15 Maticový a vektorový počet II

Transkript

1 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp. komplexních matic rozměru m n budeme značit M m n (R) resp. M m n (C). Někdy budeme též používat značení M m n (K), kde K bude značit bud R nebo C. Poznámka. Pro násobení matic (pokud je definováno, tj. souhlasí rozměry matic) platí: A (B C) = (A B) C, A B B A (obecně). Pokud je A B = B A, říkáme, že matice A, B kumutují. Poznámka. Pro sčítání a násobení matic a násobení matic skalárem K platí: A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A, (A + B) = A + B, (A B) = (A) B, pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. zejména souhlasí rozměry matic). Poznámka. Připomeňte si některé základní termíny: jednotková matice I, diagonální matice, inverzní matice (A 1 ), regulární matice, singulární matice, transponovaná matice (A T ).... i některé další základní termíny: symetrická matice: A = A T ortogonální matice: A A T = A T A = I hermitovsky sdružená matice: A H := A T hermitovská matice: A = A H unitární matice: A A H = A H A = I Cvičení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): a pro regulární matice A,B: (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H, (A B) 1 = B 1 A 1. Tvrzení Bud A M n n (K) čtvercová matice. Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dimn A = 0 deta 0. Zde N A := { x K n ;A x = 0}, a h(a) označuje hodnost matice A.

2 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 2 Pozn. Obecně pro A M n n (K) platí Začátek 2. ročníku dimn A + h(a) = n. Definice (Norma matice). Bud A M n n (K) čtvercová matice. Pro jakoukoli normu vektoru x K n definujeme odpovídající normu matice A takto: A := sup x K n x 0 Pozn. Zvolíme-li například eukleidovskou normu x 2 = n x j 2, potom A 2 a ij 2 < +. i, Pozn. Přímo z definice normy matice plyne, že Proto je a tedy Speciálně A x A x pro každé x K n. A x x. (1) AB x A B x A B x pro každé x K n, AB A B. A 2 A 2 odkud plyne A n A n n N. Věta 15.2 (O maticových řadách). Necht mocninná řada k=0 a kz k má poloměr konvergence R > 0. Bud dále A M n n (K) matice, pro jejíž normu platí A < R. Potom f(a) := a k A k konverguje, f(a) M n n (K). Navíc platí kde číselná řada napravo konverguje. Příklad 1. f(a) k=0 a k A k, k=0 Exponenciála matice je definována řadou e A = exp(a) := která konverguje pro každou matici A M n n (K). Pokud matice A,B M n n (K) komutují, platí k=0 e A e B = e A+B. A k k!, (2) Speciálně tedy vždy platí e A e A = e A+A = I, neboli: každá matice tvaru e A je regulární (at byla A jakákoli čtvercová matice), a e A je matice k ní inverzní. Příklad 2. Ukažte: je-li A diagonální matice, která má na diagonále prvky 1,..., n, je exp(a) také diagonální matice, mající na diagonále prvky e 1,...,e n.

3 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II Vlastní čísla a vlastní vektory Definice. Řekneme, že číslo C je vlastním číslem matice A M n n (K), pokud existuje nenulový vektor x C n takový, že A x = x. Vektor x C n pak nazýváme vlastním vektorem matice A, odpovídajícím vlastnímu číslu C. Věta Číslo C je vlastním číslem matice A M n n (K) právě tehdy, když je kořenem tzv. charakteristického polynomu matice A, tj. řeší rovnici det(a I) = 0. P A () := det(a I), (3) (K důkazu: z tvrzení 15.1 plyne, že det(a I) 0 rovnice (A I) x = 0 má pouze nulové řešení.) Poznámka. Každá matice má alespoň jedno vlastní číslo (důsledek základní věty algebry). Různé matice mohou mít stejná vlastní čísla. Pro pevné vlastní číslo C platí: Každý násobek jeho vlastního vektoru je opět jeho vlastním vektorem. Součet dvou jeho vlastních vektorů je opět jeho vlastním vektorem.... = pro pevné vlastní číslo C je N := { x C n ; A x = x} (= N A I ) lineární podprostor C n. Nazýváme jej vlastním podprostorem matice A, příslušným číslu. Věta Bud C vlastní číslo matice A. Potom 1 dim N m(), kde m() je násobnost (multiplicita) čísla jakožto kořene charakteristického polynomu. Definice. Řekneme, že čtvercové matice stejného stupně A,B M n n (K) jsou si podobné (píšeme A B), pokud existuje regulární matice P M n n (K) taková, že B = P 1 AP. Poznámka. A A A B = B A A B, B C = A C Tvrzení Bud A M n n (K) podobná diagonální matici, tj. necht existují diagonální matice D M n n (K) a regulární matice P M n n (K) takové, že Potom: D = P 1 AP. Diagonála matice D je tvořena vlastními čísly matice A, a tedy matice A a D mají stejná vlastní čísla i stejný charakteristický polynom.

4 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 4 Sloupce matice P jsou tvořeny vlastními vektory matice A, uspořádanými ve stejném pořadí jako odpovídající vlastní čísla na diagonále matice D. Poznámka. Pozor, první z výše uvedených tvrzení neplatí obráceně: matice, mající stejné charakteristické polynomy ještě nemusí být podobné. Například ( ) ( ) a (Ukažte to). Tvrzení Vlastní vektory matice A, které odpovídají různým vlastním číslům, jsou lineárně nezávislé. Věta Necht A M n n (K) je matice stupně n. Potom následující výroky jsou ekvivalentní: 1. A je podobná nějaké diagonální matici. 2. V C n existuje báze složená pouze z vlastních vektorů matice A. 3. Pro každé vlastní číslo matice A je dimn = m(). Definice. Řekneme, že A M n n (K) je diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici. Definice. Matici J M n n (C) nazvu Jordanovým blokem stupně (řádu) n, pokud je tvaru pro nějaké C. Definice. Matici J M n n (C) nazvu Jordanovou maticí stupně (řádu) n, pokud je tvaru J J , J k J k kde J 1,..., J k jsou Jordanovy bloky. Čísla na diagonálách bloků J j přitom nemusí být různá pro různé bloky. Věta Matice A M n n (K) je podobná Jordanovu bloku J M n n (C) právě tehdy, když jsou splněny obě následující podmínky: 1. Matice A má jedno n-násobné vlastní číslo C; toto pak leží na diagonále bloku J. 2. Existují vektory q 1,..., q n, splňující (A I) q 1 = 0, q 1 0, (4) (A I) q k = q k 1, k = 2,...,n. (5) Definice. Vektory splňující (4) (5) nazýváme řetězcem (řetízkem) délky n, který odpovídá vlastnímu číslu C matice A. Vektor q j nazýváme přidruženým vektorem řádu (j 1) matice A.

5 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 5 Pozn.: Vektor q 1 (první vektor řetězce) je zřejmě vlastním vektorem matice A. Vlastní vektor matice je tedy jejím přidruženým vektorem řádu 0. Věta Vektory, tvořící řetězec, odpovídající jednomu vlastnímu číslu matice A, jsou lineárně nezávislé. Věta Necht je matice A M n n (K) podobná Jordanovu bloku J M n n (C) a necht matice Q M n n (C) splňuje Q 1 AQ = J. Potom sloupce matice Q tvoří řetezec délky n odpovídající n-násobnému vlastnímu číslu C matice A. Věta Matice A M n n (K) je podobná Jordanově matici J M n n (C) právě tehdy když v C n existuje báze, složená z řetězců matice A, které jsou přidruženy jejím vlastním číslům. Jestliže pro matici Q M n n (C) platí Q 1 AQ = J, kde J M n n (C) je Jordanova matice s bloky J 1,...J k, pak pak čísla j na diagonále bloku J j jsou vlastní čísla matice A (nikoli nutně různá pro různé bloky), a sloupce matice Q jsou tvořeny řetězci, které odpovídají vlastním číslům matice A. Pořadí řetězců ve sloupcích Q přitom odpovídá pořadí bloků v matici J. Věta (O Jordanově kanonickém tvaru matice). podobná nějaké Jordanově matici J M n n (C). (Existence.) Každá matice A M n n (K) je (Jednoznačnost.) Necht je matice A M n n (K) podobná Jordanově matici J 1 M n n (C) i Jordanově matici J 2 M n n (C). Pak se matice J 1, J 2 liší nejvýše pořadím Jordanových bloků na diagonále. Definice. Jordanovým kanonickým tvarem matice A M n n (K) nazvu Jordanovu matici J M n n (C), která je matici A podobná. Poznámka. Podle předchozí věty má každá matice A M n n (K) Jordanův kanonický tvar, který je určen jednoznačně až na pořadí bloků na diagonále. Poznámky k hledání kanonického tvaru matice. Není to úplně snadné: např. trojnásobný kořen může generovat 3 bloky řádu 1, nebo blok řádu 1 a blok řádu 2, nebo 1 blok řádu 3. Existují proto různá tvrzení, která pomohou zjistit, o jakou situaci jde: Necht je vlastní číslo matice A. Položme (Tedy N (1) N (j) = N ). Potom: jsou podprostory v C n, N (j) N (j) := { x C n, (A I) j x = 0}, j N. N (j+1). N (j+1) = N (j) { přidružené vektory řádu j matice A}. Existuje číslo p() n takové že N (1) N (2) N (p()) = N (k) k p(). Tedy: p() je rovno maximálnímu stupni Jordanova bloku (na diagonále Jordanovy matice), který odpovída vlastnímu číslu (delší řetězec neexistuje). Přitom: počet všech Jordanových bloků (na diagonále Jordanovy matice), které odpovídají vlastnímu číslu, je roven dim N.

6 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 6 Pro vlastní čísla µ je N (j) N(l) µ = {0} j,l N. Platí také následující postup, aplikovatelný pro každé vlastní číslo matice A: bud te d j := dim N (j) = n h((a I) j ); označme ρ 1 := d 1, ρ j := d j d j 1 pro j = 2,...,p(); označme σ p() := ρ p(), σ j := ρ j ρ j+1 pro j = 1,...,p() 1. Potom čísla σ j pro j = 1,...,p() určují počet bloků stupně j (na diagonále Jordanovy matice) s na diagonále. Cvičení. Ukažte: matice A = a J = jsou podobné. Najděte také matici Q, pro kterou platí Q 1 AQ = J. Pro zjištění, jaké bloky odpovídají vlastnímu číslu 2, zkuste spočítat, že p(2) = 2, d 1 = dimn (1) 2 = 1, d 2 = dimn (2) 2 = 2, ρ 1 = 1, ρ 2 = 1, σ 1 = 0, σ 2 = 1. Poslední dvě hodnoty tedy říkají, že (pro vlastní číslo = 2) je počet bloků stupně jedna roven nule a počet bloků stupně dva roven jedné Lineární zobrazení v prostorech se skalárním součinem Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Věta Bud A M m n (R). Potom zobrazení ϕ : R n R m definované předpisem ϕ( x) := A x (pro všechna x R n ) je lineární. Bud ϕ : R n R m lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna matice A A ϕ M m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n. V tomto případě říkáme, že A ϕ reprezentuje zobrazení ϕ. Věta Pokud n = m a A ϕ M n n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R n, platí ϕ je prosté ϕ je "na" A ϕ je regulární. Předchozí dvě věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C. Učivo 2. ročníku Definice. Bud ϕ : V n W m lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory konečné dimenze, se skaláry z K (říkáme též "nad K"), dim V n = n, dimw m = m. Bud dále { v (1),..., v (n) } báze ve V n, { w (1),..., w (m) } báze ve W m. Zobrazení ϕ a zvoleným dvěma bazím lze přiřadit matici A M m n (K), A = (a ij ) i=1,...,m,...,n, předpisem m ϕ( v (j) ) = a ij w (i), i=1 j = 1,...,n. Matici A říkáme matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím { v (1),..., v (n) }, { w (1),..., w (m) }.

7 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 7 Poznámka. Je-li ϕ( x) = y pro x V n, a jsou-li α K n resp. β K m souřadnice vektorů x resp. y v bazích { v (1),..., v (n) }, resp. { w (1),..., w (m) }, platí β = A α, kde A je matice zobrazení ϕ vzhledem k bazím { v (1),..., v (n) }, { w (1),..., w (m) }. Připomeňme: vektor α K n je vektor souřadnic vektoru x V n vzhledem k bázi { v (1),..., v (n) } prostoru V n, pokud platí x = α j v (j). Cvičení. Ukažte, že matice zobrazení ϕ : R 3 R 2 definovaného předpisem ϕ((x,y,z)) = (2x,3y + z) vzhledem k eukleidovským bazím příslušných prostorů, je ( ) A = Tvrzení Bud ϕ : V n V n lineární zobrazení, dim V n = n. Matice, které v různých bazích odpovídají stejnému lineárnímu zobrazení ϕ, jsou si navzájem podobné. Poznámka. Matice a lineární zobrazení si v konečnědimenzionálním případě (a při daných bazích) vzájemně jednoznačně odpovídají. Terminologii, kterou používáme u matic, používáme proto i pro lineární zobrazení, tehdy, když má jeho matice příslušnou vlastnost. Definice. Bud V lineární vektorový prostor (obecně libovolné dimenze) nad K. Řekneme, že na V je definován skalární součin (nebo též: V je prostor se skalárním součinem), pokud je na V definována funkce (, ), která dvojici vektorů z V přiřazuje skalár z K, a která pro všechna x, y, z V a všechna α K splňuje: ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z), (α x, y) = α( x, y), ( x, y) = ( y, x), ( x, x) 0 ( R), ( x, x) = 0 x = 0. Poznámka. Z definice skalárního součinu lze odvodit, že pro všechna x, y, z V a všechna α K také platí: ( x, y + z) = ( x, y) + ( x, z), ( x, α y) = α( x, y). Příklad 3. Ukažte, že následující výrazy (definované na příslušných vektorových prostorech) splňují všechny vlastnosti skalárního součinu: ( x, y) := n x jy j, pro x, y C n ; (f,g) := 1 0 f(x)g(x) dx, pro f,g C( 0,1 ). Definice. Bud V lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Řekneme, že vektory x, y V jsou kolmé (ortogonální), pokud ( x, y) = 0, a přitom ani jeden z vektorů x, y není nulový.

8 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 8 Na V je přirozeně definovaná norma předpisem x := ( x, x). Tuto normu nazýváme norma indukovaná skalárním součinem na V. Poznámka (bonusová). Abstraktní (obecná) norma na vektorovém prostoru V nad K je každé zobrazení : V R, splňující pro všechna x, y V a všechna α K x + y x + y (trojúhelníková nerovnost), α x = α x, x 0, x = 0 x = 0. Lze snadno ukázat (zkuste to), že každá norma indukovaná nějakým skalárním součinem (ve smyslu předchozí definice) má výše uvedené vlastnosti. Ne každá norma ovšem musí být indukovaná nějakým skalárním součinem. Definice. Bud V lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Řekneme, že množina vektorů M V je ortogonální, pokud platí ( x, y) = 0 pro všechna x y M, a přitom žádný z vektorů z M není nulový. Platí-li navíc x = 1 pro všechna x M, nazvu množinu M ortonormální. Je-li B V báze ve V, která je navíc ortogonální resp. ortonormální množinou vektorů, nazýváme ji ortogonální resp. ortonormální bazí ve V. Úmluva. V dalším textu budeme symbolem V značit lineární vektorový prostor nad C, (obecně libovolné dimenze), se skalárním součinem, zatímco symbolem V n budeme značit lineární vektorový prostor nad C, dimenze n, se skalárním součinem. Definice. Bud ϕ lineární zobrazení z prostoru V opět do V. Zobrazení ϕ : V V nazveme adjungovaným (přidruženým) k ϕ, pokud platí (ϕ( x), y) = ( x,ϕ ( y)), pro všechna x,y V. Tvrzení Adjungované zobrazení, pokud existuje, je určeno jednoznačně. (V prostorech nekonečné dimenze obecně adjungované zobrazení nemusí existovat). V případě konečné dimenze (ϕ : V n V n ) adjungované zobrazení k danému lineárnímu zobrazení ϕ vždy existuje (a tedy existuje právě jedno). Jestliže v nějaké ortonormální bázi { e (1),..., e (n) } odpovídá zobrazení ϕ matice A, odpovídá v téže bázi adjungovanému zobrazení ϕ adjungovaná matice A (=A H ), tedy matice, jejíž prvky a ij splňují rovnost a ij = a ji, i,j = 1,...,n. Definice. Zobrazení ϕ : V V nazvu hermitovským (samoadjungovaným), pokud je ϕ = ϕ ; unitárním, pokud je prosté, a ϕ 1 = ϕ ; normálním, pokud ϕ ϕ = ϕ ϕ (tedy pokud ϕ komutuje s ϕ ). Pozn. Hermitovskou a unitární matici už jsme definovali (viz též opakování na začátku celé kapitoly), obdobně lze definovat, že matice A M n n (K) je normální, pokud A A = A A (tedy pokud A komutuje s A ).

9 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 9 Tvrzení Bud ϕ : V n V n lineární zobrazení konečně dimenzionálního prostoru (nad C) se skalárním součinem do sebe, a bud A jeho matice v pevně zvolené ortonormální bázi. Potom ϕ je hermitovské (samoadjungované) A je hermitovská (ϕ( x), y) = ( x, ϕ( y)) x, y V n ; ϕ je unitární A je unitární (ϕ( x),ϕ( y)) = ( x, y) x, y V n ; ϕ je normální A je normální ve V n existuje ortonormální báze, složená z vlastních vektorů A. Tuto bázi lze volit tak, že její prvky jsou i vlastními vektory A. Poznámka. Vlastní vektor x V lineárního zobrazení ϕ : V V je takový nenulový vektor, pro který existuje C takové, že ϕ( x) = x. V konečně dimenzionálním případě, kdy ϕ je reprezentováno maticí, splývá pojem vlastního vektoru (vlastního čísla) zobrazení ϕ a jeho matice A. Tvrzení Necht ϕ : V n V n je normální. Potom: Vlastní vektory, odpovídající různým vlastním číslům, jsou ortogonální. Vlastní vektory zobrazení ϕ a ϕ jsou stejné, a odpovídající vlastní čísla zobrazení ϕ jsou komplexně sdružená k odpovídajícím vlastním číslům zobrazení ϕ. Tvrzení Necht ϕ : V n V n je hermitovské. Potom Všechna vlastní čísla zobrazení ϕ (odpovídající matice A) jsou reálná. Je-li matice A zobrazení ϕ reálná (má reálné prvky), pak existuje v C n ortonormální báze, složená z reálných vlastních vektorů matice A. Tato báze je tedy pak i bází v R n. Tvrzení Necht ϕ : V n V n je unitární. Potom Všechna vlastní čísla zobrazení ϕ (odpovídající matice A) jsou v absolutní hodnotě rovna jedné. Je-li matice A unitární (je maticí unitárního zobrazení ϕ), pak platí det A = 1. Definice. Unitátní matici A nazýváme vlastní, pokud je det A = 1, a nevlastní, pokud je det A = 1. Tvrzení Matice A je normální existuje unitární matice P, taková, že P 1 AP je diagonální. Matice A je hermitovská (A je normální & všechna vlastní čísla A jsou reálná) Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice. Lineární formou (lineárním funkcionálem) nad (reálným resp. komplexním) vektorovým prostorem V nazvu lineární zobrazení f prostoru V do R resp. C. Věta Necht { e (1),..., e (n) } je báze v n-dimenzionálním vektorovém prostoru V n. Potom každý lineární funkcionál f nad V n je tvaru f( x) = α j γ j, kde γ j = f( e (j) ), j = 1,...,n, a α jsou souřadnice vektoru x v bázi { e (1),..., e (n) }, tj. x = n α j e (j).

10 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 10 Definice. Bilineární formou na (reálném resp. komplexním) vektorovém prostoru V nazvu zobrazení A = A( x, y) z prostoru V V do R resp. C, které splňuje následující požadavky pro všechna x, y, z V a pro všechna α R resp. C: A( x + y, z) = A( x, z) + A( y, z), (6) A( x, y + z) = A( x, y) + A( x, z), (7) A(α x, y) = αa( x, y), (8) A( x, α y) = αa( x, y). (9) Poznámka. Vlastnosti (6) (8) jsou vlastnosti linearity, vlastnost (9) je tzv. antilinearita vzhledem ke druhé složce. Pokud jsou skaláry z R, je bilinearita totéž co linearita v každé z obou složek. Definice. Bilineární forma A( x, y) na V se nazývá hermitovská (resp. symetrická), pokud pro všechna x, y V platí A( x, y) = A( y, x) (resp. A( x, y) = A( y, x)). Poznámka. Příkladem hermitovské bilineární formy je skalární součin na vektorovém prostoru. Je-li A M n n (K), A = (a ij ) n i,, je zobrazení A( x, y) := a ij x i y j (A x, y), x, y K n, i, bilineární formou na K n, která je hermitovská právě tehdy, když je hermitovská matice A. Na konečnědimenzionálních prostorech je výše zmíněná situace typická: Věta Bud A( x, y) bilineární forma na V n, dim V n = n. Bud { e (1),..., e (n) } báze ve V n. Potom A( x, y) = (A α, β) = a ij α i β j, kde pro prvky matice A platí a ij = A( e (i), e (j) ), a α, resp. β jsou souřadnice vektoru x resp. y v bázi { e (1),..., e (n) }. Poznámka. Je-li A M n n (C) hermitovská matice, pak platí (A x, x) R (ukažte to). Pokud je navíc (A x, x) 0 a (A x, x) = 0 x = 0, je výrazem (A x, y), x, y C n, (kde (, ) je eukleidovský skalární součin v C n ), maticí A definován (určen) jiný skalární součin (bilineární forma A( x, y) = (A x, y) má všechny vlastnosti skalárního součinu). Tento nový skalární součin generuje odpovídající normu, i, x A := (A x, x), (10) čímž zavádí i nový pojem vzdálenosti (metriky) v C n, ρ A ( x, y) := x y A. Poznámka. Často se používají pojmy "skalární součin", "norma", "metrika" i tehdy, když forma (A x, y) nemá všechny vlastnosti skalárního součinu. Například tzv. Minkowského metrika (používaná v teorii relativity) je definovaná diagonální maticí A M 4 4 (R), mající na diagonále prvky (1,1,1, c 2 ). Odpovídající časoprostorová metrika generuje časoprostorovou "normu" tvaru (x,y,z,t) 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2. Definice (Kvadratická forma). Je-li A( x, y) bilineární forma na vektorovém prostoru V, nazvu zobrazení Q( x) := A( x, x) : V R (C) kvadratickou formou na V, generovanou (vytvořenou) bilineární formou A. Kvadratická forma se nazývá hermitovskou, pokud je vytvořena hermitovskou bilineární formou.

11 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 11 Tvrzení Bilineární forma A( x, y) v komplexním prostoru je hermitovská právě tehdy, když A( x, x) R pro každé x. Tvrzení V reálném prostoru lze každou kvadratickou formu vytvořit pomocí jediné symetrické bilineární formy. Příklad 4. Kvadratická forma Q( x) = x x 1x 2 + 3x 1 x 3 + 2x 2 2 : R3 R může být vytvořena jednak (nesymetrickou) bilineární formou jednak symetrickou formou A N ( x, y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + 3x 1 y 3 + 2x 2 y 2, A S ( x, y) = x 1 y (x 1y 2 + x 2 y 1 ) (x 1y 3 + x 3 y 1 ) + 2x 2 y 2. Poznámka. Předchozím dvěma bilineárním formám A N resp. A S odpovídají příslušné dvě matice A N = 0 2 0, A S = Věta (o převedení na kanonický tvar). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru) V n (dim V n = n) se skalárním součinem existuje ortonormální báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že Q( x) = j α j 2, pro x = kde j R jsou určena jednoznačně až na pořadí. α j e (j), (11) Definice (Kanonický tvar). Kanonickým tvarem kvadratické formy Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. v reálném vektorovém prostoru) V n (dim V n = n) se skalárním součinem nazveme tvar Q( x) = j α j 2, pro x = kde { e (1),..., e (n) } ve V n je nějaká báze ve V n a j jsou nějaké skaláry. α j e (j), (12) Věta (Zákon setrvačnosti kvadratické formy). Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru) V n se skalárním součinem (dim V n = n) existuje (nikoli nutně ortonormální) báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že Q( x) = ρ j α j 2, pro x = α j e (j), (13) kde ρ j R jsou bud 0, 1 nebo 1, přičemž počet nul, jedniček a minus jedniček nezávisí na bázi, v níž má Q( x) tvar (13). Poznámka. Podle Tvrzení je matice A hermitovská (resp. ortogonální) (existuje unitární (resp. ortogonální) matice P taková, že P 1 AP je diagonální & všechna vlastní čísla A jsou reálná). Proces hledání kanonického tvaru kvadratické formy je tedy ekvivalentní procesu diagonalizace příslušné matice, která ji vytvořuje.

12 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 12 Cvičení (na závěr). Bud A M n n (R) reálná symetrická matice a Q( x) := (A x, x), x R n, odpovídající kvadratická forma. Najděte nejmenší a největší hodnotu této kvadratické formy na jednotkové sféře v R n. Pro jaké vektory se tyto hodnoty nabývají? Řešení. Jde o nalezení globálních extrémů funkce Q( x) na kompaktní množině S n := { x R n ; x 2 = 1}. Použitím metody Lagrangeových multiplikátorů zjistíme, že hledáme ty hodnoty x S n, pro které je (A x, x) ( x 2 1) = 0, x k x k k = 1,...,n. Tento systém rovnic je ekvivalentní vektorové rovnici A x = x (ukažte to podrobně). Hodnota Q( x) v takových vektorech je pak Q( x) = (A x, x) = ( x, x) = x 2 =. Rozmyslete si, že tedy platí: Reálná symetrická matice A M n n (R) má pouze reálná vlastní čísla. Kvadratická forma Q( x) := (A x, x) nabývá na jednotkové sféře největší hodnoty max, rovné největšímu vlastnímu číslu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu číslu odpovídá. Kvadratická forma Q( x) nabývá na jednotkové sféře nejmenší hodnoty min, rovné nejmenšímu vlastnímu číslu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu číslu odpovídá.