Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
|
|
- Emilie Doležalová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení, které je zároveň prosté a na množinu. Afinita má stejné analytické vyjádření jako obecné afinní zobrazení, viz (9), (10) nebo (11). Vzhledem k tomu, že se jedná o vzájemně jednoznačné zobrazení, je akorát matice afinity čtvercová a regulární. Afinitu tak lze zapsat maticovou rovnicí X = A X + B, (17) kde A je regulární čtvercová matice n tého řádu a X, B a X jsou matice typu (n, 1). Jako příklady si uveďme afinity prostorů A 2 a A 3. Každé afinní zobrazení f afinní roviny A 2 do sebe je vzhledem k libovolně zvolené lineární soustavě souřadnic dáno rovnicemi: f : x = a 11 x + a 12 y + b 1 y = a 21 x + a 22 y + b 2, (18) které můžeme zapsat jednou maticovou rovnicí ve tvaru [ ] [ ] [ ] [ ] x a11 a f : y = 12 x b1 +. (19) a 21 a 22 y b 2 Každé afinní zobrazení f v prostoru A 3 můžeme zapsat soustavou rovnic g : x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + b 1 x 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + b 2 x 3 = a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + b 3, (20) nebo jednou maticovou rovnicí g : x 1 x 2 = x 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 x 1 x 2 x 3 + b 1 b 2 b 3. (21) PŘÍKLAD 4.1. Zdůvodněte, proč ze skutečnosti, že afinita je vzájemně jednoznačným zobrazením, vyplývá, že její matice je regulární. 22
2 4.1 Afinita v rovině Budeme uvažovat speciální případ afinního zobrazení, kdy prostory A n a A m splynou. Půjde nám tak o vzájemně jednoznačné zobrazení prostoru A n (v našem případě E 2 ) na sebe. Definice 15. Vzájemně jednoznačné afinní zobrazení afinního prostoru E 2 na sebe nazýváme afinitou prostoru E 2 nebo afinní transformací prostoru E 2. Poznámka. Množina afinit v rovině spolu s operací skládání geometrických zobrazení tvoří grupu, tzv. afinní grupu roviny. Obecné formulaci této skutečnosti je věnována věta 9 na str Rovnice afinity v rovině Každé afinní zobrazení f vroviněe 2, které bodu X =[x, y] přiřazuje obraz X = [x,y ], je možné zapsat rovnicemi f : x = a 11 x + a 12 y + b 1 y = a 21 x + a 22 y + b 2 (22) a naopak, každé zobrazení v rovině, které je dáno soustavou rovnic (22), je afinitou v rovině. Soustavu (22) můžeme zapsat také pomocí matic [ x 1 x 2 ] [ a11 a = 12 a 21 a 22 ] [ x1 x 2 ] + [ b1 b 2 ]. (23) Potom řekneme, že afinitou je každé zobrazení, které lze zapsat maticovou rovnicí [ x kde X = 1 x 2 ] [ x1,x= x 2 X = A X + B, ] [ ] a11 a,a= 12 a B = a 21 a 22 [ b1 b 2 ]. Odvodíme si výše uvedené analytické vyjádření (22) afinního zobrazení f roviny na sebe (zkráceně afinity v rovině). Základní myšlenka tohoto odvození je ilustrována Obr. 12. V rovině A 2 máme dvě afinní soustavy souřadnic (repéry), soustavu vzorů α = {P ; e 1, e 2 } (je určena počátkem P abází{ e 1, e 2 } vektorového zaměření prostoru A 2 ) a soustavu obrazů ω = {Q; d 1, d 2 } (určena počátkem Q abází{ d 1, d 2 } vektorového zaměření prostoru A 2 ). Přitom repér {P ; e 1, e 2 } se působením uvažované 23
3 afinity f zobrazí na repér {f(p ); ϕ( e 1 ),ϕ( e 2 )}, kde ϕ homomorfismus (lineární zobrazení) asociovaný k f. Obrazem bodu X =[x 1,x 2 ]jebodf(x) =X =[x 1,x 2]. Vztah mezi souřadnicemi f(x) ax najdeme tak, že bod f(x) vyjádříme vzhledem k oběma repérům {Q; d 1, d 2 } a {f(p ); ϕ( e 1 ),ϕ( e 2 )} (viz Obr. 12) a tato vyjádření porovnáme. Obrázek 12: Zobrazení bodu X v afinitě f vrovině Nechť f je afinní zobrazení prostoru A 2 na sebe a ϕ je homomorfismus asociovaný k f. Potom obrazy ϕ( e 1 ),ϕ( e 2 ) vektorů báze { e 1, e 2 } můžeme vyjádřit rovnicemi ϕ( e 1 )=a 11d1 + a 21d2, (24) ϕ( e 2 )=a 12d1 + a 22d2, (25) kde koeficienty a ij jsou souřadnice vektorů ϕ( e 1 ),ϕ( e 2 ) vzhledem k bázi { d 1, d 2 } a pro obraz f(p ) počátku P repéru α můžeme psát kde [b 1,b 2 ] jsou jeho souřadnice vzhledem k repéru ω. f(p )=Q + b 1 d1 + b 2 d2, (26) Nyní určíme vztah mezi souřadnicemi libovolného bodu X A 2 ajehoobrazu X = f(x) A 2. Nejprve každý z těchto bodů zapíšeme v příslušném repéru, bod X v repéru α, bodf(x) pak v repéru ω, X = P + x 1 e 1 + x 2 e 2, (27) f(x) =Q + x 1 d 1 + x 2 d 2. (28) Potom, s využitím vlastností zobrazení f a ϕ, zapíšeme obraz bodu X ve tvaru f(x) =f(p + x 1 e 1 + x 2 e 2 )=f(p )+ϕ(x 1 e 1 + x 2 e 2 )=f(p )+x 1 ϕ( e 1 )+x 2 ϕ( e 2 ). 24
4 Po dosazení z (24), (25) a (26) dostáváme f(x) =Q + b 1 d1 + b 2 d2 + x 1 (a 11 d1 + a 21 d2 )+x 2 (a 12 d1 + a 22 d2 ). Po úpravě a porovnání koeficientů při d i s vyjádřením (28) dostáváme hledané rovnice afinity f vrovině f : x 1 = a 11x 1 + a 12 x 2 + b 1, x 2 = a 21x 1 + a 22 x 2 + b 2. (29) Nyní ještě určíme rovnice asociovaného zobrazení ϕ. Nechť vektor u V 2 se zobrazí do vektoru ϕ( u) V 2. Pro souřadnice vzoru u a obrazu ϕ( u) platí u = u 1 e 1 + u 2 e 2, (30) ϕ( u) = u 1d 1 + u 2d 2. (31) Na (30) aplikujeme zobrazení ϕ a upravíme dle (24) a (25). Dostaneme ϕ( u) =u 1 ϕ( e 1 )+u 2 ϕ( e 2 )=u 1 (a 11 d1 + a 21 d2 )+u 2 (a 12 d1 + a 22 d2 ). Po úpravě a srovnání s (31) dostaneme hledané rovnice asociovaného zobrazení ϕ: ϕ : u 1 = a 11u 1 + a 12 u 2, u 2 = a 21 u 1 + a 22 u 2. (32) Soustavu rovnic afinity v rovině (29) můžeme zapsat také pomocí matic, takto [ ] [ ] [ ] [ ] x 1 a11 a = 12 x1 b1 +, a 21 a 22 x 2 b 2 x 2 stručněji pak ve tvaru X = A X + B. 4.3 Věta o určenosti afinity v rovině Věta 3 (O určenosti afinity v rovině). Nechť K, L, M a K,L,M jsou dvě skupiny nekolineárních bodů v rovině. Pak existuje jediná afinita f této roviny, která body K, L, M zobrazuje v daném pořadí na body K,L,M. Důkaz. Využijeme (22). Afinita f musí být dána takovýmito rovnicemi. Ukážeme, že za podmínek uvedených ve větě je tato afinita určena jednoznačně, tj. existuje jediná šestice a 11,a 12,a 21,a 22,b 1,b 2, která tuto afinitu specifikuje. 25
5 Pro jednotlivé dvojice bodů vzor obraz dostaneme následující rovnice: K[k 1,k 2 ] K [k 1,k 2]: L[l 1,l 2 ] L [l 1,l 2]: M[m 1,m 2 ] M [m 1,m 2 ]: a 11 k 1 + a 12 k 2 + b 1 = k 1, (33) a 21 k 1 + a 22 k 2 + b 2 = k 2. (34) a 11 l 1 + a 12 l 2 + b 1 = l 1, (35) a 21 l 1 + a 22 l 2 + b 2 = l 2. (36) a 11 m 1 + a 12 m 2 + b 1 = m 1, (37) a 21 m 1 + a 22 m 2 + b 2 = m 2. (38) Pro známé souřadnice bodů K, L, M, K,L,M tak máme soustavu 6 rovnic o 6 neznámých a 11,a 12,a 21,a 22,b 1,b 2. Zajímá nás, za jakých podmínek má jediné řešení. Tyto podmínky by se měly shodovat s obsahem věty 3. Po detailním prozkoumání rovnic (33) (38) je patrné, že jejich soustava se dá rozdělit na dvě vzájemně nezávislé soustavy 3 rovnic o 3 neznámých: soustavu rovnic (33), (35) a (37) o neznámých a 11,a 12,b 1 a soustavu rovnic (34), (36) a (38) o neznámých a 21,a 22,b 2. Přitom první z těchto soustav má rozšířenou matici k 1 k 2 1 k 1 l 1 l 2 1 l 1 m 1 m 2 1 m 1, (39) druhá má potom rozšířenou matici k 1 k 2 1 k 2 l 1 l 2 1 l 2. (40) m 1 m 2 1 m 2 Soustavy se tedy shodují v matici soustavy (liší se pouze vektory pravých stran). Aby měly obě soustavy jediné řešení, musí být determinant této matice různý od nuly, tj. k 1 k 2 1 l 1 l 2 1 m 1 m (41) 26
6 Determinant v (41) snadno spočítáme eliminací jedniček na pozicích (2, 3) a (3, 3) postupným odečtením prvního řádku od druhého a třetího řádku a následným rozvojem takto upraveného determinantu podle třetího sloupce. Dostaneme tak podmínku l 1 k 1 l 2 k 2 m 1 k 1 m 2 k 2 0, (42) která je splněna právě tehdy, když jsou vektory L K a M K nezávislé, tj. body K, L, M neleží v přímce. Teď zbývá dokázat, že když body K, L, M neleží v přímce, ani body K,L,M nemohou ležet v přímce. Tentokrát využijeme maticovou rovnici afinity X = A X + B. Pro uvedené dvojice bodů platí: K = A K + B, (43) L = A L + B, (44) M = A M + B. (45) Důkaz provedeme sporem. Předpokládáme, že K, L, M neleží v přímce a zároveň body K,L,M leží v přímce. Potom existuje j R takové, že L K = j(m K ). Po dosazení z (43) (45) a vynásobení obou stran rovnice zleva maticí inverzní k A dostaneme L K = j(m K), což je spor s předpokladem nekolineárnosti bodů K, L, M. BodyK,L,M tedy také nemohou ležet v přímce. 4.4 Afinita prostoru A n Definice 16. Vzájemně jednoznačné afinní zobrazení afinního prostoru A n na sebe nazýváme afinitou prostoru A n nebo afinní transformací prostoru A n. Věta 4 (O určenosti). Nechť M 0,M 1,M 2,..., M n a M 0,M 1,M 2,..., M n jsou dvě skupiny (n+1) lineárně nezávislých bodů afinního prostoru A n. Pak existuje jediná afinita f prostoru A n, pro kterou f(m i )=M i, i =0, 1,..., n. Jestliže v uvedené větě určíme pomocí dvou jmenovaných skupin lineárně nezávislých bodů dvě afinní souřadnicové soustavy prostoru A, pak tyto soustavy určují příslušnou afinitu f uvažovaného prostoru. 27
7 Věta 5. Nechť v afinním bodovém prostoru A n jsou dány dvě afinní souřadnicové soustavy A n = {P ; e 1, e 2,..., e n }; A n = {Q; d 1, d 2,..., d n }. Pak existuje jediná afinita prostoru A n, pro kterou f(p )=Q a asociované zobrazení ϕ ϕ( e i )= d i, i =1, 2,..., n. 4.5 Rovnice afinity prostoru A n Afinitu prostoru A n chápeme jako speciální případ afinního zobrazení z A n do A m, kde m = n. Potom je tato afinita určena rovnicemi n x i = a ij x j + b i, i =1,..., n (46) j zobrazujícími bod X =(x 1,..., x n )dobodux =(x 1,..., x n). Zobrazení asociované n u i = a ij u j, i =1,..., n (47) zobrazuje vektor u(u 1,..., u n )do u (u 1,..., u n ). j PŘÍKLAD 4.2. UrčeteafinituvroviněA 2, ve které při dané soustavě souřadné se bod B =[0, 0] zobrazuje do bodu B =[1, 0], bod C =[1, 0] do bodu C =[0, 1] abod D =[0, 1] do bodu D =[0, 0]. 4.6 Modul afinity Protože afinita prostoru A n je zobrazení vzájemně jednoznačné, pro determinant afinity dané rovnicemi (46) platí a 11 a a 1n a 21 a a 2n δ = a n1 a n2... a nn Tento determinant se nazývá modulem afinity. Dá se ukázat, že modul afinity nezávisí na volbě báze uvažovaného prostoru. 28
8 Nyní se budeme zabývat vlastností modulu afinity, která je metrická, tj. závislá na existenci skalárního součinu. Proto se v dalším omezíme ve svých úvahách na eukleidovské prostory, přesněji na E 3 a E 2. PŘÍKLAD 4.3. Určete afinitu v A 2, je-li obrazem bodu B = [6; 2] bod B = [1; 1], obrazem vektoru u = (2; 1) vektor u = (4; 2) a vektoru v =( 1; 2) vektor v = ( 3; 6). Porovnejte obsahy trojúhelníků BCD a B C D, kde C = B + u, D = B + v a C = B + u,d = B + v. Věta 6. Nechť f je afinita v prostoru E 3 (resp. E 2 ), která má modul δ. Nechť U je měřitelný útvar v E 3 (resp. E 2 ), který má objem V (resp. obsah V ). Nechť obrazem útvaru U v afinitě f je útvar U, který má objem V (resp. obsah V ). Potom platí V = δ V. (48) Důkaz. Míra měřitelných útvarů v E 3 (resp. E 2 ) je definována pomocí rovnoběžnostěnů (resp. rovnoběžníků). Proto se v důkazu omezíme na afinní zobrazení rovnoběžnostěnů v E 3 a rovnoběžníků v E 2. Nechť v E 3 je rovnoběžnostěn určen trojicí nezávislých vektorů u, v, w, které mají ve zvolené bázi souřadnice u =(u 1,u 2,u 3 ), v =(v 1,v 2,v 3 ), w =(w 1,w 2,w 3 ). Obrazy těchto vektorů v zobrazení ϕ asociovaném k afinitě f označme u = ϕ( v), v = ϕ( v), w = ϕ( w) a jejich souřadnice u =(u 1,u 2,u 3), v =(v 1,v 2,v 3), w =(w 1,w 2,w 3). V afinitě f a zobrazení ϕ platí dle vztahu (47) u i = a ij u j, v i = a ij v j, w i = a ij w j ; i =1, 2, 3. (49) Objem V zobrazeného rovnoběžnostěnu U určíme známým vztahem smíšeného součinu, stejně tak objem V rovnoběžnostěnu U: u V 1 u 2 u 3 = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3, V = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. (50) Dosazením (49) dostaneme V = a 1j u j, a 1j v j, a 1j w j, a 2j u j, a 2j v j, a 2j w j, a 3j u j a 3j v j a 3j w j, (51) 29
9 což lze zapsat součinem V = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 (52) atedy V = δ V. (53) Pokud je δ<0, pak lze znaménko minus vytknout, tj. V = δ ( V ). Ve druhém determinantu pak zaměníme pořadí sousedních řádků, např. prvního a druhého. Pro obsahy vzoru a obrazu měřitelného útvaru v E 2 zřejmě stačí, uvážíme-li obsah V libovolně zvoleného rovnoběžníka určeného lineárně nezávislými body M,N,P a jeho obrazu v dané afinitě určeného body M,N,P. 4.7 Afinita přímá a nepřímá, ekviafinita Definice 17. Je-li modul afinity kladný, nazývá se afinita přímá. Afinita se záporným modulem se nazývá nepřímá. Afinita, jejíž modul se rovná v absolutní hodnotě jedné, se nazývá ekviafinní afinita, stručně ekviafinita. PŘÍKLAD 4.4. Určete rovnice a modul afinity f : E 3 E 3, v níž se body K[0, 0, 0], L[1, 4, 0], M[ 1, 0, 6], N[4, 5, 8] zobrazí na body K [1, 1, 1], L [ 2, 9, 6], M [0, 5, 12], N [0, 3, 26]. Rozhodněte, zda se jedná o afinitu přímou či nepřímou a zda je to ekviafinita. Řešení v programu wxmaxima: (%i25) r1:b1=1; r2:b2=1; r3:b3=1; r4:a11+4*a12+b1=-2; r5:a21+4*a22+b2=9; r6:a31+4*a32+b3=6; r7:-a11+6*a13+b1=0; r8:-a21+6*a23+b2=-5; r9:-a31+6*a33+b3=12; r10:4*a11+5*a12+8*a13+b1=0; r11:4*a21+5*a22+8*a23+b2=3; r12:4*a31+5*a32+8*a33+b3=26; (%o25) b1 =1 (%o26) b2 =1 (%o27) b3 =1 (%o28) b1+4a12 + a11 = 2 (%o29) b2+4a22 + a21 = 9 (%o30) b3+4a32 + a31 = 6 (%o31) b1+6a13 a11 = 0 30
10 (%o32) b2+6a23 a21 = 5 (%o33) b3+6a33 a31 = 12 (%o34) b1+8a a a11 = 0 (%o35) b2+8a a a21 = 3 (%o36) b3+8a a a31 = 26 (%i37) res:solve([r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9,r10,r11,r12], [a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,b1,b2,b3])[1]; (%o37) [a11 = 1,a12 = 1,a13 = 0,a21 = 0,a22 = 2,a23 = 1,a31 = 1,a32 = 1,a33 = 2,b1=1,b2=1,b3=1] (%i38) ev([x1=a11*x+a12*y+a13*z+b1,y1=a21*x+a22*y+a23*z+b2, z1=a31*x+a32*y+a33*z+b3],res); (%o38) [x1 = y + x +1,y1= z +2y +1,z1=2z + y + x +1] (%i40) A:ev(matrix([a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]),res); (%o40) (%i42) determinant(a); (%o42) Cvičení Afinita 3. Uveďte maticové zápisy následujících transformací: a) středová souměrnost se středem v počátku, b) středová souměrnost se středem v bodě [5, 10], c) osová souměrnost podle souřadnicové osy x, d) stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic a s koeficientem κ =2, e) stejnolehlost se středem v počátku soustavy souřadnic a s koeficientem κ = 1 2. Využijte applet na GeoGebraTube: tube.geogebra.org/student/mucqve9ut 31
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické
Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů,
GEOMETRIE 2 - KMA/GEO2. (dle sylabu platného od roku 2014) Roman HAŠEK
GEOMETRIE 2 - KMA/GEO2 (dle sylabu platného od roku 2014) Roman HAŠEK 13. dubna 2018 Obsah 1 Připomenutí vybraných pojmů 6 1.1 Grupa............................................ 6 1.2 Těleso............................................
0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
11 Vzdálenost podprostorů
11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Matematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
x 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
Soustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
Soustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Afinní zobrazení v příkladech Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2013 Vypracoval:
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
7 Ortogonální a ortonormální vektory
7 Ortogonální a ortonormální vektory Ze vztahu (5) pro výpočet odchylky dvou vektorů vyplývá, že nenulové vektory u, v jsou na sebe kolmé právě tehdy, když u v =0. Tato skutečnost nám poslouží k zavedení
Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Matematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
Syntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Euklidovské prostory. Euklidovský prostor dimense 3
Euklidovské prostory Euklides nebo také Eukleides byl řecký matematik žijící kolem roku 300 př.n.l. Jeho nejznámějším dílem jsou Základy, ve kterých vybudoval geometrii způsobem definice- věta- důkaz.
10. DETERMINANTY " # $!
10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich
Syntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
Lineární algebra : Změna báze
Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Definice 28 (Ortogonální doplněk vektorového podprostoru). V k V n ; V k V. (Pech:AGLÚ/str D.5.1)
14.3 Kolmost podprostorů 14.3.1 Ortogonální doplněk vektorového prostou Ve vektorovém prostoru dimenze 3 je ortogonálním doplňkem roviny (přesněji vektorového prostoru dimenze ) přímka na ní kolmá (vektorový
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Aplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
Afinní transformace Stručnější verze
[1] Afinní transformace Stručnější verze je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím body a vektory: afinní prostor využití například v počítačové grafice a)
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Kapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Matice lineárních zobrazení
Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze
7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A
ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Základy matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:
2 Kruhová inverze Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem: (1) X SX, (2) SX SX = r 2. Obrázek 6: Kruhová inverze
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
Operace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =