10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

Transkript

1 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace Aritmetický vektorový prostor Matice Lineární závislost a nezávislost Hodnost matice, matice v Gaussově tvaru Gaussova eliminace Řešitelnost soustavy, tvar řešení 4 2. Homogenní soustavy Nehomogenní soustavy Determinanty, Cramerovo pravidlo 3. Výpočet determinantu řádu, 2 a Cramerovo pravidlo Základní pojmy. Motivace Uvažujme soustavu lineárních rovnic: x + 2y z = 2x + 5y = 9 3x + y 2z =. () Vyřešit soustavu () znamená najít čísla x, y, z, která vyhovují všem třem rovnicím této soustavy. Všechny rovnice v soustavě jsou ve tvaru, kdy stejné neznámé jsou zapsány pod sebou. Soustavu můžeme zapsat do matice: (2)

2 Zápisu (2) říkáme maticový zápis soustavy (), příslušné tabulce čísel, která reprezentuje tento zápis říkáme matice (přesněji, rozšířená matice soustavy ()). Dále si všimněme, že soustavu () je možné zapsat také pomocí lineární kombinace aritmetických vektorů, tj. jako rovnici x y z Aritmetický vektorový prostor = Uspořádané n-tice reálných čísel (např. řádky nebo sloupce matice) můžeme násobit reálným číslem a můžeme je sčítat. Definice (Aritmetický vektorový prostor). Symbolem V n, n N, budeme značit aritmetický vektorový prostor, který je tvořen uspořádanými n-ticemi reálných čísel, tj. V n = {(a,..., a n ) a,..., a n R}. Prvky prostoru V n se nazývají vektory. Definujeme součet vektorů a (reálný) násobek vektoru (po složkách): součet vektorů (a,..., a n ) + (b,..., b n ) = (a + b,..., a n + b n ), násobek vektoru r (a,..., a n ) = (r a,..., r a n ). Vektory budeme značit malými tučnými písmeny, např. a, b. Vektor o = (0,..., 0) se nazývá nulový vektor a vektor a = ( a,..., a n ) se nazývá opačný vektor k vektoru a = (a,..., a n )..3 Matice Definice 2. Maticí A typu (m, n) nazveme soubor mn reálných čísel zapsaných do m řádků a n sloupců ve tvaru a a 2... a n A = ( ) m n a ij = a 2 a a 2n i=, j=..... a m a m2... a mn Vektory a = (a,..., a n ), a 2 = (a 2,..., a 2n ),..., a m = (a m,..., a mn ) z aritmetického vektorového prostoru V n se nazývají řádkové vektory (stručněji řádky) matice A, vektory ã = (a,..., a m ),..., ã n = (a n,..., a mn ) z aritmetického vektorového prostoru V m se nazývají sloupcové vektory (stručněji sloupce) matice A. Matice O, která obsahuje pouze nuly, tj. a ij = 0 pro i =,..., m, j =,..., n, se nazývá nulová matice Lineární závislost a nezávislost Definice 3. Řekneme, že vektory u,..., u k jsou lineárně nezávislé, platí následující podmínka: jestliže kdykoliv r u + + r k u k = o, potom r = r 2 = = r k = 0 2

3 (tj. nulový vektor o je lineární kombinací vektorů u,..., u k s koeficienty r,..., r k, jen pro r,..., r k nulové). Vektory, které nejsou lineárně nezávislé, se nazývají lineárně závislé. Jeden vektor u je lineárně závislý právě tehdy, když je nu- Poznámka 4. lový. Dva vektory u, v jsou lineárně závislé, právě když je jeden z nich násobkem druhého. Je-li jeden z vektorů u,..., u k možno vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, potom jsou tyto vektory lineárně závislé. Definice 5. Matice B je ekvivalentní matici A, tj. A B, jestliže B získáme z B provedením následujících elementárních úprav na řádky matice A: (a) záměna pořadí řádků; (b) vynásobení některého řádku matice nenulovým reálným číslem; (c) přičtení libovolného násobku některého řádku matice k jinému řádku matice; (d) vynechání nulového řádku matice, pokud tento není jediným řádkem matice; (e) za předpokladu, že matice obsahuje dva řádky, z nichž jeden je nenulovým násobkem druhého, vynechání jednoho z těchto řádků (kteréhokoliv)..5 Hodnost matice, matice v Gaussově tvaru Definice. Hodnost matice A je celé nezáporné číslo h(a), které je této matici přiřazeno takto: Hodnost nulové matice je nula, tj. h(o) = 0. Pro nenulovou A je h(a) = k, jestliže matice A obsahuje k lineárně nezávislých řádků a každá skupina jejích (k + ) řádků je lineárně závislá. Věta 7. Má-li matice A všechny řádky lineárně nezávislé, potom je její hodnost rovna počtu řádků. Věta 8. Jsou-li A, B ekvivalentní matice, pak mají stejnou hodnost. Definice 9 (Gaussův tvar matice). Řekneme, že nenulová matice B je v Gaussově tvaru, jestliže první nenulové číslo jejího každého řádku (uvažováno zleva doprava) je zároveň posledním nenulovým číslem v příslušném sloupci (uvažováno shora dolů). Příklad 0. Pro názornost uveďme dvě matice, které jsou v Gaussově tvaru,

4 Na druhé straně, matice není v Gaussově tvaru Věta. Každá matice v Gaussově tvaru má lineárně nezávislé řádky. Důsledek 2. Je-li B matice v Gaussově tvaru, potom je její hodnost h(b) rovna počtu jejích řádků. Věta 3. Ke každé nenulové matici A existuje matice B v Gaussově tvaru taková, že A B. K dané matici A můžeme najít více matic B v Gaussově tvaru s ní ekvivalentních, všechny takové matice B však mají stejný počet řádků. Důsledek 4. Hodnost nenulové matice A je rovna počtu řádků matice B v Gaussově tvaru takové, že A B.. Gaussova eliminace Gaussova eliminační metoda spočívá ve vhodném používání elementárních úprav (a) (e) na řádky výchozí matice A. Stručně řečeno, nejdříve pomocí úpravy (a) zařídíme, aby prvek v levém horním rohu matice (tím rozumíme prvek matice v prvním řádku, uvažováno shora dolů, a v prvním nenulovém sloupci, uvažováno zleva doprava) byl nenulový (je výhodné, když toto číslo je nebo ). Pak přičítáním vhodných násobků horního řádku k řádkům pod ním (úprava (c)) zařídíme, aby pod tímto prvkem byly v příslušném sloupci nuly. V dalším kroku vynecháme v matici nulové řádky a řádky, které jsou násobky řádků nad nimi (úpravy (d) a (e)). V případě, že nejsme ještě hotovi, tj. když výsledná matice ještě není v Gaussově tvaru, celý postup zopakujeme s tím, že nyní pokračujeme o řádek níže. Jelikož výchozí matice měla konečný počet řádků, musíme po konečném počtu kroků získat výslednou matici v Gaussově tvaru. 2 Řešitelnost soustavy, tvar řešení Definice 5. Soustavu lineárních rovnic a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m, (3) kde a ij, b i, i =,..., m, j =,..., n, jsou daná reálná čísla, nazveme homogenní, pokud b = = b m = 0. Je-li aspoň jedno z čísel b,..., b m nenulové, nazveme danou soustavu nehomogenní. Vektor x V n, x = (x,..., x n ), jehož složky x,..., x n vyhovují všem rovnicím soustavy, nazveme řešením soustavy. 4

5 Definice. Matice a a 2... a n a 2 a a 2n A =.... a m a m2... a mn se nazývá matice soustavy (3). Matice a a 2... a n b ( ) a 2 a a 2n b 2 A b =..... a m a m2... a mn b m s přidaným sloupcem pravých stran k matici A se nazývá rozšířená matice soustavy (3). 2. Homogenní soustavy a x + a 2 x a n x n = 0 a 2 x + a 22 x a 2n x n = a m x + a m2 x a mn x n = 0 (4) Pro homogenní soustavu (4) platí: Nulový vektor x = (x,..., x n ) = (0,..., 0) je vždy řešením homogenní soustavy. Je-li h(a) = n, tj. hodnost matice soustavy je rovna počtu neznámých, (jeli m = n, pak A se nazývá regulární) a nulový vektor je jediným řešením homogenní soustavy. Je-li h(a) < n, tj. hodnost matice soustavy je menší než počet neznámých, pak řešení x je nekonečně mnoho, každé lze vyjádřit jako lineární kombinaci n h(a) lineárně nezávislých řešení. 2.2 Nehomogenní soustavy Věta 7 (Frobeniova věta). Nehomogenní soustava lineárních rovnic (3) je řešitelná právě tehdy, když h(a) = h ( (A b) ), tj. hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy. Tvar řešení nehomogenní soustavy. Je-li soustava (3) řešitelná, pak všechna její řešení jsou tvaru x = u + v, kde u je jedno (kterékoliv) řešení soustavy (3) a v je libovolné řešení příslušné homogenní soustavy (4). 5

6 3 Determinanty, Cramerovo pravidlo Ke každé čtvercové matici je možné přiřadit jisté reálné číslo, které nazveme determinantem této matice. Definice 8. Je-li A matice řádu n, definujeme její determinant následujícím způsobem a a 2... a n a 2 a a 2n det A =..... = ( ) kπ a. π() a 2π(2)... a nπ(n). π Πn a n a n2... a nn Symbolem Π n značíme množinu všech permutací množiny {, 2,..., n}. Pro π Π n je k π počet všech inverzí permutace π. 3. Výpočet determinantu řádu, 2 a 3. Pro n = je det(a) = a. 2. Pro n = 2 máme a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2 (tj. součin prvků na hlavní diagonále minus součin prvků na vedlejší diagonále). 3. Pro n = 3 lze použít tzv. Sarrusovo pravidlo: a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33. Pozor!!! Žádné podobné pravidlo neplatí pro n Cramerovo pravidlo Uvažujme soustavu n lineárních rovnic o n neznámých a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a n x + a n2 x a nn x n = b n (5) s regulární maticí soustavy A. Nechť A (j) značí matici, která vznikne z matice soustavy A nahrazením jejího j-tého sloupce, j {,..., n}, sloupcem b

7 pravých stran, tj. a... b... a n a 2... b 2... a 2n A (j) = a n... b n... a nn Potom pro vektor x = (x, x 2,..., x n ) řešení soustavy (5) platí x j = det A (j), j =, 2,..., n. det A 7