Symetrie a chaos v mnohočásticových systémech

Transkript

1 Profesorská přednáška Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta Universita Karlova v Praze Symetrie a chaos v mnohočásticových systémech ipnp.troja.mff.cuni.cz MFF UK v Praze,

2 0/20 Program: ) 3) Symetrie a chaos v mnohočásticových 2) systémech 4)

3 02/20 ) Mnohočásticové systémy kvantové soustavy většího počtu vzájemně interagujících částic Atomy X Funguje aproximace nezávislých částic Molekuly Souhra elektronových a jaderných pohybů Atomová jádra Klastry atomů Obří molekuly, kovové klastry Husté shluky silně interagujících částic Kvantově optické systémy.. Iontové pasti, kvantové tečky, laditelné optické dutiny, kvantové kondenzáty

4 03/20 ) Mnohočásticové systémy kvantové soustavy většího počtu vzájemně interagujících částic Cvičení: N F nerozlišitelných fermionů na Ω N F jednočásticových stavech. Dimenze Hilbertova prostoru všech kvantových stavů: d = Ω Ω N ln ( ) ( Ω NF + ) F N Ω Ω N F! = N Např. jádro uhlíku 2 C (6 protonů + 6 neutronů) Můžeme použít bázi energetických vlastních stavů harmonického oscilátoru, kterou shora omezíme slupkou N ħω. Uvažme N = 4: d = d π dν = = Důvtipnější ořezání báze (podle celkové energie N F -částicové konfigurace) vede ke radikálnímu zmenšení dimenze na cca d 0 9, ale i to je dost F e F

5 03/20 ) Mnohočásticové systémy kvantové soustavy většího počtu vzájemně interagujících částic Cvičení: N F nerozlišitelných fermionů na Ω N F jednočásticových stavech. Dimenze Hilbertova prostoru všech kvantových stavů: d = Ω Ω N ln ( ) ( Ω NF + ) F N Ω Ω N F! = N Např. jádro uhlíku 2 C (6 protonů + 6 neutronů) Můžeme použít bázi energetických vlastních stavů harmonického oscilátoru, kterou shora omezíme slupkou N ħω. Uvažme N = 4: d = d π d = výpočetní = složitosti ν Důvtipnější ořezání báze (podle celkové energie N F -částicové konfigurace) vede ke radikálnímu zmenšení dimenze na cca d 0 9, ale i to je dost F e F (pro Ω >> N F ) ~exponenciální růst

6 04/20 ) Mnohočásticové systémy kvantové soustavy většího počtu vzájemně interagujících částic Dva výpočetně ~ zvládnutelné komplementární přístupy: a) jednočásticová dynamika nekorelovaný pohyb jednotlivých částic ve středním poli vytvořeném ostatními částicemi b) kolektivní dynamika zbytkové interakce generují silně korelované pohyby mnoha částic

7 05/20 ) Mnohočásticové systémy kvantové soustavy většího počtu vzájemně interagujících částic Kolektivní dynamika fenomenologické modely pro popis konkrétních typů kolektivního chování omezený počet stupňů volnosti nezávislý na počtu částic Bosonové modely Příklad: kvadrupólová kolektivita jader bosony kvanta kolektivních excitací n typů bosonů => ~ n stupňů volnosti d= ( n )! (NB + ) n interakce vazby kolektivních módů + b bn+ b2+ b3+ bi+ Příklady: Rotace a vibrace atomových jader: IBM Vibrace molekul: Vibronové modely Supravodivost: Bose-Hubbardův model Kvantová optika: Dickeho model 2 (deformace) + 3 (natočení) = 5 stupňů volnosti

8 y 06/20 2) Chaos x nepořádek, složitost, nepostižitelnost korelací Klasický chaos Exponenciální citlivost vývoje systému k počátečním podmínkám => faktická ztráta detailní předvídatelnosti Kvazi-ergodické chování trajektorií ve fázovém prostoru => úspěšnost statistického popisu Kvantový chaos Exponenciální citlivost vývoje systému ke změnám interakčních parametrů [Peres 984] Silné korelace mezi hladinami kvantových spekter (teorie náhodných matic) [Bohigas 984] Laboratoř pro zkoumání korespondence mezi klasickou & kvantovou fyzikou [Berry 987] x y=0 x

9 y=β sinγ 07/20 Bohrův geometrický model kolektivních kmitů jádra x 2) Chaos y=0 nepořádek, složitost, nepostižitelnost korelací x=β cosγ β0>0 x Klasický chaos: stabilita trajektorií metoda Poincarého řezů β0=0 x i-tý průsečík trajektorie E=const y=const Podíl regulárního objemu fázového prostoru j-tý průsečík trajektorie 2 x f reg = Ω reg / Ω tot Chaos Pořádek [ Cejnar, Stránský, Macek, Jolie, Heinze, Casten ]

10 y=β sinγ 08/20 Bohrův geometrický model kolektivních kmitů jádra x 2) Chaos nepořádek, složitost, nepostižitelnost korelací x=β cosγ β0>0 y=0 x Klasický chaos: stabilita trajektorií metoda Poincarého řezů β0=0 Podíl regulárního objemu fázového prostoru f reg = Ω reg / Ω tot Chaos Pořádek [ Cejnar, Stránský, Macek, Jolie, Heinze, Casten ]

11 y=β sinγ 09/20 Bohrův geometrický model kolektivních kmitů jádra x 2) Chaos x=β cosγ P y=0 nepořádek, složitost, nepostižitelnost korelací integrabilní případ x Kvantový chaos: analýza spektrálních korelací pro různá schémata kvantování metoda spektrálních mřížek [Peres 984] i-tý vlastní stav P f reg = Ω reg / Ω tot Chaos E Pořádek i P = 2 2 γ 2 Ei [ Cejnar, Stránský, Macek, Jolie, Heinze, Casten ]

12 0/20 3) Symetrie jednoduchost, řád, krása Dlouhá matematická historie Od 9.století popis symetrií v rámci teorie grup [Galois, Cauchy, Cayley, Klein, Lie ] H. Weyl ( ): A thing is symmetrical, if there is something that you can do to it, so that after you have finished doing it, it still looks the same as it did before you did it.

13 /20 3) Symetrie jednoduchost, řád, krása Stacionární symetrie Tˆ gψ H ˆ ψ = Eψ Transformace neměnící rovnici tvoří grupu symetrie G S degenerace energ.hladin (každá hladina = podprostor realizace G S ) E=f (I GS ), invarianty I GS =komutující integrály pohybu, ale integrabilita Integrabilní systém: [n stupňů volnosti] & [n komutujících integrálů pohybu] Příklad: degenerace hladin rotačně symetrického systému a její narušení v magnetickém poli m=+½ j=½, m=±½ B 0 m= ½ B 0

14 2/20 3) Symetrie jednoduchost, řád, krása Dynamické symetrie Tˆ g ( t) ψ ( t) Hˆ ψ ( t) = i ψ t ( t) GD G S GD G G E=f (I GD,I G I Gn,I GS ), pak I GD,I G =komut.integrály pohybu Transformace neměnící rovnici tvoří pro t=const dynamickou grupu. Platí-li pro řetězec, že n G S integrabilita Integrabilní systém: [n stupňů volnosti] & [n komutujících integrálů pohybu] Příklady: a) atom vodíku b) harmonický oscilátor a) b) Ψ 2

15 3/20 3) Symetrie jednoduchost, řád, krása Model interagujících bosonů (IBM) s + d + m U(5) Technika koherentních stavů model převede do proměnných β,γ O(6) dynamická grupa prostor int. parametrů m = 2,...,+2 [Iachello, Arima 975] U(6) GD grupa symetrie GS O(3) dynamické symetrie: U(5) SU(3) O(6) SU(3) O(6) O(5) O(3) U(6) O(6) SU (3) SU (3) [ Cejnar, Jolie, Macek, Dobeš ]

16 3/20 3) Symetrie jednoduchost, řád, krása Model interagujících bosonů (IBM) s + d + m U(5) η = prostor int. parametrů m = 2,...,+2 Technika koherentních stavů model převede do proměnných β,γ η [Iachello, Arima 975] dynamická grupa U(6) GD grupa symetrie GS O(3) dynamické symetrie: U(5) SU(3) O(6) η = 0 O(6) SU(3) O(6) O(5) O(3) U(6) O(6) SU (3) SU (3) [ Cejnar, Jolie, Macek, Dobeš ]

17 β - - η= Katastrofa typu cusp Potenciál 3) Symetrie 4) Kvantové fázové přechody η = V (β,γ) V (β ) 4/ [Arnol d 968, Thom 972] - - η = 53 kritický bod η= η= Ostatní trajektorie v prostoru parametrů IBM jiné průchody oblastí bistability [ Cejnar, Jolie, Heinze, Macek, Stránský, Dobeš ] [ Cejnar, Jolie: Prog. Part. Nucl. Phys. 2009; Cejnar, Jolie, Casten: Rev. Mod. Phys. 200 ] η =

18 i=0 Spektrum j=v=0, NB= β - Ψ 2 - η= Potenciál 3) Symetrie 4) Kvantové fázové přechody η = V (β,γ) V (β ) 5/ η = 53 kritický bod η= nespojitost 2 E0 η η= η =0 [ Cejnar, Jolie, Heinze, Macek, Stránský, Dobeš ] [ Cejnar, Jolie: Prog. Part. Nucl. Phys. 2009; Cejnar, Jolie, Casten: Rev. Mod. Phys. 200 ]

19 fázový přechod pro excitované stavy: β - - η= neanalytická změna struktury a energie vzbuzených stavů v limitě NB Potenciál 3) Symetrie 4) Kvantové fázové přechody η = V (β,γ) V (β ) 6/ η = 53 kritický bod η= log. divergence hustoty a křivosti spektra η= η =0 [ Cejnar, Jolie: Prog. Part. Nucl. Phys. 2009; Cejnar, Jolie, Casten: Rev. Mod. Phys. 200 ] - - [ Cejnar, Jolie, Heinze, Macek, Stránský, Dobeš ]

20 β - - η= Potenciál 3) Symetrie 4) Kvantové fázové přechody η = V (β,γ) V (β ) 7/ η = 53 fáze U(5) η= fáze O(6) η= η =0 [ Cejnar, Jolie, Heinze, Macek, Stránský, Dobeš ] [ Cejnar, Jolie: Prog. Part. Nucl. Phys. 2009; Cejnar, Jolie, Casten: Rev. Mod. Phys. 200 ]

21 8/20 3) Symetrie 4) Kvantové fázové přechody Excitované fázové přechody klasifikace,detekce,význam Klasifikace excitovaných přechodů podle typu stacionárního bodu a počtu stupňů volnosti vibrace H O H Kolektivní excitace molekul, např. H 2 0 [Child 999, Sadovskií, Zhilinskií 2003, Cushman et al. 2004, Zobov et al. 2005] rotace O Laditelné kvantově-optické systémy Experimentální realizace od konce 90. let. Detekce kvantových fázových přechodů v posledních letech. V budoucnu možná detekce fázových přechodů pro excitované stavy H H Př. Model interakce -mód.záření s 2-hladinovými atomy: Excitovaný fázový přechod ovlivňuje dynamiku po změně rezonanční frekvence. [Pérez-Fernandez, Cejnar, Relano 20] Význam např. pro kvantové počítání a další kvantové technologie...

22 9/20 Na závěr univerzální statistický popis chaos Johann Grasshoff: Dyas chymica tripartita (625)

23 9/20 Na závěr mnohočásticové systémy univerzální statistický popis chaos Zapeklité! (jeden z nejobtížnějších problémů) Závažné!! (jednou možná zásadní know-how) Johann Grasshoff: Dyas chymica tripartita (625)

24 9/20 Na závěr mnohočásticové systémy univerzální statistický popis chaos Zapeklité! (jeden z nejobtížnějších problémů) Závažné!! (jednou možná zásadní know-how) Zábavné!!! x. x Pavel Stránský et al.: Physical Review C (2006) Johann Grasshoff: Dyas chymica tripartita (625)

25 20/20 Díky spolupracovníkům: Pavel Stránský, Michal Macek (PhD studenti) Petr Hruška, Matúš Kurian (Mgr. studenti) Jan Jolie, Stefan Heinze (Köln) Jan Dobeš (Řež) Franco Iachello, Rick Casten (Yale) Vladimir Zelevinsky (Michigan) Jorge Dukelsky, Pedro Pérez-Fernandez (Madrid-Sevilla) Hendrik Geyer (Stellenbosch)

26 20/20 Díky spolupracovníkům: Pavel Stránský, Michal Macek (PhD studenti) Petr Hruška, Matúš Kurian (Mgr. studenti) Jan Jolie, Stefan Heinze (Köln) Jan Dobeš (Řež) Franco Iachello, Rick Casten (Yale) Vladimir Zelevinsky (Michigan) Jorge Dukelsky, Pedro Pérez-Fernandez (Madrid-Sevilla) Hendrik Geyer (Stellenbosch) Díky vám za pozornost!