Obhajoba D.Sc. Pavel Cejnar. Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta Universita Karlova v Praze ipnp.troja.mff.cuni.

Transkript

1 Obhajoba D.Sc. Marcus Aurelius ( A.D.) Nahoru, dolů, dokola toť dráhy prvků. Pavel Cejnar Ústav částicové a jaderné fyziky Matematicko-fyzikální fakulta Universita Karlova v Praze ipnp.troja.mff.cuni.cz Řež, 6. října 010

2 symetrie chaos fázové přechody Pavel Cejnar v kolektivní dynamice atomových jader Spoluautoři: P. Stránský, M. Macek (PhD.), P. Hruška, M. Kurian (Mgr.) J. Jolie, S. Heinze, J. Dobeš, R.F. Casten, V. Zelevinsky, H. Geyer

3 symetrie chaos fázové přechody

4 symetrie grupa symetrie generátory G { g, g, } 1 H = H ( C) Casimirův operátor C = C g, g, ) ( 1 [ C, ] = 0 g i [ H, g ] = 0 i zákony zachování

5 dynamická symetrie spektrum generující (dynamická) grupa grupa symetrie [ ] ( k ), C = [, ] ( k ) ( l) C C = [, ] ( n) H g = 0 H 0 ( ) H = H C (1), C (), i 0 G ( 1) G () G ( n) zákony zachování integrabilita analytická řešitelnost

6 přibližná dynamická symetrie? potlačení chaosu Kvazi-dynamická symetrie (QDS) I po silném narušení dané DS jsou pro velkou část stavů pozorovány některé její typické příznaky. [Rowe et al ] Parciální dynamická symetrie (PDS) Daná DS narušena tak, že část stavů je i nadále klasifikována kv.čísly DS nebo část kv.čísel nadále klasifikuje všechny stavy. [Leviatan, Van Isacker et al. 199 ]

7 Model interagujících bosonů (IBM) [Iachello, Arima 1975] s d m m =,..., H = uijbi bj vijklbi bj bkbl = i, j i, j, k, l i w C i [ G ] Casimirovy operátory U(5),O(6),SU(3),O(5),O(3) i DS dynamická grupa U(6) U(5) U(6) O(6) O(5) O(3) U(6) SU(3) O(3) U(6) U(5) O(5) O(3) O(6) SU(3) PDS: společná podgrupa O(5) zachování seniority v, integrabilita QDS: zachování charakteristických rysů jednotlivých DS v závislosti na energii

8 Model interagujících bosonů (IBM) [Iachello, Arima 1975] s d m m =,..., H = uijbi bj vijklbi bj bkbl = i, j Diskrétní symetrie v prostoru parametrů třídy ekvivalentních hamiltoniánů dodatečné DS U(5) SU(3) O(6) i, j, k, l U(6) i w C i [ G ] Casimirovy operátory U(5),O(6),SU(3),O(5),O(3) DS dynamická grupa U(6) U(6) U(6) U(6) U(6) O(6) O(6) U(5) SU(3) SU(3) O(5) O(5) O(3) O(5) i O(3) PDS: společná podgrupa O(5) zachování seniority v, integrabilita O(3) O(3) O(3) O(6) SU(3) QDS: zachování charakteristických rysů jednotlivých DS v závislosti na energii

9 Zobecněné bosonové modely s x m m = l,..., l dynamická grupa U(n) moment hybnosti x-bosonu dimenze dynamické grupy počet stupňů volnosti l n f aplikace 0 (t ) 1 Lipkinův model: schématický mnohočásticový syst. 1D vibronový model: podélné vibrace molekul 1/ (τ ) 3 D vibronový model: příčné vibrace molekul Model některých typů supravodivosti 1 (p) 4 3 3D vibronový model: rotatacevibrace molekul 3/ (π ) 5 4 (d ) 6 5 IBM: rotacevibrace jader (kvadrupólová deformace) 5/ (δ ) ( f ) 8 7 Oktupólové stupně volnosti v jádrech 7/ (φ ) ( g ) 10 9 Hexadekapólové stupně volnosti v jádrech

10 Zobecněné bosonové modely s x m m = l,..., l dynamická grupa U(n) b G { } g i moment hybnosti x-bosonu dimenze dynamické grupy počet stupňů volnosti l n f aplikace 0 (t ) 1 Lipkinův model: schématický mnohočásticový syst. 1D vibronový model: podélné vibrace molekul 1/ (τ ) 3 D vibronový model: příčné vibrace molekul Model některých typů supravodivosti 1 (p) 4 3 3D vibronový model: rotatacevibrace molekul 3/ (π ) 5 4 (d ) 6 5 IBM: rotacevibrace jader (kvadrupólová deformace) 5/ (δ ) ( f ) 8 7 Oktupólové stupně volnosti v jádrech 7/ (φ ) ( g ) 10 9 Hexadekapólové stupně volnosti v jádrech G f aplikace dynamická grupa HW(1) G SU() Dickeho model: interakce fotonů s látkou SU(1,1) 1 Model tvorby & disociace -atomových molekul 1 Jaynes-Cummingsův model: interakce fotonů s látkou

11 Geometrický (kolektivní) model jádra [A. Bohr 195 Gneuss et al. 1969] kvadrupólový tensor kolektivních souřadnic ( tvar 3 orientace = 5D ) sdružený tensor hybností H H () (0) (0) [ α α] α ] 5C( [ α ] )... (0) (0) 35 = [ π π ]... 5A[ α α] B α K 5 ' J 1 π γ 3 4 = π... A B cos3 C... x, y, z (, ) K γ = I γ V T rot T vib 1 = K ( π π ) x y zanedbat Předchůdce IBM stejné stupně volnosti: popisuje kvadrupólové vibrace a rotace atomových jader Moment hybnosti J m = i 10[ α π m * ] (1)

12 Geometrický (kolektivní) model jádra [A. Bohr 195 Gneuss et al. 1969] kvadrupólový tensor kolektivních souřadnic ( tvar 3 orientace = 5D ) sdružený tensor hybností H H () (0) (0) [ α α] α ] 5C( [ α ] )... (0) (0) 35 = [ π π ]... 5A[ α α] B α K 5 ' J 1 π γ 3 4 = π... A B cos3 C... x, y, z (, ) K γ = I γ V T rot T vib 1 = K ( π π ) x y zanedbat Předchůdce IBM stejné stupně volnosti: popisuje kvadrupólové vibrace a rotace atomových jader Moment hybnosti J m = i 10[ α π m efektivně D systém * ] (1) 0 Tvarové proměnné systém hlavních os y x sin γ = Re α ± cosγ = Reα 0 PAS PAS

13 Symetrie a její zobecnění: Publikace Diskrétní symetrie v parametrickém prostoru, míry narušení symetrie Dynamical-symmetry content of transitional IBM-1 hamiltonians P. Cejnar, J. Jolie, Physics Letters B 40 (1998) 41 Should the Casten triangle be a pentagon? J. Jolie, P. Cejnar, Journal of Physics G: Nucl. & Part. 5 (1999) 843 Parameter symmetries of quantum many-body systems P. Cejnar, H.B. Geyer, Physical Review C 64 (001) Dynamická supersymetrie Microscopic framework for dynamical supersymmetry in nuclei P. Cejnar, H.B. Geyer, Physical Review C 65 (00) Dynamical and invariant supersymmetry in the fermion pairing problem P. Cejnar, H.B. Geyer, Physical Review C 68 (003) Algebraická struktura zobecněného IBM Phase structure of interacting boson models in arbitrary dimension P. Cejnar, F. Iachello, Journal of Physics A: Math. & Theor. 40 (007) 581 Kvazi-dynamické symetrie v IBM Transition from gamma-rigid to gamma-soft dynamics in the interacting boson model: Quasicriticality and quasidynamical symmetry M. Macek, J. Dobeš, P. Cejnar, Physical Review C 80 (009) Occurrence of high-lying rotational bands in the interacting boson model M. Macek, J. Dobeš, P. Cejnar, Physical Review C 8 (010)

14 symetrie chaos fázové přechody

15 symetrie chaos fázové přechody Empedokles (cca př.n.l.): Chaos je opakem symetrie! Cosmos = Sphairos Chaos

16 chaos klasický chaos Exponenciální citlivost k počátečním podmínkám Kvazi-ergodické trajektorie ve fázovém prostoru kvantový chaos Spektrální korelace v souladu s teorií náhodných matic [Bohigas 1984] Exponenciální citlivost k poruchám hamiltoniánu [Peres 1984]

17 chaos klasický chaos Exponenciální citlivost k počátečním podmínkám Kvazi-ergodické trajektorie ve fázovém prostoru kvantový chaos Spektrální korelace v souladu s teorií náhodných matic [Bohigas 1984] Exponenciální citlivost k poruchám hamiltoniánu [Peres 1984] Otázky: Vztah mezi klasickým a kvantovým chaosem M. Berry: kvantový chaos jako emergentní jev na pomezí mezi klasickou a kvantovou fyzikou. Vznik chaosu při poruše integrabilního systému / predikce chaosu Na klasické úrovni popsán Kolmogorov-Arnold-Moserovým teorémem (ostrovy regulárních trajektorií existují i v silně porušeném systému). => Analogie s kvazi-dynamickou symetrií. Dá se přítomnost chaosu předpovědět z nějakých obecných vlastností?

18 Geometrický (kolektivní) model jádra jednoduchý model s velmi komplexní dynamikou! Trajektorie = jaderné vibrace J = 0, E = 0, A = 5.05, B = C = K = 1 x Poincarého řez y x x průchodů 5 náhodně zvolených trajektorií rovinou y=0

19 Geometrický (kolektivní) model jádra Mapa klasického chaosu v závislosti na energii podél reprezentativní dráhy v prostoru parametrů (protíná všechny neekvivalentní konfigurace) J = 0 Podíl regulárního fáz.objemu f reg = Ω reg / Ω tot integrabilní limita Chaos Sphairos

20 Geometrický (kolektivní) model jádra Mapa klasického chaosu v závislosti na energii podél reprezentativní dráhy v prostoru parametrů (protíná všechny neekvivalentní konfigurace) J = 0 konvexní konkávní změna tvaru hranice dostupné oblasti v rovině xy y y konkávní konvexní y y Regular phase space x fraction f reg = Ω reg / Ω tot x integrabilní limita x x Chaos Sphairos

21 Dva způsoby kvantování (a) D systém (b) 5D systém omezený do D (skutečný jaderný geometrický model) = H = = vib 1 1 γ K y x K T = γ γ γ γ sin 3 sin vib K T (a) a (b) se liší také mírou pro výpočet maticových elementů) s dodatečnými podmínkami danými symetrií potenciálu: ), ( ), ( ), ( ), ( 3 γ γ γ γ π = ±Ψ Ψ = Ψ Ψ k sudý / lichý K = κ 0 klasická limita Geometrický (kolektivní) model jádra J = 0 ( ) = = vib 1 1 π π π π γ K K T y x cos3 ) ( ) 3 ( ) ( γ C B A y x C x y x B y x A V = = Možnost testovat spektrální korelace pro různá kvantování

22 Geometrický (kolektivní) model jádra J = 0 Srovnání klasických a kvantových měr chaosu f reg klasický regulární parametr 1 ω kvantový regulární parametr (doplněk Brodyho parametru) Klasická regularita Klasická regularita Kvantová regularita Planckova konst. Kvantová regularita Kvantová regularita Kvantování Kvantování

23 Geometrický (kolektivní) model jádra J = 0 Metoda Peresových mřížek (1984) 1) <L > ) <H > 1) kvazi-d úhlový moment ) porucha hamiltoniánu

24 Geometrický (kolektivní) model jádra J = 0 Metoda Peresových mřížek (1984) 1) <L > ) <H > 1) kvazi-d úhlový moment blízké energetické stavy = brány pro šíření chaosu!!! ) porucha hamiltoniánu

25 Model interagujících bosonů Problém tzv. oblouku regularity [Alhassid, Whelan, 1991] f reg = Ω reg / Ω tot η H η χ = n n d 1 η Q χ ( Q χ, ) d ( ) ( ) N N ~ = d ~ ~ d Q ( χ) = d s s d χ[ d d ] () SU(3) E 0(6) U(5) = 0.5 η χ

26 Model interagujících bosonů Problém tzv. oblouku regularity [Alhassid, Whelan, 1991] f reg = Ω reg / Ω tot η H η χ = n n d 1 η Q χ ( Q χ, ) d ( ) ( ) N N ~ = d ~ ~ d Q ( χ) = d s s d χ[ d d ] ()? SU(3) E 0(6) U(5) ω = ω γ = 0.5 η χ

27 Model interagujících bosonů Vliv regularity vnitřních pohybů na existenci rotačních (kolektivních) pásů (regularitou indukovaná separace vnitřní a kolektivní dynamiky) nízká E vysoká E vysoká E nerotační sekvence vysoce koherentní rozklad některých sekvencí hladin se vzrůstajícím momentem hybnosti v bázi SU(3) pozorován i na velmi vysokých excitačních energiích

28 Chaos v kolektivní dynamice jader: Publikace Chaos v IBM Wave-function entropy and dynamical symmetry breaking in the interacting boson model P. Cejnar, J. Jolie, Physical Review E 58 (1998) 387 Experimental confirmation of Alhassid-Whelan arc of regularity J. Jolie, R.F. Casten, P. Cejnar, S. Heinze, E.A. McCutchan, N.V. Zamfir, Physical Review Letters 93 (004) Classical and quantum properties of the semiregular arc inside the Casten triangle M. Macek, P. Stránský, P. Cejnar, S. Heinze, J. Jolie, J. Dobeš, Physical Review C 75 (007) Peres lattices in nuclear structure M. Macek, P. Stránský, P. Cejnar, International Journal of Modern Physics E (009) 1058 Regularity-induced separation of intrinsic and collective dynamics M. Macek, J. Dobeš, P. Stránský, P. Cejnar, Physical Review Letters 105 (010) Chaos v geometrickém modelu Regular and chaotic vibrations of deformed nuclei with increasing gamma rigidity P. Cejnar, P. Stránský, Physical Review Letters 93 (004) 1050 Classical chaos in the geometric collective model P. Stránský, M. Kurian, P. Cejnar, Physical Review C 74 (006) Order and chaos in the geometric collective model P. Stránský, P. Cejnar, M. Macek, Physics of Atomic Nuclei 70 (007) 157 Quantum chaos in the nuclear collective model: Classical-quantum correspondence P. Stránský, P. Hruška, P. Cejnar, Physical Review E 79 (009) 0460 Quantum chaos in the nuclear collective model: II. Peres lattices P. Stránský, P. Hruška, P. Cejnar, Physical Review E 79 (009) Chaotic dynamics in collective models of nuclei P. Stránský, M. Macek, P. Cejnar, A. Frank, R. Fossion, E. Landa, Journal of Physics: Conf. Ser. 39 (010) 0100

29 symetrie chaos fázové přechody

30 symetrie chaos fázové přechody QDS III QDS II QDS I QDS V QDS IV přechody mezi doménami různých kvazi dynamických symetrií?

31 kvantové (T=0) [ Hertz 1976, Gilmore , Sachdev 1999, Vojta 003] termální (T>0) (klasické) fázové přechody QPT: Neanalytická změna formy a energie základního stavu systému při průchodu interakčního parametru přes kvantový kritický bod. Parametr velikosti systému (termodyn.lim.) E ℵ 0 ℵ Příklady QPT: Nekonečné systémy Spinové mříže: paramag./feromagnetická fáze Optické systémy: norm./super-radiační fáze Fermionové systémy: norm./supravodivá fáze Konečné systémy (jen prekursory fázového přechodu) Molekuly: vibrátor/rotátor Atomová jádra: kulatý/protáhlý/zploštělý/trojosý tvar X X T X T

32 kvantové (T=0) [ Hertz 1976, Gilmore , Sachdev 1999, Vojta 003] termální (T>0) (klasické) fázové přechody QPT: Neanalytická změna formy a energie základního stavu systému při průchodu interakčního parametru přes kvantový kritický bod. Parametr velikosti systému (termodyn.lim.) QPT v konečných algebraických modelech (specifika): Konečná dynamická algebra Hamiltonián H = H ({ g i }) Pro škálované generátory platí [ g, g ] = splňující škálovací podmínku termodynamická limita = klasická limita!!! i j c ijk g g i g j, 0 κ κ ℵ ℵ k pro E ℵ X H ℵ ℵ 0 X ℵ T = H ℵ g i κ X T >0

33 Cusp hamiltonián jednoduchý 1D model QPT 1. a. řádu: potenciál s katastrofou typu cusp ˆ d 4 H = x ax bx a M M dx ℵ V ( x).řád. b 1.řád. Klasifikace QPT (Ehrenfest) 1. řád: změna struktury zákl.stavu, nespojitost 1.derivace energie, fáz. koexistence. řád: změna změny zákl.stavu, nespojitost.derivace energie Spojitý: měkčí než 1.řád, ale bez Ehrenfestovy klasifikace

34 Model interagujících bosonů H( η, χ) N n d d = η = n N ~ d d 1 η Q( χ) Q( χ) N ~ ~ Q ( χ) = d s s d χ[ d d ] () = n d n s Bosonové střední pole: základní stav ve N tvaru kondenzátu s d Ψ0 α m m m d s m spherical m =,..., Stejná/jednodušší fázová struktura: kolektivní model Lipkin D/3D vibron U(4) model Ψ Ψ Ψ prolate oblate N ( s ) 0 N ( s d ) 0 0 N ( s d ) řád prolate Fázový diagram v souladu s klasickou teorií: Landau (1937) 0. spherical oblate.řád Analogická fázová struktura: IBM s 3-částicovými interakcemi, sdg-ipm, spdf-ibm

35 Mechanismus QPT H = H λ H 0 Komplexní degenerace E ( Λij ) = E j ( Λij ) komplexní rozšíření ~ λ Λ λ iλ i Genericky větvící body typu komplexní odmocniny ( exceptional points ) E Λ E λ Komplex. degenerace blízká reálné ose kvazi křížení hladin rychlé strukturní změny zúčast. stavů relevance pro QPT QPT = kondenzace komplexních degenerací u reálné osy pro ℵ λ ~ Λ 0 i λ Dimenze n n Riemannových listů seřazených podle velikosti energie na reálné ose na každém listu (n 1) komplexně sdružených dvojic bodů degenerace jen degenerace na Riemannově listu základního stavu přispívají k efektu QPT λ ~ Λ 0i λ

36 Mechanismus QPT H = H λ H 0 Komplexní degenerace E ( Λij ) = E j ( Λij ) komplexní rozšíření ~ λ Λ λ iλ i Genericky větvící body typu komplexní odmocniny ( exceptional points ) E Λ E λ Komplex. degenerace blízká reálné ose kvazi křížení hladin rychlé strukturní změny zúčast. stavů relevance pro QPT Dimenze n n Riemannových listů seřazených podle velikosti energie na reálné ose na každém listu (n 1) komplexně sdružených dvojic bodů degenerace jen degenerace na Riemannově listu základního stavu přispívají k efektu QPT QPT = kondenzace komplexních degenerací u reálné osy pro ℵ 1. řád: lokálně -hladinový proces (singularitu na reálné ose generují jen komplexně sdružené větvící body). řád & spojitý: mnoho-hladinový proces (singularitu na reálné ose generuje velké množství větvících bodů) λ ~ λ ~ Λ 0i Λ 0 i λ λ

37 Mechanismus QPT H = H λ H 0 Komplexní degenerace E ( Λij ) = E j ( Λij ) komplexní rozšíření ~ λ Λ λ iλ i Genericky větvící body typu komplexní odmocniny ( exceptional points ) E Λ E λ Komplex. degenerace blízká reálné ose kvazi křížení hladin rychlé strukturní změny zúčast. stavů relevance pro QPT Analogie s termálními fázovými přechody: nuly partiční funkce v komplexně rozšířené teplotě: Yang, Lee (195) λ ~ Λ 0 i λ Dimenze n n Riemannových listů seřazených podle velikosti energie na reálné ose na každém listu (n 1) komplexně sdružených dvojic bodů degenerace jen degenerace na Riemannově listu základního stavu přispívají k efektu QPT λ ~ Λ 0i λ

38 QPT pro excitované stavy (ESQPT) Termální fázový přechod (teplota T c ) volná energie entropie teplota interakční parametr sklon & křivost drah jednotlivých hladin:

39 QPT pro excitované stavy (ESQPT) Termální fázový přechod (teplota T c ) škálování energie mikrokanonický popis anomálie hustoty & toku exc.hladin volná energie entropie interakční parametr S ln ρ hustota hladin sklon & křivost drah jednotlivých hladin:

40 QPT pro excitované stavy (ESQPT) Termální fázový přechod (teplota T c ) škálování energie mikrokanonický popis anomálie hustoty & toku exc.hladin -hladinový fermionový model párování Další modely: IBM Lipkin D/3D vibron Jaynes-Cummings Dicke kolektivní model.. Důsledek anomální změny fázového objemu, která souvisí se stacionárními body hamiltoniánu.

41 Cusp hamiltonián ˆ d 4 H = x ax bx M dx V ( x) 1D systém nejsilnější projevy ESQPT V 1. řád x b V. řád π = ± π = a=1, b=0 x a

42 Kvantové fázové přechody: Publikace Statististický popis QPT v IBM Quantum phase transitions studied within the interacting boson model P. Cejnar, J. Jolie, Physical Review E 61 (000) 637 Decoherence and thermalization in a simple bosonic system P. Cejnar, V. Zelevinsky, V.V. Sokolov, Physical Review E 63 (001) Ground-state shape phase transitions in nuclei: thermodynamic analogy and finite-n effects P. Cejnar, S. Heinze, J. Jolie, Physical Review C 68 (003) Střední pole, Landauova teorie Phase coexistence in the interacting boson model and 15 Sm J. Jolie, P. Cejnar, J. Dobeš, Physical Review C 60 (1999) (R) Triple point of nuclear deformations J. Jolie, P. Cejnar, R.F. Casten, S. Heinze, A. Linnemann, V. Werner, Physical Review Letters 89 (00) 1850 Prolate-oblate shape-phase transition in the O(6) description of nuclear rotation G. Thiamova, P. Cejnar, Nuclear Physics A 765 (006) 97 Tvarově fázové přechody v rotujícím systému Shape-phase transitions in rotating nuclei via cranking the interacting boson model P. Cejnar, Physical Review C 65 (00) Landau theory of shape phase transitions in the cranked interacting boson model P. Cejnar, Physical Review Letters 90 (003) Rotation-driven spherical-to-deformed transition in A 100 nuclei and the cranked interacting boson model P. Cejnar, J. Jolie, Physical Review C 69 (004) (R) pokračování...

43 Kvantové fázové přechody: Publikace pokračování Komplexní degenerace Thermodynamic analogy for quantum phase transitions at zero temperature P. Cejnar, S. Heinze, J. Dobeš, Physical Review C 71 (005) (R) Coulomb analogy for non-hermitian degeneracies near quantum phase transitions P. Cejnar, S. Heinze, M. Macek, Physical Review Letters 99 (007) Excitované fázové přechody Evolution of spectral properties along the O(6)-U(5) transition in the interacting boson model. I. Level dynamics S. Heinze, P. Cejnar, J. Jolie, M. Macek, Physical Review C 73 (006) Evolution of spectral properties along the O(6)-U(5) transition in the interacting boson model. II. Classical trajectories M. Macek, P. Cejnar, J. Jolie, S. Heinze, Physical Review C 73 (006) Monodromy and excited-state quantum phase transitions in integrable systems: collective vibrations of nuclei P. Cejnar, M. Macek, S. Heinze, J. Jolie, J. Dobeš, Journal of Physics A: Math. & Gen. 39 (006) L515 Impact of quantum phase transitions on excited-level dynamics P. Cejnar, P. Stránský, Physical Review E 78 (008) Excited state quantum phase transitions in many-body systems M.A. Caprio, P. Cejnar, F. Iachello, Annals of Physics (N.Y.) 33 (008) 1106 Excited-State Phase Transition and Onset of Chaos in Quantum Optical Models P. Pérez-Fernández, A. Relaño, J. Arias, P. Cejnar, J. Dukelsky, J.E. García-Ramos, odesláno do Phys.Rev.Lett. Quantum quench infuenced by an excited-state phase transition P. Pérez-Fernández, P. Cejnar, J. Arias, J. Dukelsky, J.E. García-Ramos, A. Relaño, odesláno do Phys.Rev. A Přehledové články Quantum phase transitions in the interacting boson model P. Cejnar, J. Jolie, Progress in Particle and Nuclear Physics 6 (009) 10 Quantum phase transitions and nuclear structure P. Cejnar, P. Stránský, M. Macek, International Journal of Modern Physics E (009) 965 Quantum phase transitions in the shapes of atomic nuclei P. Cejnar, J. Jolie, R.F. Casten, Reviews of Modern Physics 8 (010) 15

44 I had a feeling once about Mathematics, that I saw it all Depth beyond depth was revealed to me the Byss and the Abyss. I saw, as one might see the transit of Venus or even the Lord Mayor's Show, a quantity passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why the tergiversation was inevitable: and how the one step involved all the others. It was like politics. But it was after dinner and I let it go! Winston Chirchill, My Early life: