti Podobnost Geometrické rozdělení: čekání na pannu v sérii hodů mincí Exponenciální rozdělení: čekání na příchod zákazníka 9

10 Normální náhodné veličiny Necht X N(5, 4) je normálně rozdělená náhodná veličina se střední hodnotou 5 a rozptylem 4. Pro následující otázky použijte statistické tabulky. 1. Najděte P(X > 7.5) 2. Najděte P(2.3 < X < 6.1) 3. Najděte z Najděte a takové, že P(X < a) = Najděte a takové, že P( a < X < a) =