Kapitola 11: Vektory a matice:

Transkript

1 Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i grafická reprezentace vektorů pro n = 2, 3 Operace na vektorech Definice: Necht a = (a 1,, a n ), b = (b 1,, b n ) R n, α R součtem vektorů a a b je vektor α-násobek vektoru a je vektor a + b = (a 1 + b 1,, a n + b n ) R n α a = (α a 1,, α a n ) R n Věta: a, b R n α, β R: (i) a + b = b + a (ii) ( a + b) + c = a + ( b + c) (iii) α ( a + b) = α a + α b (iv) (α + β) a = α a + β a (v) (α β) a = α (β a) 1

2 Lineární kombinace vektorů Definice: Necht a 1, a 2,, a k R n a necht α 1, α 2,, α k R Vektor a = α 1 a 1 + α 2 a α k a k = k α i a i nazýváme lineární kombinací vektorů a 1,, a k a čísla α 1,, α k koeficienty této lineární kombinace Jsou-li všechna α i = 0, i = 1,, n, nazýváme lineární kombinaci triviální Ta je vždy rovna nulovému vektoru o = (0,, 0) Je-li alespoň jedno α i 0, nazýváme lineární kombinaci netriviální Lineární nezávislost vektorů (1) Definice: Systém vektorů a 1,, a k R n nazýváme lineárně nezávislým (LN), jestliže pouze triviální lineární kombinace těchto vektorů je rovna o Systém vektorů a 1,, a k R n nazýváme lineárně závislým (LZ), jestliže není LN, tj existuje alespoň jedna netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna o Platí: Systém vektorů a 1,, a k R n je LN právě tehdy, když k α i a i = o α 1 = = α k = 0 Lineární nezávislost vektorů (2) Poznámka: Systém vektorů a 1,, a k R n je LN žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektorů Ekvivalentně: Systém a 1,, a k R n je LZ některý z vektorů je lineární kombinací ostatních vektorů Věta: Následující úpravy nemění LZ/LN systému vektorů a 1,, a k R n : vynásobení některého vektoru a i nenulovým číslem přičtení nějakého vektoru a i k nějakému jinému vektoru a j Důsledek: a 1,, a k R n jsou LN a 1 + k α i a i, a 2,, a k R n jsou LN 2

3 Matice A = (a ij ),,m = j=1,,n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Rm n a m1 a m2 a mn A - matice typu (m, n) i - řádkový index, (a i1,, a in ) R n j - sloupcový index - řádkový vektor matice A (a 1j,, a mj ) T R m - sloupcový vektor matice A rovnost matic A = (a ij ),,m j=1,,n a B = (b ij ),,m : j=1,,n A = B i = 1,, m, j = 1,, n : a ij = b ij {a 11,, a kk }, k = min{m, n} - hlavní diagonála matice A matice typu (n, n) se nazývá čtvercová matice Operace s maticemi - sčítání, násobení číslem Definice: Je-li A = (a ij ), B = (b ij ) R m n a α R, pak součtem matic A a B je matice A + B = C = (c ij ) R m n s prvky c ij = a ij + b ij, i = 1,, m; j = 1,, n α - násobkem matice A je matice α A = C = (c ij ) R m n s prvky c ij = α a ij, i = 1,, m; j = 1,, n Věta: Necht A, B, C jsou libovolné matice typu (m, n) a necht α, β R, pak platí: (i) A + B = B + A 3

4 (ii) (A + B) + C = A + (B + C) (iii) α (A + B) = α A + α B (iv) (α + β) A = α A + β A (v) (α β) A = α (β A) Operace s maticemi - násobení (1) Připomenutí: Skalárním součinem vektorů a = (a 1,, a n ), b = (b 1,, b n ) R n rozumíme reálné číslo n a b = a 1 b a n b n = a i b i Definice: Je-li A = (a ij ) R m k a B = (b ij ) R k n, pak součinem matic A a B (v tomto pořadí) je matice A B = C = (c ij ) R m n s prvky k c ij = a i b j = a il b lj, kde a i je i-tý řádek matice A a b j je j-tý sloupec matice B Operace s maticemi - násobení (2) Věta: Pro operaci násobení matic platí (pokud mají uvedené operace smysl): (i) (A B) C = A (B C) (ii) A (B + C) = A B + A C (iii) (A + B) C = A C + B C (iv) α (A B) = (α A) B = A (α B) l=1 Definice: Čtvercová matice řádu n, tj matice typu (n, n), která má na hlavní diagonále samé 1 a ostatní prvky jsou rovny 0, se nazývá jednotková matice a značí se E (nebo E n ) Platí: Je-li A matice typu (m, n), pak E m A = A, A E n = A 4

5 Operace s maticemi - transponování Definice: Je-li A = (a ij ) R m n, pak transponovanou maticí k matici A rozumíme matici A T = (b ji ) R n m, kde i = 1,, m, j = 1,, n : b ji = a ij Poznámka: j-tý řádek matice A T je j-tý sloupec matice A, i-tý sloupec matice A T je i-tý řádek matice A Věta: Pro operaci transponování platí (pokud mají uvedené operace smysl): (i) (A + B) T = A T + B T (ii) (α A) T = α A T (iii) (A B) T = B T A T (iv) (A T ) T = A Definice: Čtvercovou matici A, pro kterou platí A = A T, nazýváme symetrickou maticí Determinanty (1) Definice: Determinantem čtvercové matice A = [a ], a R řádu 1 rozumíme číslo det A = a Necht A = (a ij ) je čtvercová matice řádu n Označme symbolem M ij, i, j = 1,, n, determinant čtvercové matice řádu (n 1), která vznikne vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce z matice A Zvolme k N, 1 k n, potom determinantem matice A rozumíme číslo det A = ( 1) k+1 a k1 M k1 + + ( 1) k+n a kn M kn n = ( 1) k+j a kj M kj j=1 M ij - minor (n 1)-ho řádu k prvku a ij matice A A ij := ( 1) i+j M ij - algebraický doplňek prvku a ij det A = n j=1 a kj A kj - rozvoj determinantu matice A podle k-tého řádku 5

6 Determinanty (2) Tvrzení: (i) Hodnota determinantu nezávisí na volbě řádku, podle kterého determinant rozvíjíme (ii) Podobně lze udělat rozvoj podle k-tého sloupce n det A = a ik A ik a hodnota determinantu se také nezmění Věta: Necht A je čtvercová matice Pak det A = det A T Věta: [ ] a11 a (i) det 12 = a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 22 (ii) Sarrusovo pravidlo det Determinanty (3) Věta: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31 a32 a 23 a 11 a 21 a 12 a 33 (i) Determinant matice A se nezmění, přičteme-li k řádku (sloupci) matice A libovolný násobek jiného řádku (sloupce) matice A (ii) Vznikne-li matice B z matice A vynásobením jejího řádku (sloupce) číslem α, platí det B = α det A (iii) Vznikne-li matice B z matice A zaměněním dvou řádků (sloupců) matice A, platí det B = det A 6

7 Determinanty (4) Věta: Je-li A = (a ij ) čtvercová HT-matice řádu n, je det A = a 11 a 22 a nn = n a ii Definice: Říkáme, že čtvercová matice A je regulární, jestliže det A 0 V opačném případě, det A = 0, se matice A nazývá singulární Věta: Je-li A čtvercová matice řádu n, pak det A 0 h(a) = n Věta: Jsou-li A a B čtvercové matice řádu n, pak platí det A B = det A det B 7