AVDAT Vektory a matice

Transkript

1 AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita

2 Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x T = [x 1,, x p ] Sčítání (odčítání) vektorů stejný rozměr Rovnost dvou vektorů rovnost v3ech odpovídajících prvků

3 Skalární součin, norma Specilelně x T x = p i=1 x i 2 x T y = y T x = p x i y i i=1 Norma vektoru je x = x T x = p i=1 x 2 i Kosinus směrového úhlu dvou vektorů je pak cos α = x T y x y Je-li cos α = 0, tj. x T y = 0, pak říkáme, že vektory jsou ortogonální.

4 Matice Matice typu (n p) (matice budeme označovat velkými tučnými písmeny): x 11 x 12 x 1p x 21 x 22 x 2p X = x n1 x n2 x np Matice A, B lze sčítat (a odčítat), pokud jsou stejného typu (n p). A + B = C Matice C je opět typu (n p) a pro její prvky platí c ij = a ij + b ij

5 Matice- násobení Matice A, B lze násobit, pokud jsou typu (n p) a (p m). AB = C Matice C je typu (n m) a pro její prvky platí c ij = p a ik b kj k=1 Stejné pravidlo užít i pro násobení matice vektorem. Pak např. soustavu lineárních rovnic můžeme zapsat jako Ay = b. Přesvědčte se, že opravdu je to rovnost dvou vektorů, každý o délce rovné počtu řádků matice A.

6 Matice transponování Transponovaná matice X T vznikne z matice X tak, že zaměníme řádky a sloupce x 11 x 21 x n1 X T x 12 x 22 x n2 = x 1p x 2p x np X T je typu (p n). Je zřejmé, že platí (X T ) T = X. Pro transponování platí následující pravidla: (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T

7 Matice - druhy, hodnost, inverzní matice Hodnost matice typu (m n) je h(c) min(m, n). Matice typu (n n) čtvercová matice řádu n. Symetrická matice je čtvercová matice, platí A T = A Diagonální matice je čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu rovny nule. Jednotková matice je diagonální matice s jedničkami na hlavní diagonále. Označujeme ji I nebo I n, je-li nutno zmínit její rozměr. Stopa matice je součet diagonálních prvků Tr(A) = n i=1 a ii. Determinant matice označujeme A nebo det(a). Je to skalár. můžeme jeho hodnotu chápat jako míru nevyváženosti matice. Když A je typu 2 2, pak A = a 11 a 22 a 12 a 21.

8 Matice regulární, inverzní Matice A řádu n je regulární, když A 0. Pak existuje inverzní matice A 1, pro kterou platí A 1 A = AA 1 = I Když matice A řádu n je regulární ( A 0), pak hodnost matice je h(a) = n.

9 Matice inverzní Dále platí, že (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = B 1 A 1 Je-li matice A řádu 2 regulární, pak inverzní matice A 1 je [ ] A 1 a = 22 / a 12 /, a 21 / a 11 / kde = a 11 a 22 a 12 a 21, tj. determinant matice A.

10 Matice kvadratická forma Kvadratická forma matice je skalár x T Ax = n n a ij x i x j, x 0 i=1 j=1 Kvadratická forma je určena maticí A. Matice B, pro kterou platí b ii = a ii a současně b ij + b ji = a ij + a ji určuje tutéž kvadratickou formu. Existuje však jediná symetrická matice dané kvadratické formy.

11 Matice vlastní čísla a vlastní vektory A je čtvercová matice řádu n. Pak vlastní číslo (charakteristické číslo, eigenvalue) je takový skalár λ, aby u 0 platilo: Au = λu, u je vlastní (charakteristický) vektor. Rovnost platí pro každý vektor cu, c 0. Normované vektory (s normou rovnou jedné), v = cu, c = 1/ u. Rovnost pak můžeme přepsat na tvar (A Iλ)v = 0 Protože v 0, musí platit, že determinant matice v závorkách A Iλ = 0 Tento determinant je polynom n-tého stupně, řešení je λ 1, λ 2,, λ n a každému vlastnímu číslu odpovídá vlastní vektor v i.

12 Matice vlastní čísla a vlastní vektory Když A je symetrická matice, pak všechna vlastní čísla jsou reálná a vlastní vektory jsou ortogonální. v T i v i = 1 v T i v i = 0 i = 1, 2,, n i j Když vlastní vektory uspořádáme do matice V = [v 1, v 2,, v n ], pak V je ortogonální matice, tj. platí V T = V 1 a V T V = I.

13 Matice vlastní čísla a vlastní vektory Matici A můžeme diagonalizovat: λ V T 0 λ 2 0 AV = L = λ n Pak stopa matice A je rovna součtu jejích vlastních čísel, Tr(A) = n i=1 λ i a determinant matice A je roven součinu jejích vlastních čísel, A = λ 1 λ 2 λ n.

14 Matice pozitivně definitní, pozitivně semidefinitní Jestliže C je ortogonální matice a y = Cx, pak y T y = x T x Symetrická matice A je pozitivně definitní, jestliže kvadratická forma x T Ax > 0 pro každý vektor x 0. Pozitivně definitní matice má všechna vlastní čísla kladná. Když x T Ax 0, pak A je pozitivně semidefinitní. Když B je matice typu (n m), s hodností m, pak B T B je pozitivně definitní.

15 Matice pozitivně definitní, pseudoinverzní Jestliže A je pozitivně definitní, pak existuje regulární matice P taková, že P T AP = I a P T P = A 1 Pseudoinverzní matice A : Když A je matice typu (m n), pak A je typu (n m) a platí AA A = A A vždy existuje, ale není jednoznačně určena.

16 Derivace skalárního výrazu podle vektoru Je-li y = f (x 1, x 2,..., x n ), potom y x = y/ x 1 y/ x 2. y/ x n Derivace skalárního výrazu podle vektoru je vektor parciálních derivací.

17 Derivace skalárního výrazu podle vektoru Příklad: Vidíme, že a T x x = a T x/ x 1 a T x/ x 2. a T x/ x n a T x x = = xt a x = a. a 1 a 2. a n = a