Škola pre mimoriadne nadané deti a Gymnázium. Teória 3 Gravitačné pole Pohyby telies v homogénnom gravitačnom poli Zeme Voľný pád, vrhy telies

Transkript

1 Meno a priezisko: Škola: Školský rok/blok: Premet: Skupina: Triea: Dátum: Škola pre mimoriane naané eti a Gymnázium Fyzika Teória 3 Graitačné pole Pohyby telies homoénnom raitačnom poli Zeme Voľný pá, rhy telies 3.3 Pohyby telies homoénnom raitačnom (tiažoom) poli Zeme Bueme sa zaoberať pohybmi telies, ktorých trajektórie sú zhľaom k rozmerom Zeme natoľko malé, že raitačné (tiažoé) pole, ktorom sa telesá pohybujú, môžeme poažoať za homoénne. Len malú časť raitačného poľa na porchom Zeme môžeme poažoať za homoénnu. Pretože zotračná ostreiá sila je oeľa menšia ako raitačná sila, s obrou presnosťou platí F G F a tiež a. Preto nebueme rozlišoať mezi raitačnou a tiažoou silou a ohoneme sa na označoaní týchto síl (tiažoá, raitačná, tiaž) ako raitačná sila. Sústreíme sa na zjenoušený (a praxi ťažko realizoateľný) prípa, keď na teleso nepôsobí žiana iná sila (napríkla oporoá sila zuchu) okrem raitačnej (tiažoej) sily. Pohyby bueme pozoroať sústae spojenej so Zemou Voľný pá Jená sa o najjenouchší pohyb homoénnom raitačnom poli Zeme. Voľný pá je pohyb ronomerne zrýchlený s nuloou počiatočnou rýchlosťou m. s a so zrýchlením roným raitačnému zrýchleniu. Môžeme ho charakterizoať eľkosťou okamžitej rýchlosti a ráhou s čase t o začiatku pohybu:. t ; s. t 3.3. Vrhy telies Pohyby so začiatočnou rýchlosťou m. s homoénnom raitačnom poli o ákuu sa nazýajú rhy. Sú to pohyby zložené z ronomerného priamočiareho pohybu rýchlosťou a oľného páu. Rozlišujeme ich poľa smeru začiatočnej rýchlosti Zislý rh nahor Zislý rh nahor koná hmotný bo, ak bolo teleso rhnuté nahor s počiatočnou rýchlosťou zisle nahor, tj. má opačný smer ako raitačné zrýchlenie. Smerom nahor sa pohybuje ronomerne spomalene (so zrýchlením ). Veľkosť okamžitej rýchlosti sa postupne zmenšuje (smer sa zachoáa) a po osiahnutí najyššieho bou trajektórie (bo H ), ktorom sa teleso na okamih zastaí sa okamžitá rýchlosť roná nule. Potom sa teleso racia späť oľným páom k Zemi. Skutočnosť, že teleso rhnuté zisle nahor postupne zmenšuje eľkosť sojej rýchlosti, boe H sa zastaí a potom začína znoa zrýchloať, môžeme pozoroať na basketbalistoi, ktorý sa snaží ať pri ýskoku kôš. Pri pozoroaní tohoto pohybu sa zá, že basketbalista isí pri koši.

2 Je to preto, že jeho pohyb okolí koša trá lhší čas, ako na zostáajúcej trajektórii, na ktorej sa pohybuje äčšou rýchlosťou. Veľkosť okamžitej rýchlosti čase t je aná zťahom:. t Pre okamžitú ýšku y na miestom, z ktorého bolo teleso rhnuté, čase t platí: y t t Najäčšia ýška, ktorú teleso osiahne, sa nazýa ýška rhu h. V tejto ýške je rýchlosť telesa nuloá, tea. t, z čoho plynie zťah pre čas ýstupu t : t Výšku rhu na miestom, z ktorého bolo teleso rhnuté, je možné určiť tak, že o ronice pre okamžitú ýšku osaíme čas ýstupu t : h t t Z tejto ýšky h teleso paá k zemi oľným páom. Výšku h prekoná za čas opau t, tea h., okiaľ ostáame zťah pre čas opau: h t t Pre eľkosť rýchlosti opau môžeme písať:.. t t. Teleso opane späť o miesta, z ktorého bolo rhnuté, ronako eľkou rýchlosťou, akou bolo rhnuté. Čas ýstupu o maximálnej ýšky je ronaký ako čas páu naspäť. Príkla: Teleso bolo rhnuté zisle nahor rýchlosťou 5m. s. V akej ýške bolo na konci štrtej sekuny? Do akej najäčšej ýšky ystúpilo? Za aký čas opalo? Zislý rh naol Zislý rh naol koná teleso, ktoré je rhnuté z ýšky h na porchom Zeme počiatočnou rýchlosťou zislo ole, tj. smere raitačného zrýchlenia. Jená sa o pohyb ronomerne zrýchlený s nenuloou počiatočnou rýchlosťou s eľkosťou a zrýchlením. Veľkosť okamžitej rýchlosti čase t o začiatku pohybu je aná zťahom. t. Pre okamžitú ýšku y telesa na porchom Zeme platí zťah: y h t t Výška telesa na porchom Zeme sa pri tomto type pohybu zmenšuje; člen zátorke zopoeá zialenosti, ktorú teleso prekonalo o začiatku pohybu. Vzhľaom k tomu,

3 že bolo rhnuté z ýšky h na porchom Zeme, získame ýšku telesa na porchom Zeme anom čase ako roziel ueených zialeností. Pri opae na porch Zeme je okamžitá ýška roná nule, takže platí: h t t Čas opau t získame riešením karatickej ronice t t h, ktorú môžeme upraiť na tar t t h. Pre čas opau ostáame korene: 4 8h h. Vzhľaom k tomu, že, h a že fyzikálny zmysel má len klaný čas opau, ostáame pre čas opau zťah: h Pre eľkosť rýchlosti opau môžeme ooiť zťah: h. t h Príklay: kameň rhnutý smerom naol z mosta, Vooroný rh Vooroný rh koná teleso, ktorému uelíme počiatočnú rýchlosť smere jeho začiatočná rýchlosť je kolmá na raitačné zrýchlenie. o ooronom Jeho trajektória je časť paraboly, ktorej rchol je mieste rhu. Pre jenouchší opis ooroného rhu si jeho trajektóriu zakreslíme o súranicoej sústay xy tak, že miesto rhu má súranice ;h, ke h je ýška, z ktorej je teleso rhané. Súranice (ľubooľného) bou B, ktorom sa teleso nacháza za čas t o okamihu ooroného rhu sú: x t y h t 3

4 Najäčšia zialenosť o miesta rhu meraná o ooronej roine sa nazýa ĺžka rhu. V tejto zialenosti teleso končí soj pohyb a ocitne sa boe D ;. V okamihu opau platí: h. t Z tohoto zťahu môžeme ooiť pre čas opau zťaho pre súranice: x, ostáame ĺžku rhu telesa: eľkosti počiatočnej rýchlosti a o ýšky, z ktorej bolo teleso rhnuté. V praxi: ýstrel z pušky o ooronom smere,.... h a po osaení o h. Dĺžka rhu záisí o Strelec, ktorý ystrelil z pušky o ooronom smere, ií olný pá uľky. Pohyb o ooronom smere zo sojho pohľau neií. Keby to bolo možné a ďalší kamarát trpaslík by bežal presne po letiacou strelou, zaznamenal by len ronomerý priamočiary pohyb strely oľný pá by nebol schopný zo sojho pohľau zaznamenať. Úlohu týchto och pozoroateľo zohráajú osy karteziánskeho systému súraníc: trpaslík os x, strelec os y (zislý smer). Kamará strelca, ktorý stojí kúsok eľa strelca, zaznamená pohyb strely ako ooroný rh. Vráťme sa späť k súraniciam y x h x t a y t h. Vylúčením času získame ronicu, čo je ronica paraboly. Pri ooronom rhu sa hmotný bo pohybuje po parabole. Rýchlosť ľubooľnom čase y, okiaľ h. Dĺžka rhu bue t je t. Čas opau sa určí z pomienky h. t Príkla: Z eže ysokej 5m bol rhnutý kameň o ooronom smere rýchlosťou m. s. Akú rýchlosť mal kameň na konci ruhej sekuny? V akej zialenosti o päty eže opane? Šikmý rh nahor Týmto typom pohybu sa pohybuje teleso, ktorému uelíme počiatočnú rýchlosť, ktorej smer ziera s ooronou roinou eleačný uhol,. Aj u tohoto rhu ocháza a oľného k sklaaniu ronomerného priamočiarého pohybu smere počiatočnej rýchlosti páu. Trajektóriou tohoto pohybu je parabola, ktorej rchol leží najyššom boe trajektórie ( boe H ). Opäť, pre lepší opis tohoto pohybu, zakreslíme jeho trajektóriu o súranicoého systému tak, že miesto rhu bue jeho počiatku. Počiatočná rýchlosť môžeme rozložiť o smero osí súranicoého systému. Jenotlié zložky majú ( čase začiatku pohybu) eľkosť: x -oá zložka cos xy, ktorú telesu uelíme, t o x a y -oá zložka sin t. t y. 4

5 y V smere osi sa jená o zislý rh nahor tak by iel ýkop lopty fotbalista. Lopta najpr poletí ronomerne spomaleným pohybom smerom nahor, zastaí sa a náslene sa bue oľným páom pohyboať smerom naol. Súper trpaslík bežiaci presne po loptou by iel ronomerný priamočiary pohyb lopty. Súranice (ľubooľného) bou B, ktorom sa nacháza teleso čase sú: x xt t cos a y t sin. t. t o začiatku pohybu, Najäčšia zialenosť meraná o ooronej roine o miesta rhu o miesta opau nazýa ĺžka šikmého rhu. Bo opau má súranice D ; a môžeme tea napísať sin t D sa Otiaľto pre čas opau ostáame: sin alebo t s zmysel, pretože opisuje fyzikálny sta telesa na začiatku pohybu. Dosaením o zťahu x t cos získame ĺžku rhu:. Nuloý čas nemá fyzikálny sin cos sin Pri úprae sme použili zťah, ktorý sa oozuje matematike pri ýklae oniometrických funkcií: sin.sin. cos Aj pri šikmom rhu je možné určiť ýšku rhu h, o ktorej sa teleso priebehu sojho pohybu ostane. Ak sa nacháza teleso boe H, má y -oá zložka rýchlosti nuloú eľkosť, tea sin. t h. Dostáame zťah pre čas t h, za ktorý teleso osiahne maximálnu sin t ýšku, th. Dosaením o zťahu y t h sin. th ostaneme maximálnu ýšku rhu: sin h Pri práe ooených zorcoch je použitá matematická konencia zápisu operácií s oniometrickými funkciami. Zápis sin, zápis znamená to sin isté ako. sin je ronaký ako sin 5

6 Šikmý rh má praktické uplatnenie športe a ojenskej technike. Dĺžka rhu sa o ojenskej terminolóii nazýa ostrel. Parabolickú trajektóriu opisuje šikmo rhnuté teleso homoénnom poli len o ákuu. V blízkosti porchu Zeme šak opor zuchu spôsobuje, že ráha striel nie je parabola, ale nesúmerná balistická krika. Šikmo rhnuté teleso sa pohybuje po časti paraboly len za prepoklau, že naň nepôsobia žiane ďalšie onkajšie sily okrem raitačnej (nepôsobí opor zuchu,...). V praxi ale nie žy je možné opor zuchu zanebať (najmä pri ysokých rýchlostiach telesa). V ôsleku existencie oporoej sily sa teleso pohybuje nie po časti paraboly, ale po balistickej krike, ktorá (na roziel o paraboly) nie je symetrická. To má za násleok skrátenie ĺžky rhu o zuchu oproti ĺžke rhu o ákuu. Vráťme sa späť k súraniciam ronicu x t cos ; y sin y x x tan cos t určíme z pomienky y, okiaľ ostaneme sin t sin alebo t s (nemá fyzikálny zmysel) sin t. Dĺžka rhu bue maximálna, ak sin 45. Potom. parabole. Čas opau Potom ĺžka rhu bue tea t t, ylúčením času t získame, čo je ronica paraboly. Tea hmotný bo sa pohybuje po, Príkla: Teleso bolo rhnuté šikmo nahor začiatočnou rýchlosťou 4m. s po uhlom 6. Aká bola ýška rhu, ĺžka rhu a za aký čas teleso opalo? 6