Vedení tepla KATEDRA EXPERIMENTÁLNÍ FYZIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO V OLOMOUCI

Transkript

1 KATEDRA EXPERIMENTÁLNÍ FYZIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO V OLOMOUCI Fyzikální praktikum z molekulové fyziky a termodynamiky Vedení tepla

2 Úvod V nerovnovážném stavu, kdy na soustavu působí vnější vlivy(silová pole, velký přísun energie apod.) se některé parametry soustavy liší od rovnovážných hodnot. Z hlediska molekulární struktury mohou molekuly soustavy vlivem chaotického pohybu pronikat z jednoho místa soustavy na jiné, přičemž přenášejí hmotnost, energii, hybnost a soustava má tendenci přejít opět do rovnovážného stavu. Působí-li vnější vlivy na soustavu nepřetržitě, pak se soustava stále nachází v nerovnovážném stavu a dochází ke stálému přenosu energie a dalších veličin. Tyto děje řadíme mezi transportní děje. Patří sem transport tepla jako míry energie, kterou při tepelné výměně odevzdá teplejší soustava soustavě chladnější. Zde rozlišujeme tyto způsoby transportu: Vedení(kondukce) dochází k výměně mezi sousedními částicemi soustavy(látky) vlivem jejich chaotického pohybu. Poloha částic se při tom nemění, nejde o přenos hmotnosti. Vedením se může teplo šířit v látkách všech skupenství. Proudění(konvekce) poloha částic se mění ve větším měřítku, částice s sebou unášejí energii, ale samy se také přemísťují jde zde současně o přenos energie i hmotnosti. Prouděním se teplo může šířit pouze v tekutinách, tj. v kapalinách a plynech. Záření(radiace) energie je přenášena prostřednictvím elektromagnetických vln, které sešířítakévevakuu.jejichpřeměnavteplonastáváteprvepřiabsorpcivlátkovém prostředí, při interakci elektromagnetických vln s látkou. Dále mezi transportní jevy řadíme přenos koncentrace, kdy molekuly látky difundují z prostředí o vyšší koncentraci na místo o nižší koncentraci. Tento samovolný transport látky se nazývá difúze. Vedení tepla Ze zkušeností víme, že zahříváním některé látky na jednom místě se teplo šíří do ostatních míst látky. Proces lze vysvětlit tepelným pohybem molekul(atomů) látky, které si navzájem předávají energii. V tomto případě jde o transport energie. Ustálené vedení tepla Uvažujme v souřadnicovém systému látku(v libovolném skupenství) a v ní dvě myšlené rovnoběžné roviny A, B vzdálené od sebe o l, které mají trvale rozdílné teploty, tedy jejich teplotní rozdíl je stálý T= T 2 T 1 >0=konst. Obrázek 1: Model vedení tepla 1

3 Následkem pohybů molekul přichází neustále energie z hladiny o vyšší teplotě na hladinu onižšíteplotě,docházíkpřenosuteplavesměruosy y,aniždocházíkpřenosuhmotnosti. Zvolíme-lihladinu Cmezihladinami AaBavníplošku S,pakpřenesenéteplobude přímo úměrné velikosti S, rozdílu teplot T a času t a nepřímo úměrné vzdálenosti hladin l. Matematicky to lze vyjádřit vztahem Q= λ T 2 T 1 S t, (1) l kde λ je koeficient tepelné vodivosti. Znaménko mínus zde vyjadřuje fakt, že transport tepla se děje v opačném směru, než vzrůst teploty. Rovnici(1) je možné psát v diferenciálním tvaru kde dt dl je teplotní gradient. dq= λ dt dsdt, (2) dl Zavádíme dále pojem tepelný tok φ, který je definovám vztahem φ= dq dt = λdt ds. (3) dl Velmi často užíváme pojmu hustota tepelného toku q, který chápeme jako teplo prošlé ploškoudszadobudt,tedy q= dq dsdt =dφ ds = λdt dl. (4) Uvažujeme-li přenos tepla jednotkovou plochou za jednotku času a zavedeme-li teplotní grafient dt dy vyjadřujícívzrůstteplotyvelementárnímintervaludy,pakpodle(4)je q= λ dt dy. (5) Rovniceudáváhustotutepelnéhotoku qvdanémmístěprostorumeziteplotami T 2 a T 1 při vzrůstu teploty ve směru kladné osy y. Vztah(5) je možné zobecnit, uvažujeme-li prostor, kde dochází k přenosu tepla všemi směry, teplotní pole je pak funkcí tří souřadnic, tedy T= T(x,y,z). Pro hustoty tepelných toků v jednotlivých směrech souřadnic máme q x = λ T x, q y= λ T y, q z= λ T z. (6) Rovnice(6) jsou složkovými rovnicemi celkové hustoty tepelného toku, kterou dostaneme postupným vynásobením rovnic z(6) jednotkovými vektory a sečtením [ q(x,y,z)=iq x +jq y +kq z = λ i T ] x +j T y +k T, z nebo-li q= λgradt= λ T. Pro formální zápis gradientu se používá operátor nabla : T=gradT. Neustálené vedení tepla Při neustáleném vedení tepla dochází ke změně teplot v jednotlivých částech tělesa. Uvažujme stejný systém jako v případě ustáleného proudění. Je zřejmé, že hustota tepelného toku nebude v látce při neustáleném vedení tepla stejná. 2

4 Částtepla Q 2,kterédovrstvy Avstoupí,sespotřebujenaohřátíceléhoobjemulátky,podle (4)platí Q 2 = q 2 S t,teplo Q 1 < Q 2 vystoupízastejnýčas tzvrstvy Bvesměrušíření tepla,analogickydostáváme Q 1 = q 1 S t. Teplotalátkysezvýšíoteplo,kteréjerozdílemtepel Q 2 a Q 1 Q 2 Q 1 =(q 2 q 1 )S t= qs t. Pokudjeměrnátepelnákapacitalátky cajejíhmotnost m=ρs l,kde ρjejejíhustota, dostáváme Q 2 Q 1 = mc T= cρs l T. Po porovnání obou předchozích vztahů je zřejmé, že q t=cρ l T. (7) Derivací vztahu(5) podle vertikální souřadnice dostáváme Zlomek λ ρc reprezentuje teplotní vodivost. Tato veličina ukazuje, jak látka vede teplo, resp.jaksnadnosevní vyrovnávají teplotní rozdíly. q y = T λ 2 y2, (8) po dosazení(7) do(8) a matematických úpravách máme T t = λ 2 T ρc y2, (9) což reprezentuje Fourierovu rovnici pro nestacionární vedení tepla. Rovnice(9) představuje jednorozměrnou diferenciální rovnici, kterou je možné zobecnit na vícerozměrný případ T t λ ρc 2 T= T t λ ρc T=0. Omezíme-li se na případ stacionárního proudění(celkový tepelný tok vstupující do vrstvy je roven toku, který vrstvu opouští), platí Definice Laplaceova operátoru zapsaná pomocí operátoru nabla : = 2 =. T t =0, proto rovnice(9) přejde na tvar 2 T y 2 =0. Přímou integrací dostáváme řešení této diferenciální rovnice ve tvaru T = Ay+B, s uvážením okrajovýchpodmínek T 1 = Ba T 2 = A l+bpro Aplatí A= T2 T1 l, odkud pro teplotu T(y)máme T= T(y)= T 2 T 1 y+t 1. (10) l 3

5 1 Teplotní gradient Na základě vztahu(2), ve kterém figuruje teplotní gradient, je možné s využitím vhodné aparatury určit jeho hodnotu pro vodivostní tyče z různých materiálů. Jelikož platí, že gradt= dt dl, můžemevnašempřípaděprotyčskotvorypsát gradt= T k T 1, (11) l kde T k jeměřenáteplotavk-témotvorutyčealvzdálenostdvouměřícíchotvorů,tedy T k T Pomůcky Dva kalorimetry, vodivá tyč s otvory pro odečítání teploty, laboratorní stojan s úchyty, magnetická míchačka s míchátkem, teploměr. 1.2 Postup měření Jelikož se při měření využívají kalorimetry, je nezbytné určit tepelnou kapacitu spodního kalorimetru K(viz úloha Kalorimetrická měření). Vybranou tyč změříme určíme kolmý průřez(!) tyče S, dále vzájemné vzdálenosti středůměřícíchotvorů y 1,...,y k 1. Sestavíme aparaturu podle obrázku. Na podstavec laboratorního stojanu umístíme magnetickou míchačku, na kterou položíme spodní kalorimetr. Ke stojanu připevníme tyč s otvory. Na vrchní konec tyče nasadíme další kalorimetr(podstava kalorimetru obsahuje hrot pro zachycení na tyč). Po skončení měření nezapomeneme nachystat led pro další skupiny! Obrázek 2: Aparatura pro sestavení experimentu 4

6 Spodní kalorimetr částečně naplníme vodou a přidáme k ní led, udržujeme teplotu ve spodnímkalorimetruna0 C.Lázeňneustálepomocímagnetickémíchačkyamíchátka promícháváme, doplňujeme led. V horním kalorimetru naopak udržujeme teplotu lázně na bodu varu, využíváme k tomu ponornou spirálu. Je nezbytné dbát na to, aby během celého měření byla spirála ponořena ve vodě, v opačném případě dojde k jejímu nevratnému poškození! Od počátku varu v horním kalorimetru vyčkáme přibližně 5 minut, poté měříme teploty tyče v jednotlivých otvorech. Vyneseme-li závislost T(y), měřené body by měly ležet přibližně na jedné přímce byl dosažen stacionární stav(ustálené proudění tepla). V opačném případě je vedení tepla nestacionární, je proto nutné provést měření teplot znovu! Během měření se voda v horním kalorimetru rychle vypařuje. Je proto nutné po celou dobu kontrolovat ponoření spirály! Naměřené hodnoty zapíšeme do tabulky, výsledky měření porovnáme s rovnicí(10) a v závěru diskutujeme. materiál T y gradt= Tn Tn 1 y n 1 τ= Tn Tn 1 y n 1 Tn Tn 1 y n 1 δ(τ) n [K] 10 2 [m] 10 2 [ K m 1] 10 2 [ K m 1] [%] y 1... k y k 1 y gradt τ δ(τ) Tabulka1:Ukázkatabulkyprozápisdatzkměřícíchbodůtyče 5

7 2 Koeficient teplotní vodivosti Koeficientem úměrnosti mezi tepelným tokem φ a teplotním gradientem, je kromě průřezu tyče S i koeficient tepelné vodivosti λ. Je zřejmé, že jeho velikost bude ovlivněna materiálem, ze kterého je tyč vyrobena. Chceme-li určit velikost toku tepla, který prochází kolmým průřezem tyče pomocí odměřeného zvýšení teploty ve spodním kalorimetru za dobu t, je možné využít vztahu φ= Q t =(mc+k) T, (12) t kde mjehmotnostvodyvespodnímkalorimetruotepelnékapacitě Ka cměrnátepelná kapacita vody. Koeficient tepelné vodivosti s přihlédnutím ke(3) a(12) bude λ= Q t SgradT = φ SgradT. (13) 2.1 Pomůcky Dva kalorimetry, vodivá tyč s otvory pro odečítání teploty, laboratorní stojan s úchyty, magnetická míchačka s míchátkem, teploměr. 2.2 Postup měření Vyjmeme kousky ledu ze spodního kalorimetru po předchozím měření a určíme hmotnost vody m. Měříme zvýšení teploty vody T za pevně zvolený časový interval t(např. 3 minuty). Provedeme alespoň sedm odečtů teploty. Naměřené hodnoty zapíšeme do tabulky, poté z nich vypočteme tepelný tok tyčí podle vztahu(12). materiál T n = T n T n 1 n [K] N φ [ ] J s 1 =[W] φ φ φ δ(φ) [ ] J s 1 =[W] [%] δ(φ) Tabulka 2: Ukázka tabulky pro zápis dat při opakovaných N měření Určíme koeficient tepelné vodivosti λ podle(13), tedy λ= φ SgradT. Odvodíme jednotku koeficientu λ a vypočtenou hodnotu porovnáme s tabelovanou hodnotou pro daný materiál. Výsledky měření diskutujeme v závěru. 6

8 3 Příkladykúloze 1. Dokalorimetrudámevoduoznáméhmotnosti m 1 ateplotě t 1 apřilijemeknívodu ohmotnosti m 2 ateplotě t 2.Promíchámeobsahkalorimetru,počkáme,ažseteplota ustálí a odečteme výslednou teplotu t. Kalorimetrickou rovnici pro tento případ zapíšeme ve tvaru: m 1 c(t t 1 )+K(t t 1 )=m 2 c(t 2 t); m 1 c(t t 1 )=m 2 c(t 2 t)+k(t t 1 ); m 2 c(t t 1 )+K(t t 1 )=m 1 c(t 2 t); m 2 c(t t 1 )=m 1 c(t 2 t)+k(t t 1 ), kde c značí měrnou tepelnou kapacitu nalité vody a K tepelnou kapacitu kalorimetru. 2. Ustálené vedení tepla lze demonstrovat například na tyči délky l, jejíž jeden konec je udržovánnateplotě t 1 adruhýnateplotě t 2.Teplotnírozdíl t 2 t 1 (zapředpokl. t 2 > t 1 ) je stálý, teplota klesá rovnoměrně od teplejšího konce k chladnějšímu. Podíl označujeme jako: hustotu tepelného toku; teplotníspád; tepelnýtok; měrný odpor vrstvy. t 2 t 1 l 3. Vedenítepla Qvtyčiokolmémprůřezu Soznačujemejako: vyzařování; sálání; absorpci; kondukci. 4. Určete jednotku koeficientu tepelné vodivosti λ, je-li definován: λ= kde φznačítepelnýtok, Skolmýprůřeztyče. W m 1 K 1 ; W m K 1 ; J m 1 K; J m K 1. φ SgradT, 5. Definujeme-litepelnýtok φ = dq dτ,kde τ jedobaprostuputepla Q,budejednotkou tepelného toku: J; W; J s; J s 2. 7